质心、刚心、重心
高二物理竞赛课件：质心(center of mass) 质心运动定理
一、质点对定点的角动量
说角动量时，
t 时刻， 如图 ，
必须指明是对 哪个固定点的
定义 L r P 为质点对固定点o 的角动量
大小：L rP 方向：垂直于
sri，nP
rmv sin
组成的平面
[SI] kgm 2/s
o r
L
P
m
力对定点的力矩
说力矩时，也
t 时 刻,如图,
必须指明是对 哪个固定点的
例 已知1/4圆M, m由静止下滑,求
t1→t2 过程中M移动的距离 S。 解： 选（M+m）为体系
水平方向: 合外力=0，质心静止
t1时刻
m
t2时刻
Mபைடு நூலகம்
M
m
x -R O
体系质心
X1
MxmR Mm
x-S -S O
体系质心
X
2
M
x
M
SmS
m
质心静止 X1 X 2
M
移动的距离
S
m Mm
R
思路:与处理动量定理 动量守恒问题相同
等于质点角动量的增量。
M 和L 是对惯性系中的同一固定点的。
角动量定理 Mdt dL
t2
Mdt ΔL
t1
若 M 0 则 L 0 角动量守恒定律
讨论
1）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律。 如行星运动
2）有心力—力始终指向一点
直升飞机
动量不守恒 角动量守恒
质点在有心力作用下运动时角动量守恒
M r F 0 角动量守恒
o
F
mi
ri c质心
rc
o
重心是指各质点所受重力的合力作用点。
重心与质心的区别
重心与质心重心与质心是物理学中两个重要概念，由于它们只有一字之差，运用中很容易混淆。
其实，“重心”和“质心”这两个概念有着不同的内涵和外延，是两个截然不同的力学概念。
首先看重心，任何物体都可以看作是由很多微粒所组成，每个微粒都受到竖直向下的重力的作用，由于地球很大，这些力可认为彼此平行。
因此，又可以说任何一个物体都受到很多的平行力——物体的各微粒所受的重力的作用。
所有这些重力的合力就等于整个物体的重力，它可以根据平行力的合成法则来求得。
这些平行力．．．的合力作用点就叫做物体的重心．．．．．．．．．．．．．．（如图1－18的C点）。
由此可见，重心必须依赖重力而存在。
实际上，重心反映了重力“三要素”中的“作用点”要素，因此，可以说重心是重力概念的一个派生概念。
根据重心的定义，严格地讲，在地面上方的物体有重心的充分必要条件是作用在它各部分的重力的作用线是相互平行的。
在地面上方的大物体不存在以上意义的重心1。
可见，重心概念只对地球附近处受到地球引力的一切小物体有意义。
另外，根据重心定义可以知道，重心是一个定点，与物体所在的位置和如何放置无关。
均匀物体的重心只跟物体的形状有关，规则形状的均匀物体的重心就在它的几何中心。
如均匀直棒的重心就在它的中点，均匀圆板的重心就在圆板的圆心，均匀球体的重心就在它的球心等等。
几何上之所以把三角形的二条中线的交点称为重心，就是因为此交点实为物理上的重心位置。
形状不规则、质量分布又不均匀的物体的重心位置，除与物体的形状有关外，还与物体内部质量的分布情况有关：找物体重心除用计算法外还可用实验悬挂法；用线悬挂物体（A点），平衡时，物体重心一定在悬挂线（或其延长线）上，然后把悬挂点换到物体上另一点（B点），再使之平衡，则物体的重心又一定在新的悬挂线（或其延长线）上，前后两次悬挂线的交点C就是所求物体的重心位置，如图1－19所示。
有一点必须注意，即物体的重心可以不在物体内部，关于这点，请读者自行举例。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
![三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]](https://img.taocdn.com/s3/m/bff5d6ed6037ee06eff9aef8941ea76e59fa4a74.png)
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。
外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。
垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。
内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。
旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。
三角形的“三心”分别指的是什么(一)
三角形的“三心”分别指的是什么（一）引言概述：三角形是几何学中的基本图形之一，它有许多特殊的性质和重要的元素。
其中，三心是指三角形内部的三个特殊点，包括重心、外心和内心。
本文将详细介绍三角形的三心分别指的是什么。
正文内容：一、重心（也称质心）重心是三角形内部的一个点，它划分了三角形的重心线段将三角形分成两等面积的部分。
重心的计算公式是三个顶点坐标的平均值，其特点如下：1. 重心与三角形的三边的交点形成的三个三角形面积相等。
2. 重心离三角形的三个顶点的距离相等。
二、外心外心是三角形外接圆的圆心，它是通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点确定的。
