热传导方程(扩散方程)剖析
扩散方程的差分解法
（24）
则
， （25）
则误差方程为
（26）
误差放大因子为
（27）
要满足稳定性条件，则要求对所有的k值均有 。从（28）式中可以看出，当 （即 ）时， 恒成立。因此，全隐格式是无条件稳定的。
4.4收敛性
如果差分方程的解为 ，微分方程的解为 ，若当 ， 时，差分方程的解与微分方程的解之差
扩散方程的差分解法
在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。
write(2,*) 'x=',x,'m'
do n=1,nt,200
write(2,*) (n-1)*dt,u(j,n)
enddo
if
enddo
!-----------!
end
5.3.2全隐格式
!----------------------------------------全隐格式求解扩散方程-----------------------------------------------!
由以上对一维扩散问题的分析，可知，求解一维扩散方程需给定初始条件及边界条件。
在本文计算中，取 ， 。
初始条件（ 时）
（29）
边界条件为
（30）
其初始时刻（ ）时的u分布如图1所示，x=0m处u随时间变化情况如图2所示，x=10m处u随时间变化情况如图3所示。
图1初始时刻u分布图
图2 x=0处u随时间变化图
热传导方程与扩散方程讲解
x,
y,
z)
u n
dS dt .
在时间间隔[t1, t2 ]中, 温度从u( x, y, z, t1 )变化到u( x, y, z, t2 ), 它所吸收的热量是
c( x, y, z)( x, y, z)[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dxdydz.
D 为扩散系数
第二节 初边值问题的分离变量法
定解问题
ut a2uxx , 0 x L u |x0 0, u |xL 0 u |t0 ( x)
未知函数分离 u(x, t) X(x)T(t)
T' X a2TX"
泛定方程分离
T' X a 2T X
u u(x,t)
u Tk Xk
典型问题的求解
例题1
分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件
ut a2uxx 0, 0 x u |x0 0, u |x 0 u |t0 sin x( A B cos x)
u(x,t) X (x)T (t)
分离结果的求解
X" 2 X 0
X (0) X (L) 0
T'a2 2T 0
X ( x) C cos x D sin x
空间方程解出 X (0) C 0
X (L) D sin L 0
非零解条件 非零解
sin L 0 L k k / L, k N
它构成一个定解问题
u
初始问题： t
a2
2u x2
,
x ,t 0
u(x, 0) (x), x
数学物理方法-热传导方程
[t2
t1
kgradu ds]dt
S
流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔 [t1, t2 ] 内区域V内各点温
度从 u(x, y, z, t1) 变化到 u(x, y, z, t2 ) ，则在 [t1,t2 ] 内V内温度升高所
需要的热量为
Q2 c[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dV V
移方向的张力应该为零，即 T sin2 T tg2 Tux |xL 0
所以边界条件是：
ux
u x
|xL
0
第二类边界条件又称为Neuman条件。
3.第三类边界条件 给出物理量及其边界上法线方向导数的线性关系
(u
u )
n
f3(M ,t)
其中 为常数。
弦振动问题的弹性支承，即是这类边界条件。
)
——三维热传导方程
其中 a2 k c
若物体内有热源，其强度为 F(x, y, z,t) , 则相应的热传导方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
f
(x,
y, z,t)
其中 f F
c
作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不 是细杆（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或x，y，t）有关，则三维 热传导方程就变成一维热传导方程
c u dV )dt
t1 V
t1 V
t
t2 (
t2
k2udV )dt (
c u dV )dt
t1 V
t1 V
t
由于时间间隔 [t1, t2 ] 及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以 上式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即
大学物理-热传导方程的定解问题
在各向同性的介质中，热流强度 q 与温度的负梯度成正比， 即
(k：热传导系数)
|q|：单位时间垂直通过等温面单位面积的热量，即 q 的方向：等温面的法线方向 (由高温指向低温) 定律的物理意义：q 正比于温度的下降率 单位时间内流入 / 流出 V 的热量为
