第十章动载荷

第十章 动载荷§10.1 概述1. 动载荷——随时间发生显著变化的载荷或者由于物件运动速度发生显著变化而使物件受载，均称为动载荷。

2. 动应力——物件由动载荷引起的应力称为动应力。

3. 实例⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧紧急制动的转轴锻压气锤的锤杆高速旋转的飞轮加速提升的物件.4.3.2.14. 胡克定律的有效性实验表明：只要动应力不超过材料的比例极限，胡克定律仍适用于动载荷下应力与变形的计算，弹性模量与静载荷下的数值相同。

5. 动应力问题⎪⎩⎪⎨⎧交变应力冲击算物件有加速度的应力计.3.2.1§10.2 动静法的应用1. 静止或匀速直线运动AWA F WF W F NST st NSt NSt ==σ==-02．牛顿第二定律（匀加速直线运动）或ma W F Nd =-)ga(A W A F )ga (W a g W W F Nd d Nd +==σ+=+=11引入 gaK d +=1 动载荷因数则 st d d K σ=σ 3. 达郎伯原理及动静法对作加速度运动的质点系，如假想地在每一个质点上加上惯性力，则质点系上的原力系与惯性力学组成平衡力系。

这样就可把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这样就是动静法。

0=∑y F 0=--a gWW F Nd )1(ga W F Nd += st d d Nd d K )g a(A W A F σ=σ+==σ1 4．强度条件：[]σ≤σ=σst d d K由于动荷因数K d 中已经包括了动载荷的影响，所以[]σ为静载下的许用应力。

Example 1.图示起重机的重力为W 1=20kN ，装在由两根N0.32a 工字钢组成的梁上。

今用绳索起吊W 2=60kN 的重物，若在第一秒内匀加速上升2.5m,求绳子拉力及梁内最大的应力。

（考虑梁的自重）Solution 1.① 重物的加速度为a ∵ 221at s = ∴m/s 515.22222=⨯==t s a ② 绳子的拉力Nd F69089516012.).()g a (W F Nd =+=+=kN ③ 梁的集中载荷及自重力kN Nd 6.1106.90201=+=+=F W F查表P409.N032a 工字钢，理论重量为q ′=52.717kNq ′=52.717kg/m计算载荷集度q =(52.7178.9⨯)×2=1033N/m 抗弯截面系数 3cm 2.692=Wz ④ 梁的最大弯矩：14284=+=qlFl M max kN ·m ⑤最大应力：5.102102.692210142236max max=⨯⨯⨯==σz w MAExample 2. 求匀速旋转圆环中的动应力。

设角速度为ω，横截面面积为A ，材料密度为ρ，（单位体积的质量kg/m 3），环的平均直线为D ，厚度为δ，（D ≤δ），忽略轮幅影响。

odododdDNdF Nd FAnalysis:① 圆环中线各点的向心加速为222ω=ω=D R a n② 沿圆环中线的惯心力集度22ωρ=ρ=D A a A q n d③ 用动静法研究半环的平衡0=∑y F 2F 02sin 0=⋅-⎰ϕϕπd Dq d Nd 2F Nd =q d DF Nd =4222ωρD A D q =d ④ 圆环中的动应力2224v D A F ρωρσ===Nd d 式中 v =ω2D⑤ 强度条件：[]σρσ≤=2v d为保证圆环的强度，必须限制旋转速度。

Example 3. 在AB 轴的B 端有一个质量很大的飞轮，与飞轮相比轴的质量可以忽略不计，轴的另一端装有刹车离合器，飞轮的转速n=100rm in,转动惯量为I x =0.5kN ·m.s 2，轴的直径d=100mm,刹车时使轴在t=10s 均匀减速停止转动。

求轴内最大动应力。

Solution:①瞬时角速度：0rad/s3106010026020==⨯==t n ωπππω ②角加速度：t t α+ω=ω020rad/s 3103100ππωωα-=-=-=tt note 负号表示α方向与0ω方向相反 ③ 惯性力矩 350350π=π-⨯-=α-=.)(.I M x d kN·m摩擦力矩：350π==.M M d f kN·m ④ 扭矩：350π==.M T d d kN·m⑤ 最大切应力：67.2mm /67.2161001035.0236max ==⨯==N x W T t d d ππτMPa§10.4 杆件受冲击时的应力和变形1．概念：锻造时，锻锤与锻件接触的非常短暂的时间内，速度发生很大变化，这种现象称为冲击或者撞击。

