超弹性材料本构关系不同构造方法

超弹性材料本构关系不同构造方法

在推导本构关系时不同的文献所定义的应力、应变并不相同，如阿尔曼西应变e 对应柯西应力（Cauchy 应力）σ；变形梯度率∙F 对应第一P-K 应力P ；格林应变（Green 应变）E 对应第二P-K 应力T 。它们的定义和转化关系如下：

变形梯度F 右柯西-格林张量F F C T = Cauchy 变形张量1--=F F c T 左柯西-格林张量T FF b = 格林应变张量（Lagrange 或Green 应变）：)(21I C E -=

阿尔曼西应变（欧拉应变）：)(2

11--=

b I e 两者转换关系：1--=EF F e T

第一P-K 应力张量T F J P -⋅=σ

第二P-K 应力张量T F JF T --=σ1

两者转换关系P F T 1-=

其中因为第一P-K 应力不是对称的二阶张量，在实际应用中很少用到，而且ABAQUS 在计算超弹性材料本构行为，不采用率形式的本构关系，而采用全量形式的本构关系，而第一P-K 应力却对应变形梯度率∙F 。但是通过下面的分析可以得出结论：在《The role of mechanics during brain development 》这篇文献中计算的皮奥拉应力是第一P-K 应力P 。

T F J F P -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=μϑλϑμ)ln(32 （22）

在黄克志书中225页，式3.28求出了第二P-K 应力

T F F J I C J I T ----+=-+=11)ln ()ln (μλμμλμ （3.28） 根据两类P-K 应力转换关系T F P ⋅=，将上式两端点乘F ，得： 与文献中的应力表达式（22）吻合，所以文献中的应力为第一P-K 应力。

ABAQUS 在构造超弹性材料本构时用消除体积变形的变形梯度

F J F 31

*-=

则*F 称为“消除了体积变化的变形梯度”，以它为变形梯度，则

变形无体积变化，即1)(det

*=F 以*F 为基础，重新定义了左、右Cauchy-Green 张量

又定义*b 的三个主不变量，ABAQUS 采用其构造的势能函数 最终得出柯西（Cauchy ）应力表达I -'=p σσ 偏量部分⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅∏∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∏∂∂I +I ∂∂='*******2b b w b W W DEV J σ (2.6) 球量部分J

W p ∂∂-= (2.7) ABAQUS 定义的应变张量：d =∇ε 为应变率d (2.8) 也可分解为偏量球量部分：I +'=∙∇∇)(31εεεtr

小结：ABAQUS 里面用消除了体积变形的变形梯度F J F 31*-= 用柯西应力张量I -'=p σσ和应变张量I +'=∙∇∇)(3

1εεεtr

文献中指出脑白质的生长正式由于弹性体积变形超过一定限度才发生生长，体积变形不能忽略，脑白质生长率

03s 0s J J G J J G e -=-=∙ϑ

ϑ （25） 使用第一P-K 应力T F J F P -⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=μϑλϑμ)ln(32和变形梯度率∙F 表征应变

下一步工作：第一P-K 应力和变形梯度率如何运用到ABAQUS 运算中去，或者与柯西应力、应变如何转换。以及两种应力应变关系的切线刚度矩阵DDSDDE 的具体数值算法。