单位时间内热源在 V 中释放 / 吸收的热量为
单位时间内，V 中介质温度升高/降低所需/放出的热量为
能量守恒定律：Q3 = Q1 + Q2 则 由 V 的任意性，得到
若介质均匀，即 k 为常量，有来自定义：，因此得到
当 V 内无热源，即 f = 0，故有
二、扩散方程 1. 扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子
从高浓度处流向低浓度处。(浓度：单位体 积中的粒子数) 2. 方程的推导 设：空间中任一小体积 V，其边界面为 S
粒子源强度：F (x, y, z, t) ——单位时间，单位体积 内产生的粒子数
求：空间各点粒子浓度 u(x, y, z, t) 的方程 V 内粒子数增加的来源：扩散 + 粒子源
扩散浓度：N ——单位时间通过垂直于 v (粒子定向运动速 度) 的单位面积的粒子数 N=uv，方向：v 的方向
对于扩散现象，有斐克定律： 扩散强度与浓度的负梯度成正比，即 D：扩散系数
扩散导致 V 内粒子增加的数量：
粒子源 V 粒子增加的数量： 内粒子数总的增加数：
因粒子数守恒，有 由 V 的任意性，得到 若 D 为常量，且设 D = a2，则
若 V 内无粒子源，即 F = 0，因而
总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。
物理学概念知识：拉普拉斯方程和热扩散方程
物理学概念知识：拉普拉斯方程和热扩散方程物理学是研究自然现象的科学。
在物理学中，拉普拉斯方程和热扩散方程都是非常重要的概念。
本文将详细介绍这两个概念，并探讨它们的应用。
一、拉普拉斯方程拉普拉斯方程是指在某个区域内的任何一个点的拉普拉斯函数值等于零的偏微分方程。
数学上，拉普拉斯方程可表示为：Δu = 0其中，Δ是拉普拉斯算子，u是某个函数。
对于三维空间中的拉普拉斯方程，可以表示为：∇²u = (d²u/dx²) + (d²u/dy²) + (d²u/dz²) = 0其中，∇²是三维空间中的拉普拉斯算子，x、y、z是坐标轴。
拉普拉斯方程在物理学中的应用非常广泛。
例如，在静电场和重力场中，电场和引力场的方程就是拉普拉斯方程。
此外，拉普拉斯方程也被应用于热传导、电介质中的介电常数和电势分布等领域。
二、热扩散方程热扩散方程是指在平衡状态下，温度在空间内的变化取决于热扩散。
简单地说，就是能量从温度高的区域流向温度低的区域，直到整个区域内温度达到平衡。
数学上，热扩散方程可表示为：∂u/∂t = α∇²u其中，u是温度，t是时间，∇²是二阶偏微分算子，α是热扩散系数。
热扩散方程的应用非常广泛。
在材料科学中，热扩散方程被广泛应用于研究材料的热传导性能。
在地球物理学中，热扩散方程被用于研究地热和岩石的热传导性能。
在气象学中，热扩散方程被用于预测气象变化，如大气环流等。
三、拉普拉斯方程和热扩散方程的联系拉普拉斯方程和热扩散方程之间存在联系。
事实上，在某些情况下，热扩散方程可以简化为拉普拉斯方程。
例如，在稳态情况下，热扩散方程可以简化为拉普拉斯方程，即：∇²u = 0这时，热扩散的时间因素被忽略，只考虑空间因素。
另外，拉普拉斯方程和热扩散方程也可以通过数学变化联系起来。
例如，在高维空间中，热扩散方程可以转化为拉普拉斯方程。
热传导方程(扩散方程)ppt课件
( x ,t0) ( x )
波方程的Cauchy问题
由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。
u0, (x,y),
u f (x, y).
Laplace方程的边值问题
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
uutt0a2(u(xxx,y,uzy)yuzz)0
kn|x0k(x) qnq0
u x
|xl
q0 k
u x |x0
q0 k
xl
若端点是绝热的，则
u u x|xl x x0 0
三、定解问题
定义1 在区域 G[0,) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
u ut x,a 02 u xx (x 0),,
注 1、热传导方程不仅仅描述热传导现象，也可以
刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；
2、上述边界条件形式上与波动方程的边界条件 一样，但表示的物理意义不一样；
3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。
4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分 布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方
gk1 k
u1.
注意第三边界条件的推导：
研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入 空
气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
或
u knk1(uu1).
即得到（1.10）： ( u nu)|(x,y,z) g(x,y,z,t).
