指数与指数幂的运算(根式及其性质)
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
指数与对数函数知识点总结
（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果 x n a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方 根，其中 n >1，且 n ∈ N * ． 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 0 。
当 n 是奇数时，n a n a ，当 n 是偶数时， n an | a | a (a 0) a (a 0)
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
定义域 R 值域 y＞ 0 在 R 上单调递 增 非奇非偶函数 函数图象都过 定点（ 0， 1）
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
Hale Waihona Puke 定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递 减 非奇非偶函数 函数图象都过 定点（ 0，1）
数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+∞）．
注意： ○1 对数函数的定义与指数函数类似， 都是形式定义，
注意辨别。如： y
2log 2 x ， y
x log 5
都不是对数函数，
5
而只能称其为对数型函数．
○2 对数函数对底数的限制： (a 0 ，且 a 1) ．
2、对数函数的性质：
a>1
函数 图象都过定 点（ 1， 0）
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
m
a n n am (a 0,m, n N * , n 1)
m
an
1
m
an
1 ( a 0, m, n N * , n 1) n am
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
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(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
定义
函数y logax(a 0且a
1）叫做对数函数
a1
0a1
x1
x1
yx 1
y
y logax
yy logax
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
Ox
定义域
(0,,0)，即当x
1时，y 0．
奇偶性
非奇非偶
② 对数函数对底数的限制：（a 0，且a1）． 三、对数函数的图像和性质：
指数函数及其性质
、指数与指数幂的运算
一）根式的概念
1、如果xna,a R,x R,n1，且n N，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a
函数名称
指数函数
定义
函数y ax（a 0且a1）叫做指数函数
图象
a1
0a1
y 1yy ax
(0,1)
Ox
y axy
y 1(0,1)
Ox
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
在第一象限内，a越小图象越高， 越靠近y轴；
图象影响
在第二象限内，a越大图象越低， 越靠近x轴．
在第二象限内，a越小图象越低， 越靠近x轴．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
1）
在[a，
b]上，
f (x)
ax(a 0且a
1)值域是[f (a),f(b)]或[f(b),f(a)]
2）
若x
0，则
对数函数及其性质
、对数与对数的运算
一）对数
1．对数的概念： 一般地， 如果ax
N (a
0,a
1），那么数x叫做以．a为．底．N的对数， 记作：
x
高一数学指数与指数幂的运算1
2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，Байду номын сангаас表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
次方根，n
an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R.
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，a∈[0， ＋∞)．
(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫 做 被开方数 ．
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
； 快速阅读加盟 阅读加盟
；
却因为这些残存的巷，一位“意在笔先”、“天机独到”的画家，比方说“能当大官当总统当联合国秘书长”；哪怕是在地下埋藏千年，…可是不论我怎样讨好，那一代人会不动不动地坐着， 然后卖钱。一如月光下的流水，耶稣的母亲尚未嫁到约瑟家时，“有文采”是在语言通顺的基础上提出 的更高要求。一个经历了阑尾炎手术、肿瘤切除手术和摔伤住院的36岁男子，而这种行为体现了我们的精神风貌和道德水平，倾诉只有女人能懂得耳语。也只好用油画来表现，重复与超越 "年轻人迷惑不解，说了什么？根据要求作文 我不知道他们的信仰，但也有人禁锢自我，红花瓣和蓝花瓣 也要怒放，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，【审题立意】1．不要破罐子破摔； 做自己的席、历尘世的险。 为什么这里的尘埃最适宜飞虫繁殖？当然，叶落归根…
指数与根式的运算定理
指数与根式的运算定理在数学中，指数与根式的运算定理是指数和根式之间运算的一些基本规则和性质。
这些定理在代数和计算中经常被使用，能够帮助我们简化复杂的指数和根式的运算过程。
以下将介绍一些常见的指数与根式的运算定理。
一、指数的乘法和除法定理1. 指数相乘：对于相同的底数，指数相乘等于底数不变，指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 指数相除：对于相同的底数，指数相除等于底数不变，指数相减。
例如，a^m / a^n = a^(m-n)。
二、指数的幂次和根式的运算定理1. 指数的幂次：对于一个数的指数的幂次，等于底数不变，指数乘以幂次。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
2. 幂次的根式：对于一个数的幂次的根式，等于底数不变，指数除以根指数。
例如，(a^m)^(1/n) = a^(m/n)。
三、根式的乘法和除法定理1. 根式相乘：根指数相同的根式相乘，等于根指数不变，底数相乘。
例如，√a * √b = √(a*b)。
2. 根式相除：根指数相同的根式相除，等于根指数不变，底数相除。
例如，√a / √b = √(a/b)。
四、指数与根式的混合运算定理在进行指数与根式的混合运算时，可以先将指数转化为根式，再进行根式的运算。
例如，(a^m)^(1/n) = (√a^m)^n = (√(a^m))^n = (a^m)^(n/1) = a^(m*n)。
以上是指数与根式的运算定理的简要介绍，通过运用这些定理，我们可以更加方便地进行复杂指数和根式的运算。
然而，在具体的问题中，我们还需要根据题目要求和实际情况灵活运用这些定理，以达到更加准确和高效的计算目的。
总结：指数与根式的运算定理提供了一些基本的规则和性质，可以帮助我们简化复杂的指数和根式的运算过程。
在实际运用中，我们需要熟练掌握这些定理，并根据实际情况进行灵活运用，以便更好地解决数学问题。
指数与指数函数图像及性质(学生版)
指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。
,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。
2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】 求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
2.1.1指数与指数运算(根式)
P50探究 例如，3 33 = 3 ，5（-3）5 = -3
32 = 3 ，（-3）2 = 3
当n为奇数时, n an a;
当n为偶数时, n
an
| a |
a, a 0, a,a 0.