外接圆是以三个顶点为圆周切点的唯一的圆，外心是该圆的圆心。
外心的特点如下：1. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。
2. 外心是三角形三个外角的平分线的交点。
三、内心内心是三角形内切圆的圆心，它是通过三角形的三条边的垂直平分线的交点确定的。
内切圆是唯一以三个边相切的圆，内心是该圆的圆心。
内心的特点如下：1. 内心到三角形的三条边的距离相等。
2. 内心是三角形三个角的平分线的交点。
四、重心、外心和内心之间的关系重心、外心和内心之间有一定的几何关系，其关系如下：1. 重心在外心和内心之间的距离为两倍的外心和内心之间的距离。
2. 外心在重心和内心之间的距离为两倍的重心和内心之间的距离。
五、应用与拓展三心是三角形的重要性质，它们的几何特性不仅在数学中有着广泛的应用，也在科学和工程领域发挥着重要作用。
此外，还有许多其他特殊的点和线与三角形相关，值得进一步学习和研究。
总结：三角形的三心分别指重心、外心和内心。
重心划分了三角形的重心线段，外心是三角形的外接圆的圆心，内心是三角形的内切圆的圆心。
它们具有独特的几何特性和重要的应用价值，对于理解和研究三角形有着重要的意义。
高中物理竞赛_话题1：重心与质心的确定
话题1：重心与质心的确定一、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。
在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。
两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。
其作用线在两个分力作用点的连线上。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个同向平行力A F 和B F ，其合力的大小A B F F F =+，合力作用点O 满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。
其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个反向平行力A F 和B F 的合成其合力的大小B A F F F =-(假如B A F F >，则F 和B F 同向)其合力的作用点满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。
二、重心和质心重心是重力的作用点。
质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。
物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。
对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。
但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。
在重力加速度g 为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），BF AF FO BA BF AF F OBA重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。
相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与12,m m 相距分别为1L ,2L ：1122m L m L = 12L L L +=2112m LL m m =+1212m LL m m =+均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
质心公式的推导
质心公式的推导摘要：1.质心定义及作用2.质心公式推导过程3.质心公式应用实例4.质心在实际生活中的重要性正文：质心，又称重心，是一个物体在空间中的平衡点。
它在物理学、力学等领域具有重要的理论价值和实践意义。
本文将介绍质心公式的推导过程，并举例说明其在实际生活中的应用。
一、质心定义及作用质心是一个物体所有部分的质量均匀分布时，物体内部各个部分所受重力的合力作用点。
在二维平面内，质心位于物体形心的位置。
质心在物体平衡、稳定以及运动过程中的作用至关重要。
它可以帮助我们分析物体在各种受力情况下的运动状态，为工程设计、建筑结构等领域提供理论依据。
二、质心公式推导过程质心公式是根据物体的质量分布和形状来计算质心位置的。
设物体质量为m，物体形状为S，物体上的任意一点到质心的距离为r。
根据物体质量分布的均匀性，可以得到以下公式：质心位置（x，y）= （Σmr / Σm）/ S其中，Σmr表示物体各部分质量与质心距离的乘积之和，Σm表示物体各部分质量之和。
通过数学运算，我们可以得到质心的坐标。
三、质心公式应用实例1.简单几何体：对于简单的几何体，如长方体、圆柱体等，可以通过测量各部分的尺寸和质量，直接计算出质心位置。
2.复杂物体：对于复杂的物体，如飞机、汽车等，需要先将物体分解为简单的几何体，然后分别计算各部分的质心，最后通过一定的算法求得整个物体的质心。