扩散方程的差分解法
扩散方程的差分解法在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。
热传导方程中的自变量中包括时间t ，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。
这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。
本文主要运用有限差分法对一维扩散方程进行求解，并对差分解的适定性、相容性、收敛性及稳定性进行分析，同时与解析解进行对比。
1.扩散方程一维扩散方程为：22u u t xα∂∂=∂∂ （1）式中，u 为因知量，α为扩散系数，x 为坐标，t 为时间。
其定解条件如下： 初始条件： (,0)() 0x u x f x L =≤≤（2）边界条件： 12(0,)() , (,)()u t f t u L t f t ==（3） 一般假定函数()f x ，1()f t ，2()f t 满足连接条件，即1(0)(0) f f =，2()(0) f L f =。
2.有限差分法有限差分法是数值计算解微分方程古老的方法之一，也是系统化地、数值地求解数学物理方法的方程。
其控制方程中的导数用离散点上函数值的差商代替。
差分格式可以分为显格式和隐格式。
所谓显格式是指在任一结点上因变量在新是时间层上的值可以通过之前的时间层上相邻结点变量的值显式解出来。
由于这些层的变量值是已知的，当时间向前推进时，空间点上的新的变量值就只需逐点计算就行了，因此显格式计算起来比较省事。
隐格式则是指任一结点上变量在新的时间层的值，不能通过之前的时间层上相邻结点的值显式解出来，它不仅与之前的时间层上的已知值有关，而且也与新时间层的相邻结点的变量值有关。
因而一个差分方程常常包括几个相邻结点上的未知数，未知数的个数取决于格式的构成形式。
为了解出这些未知数需要联立新的方程，而每引进一个新的方程往往又同时引进了新的未知数。
因此，隐格式总是伴随着求解巨大的代数方程组。
热传导的数学模型
热传导的数学模型热传导是指热能从高温区域向低温区域传递的过程。
在实际应用中，我们经常需要准确地描述热传导现象，以便预测和分析各种热力学系统的行为。
为此，我们可以使用数学模型来描述热传导过程。
本文将介绍几种常用的数学模型，包括傅里叶热传导定律、热扩散方程和热传导方程。
傅里叶热传导定律是描述热传导过程中温度变化的基本规律。
它的数学表达式为：q = -kA(dT/dx)其中，q是单位时间内通过物体传导的热量（热流量），k是物质的热导率，A是传热面积，dT/dx是温度随位置的变化率。
这个公式表明热流量与温度梯度成正比，热导率越大，热传导越快。
除了傅里叶热传导定律外，热扩散方程也是描述热传导过程的重要数学模型。
热扩散方程可以描述任意形状、任意材料的物体中的温度分布随时间的变化。
它的数学表达式为：∂T/∂t = α(∇^2T)其中，∂T/∂t表示温度随时间的变化率，∇^2T表示温度的拉普拉斯算子，α是热扩散率。
这个公式表明，温度变化率与温度分布的二阶空间导数成正比，热扩散率越大，温度分布改变越快。
对于一维情况下的热传导，可以使用更简化的热传导方程来描述。
热传导方程是一个关于温度T和位置x的偏微分方程，其数学表达式为：∂T/∂t = α(∂^2T/∂x^2)其中，∂^2T/∂x^2是温度T关于位置x的二阶偏导数。
除了以上几种数学模型，还有一些特殊情况下的热传导模型，如球坐标下的热传导方程、柱坐标下的热传导方程等。
这些模型在实际应用中有着广泛的应用，可以用来解决各种热传导问题。
总结起来，热传导的数学模型有傅里叶热传导定律、热扩散方程和热传导方程等。
这些模型能够帮助我们准确地描述和分析热传导现象，在工程、物理学和地理学等领域具有重要的应用价值。
通过对热传导数学模型的研究，我们可以更好地理解热传导的规律，并应用于实际问题的解决中。
热传导和扩散问题的傅里叶解
于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
热传导方程的热传输的稳定性问题
热传导方程的热传输的稳定性问题在日常生活中，热传输是一个非常普遍的现象，无论是冬天取暖还是夏天散热，都需要使用热传输技术。
而热传导方程是研究热传输的重要数学模型之一。
然而，在热传输过程中，我们往往关注的是传输的速率和效率，很少有人关注热传输的稳定性问题。
实际上，热传输的稳定性问题对于一些特殊场合来说非常重要。
下面将从物理过程和数学模型两个方面来探讨热传导方程的热传输的稳定性问题。
一、物理过程首先，我们需要了解热传输的物理过程。
在热传输过程中，热量从高温区域转移到低温区域。
这个过程中，热量的传输速率与温度梯度相关。
温度梯度越大，热传输速率越快，反之则越慢。
而热传输过程中还存在一个很重要的概念，即热传导率。
热传导率是指单位时间内，单位梯度的温度差下单位面积的热量传导量。
其数学表示式为：$$q=-\kappa \frac{\partial T}{\partial x}$$其中，$q$表示热量传导速率，$\kappa$表示热传导率，$T$表示温度，$x$表示空间坐标。
这个方程就是热传导方程，它描述了热传输过程中温度的变化规律。
在热传输过程中，我们需要关注的一个重要问题就是热传输的稳定性问题。
具体来说，热传输稳定性问题指的是在一个固定的时间段内，热传输过程中的温度变化是否稳定。
