乘法公式的应用(人教版)(含答案)
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
八年级上册数学人教版乘法公式讲解
乘法公式是整式乘法的一个重要内容，它是指将一些特殊的多项式相乘，得到的结果用一个公式表达出来，这样可以简化计算过程，提高计算效率。
在乘法公式的教学中，首先需要了解什么是乘法公式。
乘法公式是形如（a+b）（a-b）的式子，它可以用来计算两个数的和与差的积。
接下来，需要掌握乘法公式的两种形式。
一种是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a²-b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行验证；另一种是完全平方公式，即（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²，该公式可以通过多项式乘法的法则进行推导。
在应用乘法公式时，需要注意以下几点：
1. 掌握公式的结构特征，知道公式的左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积。
2. 正确理解公式的意义，知道左边是两个数的和与差的积，右边是这两个数的
平方和与平方差的积。
3. 正确运用公式的条件，知道只有当左边是两个二项式相乘，右边是三个单项式的积时才能使用该公式。
4. 正确运用公式的逆用，知道将一些特殊的多项式相乘时，可以使用公式的逆用简化计算。
最后，为了巩固所学知识，可以进行适量的习题练习，以加深对乘法公式的理解和掌握。
同时，在做题时应该认真审题，注意观察公式的结构特征，以便能够正确运用公式进行计算。
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步练习题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十四章乘法公式》同步练习题及答案（人教版）一、选择题（共8题）1.下列计算正确的是( )A．a2⋅a3=a6B．3a2+2a3=5a5C．a3÷a2=a D．(a−b)2=a2−b22.若x2−6x+y2+4y+13=0，则y x的值为( )A．8B．−8C．9D．193.下列算式能用平方差公式计算的是( )A．(x−2)(x+1)B．(2x+y)(2y−x)C．(−2x+y)(2x−y)D．(−x−1)(x−1)4.若x2−mx+4是完全平方式，则m的值为( )A．2B．4C．±2D．±45.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是( )A．a2−b2=(a+b)(a−b)B．a(a−b)=a2−abC．(a−b)2=a2−2ab+b2D．a(a+b)=a2+ab6.对于代数式：x2−2x+2，下列说法正确的是( )A．有最大值1B．有最小值1C．有最小值2D．无法确定最大最小值7.在下列多项式中，与−x−y相乘的结果为x2−y2的多项式是( )A．−x+y B．x+y C．x−y D．−x−y8.已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为( )A．a2+2a+1B．a2−2a+1C．a2+1D．a+1二、填空题（共5题）9.计算：(a+2)(a−2)=．10.已知m=√2+1，n=√2−1则代数式m2+n2−3mn的值为．11.定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=−1 )，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．如(1+ 3i)2=12+2×1×3i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i，因此(1+3i)2的实部是−8，虚部是6．已知复数(3−mi)2的虚部是12，则实部是．12.根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是．13.有两个正方形A，B现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为．三、解答题（共6题）14.计算：(1) (ab)3⋅(−23a4b5)÷32a2b5．(2) (2x−y+5)(2x+y−5)．15.数学课堂上，张老师写出了下面四个等式，仔细观察下列等式，你会发现什么规律：1×5+4=32，2×6+4=42，3×7+4=52，4×8+4=62⋯⋯(1) 请你按照这个规律再写出第5个，第6个等式：、．(2) 请将你写出第n个等式．(3) 说出这个等式成立的理由：16.已知代数式(ax−3)(2x+4)−x2−b化简后，不含有x2项和常数项．(1) 求a，b的值．(2) 求(b−a)(−a−b)+(−a−b)2−a(2a+b)的值．17.先化简后求值：(x−2y)2−(x+2y)(x−2y)，其中x=−1，y=2．18.如图所示，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．19.学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．(1) 选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是（请用含a，b的代数式表示）；(2) 选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为；(3) 选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S=S1−S2，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．答案1. C2. B3. D4. D5. A6. B7. A8. A9. a2−410. 311. 512. (a+b)(a−b)=a2−b213. 514.(1)(ab)3⋅(−23a4b5)÷32a2b5=−23a7b8÷32a2b5=−49a5b3.(2)(2x−y+5)(2x+y−5)=[2x−(y−5)][2x+(y−5)] =4x2−(y−5)2=4x2−(y2−10y+25)=4x2−y2+10y−25.15.(1) 5×9+4=72；6×10+4=82(2) 第n个：n×(n+4)+4=(n+2)2．(3) 左边=n×(n+4)+4=n2+4n+4=(n+2)2=右边；即n×(n+4)+4=(n+2)2成立．16.(1) 原式=ax (2x +4)−3(2x +4)−x 2−b=2ax 2+4ax −6x −12−x 2−b =(2a −1)x 2+(4a −6)x −12−b,∵ 不含 x 2 项和常数项∴2a −1=0，−12−b =0∴a =12，b =−12． (2) 原式=−(b −a )(a +b )+[−(a +b )]2−2a 2−ab=−(b 2−a 2)+a 2+2ab +b 2−2a 2−ab =a 2−b 2+a 2+2ab +b 2−2a 2−ab =ab,当 a =12，b =−12 时 原式=12×(−12)=−6．17. 原式=x 2−4xy +4y 2−(x 2−4y 2)=x 2−4xy +4y 2−x 2+4y 2=−4xy +8y 2.当 x =−1，y =2 时原式=−4×(−1)×2+8×22=40．18. 绿化面积S=(3a +b )(2a +b )−(a +b )2=6a 2+5ab +b 2−a 2−b 2−2ab =5a 2+3ab(平方米).当 a =3，b =2 时S =5×32+3×3×2=63（平方米）．19.(1) 9；a +3b(2) (a −b )2=(a +b )2−4ab(3) 设 MN 长为 xS 1=(a −b )[x −(a −b )]=ax −bx −a 2+2ab −b 2S 2=3b (x −a )=3bx −3abS =S 1−S 2=(a −4b )x −a 2+5ab −b 2由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化可知当a−4b=0时，即a=4b时，S=−a2+5ab−b2为定值．故答案为：a=4b时，S为定值．。
三年级下册数学试题-两位数乘法应用(含答案)人教版
两位数乘两位数乘法应用一、口算乘法：整十、整百的数相乘，只需把0前面的数字相乘，再看两个因数末尾一共有几个0，就在积的后面添上几个0。
如：30×500=15000 可以这样想，3×5=15，两个因数末尾一共有3个0，在所得结果15后面添上3个0就得到30×500=15000二、估算：两位数乘两位数，可以先把因数看成整十数，再去计算。
（可以把一个因数看成近似数，也可以把两个因数都同时看成近似数。
）如：22×18≈400 或22×18≈360 或22×18≈440三、笔算乘法：①先用第二个因数的个位去乘第一个因数，（表示“多少个一”）得数末尾与第一个因数的个位对齐。
②再用第二个因数的十位去乘第一个因数，（表示“多少个十”）得数末尾与第一个因数的十位对齐。
③然后把两次乘得的积加起来。
四、友情提示：1、两位数乘两位数积可能是（三）位数，也可能是（四）位数。
2、验算：交换两个因数的位置。
3、解决实际问题时，根据实际情况进行合理估算。
4、列式计算，必须列综合算式，脱式计算。
5、几个特殊数的乘法(牢记)：25×4=100 ，125×8=1000例题1、口算18×3= 310×20= 30×200= 25×5=26×30= 32×50= 809×0= 35×20=练习1、选一选（1）620×5的积末尾有（）个0．A．3 B．2 C．1（2）125×80的积（）A．末尾有三个0 B．末尾有两个零0 C．末尾有四个0（3）下面算式中，积的末尾只有两个0的算式是（）A．50×20 B．35×40 C．52×40练习2、横线上最大能填多少70×＜430 ×50＜370 87×＜540 49×＜400 ×63＜260 74×＜670例题2、列竖式计算36×25= 13×25= 61×99= 73×62=练习1、（1）在如图所示的竖式里，64表示（）A．64个十B．64个百 C．64个千D．64个一（2）要使258×□的积是三位数，□里最大填（）A．2 B．3 C．4 D．5（3）用2、3、4、5、6这五个数字组成一个两位数和一个三位数，要使乘积最大应该是（）A．632×54 B．543×62 C．542×63 D．532×64（4）要使□2×23的积是三位数，□最大填（）A．5 B．4 C．3例题3、一根绳子，截去15米，剩下的是用去的8倍．这根绳子一共有多少米？练习1、一台织布机1小时织布6米，照这样计算，25台织布机9小时可织布多少米？练习2、一幢大楼有25层，每层有18个窗户，每个窗户有4块玻璃，这幢大楼一共有多少块玻璃？例4、语文老师要求抄写600个字，小红已经写了28行，平均每行18个字，字数够了吗？练习1、张老师和李老师带三年一班48名同学到科技馆参观，他们预备了500元，买门票够吗？（票价：成人15元：儿童9元）练习2、小明和爸爸、妈妈去看电影，每张电影票78元，买3张电影票要花多少元？基础演练一、轻松选一选（1）三位数乘两位数，积可能是（）A．四位数B．五位数C．四位数或五位数（2）2500×40积的末尾有（）个0．A．3 B．4 C．5（3）下列式子中，积中间有零的是（）A．105×4 B．103×7 C．701×2 D．250×3二、直接写出得数600×90= 50×90= 20×340=11×600= 13×600= 3×900=三、列竖式计算，带*号的要验算29×35= 80×73= *53×76=巩固提高1、商店运进245个玩具熊，按单价16元卖出了79个，已经卖了多少元？2、你知道吗？全球每分钟约有140名婴儿出生，那么全球每时约有多少名婴儿出生？3、游泳池长50米，我每次都游8个来回，我每次游多少米？1、选择题(1) 250×80，积的末尾0的个数是（）A．2个B．3个C．4个(2) 要使□6×28的积是四位数，□里最小填（）A．3 B．4 C．5(3) 用竖式计算653×54时，6与5相乘实际是（）A．6×5 B．60×50 C．600×50 D．600×52、解答题1．操场的跑道一圈长400米，小松跑了2圈，他共跑了多少米？