第六章 线性空间分析

第六章线性空间§1基本知识

§1. 1 基本概念

1、集合的相关概念：

2、映射：

3、单射：

4、满射：

5、双射（一一映射）：

6、可逆映射及其逆映射：

7、线性空间：

8、向量的线性组合：

9、向量组的等价：

10、向量的线性相关与无关：

11、线性空间的维数（有限维与无限维线性空间）：

12、线性空间的基与坐标：

13、过渡矩阵：

14、线性空间的子空间：

15、生成子空间：

16、子空间的和：

17、两个子空间的直和：

18、有限个子空间的直和：

19、线性空间的同构：

§1. 2 基本定理

1、基与维数的判定定理：设n ααα,,,21 是线性空间V 上n 个线性无关的向量，如果V 上任何一个向量都可以由它线性表出，那么V 是n 维的，n ααα,,,21 是它的一组基.

2、子空间的判定定理：设W 是线性空间V 的一个非空子集，如果W 关于V 的两种运算是封闭的，那么W 是V 的一个子空间.

3、生成子空间的相等与维数的判定定理：

（1）两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价；

（2）),,,(),,,(dim 2121r r R L αααααα =.

4、基的扩充定理：设m ααα,,,21 是n 维线性空间V 上任意m 个线性无关的向量，如果n m <，那么在V 上必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,211 ++，使得n ααα,,,21 是V 的一组基.

5、子空间的交的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V ⋂也是V 的子空间.

6、子空间的和的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V +也是V 的子空间.

7、维数定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么

)dim(dim dim )dim(212121V V V V V V ⋂-+=+.

推论：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，如果2121dim dim )dim(V V V V +<+，那么{}021≠⋂V V .

8、直和的判定定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么如下条件是等价的

（1）21V V +是直和；

（2）若221121,,0V V ∈∈=+αααα，则021==αα；

（3）{}021=⋂V V ；

（4）2121dim dim )dim(V V V V +=+

9、直和的判定定理续：设m V V V ,,,21 都是线性空间V 的子空间，那么如下条件是等价的

（1）m V V V +++ 21是直和；

（2）若m i V i i m ,,2,1,,021 =∈=+++αααα，则021====m ααα ；

（3）{}m i V V i

j j

i ,,2,1,0 ==⋂∑≠； （4）∑==++m

i i m V V V V 121dim )dim(

10、直和的存在性定理：设W 是线性空间V 的任何一个子空间，那么一定存在V 的一个子空间U ，使得W U V ⊕=.

11、有限维线性空间同构的判定定理：

（1）数域P 任何一个n 维线性空间都同构于n P ；

（2）有限维线性空间同构的充分必要条件是，它们的维数相等.

§1. 3 基本性质

1、线性空间的性质：

（1）零元素是唯一的；

（2）负元素是唯一的；

（3）ααα-=-==)1(;00;00k ；

（4）000==⇔=αα或k k .

2、过渡矩阵的性质：

（1）过渡矩阵都是可逆矩阵；

（2）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，则基n βββ,,,21 到基n ααα,,,21 的过渡矩阵是1-A ；

（3）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，n βββ,,,21 到基n γγγ,,,21 的过渡矩阵是B ，则基n ααα,,,21 到基n γγγ,,,21 的过渡矩阵是AB .

（4）设基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵是A ，向量α在基n ααα,,,21 和n βββ,,,21 下的坐标分别是),,,(21n x x x 和),,,(21n y y y ，则

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y A x x x 2121. 3、子空间的交与和的性质：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，则如下条件等价

（1）21V V ⊂； （2）121V V V =⋂； （3）221V V V =+；

4、同构映射的性质：设τ是线性空间V 到线性空间W 的同构映射，则

（1）0)0(=τ；)()(ατατ-=-；

（2）)()()()(22112211m m m m k k k k k k ατατατααατ+++=+++ ；

（3）⇔线性相关m ααα,,,21 )(,),(),(21m ατατατ 线性相关；

（4）同构映射的逆映射1-τ是线性空间W 到线性空间V 的同构映射；

（5）若ρ是线性空间W 到线性空间U 的同构映射，则ρτ是线性空间V 到线性

空间U 的同构映射.

§2 基本题型及其常用解题方法

§2. 1 线性空间的判定与证明

1、利用定义

例6.1（北大教材，P267，3）

2、利用子空间的判定定理

例6.2（北大教材，P267，3）

§2.2 基、维数的计算、判定与证明

1、利用定义

例6.3（北大教材，P268，8）

2、利用定理：设n ααα,,,21 是线性空间V 上的n 个线性无关的向量，若V 上任意一个向量可以由n ααα,,,21 线性表出，那么V 是n 维线性空间且n ααα,,,21 是它的一个基。

例6.4（北大教材，P270，14）

3、利用向量组的秩与极大无关组

),,,(),,,(dim 2121s s R L αααααα =，s ααα,,,21 的一个极大无关组就是生成子空间),,,(21s L ααα 的一个基。