2．实例： （1）重锤打桩； （2）用铆钉枪铆接； （3）高速旋转飞轮突然刹车。

3．冲击分析冲击发生，必然有冲击物和被冲击物。

如上述例子中，如重锤，飞轮就是冲击物，而桩，飞轮轴则是受冲构件。

冲击物冲击构件时，其速度在很短时间内发生很大变化，这样冲击物获得很大的负值加速度，于是冲击将给受冲物件很大的惯性力。

但是由于冲击时间难以测定，加速度很难计算，惯性力难以确定。

于是工程中常采用能量法。

利用机械能守恒原理，来估算冲击时的位移和应力。

4．冲击问题的简化及简化模型在工程中，承受各种变形的弹性杆件都可以看作是一个弹簧，只是不同杆件看作弹簧时，其弹簧常数各不相同而已。

（1）受拉伸（压缩）的杆件()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=∆====∆刚度弹簧常数或l EA C l C F CF l EA F EA Fl l / （2）梁：简支梁、外伸梁⎪⎩⎪⎨⎧=====33348/4848l EI C Cw F C F l EI F EI Fl w 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=====3333/33l EI C Cw F C F l EI F EI Fl w 或 （3）扭转的杆件 ⎪⎩⎪⎨⎧=====l GI C C M C M l GI M GI l M P e e p e p e //ϕϕ或 5．冲击应力及变形计算(a)(b)动能为T设重量为P 的冲击物一经与受冲弹簧接触，就相互附着共同运动。

如省略弹簧的质量，只考虑其弹性，便简化成一个自由度的运动体系。

设冲击物与弹簧开始接触的瞬间动能为T ，由于弹簧的阻抗，当弹簧变形达到最低位置时，体系的速度为零，变形Δd 。

在这个过程中冲击物动能变化为T ，势能变化为V =P Δd（a ）若以V εd 表示弹簧的应变能，并省略冲击中变化不大的其它能量（如热能），根据机械能守恒定律，冲击系统的动能和势能的变化应等于弹簧的应变能，即T +V =V εd（b ）设体系的速度为零时弹簧的动载荷为F d ，在材料服从胡克定律的情况下，它与弹簧的变形成正比，且都是从零开始增加到最终值，故d d d F V ∆=21ε （c ）在线弹性范围内，载荷与变形，应力成正比，故stdst d d P F σσ=∆∆= （d ）或：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∆∆=⋅∆∆=st st dd st d d P F σσ （e ）式（e ）代入式（c ）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∆=∆∆=d st d d P V P V 221ε （f ）代入式（b ）整理:0222=∆-∆∆-∆PT std st d （g ）解之得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++∆=∆stst d P T211 引入stst d d P TK ∆++=∆∆=211 冲击动荷因数 （h ） 则⎪⎭⎪⎬⎫σ=σ=∆=∆t s d d d d st d d K P K F K （i ）note ：Δd 、F d 、σd 都是冲击时载荷，变形和应力的瞬息最大值。

若重为P 的物体从高为h 处自由下落，当物体与弹簧接触时：Phv gP T ghv ===22212代入式（h ）得，K d =1+sth∆+21（自由落体动荷因数） 推论：实加载荷⎭⎬⎫=∴=20d k h 7．水平冲击设重量为P 的冲击物，以速度v 冲击，由d V V T ε=+p v g p std∆∆=+2221021 得： st std g v ∆∆=∆2引入： std g v K ∆=2动荷因数则：⎪⎭⎪⎬⎫σ=σ∆=∆=st d d st d d d d k K pk F Example1 重力为P=1kN 的重物，自由下落到悬壁梁的自由端 Given l =2m E=10GPah=40mmFindσdmaxΔdmaxAAB△Solution （1）按静载荷计算I Z =bh 3/12=120×2003/12=8×107mm 4 W Z =bh 2/6=120×2002/6=8×105mm 3查表：P188B 点：33310810103102101373333.EI pl max st St =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∆=∆mm A 截面：52108102101533.W pl Z max St =⨯⨯⨯⨯==σMPa （2）按冲击计算633.340211211=⨯++=∆++=st d h K B 点：203336=⨯=∆=∆.K max st d max d mm A 截面：15526=⨯=σ=σ.K max st d dmax MpaExmple2 图示自重力为P 的重物，以水平速度v 撞击在竖直杆子上，若直杆的E 、I 、W Z 均已知，试求杆内的最大正应力σdmax Solution （1）按静载计算 查表P188B 点：EIpl st 33=∆A 截面：Zst W pl =max σ （2）按冲击计算AB3223gplEIv st g v K d ⋅=∆=故截面：Zst d W plgpl EIv K d 32max max 3==σσExample3 若AC 杆在水平面面内绕A 点铅直轴以匀角速度ω转动，杆C 点有一自重力为P 的集中质量，如因故障在B 点突然卡住，使之突然停止转动，试求AC 杆内的最大冲击应力。

设杆的质量省略不计。

Solution（1）按静载荷计算()EIl l pl st 321-=∆ ()Wl l p W M st 1max max-==σ （2）按冲击计算ω=l v()()lg EIl l l l l l g EIl g v K std ρ-ω=-ρ⋅ω=∆=3312122gEIl WK max st d max d ρω=σ=σ3Example4P320正轮轴10s 内匀减速停672.max =τMPa P333正轮轴，突然刹车：1057=τmax MPaAAAB。