再跑多少就是1千米？2．红红每分钟步行大约72米，她走到学校约用29分钟．红红家离学校大约多少米？3．欧尚超市卖出5箱色拉油，每箱6瓶，每瓶色拉油的单价是45元，每箱可卖多少元？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、选一选1、下面各题应该用乘法计算的是（）A．蜗牛每小时可爬5m，6小时能爬行多少米？B．体育室有36个篮球，正好是足球个数的3倍，足球有多少个？C．儿童乐园上午卖出168张门票，下午卖出153张，全天共卖出多少张门票？2、48×41的积最接近（）A．1600 B．2000 C．25003、5 个大盒和2 个小盒共装了190 个球，1 个大盒比1 个小盒多装10 个．假设7 个都是大盒，装球的个数会比190 个（）A．多20 个B．多50 个C．少20 个二、应用题1、一批货物3吨，小明每次只能运走150千克，小明20次能运完吗？2、王老师要买50个同样的鼠标，他带了3000元，有多少种购买方案？分别花多少钱．3、科技馆售票处规定：个人门票（1人劵）5元，团体门票（可供10人用）35元，李老师带45名同学一起去参观，请你帮李老师想一想怎样买票用的钱最少？算一算最少是多少钱？4、某超市上午运进大白菜130千克，下午运进的比上午的2倍少50千克．超市上午比下午少运进大白菜多少千克？5、同学们浇树，三年级浇树45棵，四年级比三年级多浇10棵，五年级浇的棵数等于四年级的2倍．五年级比三年级多浇多少棵？6、同学们栽树，三年级栽了32棵，六年级栽的棵数比三年级的3倍少18棵．三年级比六年级少栽了多少棵树？课程顾问签字： 教学主管签字：参考答案例题1 54 6200 6000 125780 160 0 700练习1 B; A; B;练习2 6 7 68 4 9例题2 略练习1 A; B; A例题3 135练习1 1350练习2 1800例题4 不够练习1 够练习2 234一、基础练习一、C；C；C；二、略三；略二、巩固提高1、12542、84003、8001、C;B;C解答题1、800;2002、20883、13501、A2、B3、A应用题1、能2、50个40元的，2000元；50个54元的，2700元；50个59元的，2950元3、4张团体票，5张个人票，165元4、805、656、78审核标准：1.题量是否少于40道2.要求的知识点模块是否齐全3.图片是否清晰4.题干和答案是否有知识性错误5.排版是否有明显错误。
人教版四年级下册数学第三单元乘法运算律应用题达标训练(含参考答案)
人教版四年级下册数学第三单元乘法运算律应用题达标训练1．一套校服上衣是85元，裤子是65元，某学校购进了120套校服，一共花了多少钱？2．四（1）班准备购置运动服作为班服，这套运动服上衣58元，裤子42元，买45套需要多少钱？3．学校图书馆共有科普类图书543本，第一周借出254本，第二周借出146本，现在还剩多少本？4．某景区成人票每张362元，儿童票每张138元。
购买7张成人票和7张儿童票，一共需要多少元？5．星云超市一支圆珠笔4元，一个书包36元，张老师买了25支圆珠笔和25个书包，一共花了多少钱？6．育才小学组织了“六一”文艺汇演，学校需购买89套演出服。
上衣每件65元，裤子每条35元。
购买这些演出服一共需要多少元？7．放暑假了！学校将同学们这学期农耕劳动实践活动所收获的农作物分发给同学们，每人发3千克。
四（1）班有49人，四（2）班有51人，这两个班共需发多少千克的农作物？8．学校庆“六一”购买了38套演出服，其中上衣每件45元，下装每件35元，一共花了多少钱？9．水果店运来苹果和梨各25箱，苹果每箱45千克，梨每箱25千克，运进的梨比苹果少多少千克？10．每把椅子47元，每张单人课桌87元，学校买了80套单人桌椅，买课桌比买椅子多花多少钱？11．永辉超市今天运进面粉和大米各80袋，大米每袋65千克，面粉每袋35千克，今天一共运进大米和面粉多少千克？12．光华超市周一卖出冰墩墩玩偶和雪容融钥匙扣各32个，冰墩墩玩偶每个34元，雪容融钥匙扣每个16元，光华超市周一卖冰墩墩玩偶和雪容融钥匙扣一共得多少元？13．学校食堂运来大米和面粉各5袋，大米每袋65千克，面粉每袋35千克，一共运来大米和面粉多少千克？14．少先队的主要教育方式是活动，在活动中将学生培养成为“四有”新人。
希望小学少先队员共有25个中队，每个中队又分成4个小队。
全校共有少先队员1200人，平均每个小队有多少人？15．校服的单价如下图所示，学校打算给四年级的125名同学准备校服，现在比原来一共节省多少钱？16．食堂运进大米和面粉各20袋，每袋面粉25千克，每袋大米30千克，运进的大米和面粉一共多少千克？17．六一儿童节当天，新区某小学为每名学生准备了一份节日礼物，每份礼物中装有4块白巧克力和6块黑巧克力。
乘法公式(人教版)(含答案)
乘法公式（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列各式中能够成立的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：∵∴A，B选项错误；∵∴C选项错误；互为相反数的两个数，平方一定相等，∴选项D正确，∴选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方式2.下列各式中，正确的是( )A.B.C.D.答案：D解题思路：选项A：，错误；选项B：，错误；选项C：，错误；选项D：正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方式3.若，则的值为( )A.12B.6C.3D.0答案：A解题思路：∵故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方式4.若，，则的值是( )A.4B.C. D.答案：C解题思路：∵，，∴，∴，联立，可得，故选C．试题难度：三颗星知识点：平方差公式的应用5.计算的结果是( )A.1B.-1C.2D.-2答案：A解题思路：故选A．试题难度：三颗星知识点：平方差公式的应用6.已知：，，则下列计算正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：∵，，∴，A选项错误；∴，B选项错误；∴，∴，C选项正确；，D选项错误. 综上，应选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题7.若，，则的值为( )A.1B.C.2D.答案：B解题思路：∵将，代入得，，∴，∴，∴选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题8.已知是完全平方式，则的值为( )A.3B.±3C.-6D.±6答案：D解题思路：，，即，∴，故选D．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式9.若实数满足，则等于( )A.-1B.0C. D.1答案：B解题思路：∵，∴，∴，又∵，∴，故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式10.若，，其中，则，的大小的关系是( )A. B.C. D.不能确定答案：A解题思路：∵∴∴，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方式的应用。
部编数学八年级上册专题01运算能力之乘法公式综合难点专练(解析版)(人教版)含答案
专题01运算能力之乘法公式综合难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，>，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m n花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则m n-的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．2．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）A．22B．24C．42D．44【答案】C【分析】由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．【详解】解：设正方形A、B的边长分别为a、b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由图3可知，阴影部分面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故选：C．【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．3．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（）A ．5B ．6C ．9D ．10【答案】A【分析】设①小长方形的长为a ，宽为b ，根据正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22根根据大长方形阴影面积为长为()3+a b ，宽为()3a b +的长方形面积-7个小长方形面积=96列方程求出5ab =即可．【详解】解：设①小长方形的长为a ，宽为b ，根据②正方形边长为+a b ，阴影面积为()2+322a b ab -=，根据③大长方形的长为3+a b ，宽为+3a b ，阴影面积为()()3+3796a b a b ab +-=，∴联立得()()()2+3223+3796a b ab a b a b ab ì-=ïí+-=ïî，整理得222222+32a b ab a b ab ì+-=í+=î①②，解得22=275a b ab ì+í=î，一个小长方形①的面积为5．故选择A ．【点睛】本题考查图形阴影面积应用问题，多项式乘法与图形面积，完全平方公式，仔细分析图形，从中找出等量关系，正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22，大长方形阴影面积为长为()3+a b ，宽为()3a b +的长方形面积-7个小长方形面积=96，列方程组是解题关键．4．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）A ．22224824852+52+=300´B ．222248248484800=2-´-C ．222248224852++=52300´´D ．22224822484848200=-´´-【答案】C【分析】根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．【详解】解： A 、222482485252´＋＋不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为224852´´，所以不符合题意；B 、222482484848-´-不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为248＋，所以不符合题意；C 、()222224822485252248+52300´´＋＋＝＝，所以符合题意；D 、22224822484848200-´´-＝不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为248＋，所以不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：2222a ab b a b ±±＋＝（）是解答问题的关键．二、填空题5．如图，长方形ABCD 的边13BC =，E 是边BC 上的一点，且10BE BA ==，F ，G 分别是线段AB ，CD 上的动点，且BF DG =，现以BE ，BF 为边作长方形BEHF ，以DG 为边作正方形DGIJ ，点H ，I 均在长方形ABCD 内部．记图中的阴影部分面积分别为1S ，2S 长方形BEHF 和正方形DGH 的重叠部分是四边形KILH ，当四边形KILH 的邻边比为3∶4，12S S +的值为________．【答案】7或93125【分析】利用长方形及正方形的性质可求解KI =2DG -10，KH =DG -3，根据当长方形KILH 的邻边的比为3：4可求解DG 的长，再利用DG 的长分别求解AF ，CG ，AJ 的长，进而可求解，注意分类讨论．