如果温度变化过于剧烈，就会影响整个热传输系统的工作效率和稳定性，甚至会导致热传输系统的故障。
二、数学模型为了研究热传输的稳定性问题，我们需要建立合理的数学模型。
在热传输方程中，最基本的偏微分方程是：$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \nabla^2 T$$其中，$t$表示时间，$\alpha$表示热扩散系数。
这个方程描述了温度分布随时间的变化规律。
在实际应用中，我们通常需要结合边界条件和初始条件来求解方程。
边界条件和初始条件包括物体边界的温度、输送介质的特性等因素。
在这些因素的影响下，热传输的过程变得更加复杂。
物理学概念知识：拉普拉斯方程和热扩散方程
物理学概念知识：拉普拉斯方程和热扩散方程拉普拉斯方程和热扩散方程是物理学中非常重要的两个方程。
它们分别描述了静电场和热传导过程中的物理规律。
在本文中，我们将分别介绍拉普拉斯方程和热扩散方程的定义、物理意义以及数学特性。
同时，我们将讨论这两个方程在实际问题中的应用，以及它们之间的联系和区别。
1.拉普拉斯方程拉普拉斯方程是描述静电场分布的基本方程。
在电磁学中，通过拉普拉斯方程可以求解电荷分布产生的电势分布。
其数学表达式为：∇^2φ = 0其中，∇^2是拉普拉斯算子，φ是电势。
拉普拉斯方程的物理意义是描述电势在无电荷分布的区域内的分布规律。
具体来说，对于一个没有电荷分布的区域，电势满足拉普拉斯方程。
从物理意义上来说，拉普拉斯方程描述了电势的均匀传播和分布规律。
通过求解拉普拉斯方程，可以获得电势在空间内的分布情况，从而更好地了解电场的性质和分布规律。
另外，拉普拉斯方程也在一些其他物理领域有着广泛的应用。
比如在热力学中，拉普拉斯方程可以用来描述温度分布；在流体力学中，可以用来描述速度场的分布。
因此，拉普拉斯方程可以说是物理学中一个非常基础且重要的方程。
2.热扩散方程热扩散方程是描述热传导过程的方程。
在热传导问题中，热扩散方程可以用来描述热量在材料或物体内的传播规律。
其数学表达式为：∂u/∂t = α∇^2u其中，u是温度分布，t是时间，α是热扩散系数，∇^2是拉普拉斯算子。
热扩散方程描述了温度分布随时间的演化规律，可以用来求解材料内部温度的分布情况。
从物理意义上来说，热扩散方程描述了热量在空间内的传导规律。
通过求解热扩散方程，可以获得材料内部温度的分布情况，从而更好地了解热传导的性质和规律。
除了热传导问题，热扩散方程在其他物理领域中也有着广泛的应用。
比如在地球内部热量传导问题中，可以用热扩散方程来描述地球内部温度的分布；在材料工程中，可以用来描述材料内部温度的分布等。
3.拉普拉斯方程和热扩散方程的联系拉普拉斯方程和热扩散方程在数学表达形式上有一定的相似性。
3热传导方程(扩散方程)
u
g ( x , y , z , t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g ( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
g ( x , y , z , t ),
定义2 在区域 R 3 [0, ) 上，由偏微分方程和初 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。 例如三维热传导方程的初值问题为：
2 3 u a ( u u u ) f ( x , y , z , t ), ( x , y , z , t ) R , t 0, t xx yy zz 3 u ( x , y , z , t ) | ( x , y , z ), ( x , y , z , t ) R . t 0
准备知识
2. *通量与散度 设向量场 A ( P, Q, R ), P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
( n 为 的单位法向量）
G 内任意点处的散度为 P Q R div A A x y z
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u( x , y , z , t ) ( x , y , z ), ( x , y , z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
三类边界条件热传导方程扩散方程
c J D( ) x
菲克第二定律：当扩散处于非稳态时，各点的浓度随时间而改变，通常的 扩散过程大都是非稳态扩散，菲克从物质的平衡关系着手，建立了第二个微 分方程式。
2.1热传导方程与扩散方程
在扩散方向上取体积元 ，Ax, J x , J x x 分别 表示流入体积元及流出体积元的扩散通量，则 在 t 时间内，体积元中扩散物质的积累量为：
only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 其中： k 热传导系数 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 拉普拉斯算子，在二维 笛卡尔空间上
2 2 2 x y 2 u 标量场，比如温度场等 g、f 已知函数 G 有界连通区域 连通区域的边界
x方向通过 x
处截面所迁移的物质的量 m
c m A t x
即：