3.建筑结构：在建筑结构设计中，了解结构的质心位置有助于分析结构的稳定性和抗风能力。
通过计算质心，可以合理布局建筑物的重量分布，提高建筑物的抗风性能。
四、质心在实际生活中的重要性1.平衡控制：在运动控制、机器人等领域，掌握质心位置对于保持物体平衡具有重要意义。
例如，在无人驾驶汽车中，通过实时监测质心位置，可以有效避免因质心偏移导致的失控现象。
2.优化设计：在产品设计和工程设计中，合理调整质心位置可以提高产品的性能和稳定性。
例如，在飞机设计中，通过改变机翼形状和位置，可以调整质心与飞行速度的关系，实现更高效的飞行。
高中物理竞赛_话题1：重心与质心的确定
话题1：重心与质心的确定一、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。
在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。
两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。
其作用线在两个分力作用点的连线上。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个同向平行力A F 和B F ，其合力的大小A B F F F =+，合力作用点O 满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。
其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个反向平行力A F 和B F 的合成其合力的大小B A F F F =-(假如B A F F >，则F 和B F 同向)其合力的作用点满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。
二、重心和质心重心是重力的作用点。
质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。
物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。
对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。
但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。
在重力加速度g v为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），BF AF FO BA BF AF F OBA重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。
相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与12,m m 相距分别为1L ,2L ：1122m L m L = 12L L L +=2112m LL m m =+1212m LL m m =+均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
高数质心公式
高数质心公式质心公式（也称重心公式）是高等数学中经常用到的一种重要定理，其作用在于求解复杂图形或空间中某个物体的几何中心位置。
下面将详细介绍质心公式的定义、推导、性质以及应用等方面。
一、定义在数学中，质心（即重心）是指在平面或空间中，一个物体各个部分的质量均匀分布时的几何中心。
换言之，就是物体所有质量的平均分布点，同时也是物体所受合力的作用点。
而质心公式就是用来计算一个物体质心位置的公式。
二、推导在平面直角坐标系中，假设有n个不同质量的点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、…、An（xn，yn）。
则这n个点的质心G（x，y）可由下面公式得出：x =（M1 * x1 + M2 * x2 + …… + Mn * xn）/（M1 + M2+ …… + Mn）y =（M1 * y1 + M2 * y2 + …… + Mn * yn）/（M1 + M2+ …… + Mn）其中，M1、M2、……、Mn为每个点所对应的质量。
推导原理是利用质心的定义，即物体的质心应该满足每个部分的质量与其与质心距离的乘积之和相等，然后把公式展开，配合求和式化简即可得出上述公式。
三、性质1、质心公式只适用于质量均匀分布或已知各点质量的情况。
2、当各个点的质量相等时，则质心即为各点连线中线所交的点。
3、当一个形体由许多小形体组成时，每个小部分的质心即为每个小部分所对应的位置坐标的质量平均数。
4、当点的质量无穷小，即点成为无数成员的集合时，质心公式即为积分计算公式。
四、应用1、物理应用：质心公式可以用于求解机械振动和物体的运动状态，如机械系统、物理系统等。
2、建筑工程：如果需要对建筑物进行升级或改造等工作，则需要知道建筑物的质心位置，以便于进行结构及安全分析。
3、航空航天工程：在飞行器建设中，需要用到质心公式来确定机身的几何形状及飞行状态等参数，以保证飞行器的稳定以及作业的顺利进行。
综上所述，质心公式是高等数学中的一个重要定理，其应用范围广泛，不仅在理论研究中，还在实际工作中得到了广泛应用。