【详解】解：在长方形ABCD 中，AB =CD =10，AD =BC =13．∵四边形DGIJ 为正方形，四边形BFHE 为长方形，BF =DG ，∴四边形KILH 为长方形，KI =HL =2DG -AB =2DG -10．∵BE =BA =10，∴LG =EC =3，∴KH =IL =DG -LG =DG -3．当长方形KILH 的邻边的比为3：4时，（DG -3）：（2DG -10）=3：4，或（2DG -10）：（DG -3）=3：4，解得DG =9或315，当DG =9时，AF =CG =1，AJ =4，∴S 1+S 2=AF •AJ +CE •CG =1×4+1×3=7；当DG =315时，AF =CG =195，AJ =345，∴S 1+S 2=AF •AJ +CE •CG =1934193555´+´=93125故答案为7或93125．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．6．计算：（1）若x 满足(30)(20)10x x --=-则22(30)(20)x x -+-的值为____；（2）如上图，2,4AE CG ==，长方形EFGD 的面积是50，四边形ABCD 和NGDH 以及MEDQ 都是正方形四边形PQDH 是长方形，则图中正方形NFMP 的面积为_______．【答案】120204【分析】（1）设（30-x ）=m ，（x -20）=n ，求出mn 和m +n ，利用完全平方公式计算即可；（2）根据正方形ABCD 的边长为x ，AE =2，CG =4，所以DE =x -2，DG =x -4，得到（x -2）（x -4）=50，设x -2=a ，x -4=b ，从而得到ab =50，a -b =（x -2）-（x -4）=2，根据题意求出（a +b ）2，即可求出正方形NFMP 的面积．【详解】解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，∴（30-x）（x-20）=mn=-10，∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，∴（30-x）2+（x-20）2，=m2+n2，=（m+n）2-2mn，=102-2×（-10）=120；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，∴DE=x-2，DG=x-4，∴（x-2）（x-4）=50，设x-2=a，x-4=b，∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，则（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，∴正方形NFMP的面积为：204，故答案为：（1）120；（2）204．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用．7＝_____（直接填写结果）．【答案】10n【分析】10n．【详解】==+99 (91)10n=．故答案为：10n．【点睛】本题主要考查算术平方根以及完全平方公式的逆运用，熟练掌握算术平方根以及完全平方公式的逆运用是解决本题的关键．三、解答题8．已知关于x 的二次三项式A 满足2(1)(1)(1)A x x x --+=+.（1）求整式A ；（2）若2342B x x =++，当12x =-时，求B A -的值．【答案】（1）222A x x =+；（2）54B A -=．【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案即可；（2）直接利用整式的加减运算法则结合x 的值代入得出答案即可．【详解】解：（1）∵2(1)(1)(1)A x x x --+=+∴2(1)(1)(1)A x x x =+++-22211x x x =+++-222x x =+；（2）∵2342B x x =++，222A x x=+∴()2234222B A x x x x -=++-+2234222x x x x=++--222x x =++2(1)1=++x .当12x =-时，2215(1)11124B A x æö-=++=-++=ç÷èø．【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．9．计算：（1）()2354102•2x x x x x -+¸；（2）()()()433223a a b b a a b ---+；（3）()()()323423159x y xy x y -¸-g ；（4）请用简便方法计算：2704696700´－【答案】（1）82x -；（2）228129a ab b --；（3）3445x y ；（4）-16．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可；（2）先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；（3）先根据积的乘方化简，再从左往右计算即可；（4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．【详解】解：（1）()2354102•2x x x x x -+¸8884x x x =-+82x =-；（2）()()()433223a a b b a a b ---+()()()432323a a b a b a b =-+-+22241249a ab a b =-+-228129a ab b =--；（3）()()()323423159x y xy x y -¸-g ()()6334227159x y xy x y =-¸-g ()76424059x y x y =-¸-3445x y =；（4）2704696700´－()()270047004700=+´--2270016700=--16=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．10．计算：（1）234110;2x yz xy æö×-ç÷èø（2）221232ab ab ab æö-×ç÷èø;（3）()()()()223523642x x x x x ++-+--;（4）()()2121x y x y -+--．【答案】（1）-5x 3 y 5 z 3；（2）232213a b a b -；（3）18；（4）22441x xy y -+-．【分析】（1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可；（2）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；（3）分别根据多项式乘以多项式和单项式乘以单项式运算法则去括号，然后外挂；（4）运用平方差公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()12341102x yz xy æö×-ç÷èø()()2431102x x y y z éùæö=´-××ç÷êúèøëû3535x y z =-．()2221232ab ab ab æö-×ç÷èø()22112322ab ab ab ab =×+-×232213a b a b =-．()3()()()()223523642x x x x x ++-+--2261061061248x x x x x x =+++---+=18()4()()2121x y x y -+--()()2121x y x y éùéù=-+--ëûëû2(2)1x y =--22441x xy y =-+-．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．11．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．（1）对于等式()()22232a b a b a ab b ++=++，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_____，宽为_____，用长乘以宽可求得其面积，同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？方法1（从整体角度）：_________；方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：_____________；数学等式：______________________．（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知7a b c ++=，22219a b c ++=，求ab bc ac ++的值．【答案】（1）（a +2b ），（a +b ）；（2）（a +b +c ）2，a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（3）15【分析】（1）根据图形直接得出长为（a +2b ），宽为（a +b ）；（2）整体上是一个边长为（a +b +c ）的正方形，各个部分的面积和为a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，可得等式；（3）将（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，变形为（a +b +c ）2-a 2-b 2-c 2=2ab +2bc +2ac ，再整体代入求值即可．【详解】解：（1）由图形直观得出，长为：（a +2b ），宽为（a +b ），故答案为：（a +2b ），（a +b ）；（2）方法1（从整体角度）：（a +b +c ）2，方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，因此有数学等式：（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（3）由（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 得，2ab +2bc +2ac =（a +b +c ）2-（a 2+b 2+c 2），∵a +b +c =7，a 2+b 2+c 2=19，∴2ab +2bc +2ac =49-19=30，∴ab +bc +ac =15．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则，掌握公式特征和适当变形是正确应用的前提．12．某公园对一个边长为a （a ＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由．（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？（3）如果正方形的花坛边长是a 米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．【答案】（1）小明的说法不对，理由见解析；（2）向东扩展54米；（3）2a a 1-【分析】（1）理由平方差公式求出小明所得的图形面积，与原图形面积相比较即可得到答案；（2）设向东扩展x 米，根据题意得方程2(51)(5)5x -+=，解方程即可；（3）利用长方形的面积公式计算即可【详解】解：（1）小明的说法不对，理由如下：由题意得：22(1)(1)1a a a a -+=-<，∴小明的说法不对；（2）设向东扩展x 米，由题意得2(51)(5)5x -+=，解得x =54，答：向东扩展54米；（3）改造后长方形的长为2a a 1-【点睛】此题考查了平方差计算公式与图形面积，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键13．对于实数a ，b ，c 定义一种新运算，规定22(,,)2F a b c a b c=++例如：22(1,2,3)122311F =++´=（1）求(2,3,1)F ；（2）如图，在矩形ABFG 和矩形BCDE 中，2AB x =，4AG x =，2BC y =，CD y =，若25x y +=，22(3,3,4)40F x y x y x y +---=．