Evaluation only. dmfor .NET c ted with Aspose.Slides D( ) 3.5 Client Profile 5.2 Adt x Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧。 在物体 G 内任取一个封闭曲面 从 t1 时刻到 t 2 时刻流进闭曲面
Q
t2
t1
u dS dt. k ( x, y, z ) n
，它所包围的区域记为 的全部热量为：
t 2 温度从 在时间间隔 t 1， 的热量是：
ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Profile 5.2 u u u u Client c k k k 0 t x 2004-2011 x y y Aspose z z Pty Ltd. Copyright
第二章扩散的机制扩散方程及其解
2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
扩散通量为：
J dm 1
dt 4r2
由菲克第一定律得：
稳态扩散的空心球体
第二十页，课件共有135页
dmD4r2 dC
dt
dr
2.1.1 菲克第一定律及其应用 2 多维系统中的扩散（空心球体情况）
根据已知的边界条件有：
r2 r1
dmdr C2
dtr2
C1
4DdC
由稳态扩散条件
J
a
H
J
g
H
JH aD aCgaalaC 1D laafaH a i faH 1 a
JH g Dg C2 lgCggaD lgg a fH gg a fH ig
C 1 C 2 分别为H在两相中的浓度;
a a 分别为H在两相中的活度; ag
f a f g 分别为H在两相中的活度系数;
第二十第五二十页五页，，课课件件共共有13有5页135页
x2 x1
ddm t dxCC12
DAdC
扩散物质的流量
d dm tx2x1D AC2C1
dmD AC 2C 1D AC 2C 1
dt
x2x1
l
l ：x1与x2两点间距离
第十第六十六页页，，课课件件共共有有1315页35页
2.1.1 菲克第一定律及其应用
例 8.1 推导欧姆定律
ΔC 引起的电位差 U C K
例如一层可以是纯铁，另一层可以是奥氏体不锈钢
两相层的厚度
a相的厚度为
la
g相的厚度为
lg
设扩散物质为氢 (H)，由于它在
a相与g相中具有一定的溶解度
aa
aa faC1
ag fg C2
热传导方程(扩散方程)ppt课件
22
波方程的Cauchy问题
由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。
Laplace方程的边值问题
23
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
热传导方程的混合问题
24
例 设弦的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。 解：
改变为时刻 的温度
所吸收（或
放出）的热量，应等于从时刻 到时刻 这
段时间内通过曲面 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
内温度变化所需要的热量 =通过曲面 流入 内的热量 +热源提供的热量
下面分别计算这些热量 5
（1） 内温度变化所需要的能量
设物体 的比热（单位质量的物体温度改变
1、热量守恒定律:
温度变 化吸收 的热量
通过边 界流入 的热量
热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
为热传导系数。 3、热量公式:
4
热传导方程的推导：
任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区 域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
区域 内各点的温度从时刻 的温度
25
一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以 下几个方面： 1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；
2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的 解； 3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖 定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时， 引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的， 否则称解是不稳定的。
热传导方程(扩散方程)
u t a 2 x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2 f(x ,y ,z ,t), (1 .5 )
其中
a2 k ,
c
F f ,
c
f 称为非齐次项（自由项）。
三维无热源热传导方程：
u t a 2 x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2 0.