高中物理知识延伸拓展之--重心或质心的求法
高中物理知识延伸拓展之
重心或质心的求法
补充：平行力的合成和分解
同向平行力的合成：两个平行力FA和FB相距AB，则合力ΣF的大小为FA＋FB，作用点C满足FA·AC＝FB·BC的关系（如图2－3－１）
反向平行力的合成：十个大小不同的反向平行力FA和FB（FA＞FB）相距AB，则合力ΣF的大小为FA－FB，与FA同向，作用点C满足FA·AC＝FB·BC的关系（如图2－3－2）。
求重心的常用方法有填补法和分割法
例1 将质量均匀、长均为a的细杆组成如图2－3－3所示的架子，求这个架子的重心。
解法1：“填补法”。
就是把残缺部分补全，即先补上一根同样的细杆于AD处，构成的正方形的重心在正中间O处，设原架子的重心在点O 正上方
处的O’点，每段细杆重G，根据同向平行力的合成法则有
解得
，即重心在对称轴上离横杆
处。
解法2：“分割法”。
即把整体分割成重心易求的几部分，本题中分成BC与AB和CD两部分，BC杆的重心在其正中间，AB与CD整体的中心在图中的O点，这样可得同上法一样的方程。
解法3：“坐标法”。
该法是建立在以上两种方法基础上的，它是解决由均质体组成的极为复杂的“集合体”的一种通用的方法。
如本题可取BC为χ轴正向，BA为y轴正向。
设每段细杆质量为m，这样有。
质心
质心质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
在一个N维空间中的质量中心，座标系计算公式为：X表示某一座标轴；mi表示物质系统中某i质点的质量；x i表示物质系统中，某i质点的座标。
质点系质量分布的平均位置质量中心的简称。
它同作用于质点系上的力系无关。
设n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1，r2，……，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc＝Image:质心１.jpgmiri／Image:质心１.jpgmi。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc＝Image:质心２.jpgρrdτ／Image:质心２.jpgρdτ，式中ρ为体（或面、线）密度；dτ为相当于ρ的体（或面、线）元；积分在具有分布密度ρ的整个物质体（或面、线）上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，质心该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
由这个定理可推知：①质点系的内力不能影响质心的运动[1]。
②若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。
③若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。
质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。
质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件；飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关；此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。
力学中的质心
力学中的质心力学中的质心（Center of Mass in Mechanics）在力学中，质心（Center of Mass）是一个经常被讨论的主题。
质心是一个物体的几何中心，它可以用来描述物体在力学中的运动和平衡。
本文将深入探讨质心的概念、计算方法以及其在力学中的应用。
一、质心的定义和特性质心被定义为一个物体的总质量分布在空间中的几何中心。
对于一个质点系统或一个具有连续分布的物体，质心是一个特殊的点，它具有以下特性：1. 质心的位置与物体的形状和质量分布有关。
当物体具有对称性时，质心通常位于物体中心或中轴线上。
但对于不规则形状的物体，质心的位置可能会有所偏移。
2. 质心是一个虚拟的点，它不一定处于物体实际存在的位置。
即使一个物体是孔洞或空洞的，它的质心也可以在物体的实际存在之外。
3. 对于一个质点系统或一个连续分布的物体，质心的位置可以通过对质量进行加权平均来计算。
质心的坐标可以用矢量的形式表示。
二、质心的计算方法计算质心的位置需要考虑物体的质量和质量分布。
有几种常见的方法可以计算质心的坐标。
1. 对于一个质点系统，可以通过将每个质点的质量与其位置的乘积相加，再除以总质量来计算质心的位置。
这可以表示为：x_cm = (m1x1 + m2x2 + ... + mnxn) / (m1 + m2 + ... + mn)y_cm = (m1y1 + m2y2 + ... + mnyn) / (m1 + m2 + ... + mn)z_cm = (m1z1 + m2z2 + ... + mnzn) / (m1 + m2 + ... + mn)其中，m是质量，x、y和z是位置坐标。
2. 对于一个连续分布的物体，可以使用积分来计算质心的位置。