连接AF 和AD ，求图中阴影部分的面积；（3）若,2,2)2F y xy -=-，求x y +的值．【答案】（1）15；（2）754；（3【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可；（2）根据新定义运算法则列出方程，得到22420x y +=，运用完全平方公式可得54xy =，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得；（3）根据新定义运算法则列出方程，配方得22(2)(0x y x -+=，根据非负数性质可得．【详解】（1）(2,3,1)F =22221531++´=故答案为：15（2）22(3,3,4)40F x y x y x y +---=Q 2222(3)(3)2(4)0x y x y x y ++-+--=22420x y \+=又25x y +=Q 2(2)25x y +=224425x xy y ++=54xy \=22118224(22)22S x y x x y x y =+-××-+阴224S x y xy=+-阴754S =阴（3）,2,2)2F y xy -=-222442x y xy +--=-222440x xy y x -++-=22(2)(0x y x -+=x =，y =x y +=【点睛】考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键．14．现定义运算，对于任意有理数a ，b ，都有()(),()().a b a a b b a b a b b a b a a b Ä=+-£ìíÄ=+->î如：232(23)37Ä=´+-=，522(52)59Ä=´+-=．（1）若(2)(3)x x x x Ä+>Ä-，求x 的取值范围；（2）有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，计算：[]()(2)()(22)a b b b a a b -Ä--Ä-．【答案】（1）x 的取值范围是1x >；（2）2234a b b ab a ---+-.【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可，（2）在理解新定义运算()(),()().a b a a b b a b a b b a b a a b Ä=+-£ìíÄ=+->î的意义和转换方法，然后类推计算即可．【详解】解：（1）∵x <x +2，x >x -3，∴22(2)(22)(2)22222x x x x x x x x x x Ä+=+-+=+--=+-，2(3)(3)(23)2109x x x x x x x Ä-=---=-+．∵(2)(3)x x x x Ä+>Ä-，∴22222109x x x x +->-+．∴1111x >．∴1x >．x 的取值范围是1x >．（2）∵a -b <0，2b >0，b -a >0，2a -2b <0，∴a -b <2b ，b -a >2a -2b ．[]()(2)()(22)a b b b a a b -Ä--Ä-[]()(2)2(22)(22)()a b a b b b a b b a a b b a =--+----+---[]()()2(22)()a b a b b a b a b b a =-+-----+22222242a b b a ab b b a éù=----+-+ëû22222242a b b a ab b b a=---+-+-2234a b b ab a =---+-.【点睛】此题主要考查了整式的四则运算以及新定义运算的意义，理解新定义的运算方法是正确解答的前提．15．如图1，用4个相同边长是x 、y 的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x y -值为__________；则x y +的值为__________；（2）若小长方形两边长为9m -和4m -，则大正方形的边长为___________；若满足(9)(4)4m m --=，则22(9)(4)m m -+-的值为__________；（3）如图2，正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a ，b ，c 三边的数量关系，并说明理由．【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3）222+=a b c ，理由见解析【分析】（1）大正方形的边长为x +y ，小正方的边长为x -y ，由面积可求出正方形的边长；（2）小长方形两边之和为正方形的边长，再由完全平方公式求解即可；（3）根据大、小正方形和4个直角三角形的面积之间的关系得出结论．【详解】解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，∴()236x y +=，()24x y -=，又∵0x y >>，∴6x y +=，2x y -=，故答案为：2，6；（2）大正方形的边长为945x y m m +=-+-=，∵(9)(4)4m m --=，∴[]2222(9)(4)(9)(4)2(9)(4)5817m m m m m m -+-=-+----=-=，故答案为：5，17；（3）a ，b ，c 三边的数量关系为222+=a b c ．理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为-a b ，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，221()42a b ab c -+´=，即222+=a b c ．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理清各个图形面积之间的关系是解决问题的关键，用代数式表示各个部分的面积是得出结论的前提.16．某同学用如图所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图所示的正方形．（1）①请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：；方法2： ．②以上结果可以验证的乘法公式是 ．（2）根据上面的结论计算：①已知m ＋n ＝5，2211m n +=，求mn 的值．②已知（2019−m ）（2020−m ）＝1010，求()()222020--2019m m +的值．【答案】（1）①22a b +，()2-2a b ab +；②22a b +＝()2-2a b ab +；（2）①7；②2021【分析】(1)①方法一：阴影部分面积为两个小正方形面积之和，分别求出两个小正方形面积然后相加即可；方法二：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，分别求出面积然后进行计算即可；②根据完全平方公式可以很容易得出答案；(2)①根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案；②根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案.【详解】解：（1）①方法一：由题意可知阴影部分面积为两个小正方形面积之和∴22S a b =+阴影方法二：由阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积∴()()222S a b ab ab a b ab=+--=+-阴影②∵()22222-222a b ab a b ab ab a b +=++-=+∴()222-2a b ab a b +=+即验证的乘法公式为()222-2a b ab a b +=+（2）①∵m ＋n ＝5∴()225m n +=∵2211m n +=∴()()222-225-1114m n m n mn ++===∴mn ＝7②∵（2019−m ）（2020−m ）＝1010，∴()()()()()2222020--10192020--2019-22020--2019m m m m m m +=+()()2122020-2019-m m =+1210102021=+´=【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关公式.17．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5510+==；112333+==；0.40.40.8+==；1525+>=；0.2 3.2 1.6+>=；111282+>=猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +³a b =时等号成立）．猜想证明：∵20³∴①0=，即a b =时，0a b -+=，∴a b +=②0¹，即a b ¹时，0a b ->，∴a b +>综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +³a b =时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？【答案】（1）1x =，函数y 的最小值为2；（2）4x =，函数y 的最小值为5；（3）每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为1333y x x =+-+-，再根据材料中方法计算即可；拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：∵0x >，∴10x>，∴12y x x =+³=，∴当1x x=时，min 2y =，此时21x =，只取1x =，即1x =时，函数y 的最小值为2．变式探究：∵3x >，∴30x ->，103x >-，∴133353y x x =+-+³=-，∴当133x x =--时，min 5y =，此时()231x -=，∴14x =，22x =（舍去），即4x =时，函数y 的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得：91263x y +=，即3421x y +=，∵30x >，40y >，∴34x y +³，即21≥，整理得：14716xy ≤，即14716S ≤，∴当34x y =时max 14716S =，此时72x =，218y =，即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米．【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．18．有些同学会想当然地认为333()x y x y -=-．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算3()x y -；（3）直接写出当x 、y 满足什么条件，该式成立．【答案】（1）见解析；（2）33222()33x y x x y xy y -=-+-；（3）x y=【分析】（1）选一组使等式不成立的x 、y 值即可；（2）利用多项式乘以多项式的运算法则进行推导计算即可；（3）将x=y 代入等式中即可解答．【详解】解：（1）令2x =，1y = ，（反例不唯一）∵ 3()1x y -=，337x y -=， 17¹，∴该等式不一定成立；（2）3()x y -= 2()()y y x x ×--=22(2)()x xy y x y -+×-=322233x x y xy y -+-，即33222()33x y x x y xy y -=-+-（3）将x y =代入333()x y x y -=-中，得： 3()0x y -=，33330x y x x -==-，0=0，∴当x 、y 满足x=y 时，该式成立．【点睛】本题考查整式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握整式的混合运算是解答的关键．19．计算：（1）8x 2y 2÷2y 2；（2）（﹣2a 2）3+4a 5•a ；（3）（x +2y ）2﹣2y （2x +y ）；（4）249922a a a a a --æö-¸ç÷--èø；（5）2323222221a a a a a a a a a a ++¸--+--；（6）23221x xy y x y x y x y æöæö--+¸-ç÷ç÷++èøèø．