域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
区域 内各点的温度从时刻 t 1 的温度u(x, y, z, t1)
改变为时刻 t 2 的温度 u(x, y, z,t2)所吸收（或
放出）的热量，应等于从时刻 t 1 到时刻 t 2 这 段时间内通过曲面S 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
t1 t
t1 x x y y z z
t2[ F(x,y,z,t)dV]dt t1
由 及 t 1 , t 2 的任意性知
c u ( k u ) ( k u ) ( k u ) F ( x ,y ,z ,t) .( 1 .4 ) t x x y y z z
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c, ,k 都为常数的物体）
1、Dilichlet问题。
( u x x u y y u z z ) f ( x ,y ,z ) ,( x ,y ,z ) ,
u ( x ,y ,z ) | ( x ,y ,z ) , ( x ,y ,z ) .
2、Neumann问题。
u f(x ,y,z), (x ,y,z) ,
热传导 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定 律或牛
d Q k 1 ( u u 1 ) d S d t , ( 1 .1 1 )
热传导方程(扩散方程)
(1.5)
k , 其中 a c
2
F f , f 称为非齐次项（自由项）。 c
三维无热源热传导方程：
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 0 . t y z x
t 0,
(1.10)
k1 k1 其中： 0, g u1 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为 u( x , y , z , t )的物体放入 空 气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度 为 u1 ( x , y , z , t )，它与物体表面的温度u( x , y , z , t )并不 相同。这给出了第三边界条件的提法。 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
u
g( x, y, z, t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
g( x , y , z , t ),
( x , y , z ) ,
u f x , y , z
或者 2u f x, y, z .
拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。
1、Dilichlet问题。
( uxx u yy uzz ) f ( x , y, z ), ( x, y, z ) , ( x , y , z ) . u( x , y, z ) | ( x, y, z ),
热传导方程(扩散方程)ppt课件
由傅里叶热传导定律，从 t 1 到 t 2 这段时间内通过 S
进入 内的热量为
Q t2
1
t1
u
k(x,y,z) dSdt,
S
n
由高斯公式
divAdxdydzAndSx
S
知
Q 1 tt 1 2 [ ( x (k u x ) y (k u y ) z(k u z ) ) d V ] d t.( 1 .2 )
刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；
2、上述边界条件形式上与波动方程的边界条件 一样，但表示的物理意义不一样；
3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。
4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分
布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方
程： u t a2 x 2u 2.
(1.12)
精选ppt
21
§1.3 定解问题的提法
初始条件和边界条件通称为定解条件。 定解问题是指泛定方程和相应定解条件的结合体。
泛定方程和相应初始条件构成的定解问题称为初值 问题或者柯西(Cauchy)问题。
u ta2 u x x0
u|t 0(x)
( x,t 0 ) ( x)
热传导方程的Cauchy问题
精选ppt
26
精选ppt
3
分析：（两个物理定律和 1、热量一守个恒公定式律）:
温度变
通过边
化吸收
界流入
的热量
的热量
热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
dQk(x,
u y,z) dSdt,
n
k(x, y, z) 为热传导系数。
3、热量公式: Q cmu
精选ppt
热传导与热扩散
热传导与热扩散热传导和热扩散是热学领域中常被使用的两个概念。
它们描述了热量在物质中的传递和分布过程。
本文将探讨热传导和热扩散的原理、数学模型以及在工程和科学领域的应用。
一、热传导1.1 热传导的定义热传导是指在物质中由于温度差异而引起的热能传递现象。
物质中的热传导是自然界中普遍存在的一种热能传递方式，无需介质作为传热媒介。
1.2 热传导的机理热传导的机理可以通过固体微观粒子的振动来解释。
在固体中，分子或原子围绕其平衡位置振动，当温度升高时，粒子的振动频率增加，能量传递也加剧。
这种能量的传递被称为热传导。
1.3 热传导的数学模型热传导的数学模型可以通过热传导方程来描述。
热传导方程是一个偏微分方程，它描述了温度分布随时间和空间的变化。
通常使用傅里叶热传导定律来构建热传导方程，即热流密度与温度梯度成正比。
1.4 热传导的应用热传导在工程和科学领域有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，热传导的研究可以用于暖通空调系统的设计以及建筑物的节能措施。
在材料科学领域，热传导的研究可以帮助开发具有良好导热性能的材料。
二、热扩散2.1 热扩散的定义热扩散是指热量在物体内部由高温区向低温区传递的过程。
与热传导不同，热扩散需要介质的存在来传递热量，介质通常是流体或气体。
2.2 热扩散的机理热扩散的机理与热传导略有不同。