假设物体沿着x轴分布，可以表示为：x_cm = ∫x dm / ∫dm同样，可以使用相同的方法计算y和z方向的质心坐标。
三、质心在力学中的应用质心在力学中有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动和平衡时。
重心 几何术语
重心几何术语
重心是指物体的质量所集中的点，也称为重心或质心。
重心在物理学和工程学中十分重要，因为它决定了物体在受力作用下的稳定性和平衡状态。
在几何学中，重心可以通过计算物体各个部分的质量和位置来确定。
对于均匀分布质量的物体，重心位于物体的几何中心。
在三维空间中，重心可以由三个坐标值确定。
重心还可以用于描述二维图形的位置。
对于平面图形而言，重心通常是通过计算图形各个点的坐标平均值来确定的。
重心在几何学中还有其他一些相关术语和概念，如：
1. 重心距离：指从某个点到物体的重心的距离。
2. 划分比例：指将一个线段或一个图形按照一定比例分割，并且分割点与重心之间的比例关系。
3. 重心轴：指以重心为中心的旋转轴，如果物体绕重心轴旋转，可以保持平衡。
重心在建筑、机械设计等领域具有重要的应用价值，能够帮助人们分析和设计结构的稳定性、平衡性等特性。
质心、刚心、重心
质心质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
在一个N维空间中的质量中心，坐标系计算公式为：X表示某一坐标轴mi 表示物质系统中，某i质点的质量xi 表示物质系统中，某i质点的坐标。
质点系质量分布的平均位置。
质量中心的简称。
它同作用于质点系上的力系无关。
设n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1 ，r2，…，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc＝Image:质心1.jpgmiri／Image:质心1.jpgmi。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc＝Image:质心2.jpgρrdτ／Image:质心2.jpgρdτ，式中ρ为体（或面、线）密度；dτ为相当于ρ的体（或面、线）元；积分在具有分布密度ρ的整个物质体（或面、线）上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
由这个定理可推知：①质点系的内力不能影响质心的运动。
②若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。
③若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。
质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。
质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件；飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关；此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。
刚心重心——精选推荐
1、什么是刚心?怎样用近似方法求框架结构、剪力墙结构和框剪结构的刚心？（1）刚度中心是在不考虑扭转情况下各抗侧力单元层剪力的合力中心。
计算方法与形心计算方法类似，把抗侧力单元的抗侧刚度作为假想面积，求得各个假想面积的总形心就是刚度中心。
（2）求框架结构的刚心—框架柱的D 值就是抗侧移刚度，所以分别求出每根柱在y 方向和X 方向的D 值后，直接代入公式求0x 及0y ，式中求和符号表示对所有柱求和。
求剪力墙结构的刚心—直接由剪力墙的等效抗弯刚度计算位置，同一层中各片剪力墙弹性模量相同，计算是注意纵向和横向剪力墙要分别计算。
求框架—剪力墙结构的刚心：在框—剪结构中，框架柱的抗推刚度和剪力墙的等效抗弯刚度都不能直接使用。
先计算框—剪结构y 方向和x 方向平移变形下协同工作下，各片抗侧力单元所分配到的剪力，再按公式近似计算刚心位置。
2、扭转修正系数α的物理意义是什么?为什么各片抗侧力结构α值不同?什么情况下α大于l ，什么情况下α等于l 或小于1？扭转修正系数α的物理意义是表示考虑抗扭转后，对该榀抗侧力结构层间剪力的修正系数在同一个结构中，各片抗侧力单元的扭转修正系数大小不一。
α可能大于l ，也可能小于1。
当某片抗侧力结构的α>1时，表示它的剪力在考虑扭转以后将增大；α<1时表示考虑扭转后该单元的剪力将减小。
离刚心愈远的抗侧力结构，剪力修正也愈多。
重心内质量的分布有关。
载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化，起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化。
重心、刚心和焦点位置的影响重心在弦向的位置对颤振临界速度V F的影响很大；重心前移会降低V F；重心后移会提高V F；重心位于刚心线之前则不会发生颤振。