【答案】（1）4x 2；（2）-4a 6；（3）x 2+2y 2；（4）33a a -+；（5）21a ；（6）y x -．【分析】（1）根据单项式除以单项式可以解答本题；（2）根据积的乘方、单项式乘单项式和合并同类项可以解答本题；（3）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题；（4）根据分式的减法和除法可以解答本题；（5）根据分式的除法和减法可以解答本题；（6）根据分式的减法和除法可以解答本题．【详解】解：（1）8x 2y 2÷2y 2=4x 2；（2）(-2a 2)3+4a 5•a=(-8a 6)+4a 6=-4a 6；（3）(x +2y )2-2y (2x +y )=x 2+4xy +4y 2-4xy -2y 2=x 2+2y 2；（4）2499(22a a a a a ---¸--(2)(49)22(3)(3)a a a a a a a ----=×-+-2249(3)(3)a a a a a --+=+-2(3)(3)(3)a a a -=+-33a a -=+；（5）2323222221a a a a a a a a a a ++¸--+--22(1)(1)(1)2(1)(1)(1)a a a a a a a a a a ++-=×--+-212(1)(1)a a a a a +=---212(1)a a a a +-=-21(1)a a a -=-21a =；（6）23221x xy y x y x y x y æöæö--+¸-ç÷ç÷++èøèø23(2)()2()x xy x y x y y x y x y x y---+-+=¸++2223222x xy x xy xy y x y x y y x y---+++=×+--222x xy y y x-+=-2()y x y x-=-y x =-．【点睛】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．长方形ABCD 和正方形CEFH ，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等（其中点D 在EC 上，点B 在CH 的延长线上，AD 和FH 相交于点G ），正方形CEFH 的边长为m ，长方形ABCD 的宽为x ，长为y （x ＜m ＜y ）．（1）写出x ，y ，m 之间的等量关系；（2）若长方形ABHG 的周长记作C 1，长方形DEFG 的周长记作C 2．①求C 1＋C 2的值（用含y 、m 的代数式表示）；②若关于y 的不等式C 1＋C 2＜10-2m 的正整数解只有2个，求m 的取值范围；（3）若长方形ABHG 的面积记作S 1，长方形DEFG 的面积记作S 2，试比较2S 2与S 1的大小，并说明理由．【答案】（1）2x +y =3m ；（2）①2m +2y ；②1≤m <32；（3）2S 2>S 1【分析】（1）根据长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等列式求解即可；（2）①把长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相加整理即可；②根据C 1＋C 2＜10＋2m 列式求解；（3）分别表示出S 1，S 2，然后用作差法比较；【详解】解：（1）长方形ABHG 的周长=2x +2(y -m )=2x +2y -2m ，长方形DEFG 的周长=2m +2(m -x )=4m -2x ，∵长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等，∴2x+2y-2m=4m-2x，∴2x+y=3m；（2）①C1＋C2=2x+2y-2m+4m-2x=2m+2y；②由C1＋C2＜10-2m，得2m+2y＜10-2m，∴y<5-2m，∵C1＋C2＜10-2m的正整数解只有2个，∴2<5-2m≤3，∴1≤m<32；（3）∵S1=x(y-m)=xy-xm，S2=m(m-x)=m2-mx，∴2S2-S1= 2m2-2mx- xy+xm，∵2x+y=3m∴y=3m-2x∴2S2-S1=2m2-2mx- x(3m-2x)+xm=2m2-4mx+2x2=2(m-x)2，∵x＜m＜y，∴2(m-x)2>0，∴2S2>S1．【点睛】本题考查了整式混合运算的应用，解一元一次不等式，根据题意正确列出算式是解答本题的关键．21．若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，则称m为“方和数”．（1）100 “方和数”，110 “方和数”；（填写“是”或“不是”）（2）以下两个判断，正确选项的序号是 ．①两个“方和数”的和是“方和数”；②两个“方和数”的积是“方和数”．【答案】（1）是，不是；（2）②【分析】（1）根据“方和数”的概念计算求解；（2）①举反例进行分析说明；②根据方和数的概念，结合完全平方公式进行计算求解．【详解】解：（1）100=36+64=62+82，∴100是“方和数”，110不能写成两个正整数的平方和的形式，∴110不是“方和数”，故答案为：是，不是；（2）①两个“方和数”的和不一定是“方和数”，比如：2=12+12，13=22+32，∴2和13都是“方和数”，但2+13=15，而15不能写成两个正整数的平方和的性质，∴15不是“方和数”，故①错误；②设两个方和数分别为m ，n ，设m =a 2+b 2，n =c 2+d 2（a ，b ，c ，d 均为正整数），∴mn =（a 2+b 2）（c 2+d 2）=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2+2abcd -2abcd=（ac +bd ）2+（ad +bc ）2，∴mn 是“方和数”，故②正确，故答案为：②．【点睛】本题属于新定义题目，考查有理数的乘方运算，理解题意，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．22．通过课堂的学习知道，我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如()22223214(1)4x x x x x +-=++-=+-，()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为222462(1)8x x x +-=+-，可知当1x =-时，2246x x +-的最小值是8-．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：（1）因式分解：268x x ++；（2）已知a 是任何实数，若(23)M a =-(31)a -，3222N a a æö=--ç÷èø，通过计算判断M 、N的大小关系；（3）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为8米．设与墙壁垂直的一边长为x 米，①试用x 的代数式表示菜园的面积；②求出当x 取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？【答案】（1）()()42x x ++；（2）M ＞N ；（3）①2220x x -+；②当x =6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据平方差公式进行因式分解；（2）计算M -N 并配方，根据结果判断即可；（3）①根据长方形的面积公式计算即可；②将①中结果进行配方，根据结果利用非负数的性质．【详解】解：（1）2268691x x x x ++=++-=()231x +-=()()3131x x +++-=()()42x x ++；（2）M -N =()()32331222a a a a éùæö-----ç÷êúèøëû=()()32331222a a a a æö----+ç÷èø=226293232a a a a a --+-++=2485a a -+=()242145a a -+-+=()2411a -+＞0，∴M ＞N ；（3）①由题意可得：菜园的面积=()202x x -=2220x x -+；②由题意可得：0＜20-2x ≤8，解得：6≤x ＜10，2220x x -+=()2210x x --=()22102550x x --++=()22550x --+，∴当x =6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．23．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G ．Fubini ）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．（教材片段）：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是()2a b +，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为222a ab b ++，由此得到：()2222a b a ab b +=++．（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a 、b 表示）（2）利用上面结论解决问题：若6,2x y xy +==，则()2x y -=__________；（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a 、b 、c 表示）（4）利用上面结论解决问题：已知7,14a b c ab bc ac ++=++=，则222a b c ++=__________；（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c 的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a 、b 、c 表示）（6）若221,2,1a n b n c n =-==+，请通过计算说明a 、b 、c 满足上面结论．【答案】（1）()()224b a b a ab +=-+；（2）28；（3）()2222222a b c a b c ac ab bc ++=+++++；（4）21；（5）222+=a b c ；（6）见解析【分析】（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（2）由（1）得到()()224x y x x y y +=-+，再将已知等式代入计算即可；（3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（4）根据（3）中结论，将已知等式代入计算即可；（5）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（6）分别计算出2a ，2b ，2c ，根据整式的混合运算法则可得结论．【详解】解：（1）大正方形整体表示面积为：()2a b +，大正方形部分和表示面积为：()24b a ab -+，∴由此可得等式为：()()224b a b a ab +=-+；（2）由（1）可得：()()224x y x x y y +=-+，∴x +y =6，xy =2，∴()22642x y =-+´，∴()236828x y -=-=；（3）大正方形面积整体表示为：()2a b c ++，大正方形面积部分和表示为：222222a b c ac ab bc +++++，故由此可得公式为：()2222222a b c a b c ac ab bc ++=+++++；（4）∵a +b +c =7，ab +bc +ac =14，∴由（3）可得：22227214a b c =+++´，∴222492821a b c ++=-=；（5）由题可得：大正方形面积整体表示为：()2a b +，大正方形面积部分和表示为：221422c ab c ab +´=+，∴()222a b c ab +=+，∴222+=a b c ；（6）∵21a n =-，2b n =，21c n =+，∴()22242121a n n n =-=-+，()22224b n n ==，()22242121c n n n =+=++，∴2242242221421a b n n n n n c +=-++=++=，∴222+=a b c ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，用不同的方式表示出同一个图形的面积，解题时注意数形结合思想的运用．