在流体中，热扩散是通过分子的运动和流体的对流传递的。
分子的速度和方向的不均匀性以及流体中的湍流现象都会对热扩散产生影响。
2.3 热扩散的数学模型热扩散的数学模型可以通过扩散方程来描述，扩散方程是热传导方程和速度流动方程的联合方程。
扩散方程描述了扩散过程中的温度分布和物质浓度的变化。
2.4 热扩散的应用热扩散在环境科学和地球科学中有着广泛的应用。
例如，在地质学研究中，热扩散可以用来测量岩石和土壤的物理特性。
在环境监测中，热扩散可以用于地下水流的研究和水污染的分析。
总结：热传导和热扩散是描述热能传递和分布的两个重要概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1.5)
k , 其中 a c
2
F f , f 称为非齐次项（自由项）。 c
三维无热源热传导方程：
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 0 . t y z x
u
g( x, y, z, t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
g( x , y , z , t ),
( x , y , z ) ,
x
divAdxdydz A ndS
S
知
u u u Q1 [ ( (k ) (k ) (k ))dV ]dt .(1.2) t1 x x y y z z
t2
（3）热源提供的热量Q2 用 F ( x , y , z , t )表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从 t 1 到 t 2 这段时间内 内热 源所提供的热量为
c (
u dt )dV t
t2 t1
u [ c dV ]dt t
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
由傅里叶热传导定律，从 t 1 到 t 2 这段时间内通过 S 进入 内的热量为
Q1
由高斯公式
t2
t1
u k ( x, y, z ) dS dt , n S
第一章
数学建模和基本原理介绍
从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类 典型方程 根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出 定解条件 提出相应的定解问题
§1.1 数学模型的建立
数学模型建立的一般方法：
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。
Q2 [ F ( x, y, z, t )dV ]dt
t1
t2
(1.3)
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV ]dt [ ( ( k ) ( k ) ( k ))dV ]dt t1 [ t1 t x x y y z z t2
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
u( x , t ) ( x , y , z ), ( x , y, z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
dQ c [u( x , y, z , t 2 ) u( x , y, z , t1 )]dV
整个 内温度变化 y , z , t
t2 t1
2
) u( x , y , z , t1 )]dV (1.1)
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1+热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量为c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z )的体积微元 dV的温度从 u( x , y , z , t1 ) 变为 u( x, y, z , t 2 ) 所需要的热量为
1、热量守恒定律: 温度变 化吸收 的热量
通过边 界流入 的热量
热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
u dQ k ( x , y , z ) dS dt , n k ( x , y, z ) 为热传导系数。
3、热量公式:
Q cmu
热传导方程的推导： 任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区 域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。 热量 守恒 定律 区域 内各点的温度从时刻 t 1 的温度u( x , y , z , t1 ) 改变为时刻 t 2 的温度 u( x, y, z , t 2 ) 所吸收（或 放出）的热量，应等于从时刻 t 1 到时刻 t 2 这 S 流入（或流出） 段时间内通过曲面 内的 热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
t 0,
(1.9)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，表示物体绝热。 注：
u 表示 u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方向导数 n
3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
u n u
2 热传导动方程
第一节 热传导方程的导出和定解条件
一、热传导方程的导出：
给定一空间内物体 G ，设其上的点 ( x , y , z ) 模型： 在时刻 t 的温度为 u( x , y , z , t ) 。
问题： 研究温度 u( x , y , z , t ) 的运动规律。
分析：（两个物理定律和一个公式）
[ F ( x , y, z , t )dV ]dt
t1
t2
由 及 t1 , t 2 的任意性知 u u u u c (k ) (k ) (k ) F ( x, y, z, t ).(1.4) t x x y y z z
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c , , k 都为常数的物体）