利用这个概念防止颤振，即在翼面前缘放置配重，使重心前移；当重心位置一定时，应使刚心靠后一些（与重心靠近），这样可以提高颤振速度；若重心、刚心间距离不变，则他们一起向前移（与焦点靠近），也可以提高颤振速度；一般地，焦点大约在0.25C A处，刚心约在0.35C A处，重心又稍后些，总的来说，一般认为重心、刚心及焦点比较靠近时，颤振速度比较高。
刚心质心调整方法
pkpm 里的刚心坐标，Rx,Ry 是相反的 Rx 相差大了，应该调 Y 方向的墙体
扭转修正系数的物理意义是表示考虑抗扭转后对该榀抗侧力结构层间剪力的修正系数在同一个结构中各片抗侧力单元的扭转修正系数大小不一
比如：你要调整 X 方向的刚心，必须调整 Y 方向墙， 刚心两边 Y 方向墙的刚度乘以到刚心的距离 相等， 要调整 X 方向的 刚心，增加 X 方向的墙基本没作用 1、什么是刚心?怎样用近似方法求框架结构、剪力墙结构和框剪 结构的刚心？ （1）刚度中心是在不考虑扭转情况下各抗侧力单元层剪力的合 力中心。计算方法与形心计算方法类似，把抗侧力单元的抗侧刚度作 为假想面积，求得各个假想面积的总形心就是刚度中心。 （ 2 ）求框架结构的刚心—框架柱的 D 值就是抗侧移刚度，所 以分别求出每根柱在 y 方向和 X 方向的 D 值后， 直接代入公式求 x0 及 y0 ，式中求和符号表示对所有柱求和。 求剪力墙结构的 刚 心 — 直 接 由 剪力墙的等效抗弯刚度计算位 置，同一层中各片剪力墙弹性模量相同，计算是注意纵向和横向剪力 墙要分别计算。 求框架—剪力墙结构的刚心：在框—剪结构中，框架柱的抗推 刚度和剪力墙的等效抗弯刚度都不能直接使用。先计算框—剪结构 y 方向和 x 方向平移变形下协同工作下， 各片抗侧力单元所分配到的剪 力，再按公式近似计算刚心位置。 2、扭转修正系数 的物理意义是什么 ?为什么各片抗侧力结构
值不同?什么情况下 大于 l，什么情况下 等于 l 或小于 1？扭转修正系数 的物理来自义是表示考虑抗扭转后，对该榀抗侧
力结构层间剪力的修正系数在同一个结构中，各片抗侧力单元的 扭转修正系数大小不一。 可能大于 l，也可能小于 1。当某片抗 侧力结构的 >1 时，表示它的剪力在考虑扭转以后将增大； <1 时表示考虑扭转后该单元的剪力将减小。离刚心愈远的抗侧力结构， 剪力修正也愈多。
刚心质心调整方法
值不同?什么情况下 大于 l，什么情况下 等于 l 或小于 1？
扭转修正系数 的物理意义是表示考虑抗扭转后，对该榀抗侧
力结构层间剪力的修正系数在同一个结构中，各片抗侧力单元的 扭转修正系数大小不一。 可能大于 l，也可能小于 1。当某片抗 侧力结构的 >1 时，表示它的剪力在考虑扭转以后将增大； <1 时表示考虑扭转后该单元的剪力将减小。离刚心愈远的抗侧力结构， 剪力修正也愈多。
pkpm 里的刚心坐标，Rx,Ry 是相反的 Rx 相差
4-5 物体的重心 质心
yc
i 1 2
Ai
i 1
120015 400 20 1200 400
12.5cm
9
4.实验法 （1）悬挂法
A
B
A
c
适用于体积小、质量 小的物体
（2）称重法
c
A
B
G
NA
NB
xc
L
适用于体积大、质量 大的物体
10
四. 质心 1.定义
z
M mi
M1 Mi
ri
rc c
M2
o
z i zc
y
xi
n
n
V i xi
Ait xi
xc i1 V
i1 At
n
Ai xi xc i1 A
n
同理:
Ai yi
y i1
c
A
(4-19a)
n
Ai zi zc i1 A
或
xc
AxdA
A
yc
A ydA
A
(4-19b)
zc
AzdA
A
4
(2)匀质等截面细长杆
z A
ΔLi
L
o
y
x
横截面面积A=常量 ΔVi=AΔLi V=ΣΔVi =AΣΔLi =AL
§4-5 物体的重心 质心
一. 重力的概念
重力可视为与地平面垂直 的空间平行力系
二 . 重心 1.定义： 重力合力作用点称为重心 2.特点 无论刚体如何放置，重力 作用线总是通过该刚体的 重心 3.重心在工程上的重要意义
北
离心力
引力 重力
西
地心 α
东
地轴 南 G
C
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刚心质心偏心率限值
刚心质心偏心率限值
刚心质心偏心率限值是指在机械系统中，当质心与刚心之间的距离超
过一定范围时，系统会出现不稳定的情况。
这个范围就是偏心率限值。
首先，我们需要了解什么是刚心和质心。
刚心是指物体在运动时，整
个物体所受到的合力作用点所在的位置；而质心则是指物体所有质点
的加权平均位置。
当一个机械系统中，刚心和质心重合时，系统处于稳定状态。
但如果
它们不重合，就会出现偏离平衡位置的情况。
偏离越大，则系统越不
稳定。
因此，在设计机械系统时，需要根据具体情况来确定偏心率限值。
这
个限值通常由以下几个因素来决定：
1. 系统结构：不同结构的机械系统对偏离程度的容忍度不同。
2. 运行环境：机械系统在不同环境下运行时，对偏离程度的容忍度也
不同。
3. 负载情况：机械系统承受的负载越大，则对偏离程度的容忍度就越
小。
4. 材料强度：机械系统所使用的材料强度越高，则对偏离程度的容忍度也越高。
在实际应用中，可以通过计算和实验来确定偏心率限值。
一般来说，偏心率限值需要控制在机械系统的设计容许范围内，以确保系统的稳定性和安全性。
总之，刚心质心偏心率限值是机械系统设计中非常重要的一个参数。