24．同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？（苏科版教材P75页）计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是2()a b +，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为222a ab b ++，由此得到：222()2a b a ab b +=++．（类比探究（1））：如图2，正方形ABCD 是由四个边长分别是a ，b 的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是_______（用a ，b 表示）（应用探索结果解决问题）：已知：两数x ，y 满足7x y +=，6xy =，求x y -的值．（类比探究（2））：如图3，正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是_________．（用a ，b ，c 表示，结果尽可能化简）（应用探索结果解决问题）：正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，当22103,3a xb y ==时，4c =；当232a x =，22b y =时，3c =，求x ，y 的值．【答案】[类比探究（1）]：22()()4a b a b ab +=-+，±5；[类比探究（2）]：222+=a b c ；[应用探索结果解决问题]：23x y =ìí=î．【分析】[类比探究（1）]根据正方形ABCD 的面积2()a b =+，正方形ABCD 的面积2()4a b ab -+，即可得出22()()4a b a b ab +=-+；据此可得x y -的值．[类比探究（2）]根据正方形ABCD 的面积2c =，正方形ABCD 的面积21()42a b ab -+´，即可得出222+=a b c ；[应用探索结果解决问题]根据222+=a b c 可得关于x ，y 的方程组，求得x ，y 的值．【详解】解：（1）如图2，正方形ABCD 的面积2()a b =+，正方形ABCD 的面积2()4a b ab -+，22()()4a b a b ab \+=-+；22()()4x y x y xy +=-+Q ，且7x y +=，6xy =，249()24x y \=-+，即2()25x y -=，x y \-的值为5±；（2）如图3，正方形ABCD 的面积2c =，正方形ABCD 的面积21()42a b ab -+´，221()42c a b ab \=-+´，即222+=a b c ，Q 当23a x =，2103b y =时，4c =；当232a x =，22b y =时，3c =，\1031633292x y x y ì+=ïïíï+=ïî，解得23x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及解二元一次方程组，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2．解题时注意数形结合思想的运用．25．（知识生成）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a 2－b 2，图2中阴影部分面积可表示为(a +b )(a -b )，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a 2－b 2=(a +b )(a －b )；（拓展探究）图3是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1： ，方法2： ；（2）由(1)可得到一个关于（a +b ）2、（a －b ）2、ab 的的等量关系式是 ；（3）若a +b ＝10，ab ＝5，则（a －b ）2＝ ；（知识迁移）（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根。
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步训练题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十四章乘法公式》同步训练题及答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列多项式，能用平方差公式分解的是（）A．−x2−4y2B．9x2+4y2C．−x2+4y2D．x2+(−2y)2 2．当m为自然数时，(4m+5)2−9一定能被下列哪个数整除（）A．5B．6C．7D．83．如图中能够用图中已有图形的面积说明的等式是（）A．x(x+4)=x2+4x B．(x+2)(x−2)=x2−4C．(x+2)2=x2+4x+4D．(x+4)(x−4)=x2−164．计算：52a×10012−52a×9992=（）A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a5．已知x−y=3，xy=2则(x+y)2的值等于（）A．12 B．13 C．14 D．176．设a=√7−1，则3a3+12a2−6a−12=（）A．24 B．25 C．4√7+10D．4√7+127．如图有三种不同的纸片，现选取4张拼成了图甲，你能根据面积关系得到下列等式成立的是（）A．a(a+b)=a2+ab B．a2−b2=(a+b)(a−b)C．(a−b)2=a2−2ab+b2D．(a+b)2=a2+2ab+b28．若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题9．计算982−99×97=．10．若a≠b，且a2﹣a＝b2﹣b，则a+b＝．11．若x2−y2=16，x+y=8，则x-y= ．12．若a+b=8，ab=−5则(a−b)2＝.13．若x2+2(m+3)x+9是关于x的完全平方式，则m=．三、解答题14．化简：(2m−n)2+(m+n)(m−n).15．用简便方法计算：2022+20222−2023216．已知a、b、c是三边ΔABC的长，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ΔABC三边的长.17．如图，有一位狡猾的地主，把一块边长为a的正方形的土地，租给李老汉种植，他对李老汉说：“我把你这块地的一边减少4m，另一边增加4m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”.李老汉一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了.同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？请说明理由.18．当a、b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小值？并求出这个最小值．参考答案1．C2．D3．B4．D5．D6．A7．D8．D9．110．111．212．8413．0或-614．解：(2m−n)2+(m+n)(m−n)=4m2−4mn+n2+m2−n2=5m2−4mn.15．解：原式=2022+（2022+2023）（2022-2023）=2022+（2022+2023）×（-1）=2022-2022-2023=-2023．16．∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0即：(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0∴a−3=0，b−4=0，c−5=0∴a=3，b=4，c=5 .17．解：赵老汉吃亏了.∵a2-（a+4）（a-4）=a2-（a2-16）=16∴与原来相比，赵老汉的土地面积减少了16米2 即赵老汉吃亏了.18．解：a2＋b2－4a＋6b＋18＝a2－4a＋b2＋6b＋18＝a2－4a＋4＋b2＋6b＋9＋5＝(a－2)2＋(b＋3)2＋5∵(a－2)2≥0，(b＋3)2≥0∴当a－2＝0，b＋3＝0即a＝2，b＝－3时，原式有最小值，最小值为5.。
人教版八年级数学上册课件 14.2 乘法公式
三、研读课文
例2 计算：
知 识
（解：1）原(式y+2=)(yy-22)-(y2-12)-(y（ +5y) 2 +4y-5） =y2 22 -y2 -4y+5
点
=1-4y
四 （2） 102×98
解：原式＝=1(100002+-222)(100-2)
=10000-4 =9996
归纳 :只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化 运算，其余的运算仍按照法则来进行.
4
4
x
2；1
三、研读课文
一般地，
知
(a+b)(a-b)=a2-b2.
识 点
两个数的 __和与这两个数的 __ 的差 __积___，等于这两个数的平方差.
二
这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
温馨提示：应用公式的关键是确定a和b.
三、研读课文
思考
知
你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗?
识
a
点
b
三
3、（2012哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）
a 3 a 4 a12
a 3 4 a12
A、 a a 4 a 5
B、 a ba b a2 b2
C、
D、
4ห้องสมุดไป่ตู้下列各式中，计算结果是 81 x 2的是（ ） D
x 9x 9
A、
2 y 1 1 2 y
a bb
矩形面积=大正方形面积--小正方形面试
(a b)(a b)=a2 b2
即
三、研读课文
练一练 下面各式的计算对不对？若不对， 应当怎样改正？
知
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
人教版八年级数学乘法公式
人教版八年级数学乘法公式同底数幂的乘法：1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：am﹒an=am+n。
4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。
5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
同底数幂的除法：1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：am÷an=am-n（a≠0）。
2、此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a≠0）。
负指数幂：1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
整式的乘法：（一）单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、系数相乘时，注意符号。
3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。
人教版八年级上册数学乘法公式含答案