它直接影响着机械系统的稳定性和安全性。
因此，在进行机械系统设计时，需要充分考虑这个参数，并根据具体情况来确定合适的偏心率限值。
高中物理中质心概念的应用
高中物理中质心概念的应用一、质心的定义与系统总动量一个系统由多个质点组成，各质点的质量和位置矢量分别为m 1、r 1，m 2、r 2，m 3、r 3，……则该系统的质心的位置矢量为i i C m r r M =∑，其中M =m 1+m 2+m 3+….写成直角坐标系下的分量式为i i C m xx M =∑，i iC m y y M =∑，i i C m zz M =∑.上式变形，对时间求导，容易得出d d d d d d C C i i i i i ir r Mv M m r m m v t t t ====∑∑∑ .即：一个系统的总动量可以用系统总质量M 与质心C 的速度v C 的乘积。
二、质心与重心、重力势能重心即重力的等效集中作用点，其定义与质心类似：i i i CG i im g r r m g =∑∑ .从这个定义来看，如果重力场是匀强场，则重心与质心重合，高中物理中，大多数情况下，物体或质点系所占空间都不够大，因此可将物体所在区域视为匀强重力场，因此质心与重心重合；但是重力场若非匀强场，则重心与质心是有偏离的这点需要特别注意。
另一方面，也可利用力平衡和力矩平衡的方法来确定重心的位置，这就是所谓悬挂法和支撑法的基础。
有上述定义可以看出，质点系的重力势能可以用重心来计算：CG i i i i ih m g m g h ⋅=∑∑ 匀强重力场中，上式可以简化为：C i i Mgh m gh =∑。
这就是不可视为质点的物体——比如链条、软绳等物体重力势能可用重心（质心）计算的基础。
【例1】(2017·全国卷Ⅲ，16)如图1，一质量为m 、长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂。
用外力将绳的下端Q 缓慢地竖直向上拉起至M 点，M 点与绳的上端P 相距13l 。
重力加速度大小为g 。
在此过程中，外力做的功为()A.19mgl B.16mgl C.13mgl D.12mgl [答案]A三、质心与动能如果物体只做平动，物体上各个部分的速度完全相同，则物体可视为质点，动能当然能够用质心来计算；但是物体倘若还转动，或物体内各个部分相对质心还有运动，则由克尼希定理，有CM 2k k12C E E Mv =+，其中CM CM 2k 1()2i i E m v =∑为各质点相对质心的动能之和，CM i v 是各质点相对质心的速度。
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质心
质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
在一个N维空间中的质量中心，坐标系计算公式为：
X表示某一坐标轴
mi 表示物质系统中，某i质点的质量
xi 表示物质系统中，某i质点的坐标。
质点系质量分布的平均位置。
质量中心的简称。
它同作用于质点系上的力系无关。
设n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1 ，r2，…，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc＝Image:质心1.jpgmiri／Image:质心1.jpgmi。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc＝Image:质心2.jpgρrdτ／Image:质心2.jpgρdτ，式中ρ为体（或面、线）密度；dτ为相当于ρ的体（或面、线）元；积分在具有分布密度ρ的整个物质体（或面、线）上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
由这个定理可推知：
①质点系的内力不能影响质心的运动。
②若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。
③若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。
质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。
质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件；飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关；此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。
为了方便你的理解，我还在另外一个答复里面找到相应的例子
1 质量均匀分布的球体、椭球体、立方体、长方体、正四面体等,其几何中心,称为质心；
2 对质量相等的,质量均匀分布的两个球体组成的物体组来说,连接两球心的线
段的中点,称为物体组的质心；
3 对质量之比为a:b的,质量均匀分布的两个球体组成的物体组来说,在连接两球心的线段上,跟两球心的距离为b:a的点,称为物体组的质心.
4 对一个物体,对几个物体组成的物体组,对几个质点组成的质点组,都可以采用质心概念.
5 在研究对象质量分布的范围不十分大的情况下,质心与重心一般可认为重合.
6 坐标原点位于某个系统的质心,相对地面参考系平动,或者相对地心－恒星参考系平动,或者……的坐标系,称为系统的质心参考系.
重心名称定义
一个物体的各部分都要受到重力的作用。
从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。
有规则形状的物体，它的重心就在几何重心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀球体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。
不规则物体的重心,可以用悬挂法来确定.物体的重心,不一定在物体上.
质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。
载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化，起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化。
如果是几何体,那要看是否规则,一般来说,高中阶段比较规则的图形，两个都在同一点上，不规则的话要看具体情况，如：一个装满水的球，两心合一，但是半满水或低于半满水的球，则重心比质心要低。
两者不一定在同一点上除非重力场是均匀的。
质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。
有规则形状的物体，它的重心就在几何重心上。
质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。
几何体要看是否规则,一般来说,比较规则的图形，两个都在同一点上，不规则的话要看具体情况。
可能说得不是太明白再解释一下：
层剪力按照抗侧刚度分配，如果把分配的各部分力，按照静力等效，合力作用点是在刚度中心还是质量中心？
如果对结构施加静力荷载，荷载是不是最终施加到刚心上了？（是否还和刚性楼板假定相关）
如果对结构施加反应谱或者是地震波，荷载是不是最终施加到了质心上了？
我觉得这个话题就很大了，简要的比对着你的问题回答，不足之处，望高手补充：
1.层间剪力的简要分配原则，不仅仅只有按抗侧刚度的原则分配，在柔性楼盖的情况下，就是按其所属的质量分配（这个砌体规范上有相关条文）。
肯定是和刚性楼板的假定有关！你
讲的问题还要分清和荷载或者作用与效应的关系。
一个简化的说法：地震作用的时候，合力（作用）作用在质心，如果质心和刚心不重合，这就是扭转问题的由来，各个抗侧力构件的合力要平衡作用于质心的水平地震作用和附加的扭矩（质心和刚心的不重合引起的）。
这显然是符合理论力学中的平衡原则和力系的等效原则的。
（这些说法，我认为必须基于刚性楼板假定才行，也即以层（应该类似于葫芦串模型）为基本的模型来认识整个结构，否则没什么意义）
2.如果在现代的计算机分析程序（基本都基于有限元），我想上述的问题没什么意义，看一下基于有限元的动力方程就知道了。
而且现在很多程序不仅仅是可以计算一致激励下的地震作用效应，而且可以考虑行波效应（我想是这个名词）。
3.如果是风载，作用点我想还要与建筑的外表有关，与结构本身质量无什么直接关联，与地震作用有区别，因为地震作用显然与质量有关。
4.关于层间抗侧力构件的合力作用点，其实这是理论力学中的力系等效问题，完全取决于你取的参考点在何处。
地震力在质心啊，至于静力荷载，作用在那儿都可以吧？如果静力荷载的合力通过刚心，则结构平动，如果合力作用线不通过刚心，则会产生扭转
wg01的解释，是不是可以理解为，当地震作用（惯性力）作用于结构的时候，是要考虑质心的（因为惯性力是作用于质心的）；而当非惯性力，即荷载（如风荷载）作用于结构的时候，就与质心没有关系了。
只与合力的作用点与刚心的关系有关，来判断是否是扭动或者平动？
那么根据材料力学中，对于圆轴扭转公式的理解，抗扭刚度＝切变模量*极惯性矩，而极惯性矩＝ｘ向惯性矩+ｙ向惯性矩。
对于惯性矩的理解，质量*距离的平法，要照这么说，结构的刚度是与质量及质量分布有关的。
那么，刚心和质心在这条件下，是否有必然的联系呢？请指教！
质心和刚心的位置关系与结构的抗扭刚度不可混为一谈。
如果结构的抗扭刚度较小即使质心和刚心重合，也不能保证结构的
扭转效应较小。
但当结构的抗扭刚度较大时，如果质心和刚心
较近，相比较质心和刚心较远可有效减少扭转效应。
我认为较合理的结构是结构的第一第二周期为x，y方向较纯平动周期，且第一第二周期值要相近，而扭转周期也要较纯的出现，而且与第一周期之比不能太大。