14.2乘法公式专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（）A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4abC．(a+b)(－a+b)=－a2+b2D．(a+b)(－a－b)=－a2－b2 2．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4D．(x+1)43．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A．（a+b）（a－b）=a2－b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．（a+b）2=a2+ab+b25．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）A．a2－b2=（a+b）（a－b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？状元笔记【知识要点】1．平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．2．完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【温馨提示】1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．【方法技巧】1．公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．参考答案:1．D 解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D错误．2．A 解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，当x=2，y=3时，原式=22+4×2×3=4+24=28．4．B 解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B．5．C 解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）2和b2，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故选C．6．解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。
人教版八年级数学上册作业课件 第十四章 整式的乘法与因式分解 专题训练(十) 乘法公式的灵活应用
方法2：利用整体思想化简求值 5．已知x2－2x－2＝0，求(x－1)2＋(x＋3)(x－3)＋(x－3)(x－1)的值． 解：由已知得x2－2x＝2. 原式＝3x2－6x－5＝3(x2－2x)－5＝3×2－5＝1
6.已知(m－53)(m－47)＝36，求(m－53)2＋(m－47)2的值． 解：(m－53)2＋(m－47)2 ＝[(m－53)－(m－47)]2＋2(m－53)(m－47) ＝(－3)2(a2－6a＋9). 解：原式＝(a＋3)2(a－3)2 ＝(a2－9)2 ＝a4－18a2＋81
类型二 巧用乘法公式进行简便计算 3．利用乘法公式简算：
(1)(29923 )2； 解：原式＝(300－13 )2
＝3002－2×300×13 ＋(13 )2
＝90 000－200＋19
解：(1)∵x2－4xy＋5y2＋6y＋9＝0， ∴x2－4xy＋4y2＋y2＋6y＋9＝0， ∴(x－2y)2＋(y＋3)2＝0， ∴x－2y＝0，y＋3＝0， ∴x＝－6，y＝－3
(2)∵a2＋b2－6a－14b＋58＝0， ∴a2－6a＋9＋b2－14b＋49＝0， ∴(a－3)2＋(b－7)2＝0，∴a－3＝0，b－7＝0， ∴a＝3，b＝7，∴4<c<10. ∵c是正整数，c为△ABC的最大边， ∴c为7或8或9
人教版
第十四章 整式的乘法与因式分解
专题训练(十) 乘法公式的灵活应用
类型一 选用适合的乘法公式计算 1．(雅安中考)已知a＋b＝8，ab＝3，则a2＋b2＝_5_8__． 2．选择适当的乘法公式计算下列各式： (1)(3x＋5y)2； 解：原式＝9x2＋30xy＋25y2 (2)(4m－n)(－4m－n)； 解：原式＝n2－16m2
人教版四年级数学上册典型例题系列之第四单元三位数乘两位数应用题部分(含答案)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年四年级数学上册典型例题系列之第四单元三位数乘两位数应用题部分（解析版）编者的话：《2022-2023学年四年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。
本专题是第四单元《三位数乘两位数》的应用题部分，该部分内容主要是以乘法应用题为主，题例多样，一般以填空和应用题型为主，共分为十个考点，全部是考试试卷出现过的类型考题，其中以行程问题为重点部分，可着重讲解，以折扣问题为难点部分，理解稍困难，欢迎使用。
人教版六年级上册数学第一单元分数乘法应用题练习(含答案)
人教版六年级上册数学第一单元分数乘法应用题练习1、一个林场去年植树 560 棵,今年计划比去年多植 38．今年计划植树多少棵？2、从东莞到从化之间的公路长 216 千米,一辆汽车从东莞开往从化,3 小时行了全程的 58,离从化还有多少千米？3、食堂运来一堆煤,共重 58吨,第一天烧了 17,第二天烧了 17吨,两天共烧了多少吨？4、一本书 300 页,第一星期看了全书的 35,第二星期看的页数是第一星期的 23,第二星期看多少页？5、东东有 60 张邮票,亮亮的邮票张数比东东少 815,亮亮有多少张邮票？6、某粮店上周卖出面粉 18 吨,卖出的大米比面粉少 16,粮店上周卖出大米多少吨？7、今年植树节六年级女生共植树 150 棵,男生植树棵数比女生的 45 多 10 棵,六年级学生共植树多少棵？8、爸爸对芳芳说：“我每月的工资是 4000 元,你妈妈的工资是 3500 元．”妈妈接着说：“每月开支大约要占我们俩工资的 35”,芳芳家每月能结余多少钱呢？9、今年植树节六年级女生共植树 150 棵,男生植树的棵数比女生的 45 多 10 棵,六年级学生共植树多少棵？10、一堆沙 400 吨,第一天运走 58,第二天运走 100 吨,还剩下多少吨？11、周林学校六年级有男生 146 人,女生 94 人,四年级学生人数是六年级人数的 78,四年级有学生多少人？12、筑路队修一条 10 千米的公路．第一天修了全长的 15,第二天修了 32 千米,还有多少千米没有修？13、养殖场有鸡 3200 只,第一周卖出 38,第二周卖出 25．两周一共卖出多少只？14、希望小学三年级有学生 216 人,四年级的人数比三年级多 29,四年级有学生多少人？15、王老师打一篇论文,已经打了 220 个字,正好是全文总字数的 25,这篇论文一共有多少个字？（列方程解答）16、路南区今年十月份计划绿化土地 200 公顷,实际上路南区今年十月份绿化土地的面积比计划多 325,路南区今年十月份实际绿化土地多少公顷？17、一台拖拉机昨天上午耕地 4800 平方米,下午耕地的面积比上午多 13．这台拖拉机昨天下午比上午多耕地多少平方米？18、豆角售价是 2.4 元,茄子的价钱是豆角售价的 23,萝卜售价是茄子售价的 34．萝卜售价是多少元？19、食堂运来了 2.4 吨面粉,经过一星期用去了 35．还剩下多少吨面粉？20、六年级原来有两个班共 90 人,实行小班上课后,将第一班的 13 和原二班的 25 组成新一班,原一班的 25 和第二班的 13 组成新二班,余下的人组成新三班,新三班有多少人？答案1. 【答案】分数应用题,去年植树的棵数为单位“1”,则今年植树的棵数为：1+38=118,单位“1”知道用乘法,所以今年计划植树：560×(1+38)=770（棵）,答：今年计划植树770棵．2. 【答案】根据题意可知,把从东莞到从化之间的路程看作单位一,行了全程的58,那么离从化的路占全程的(1−58),根据一个数乘分数的意义,用乘法解答即可,216×(1−58)=216×38=81（千米）．答：离从化还有81千米．3. 【答案】根据公式：具体量=单位1×分率进行求解．第一天：58×17=556（吨）,5 56+17=1356（吨）．答：两天共烧1356吨．4. 【答案】第一星期看了：300×35=180（页）,第二星期看了：180×23=120（页）．答：第二星期看了120页．5. 【答案】把东东邮票的张数看成单位“1”,亮亮的邮票张数比东东少,那么亮亮的张数就是东东的(1−815),用东东的张数乘这个分率即可求出亮亮有多少张邮票．60×(1−815)=60×715=28(张),答：亮亮有28张邮票．6. 【答案】 18×(1−16)=18×56=15（吨）,答：粮店上周卖出大米 15 吨．7. 【答案】 150×45+10+50=120+10+150=130+150=280(棵).答：六年级学生共植树 280 棵．8. 【答案】 (4000+3500)×(1−35)=3000（元）．答：芳芳家每月能结余 3000 元钱．9. 【答案】 150×45+10+150=120+10+150=280（棵）,答：六年级学生一共植了 280 棵．10. 【答案】 400−400×58−100=400−250−100=150−100=50(吨).答：还剩下 50 吨．11. 【答案】 (146+94)×78=240×78=210(人).12. 【答案】10×(1−15)−32=10×45−32=8−12=612(km ).13. 【答案】 3200×(38+25)=3200×3140=2480(只).14. 【答案】 216×(1+29)=264（人）,答：四年级有学生 264 人． 或 216×29=48（人）,216+48=264（人）, 答：四年级有学生 264 人．15. 【答案】设这篇论文一共有 x 个字,x ×25=220x ×25×52=220×52x =550.答：这篇论文一共有 550 个字．16. 【答案】 200×325+200=24+200=224(公顷)答：路南区今年十月份实际绿化土地 224 公顷．17. 【答案】 4800×13=1600（平方米）．答：这台拖拉机昨天下午比上午多耕地 1600 平方米．18. 【答案】 2.4×23×34= 1.6×34= 1.2(元),答：萝卜的售价是 1.2 元．19. 【答案】 2.4−2.4×35= 2.4−1.44=0.96(吨).答：还剩下 0.96 吨面粉．20. 【答案】 13（一）+25（二）+25（一）+13（二）=1115 总人数,则新三班为 415×90=24（人）．。
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步练习题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十四章 乘法公式》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：1．下列运算中，正确的是（ ） A ．336x x x ⋅= B ．235()x x = C ．232x x x ÷=D ．222()x y x y -=-2．设（a+b ）2=（a ﹣b ）2+A ，则A=（ ） A ．2ab B ．4ab C ．abD ．﹣4ab 3．若4a 2+kab+9b 2是完全平方式，则常数k 的值为（ ） A ．6 B ．12 C ．6±D ．12± 4．无论x ，y 取何值，多项式x 2+y 2-4x+6y+13的值总是（ ） A ．都是整数 B ．都是负数 C ．是零 D ．是非负数5．若()()22221135a b a b +++-=，则22a b +=（ ） A ．3B ．6C ．3±D ．6±6．我们把形如+b （a ，b +1型无理数，则2是（ ）A 型无理数B C D 型无理数7．已知： ()2(1)5a a a b ---=-. 求： 代数式 222a b ab +- 的值为（ ）A ．-5B ．5C ．252D ．258．如图，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，x ，y 表示四个相同长方形的两边长（x>y ），则①x-y=n ；②xy= 224m n - ；③x 2-y 2=mn ；④x 2+y 2= 222m n - 中，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③①D ．①②③①二、填空题：9．计算()()11a a +-的结果是 .10．多项式 2264x mx ++ 是完全平方式，则m= . 11．已知a+b=7，ab=6，则a 2+b 2的值为 ． 12．若 2111322a k a a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则k= . 13．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b ）5= ． 三、解答题：14．计算：32)(32)x y c x y c -+++（ ．15．计算下列各题 （1）()222(2)x y xy -⋅-（2）24(1)(25)(25)x x x +-+-16．先化简，再求值： ()()()22235a b a b a b b +-+--， 其中 12a =- 和 2b = ．17．已知4m n -=和3mn =-． （1）计算：22m n +；（2）求()()2244m n --的值； （3）求28324m n m n +⋅÷的值．18．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝52，求a2+b2+c2的值．（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：（3a+b）（a+3b）＝3a2+10ab+3b2．参考答案：1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．a 2-1 10．±8 11．37 12．3413．1a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+1b 514．解：原式= ()()2323x c y x c y +-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ = ()()2223x c y +- = 222449x cx c y ++- . 15．（1）解： ()222(2)x yxy -⋅-42=4(2)x y xy ⋅- 53=8x y - ；（2）解： 24(1)(25)(25)x x x +-+-22=4(21)(425)x x x ++--22=484425x x x ++-+=829x + ．16．解：原式=a 2+4ab+4b 2﹣3a 2+ab ﹣3ab+b 2﹣5b 2 =﹣2a 2+2ab 当a 12=-，b=2时，原式 15222=--=-17．（1）解：4m n -= 3mn =-22m n ∴+ 2()2m n mn =-+()2423=+⨯- 166=- 10=；（2）解：()()2244m n --()222()416mn m n =-++当3mn =-，2210m n +=时 原式2(3)41016=--⨯+94016=-+ 15=-；（3）28324m n m n +⋅÷3522(2)(2)(2)m n m n +=⋅÷3524222m n m n +=⋅÷ 352422m n m n ++=÷ 35242m n m n +--= 2m n +=4m n -= 3mn =-2()m n ∴+ 2()4m n mn =-+()2443=+⨯- 1612=- 4=2m n ∴+=或2- 2m n +∴ 22=或22-4=或14．18．（1）（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc （2）解：∵a+b+c ＝13，ab+bc+ac ＝52 ∴（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2（ab+ac+bc ）即（13）2＝a 2+b 2+c 2+2×52 ∴a 2+b 2+c 2＝65（3）解：如图：。
乘法公式的应用(人教版)(含答案)
乘法公式的应用（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知，，则( )A.10B.6C.5D.3答案：C解题思路：解：，将，代入，得∴故选C．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题2.若均为正数，，，则( )A.-3B.3C.±3D.9答案：B解题思路：解：，将，代入，得∴，又∵若均为正数，∴，故选B．试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题3.若，则的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：解：∵，由题可知：，∴，∴，∴，故选C．试题难度：三颗星知识点：平方差公式4.若一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加，则此正方形原来的边长为( )A.6cmB.9cmC.10cmD.12cm答案：A解题思路：解：设此正方形原来的边长为，则，∴，∴，故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方式5.某学校改造一个边长为5x米的正方形花坛，经规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后花坛的面积与原来的花坛面积相比( )A.增加了9平方米B.减少了9平方米C.保持不变D.增加了平方米答案：B解题思路：解：根据题意改造后花坛为长方形，其长为米，宽为米，所以矩形花坛的面积为平方米，而原正方形面积为平方米，所以改造后花坛的面积减少了9平方米．故选B．试题难度：三颗星知识点：整式乘除的几何表示6.若是一个完全平方式，则的值是( )A.±30B.33C.32或-28D.33或-27答案：D解题思路：解：∵，∴，∴，∴或，故选D试题难度：三颗星知识点：完全平方式7.若是一个完全平方式，则的值是( )A.4B.±4C.16D.±16答案：A解题思路：解，∵是一个完全平方式，∴，∴，∴，故选A．试题难度：三颗星知识点：完全平方式8.加上下列单项式后，仍不能使成为一个整式的完全平方式的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：解：根据完全平方公式的结构可知，当是中间项时，那么，第三项为；组成的完全平方式为；当是平方项时，那么，中间项为，组成的完全平方式为；当多项式加上的一个单项式是-1或时，同样成立．共有5个，分别为，，-1，，故可知此题答案应选择D.试题难度：三颗星知识点：完全平方式9.如图是用四个相同的矩形和一个正方形拼成的图案，已知此图案的总面积是49，小正方形的面积是4，x，y分别表示矩形的长和宽，那么下面式子中不正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：解：选项A：∵此图案的总面积是49，∴，∴，正确，不符合题意；选项B：∵小正方形的面积是4，∴，∴，正确，不符合题意；选项C：由题意可知，四个矩形的面积为，即：，将数据代入，得：∴，正确，不符合题意；选项D：，代入数据得：，∴，错误，符合题意．故选D．试题难度：三颗星知识点：整式乘除的几何表示10.大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图1的面积表示，则图2表示的代数恒等式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：解：设此长方形的面积为，则分别用公式法及割补法表示其面积：公式法：；割补法：；∴，故选C．试题难度：三颗星知识点：整式乘除的几何表示。
人教版六年级上册数学第三单元分数乘除应用题(含参考答案)
人教版六年级上册数学第三单元分数乘除法应用题1.甲班人数的14 与乙班人数的37 相等，已知乙班有49人，甲班有多少人？2.鸭的孵化期是28天，鸡的孵化期是鸭的34 。
鸡的孵化期是鹅的1415 。
鹅的孵化期是多少天？3.校园里有杨树20棵，柳树是杨树的910 ，柳树是槐树的23 。
槐树有多少棵？4.小红每天用40分钟的时间锻炼身体，小伟所用的时间是小红的65 ，小雨所用时间的45 等于小伟用的时间，小雨每天多用多长时间锻炼身体？5.海象的寿命大约是40年，海狮的寿命是海象的34 ，海狮的寿命是海豹的1.5倍。
海豹的寿命大约是多少年？6.实验小学六（6）班有45人，女生占全班人数的25，六（6）班女生人数又是全校人数的91400，全校有学生多少人？7.小红看一本书，第一天看了36页，第二天看了第一天的34，第二天看的是第三天的35，小红第三天看了多少页？8.爷爷有50元的人民币50张， 20元张数是50元张数的45，20元张数又是100元张数的23，爷爷有100元钱多少张？9.丫丫搬新家了，新家需要添置家具，爸爸买一台沙发用了6300元，买空调用的钱是买沙发的89，买空调用的钱又是买床的149，小米爸爸买床用了多少钱？10. 中秋节妈妈买了30个火腿月饼，买的豆沙月饼是火腿月饼的35，买的火腿月饼又是蛋黄月饼的34，妈妈买了多少个蛋黄月饼？分数乘除法应用题（参考答案）1.甲班人数的14 与乙班人数的37 相等，已知乙班有49人，甲班有多少人？49×37 ÷14＝84（人）2.鸭的孵化期是28天，鸡的孵化期是鸭的34 。
鸡的孵化期是鹅的1415 。
鹅的孵化期是多少天？28×34 ÷1415 ＝452（天）3.校园里有杨树20棵，柳树是杨树的910 ，柳树是槐树的23 。
槐树有多少棵？20×910 ÷23 ＝27（棵）4.小红每天用40分钟的时间锻炼身体，小伟所用的时间是小红的65 ，小雨所用时间的45 等于小伟用的时间，小雨每天多用多长时间锻炼身体？40×65 ÷45 ＝60（分钟）5.海象的寿命大约是40年，海狮的寿命是海象的34 ，海狮的寿命是海豹的1.5倍。
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：由完全平方公式，可得（1）__________或__________；
（2）__________或__________或__________．
以下是问题及答案，请对比参考:
问题1：由完全平方公式，可得
（1）或；
（2）或或．
答：
（1）；
（2）．
乘法公式的应用（人教版）
一、单选题(共12道，每道8分)
1.下列各式中能够成立的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
2.下列各式中，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平方差公式
3.若，则的值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平方差公式
4.若，，则的值是( )
A.4
B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平方差公式的应用
5.计算的结果是( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平方差公式的应用
6.若，则的值为( )
A.12
B.6
C.3
D.0
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：整体代入
7.已知是完全平方式，则m的值为( )
A.3
B.±3
C.-6
D.±6
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
8.若，，其中，则，的大小的关系是( )
A. B.
C. D.不能确定
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用
9.已知，，则( )
A.10
B.6
C.5
D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式知二求二问题
10.若是一个完全平方式，则的值是( )
A.±30
B.33
C.32或-28
D.33或-27
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
11.若一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加，则此正方形原来的边长为( )
A.6cm
B.9cm
C.10cm
D.12cm
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式
12.加上下列单项式后，仍不能使成为一个整式的完全平方式的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式。