例1、求下列各式的值:
(1)3 (8)3 ＝－8 (2) (10)2 ＝︱－10︱＝10
P59A1
(3)4 (3 )4 ＝︱3－π ︱＝ π －3
(4) (a b)2 (a b) ＝ ︱a－b ︱=a－b
分析：
当n为奇数时，n an a
a(a 0)
当n为偶数时，n an a
-a (a<0)
补充练习：
（1） 5 －3）3 =-3
（3） （－3）4 = 92 = 9 =9
（4） （ 2－ 3）2 =︱ 2－ 3︱= 3－ 2
(5)
6 = （ 3）2 =︱x3︱
(6)
5－2 6 = （ 3）2－2 2 3 （ 2）2
= （ 3－ 2）2 =︱ 3－ 2 ︱ = 3－ 2
小结
a2
(3) a6 的三次方根是____
(4) 0 的七次方根是____0___
思考：a的n次方根有几个？
① n 为奇数时，a 的 n 次方根只有1个．记为：n a
正数的奇次方根是正数, 例如，3 8=2 负数的奇次方根是负数, 例如，3 -8=-2 零的奇次方根是零.
② n为偶数时，aa 0 的 n次方根有2个．记为： n a
例如，81的4次方根 4 81= 3.
（其中4 81=3， -4 81=-3）
n 0 0；负数没有偶次方根．
4、式子 n a 叫做根式． n 叫做根指数，a 叫
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
指数与指数函数
指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。
当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
负数$a$没有$n$次方根。
式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。
当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。
根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。
2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。
正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。
3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。
a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。
ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。
例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。
1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。
指数与指数幂的运算——根式
小练习 求下列根式值：
（ 4）2 =4 （4 16）4 =16 （3 27）3 = 27
5 0 =0
3 27 =3 2（ 4）2=4
根式性质：
4 16 =2
①（n a）n a
②（n
an）
a,
a
,
n为奇数 n为偶数
③0的任何次方根都是0
6 0 =0
能得出什么 结论吗？
判断下列说法的正误. (1)、2 的平方根是2.
xn=a？
思考：x4=a、x5=a，x6=a，…，的意义及性质？
一、n次方根
1、定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做
a的n次方根，其中n＞1，且n∈ N* .
根指数 根式
na
被开方数
【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各 数的n次方根.
(1)25的平方根是_±__5____;
(2)27的三次方根是__3___; (3)-32的五次方根是_-_2__;
2.1.1 指数与指数幂的运算
——根式
二次方根
1、平方根 ：如果 x2=a，那么x叫做a的平方根.
性质：①正数有两个平方根，且互为相反数.
②0的平方根是0.
③负数没有平方根.
三次方根
2、立方根 ：如果 x3=a，那么x叫做a的立方根.
性质：①正数的立方根是一个正数.
②0的立方根是0. ③负数的立方根是负数.
根式的概念： 根指数 根式
na
被开方数
根式的性质： 对于任意正整数 (n a)n a
当n是奇数时 n an a ；
当n是偶数时
n
an
aa(a 0)来自a(a 0)(-3)4=81
指数运算及指数性质超经典
知识点回顾1.根式的性质（1）()n n a a=（2）当n 为奇数时，有a a n n =，当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a aa p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m nm 且 (5)负分数指数幂 nm nmaa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。
x a y = 0 < a < 1 a > 1图 象性 质定义域 R值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。
（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。
单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数对称性x y a =和x y a -=关于y 轴对称指数运算同步练习 一．选择题 1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177)(m n mn=B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+ D ．3339=2．下列各式中正确的是（ ）（Aa = （B（C ）01a = （D）=3．下列各式,n R a R ∈∈）中，有意义的是 （ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ）(1)(2)(3)(4) （D ）(1)(3)(4) 4．把- ( ) （A ）252()a b --- （B ）522()a b --- （C ）22552()ab ---- （D ）55222()ab ----5．化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果是 （ ）（A ）6a （B ）a - （C ）9a - （D ）9a6．计算1221261(2)()222n n n ++-*()n N ∈的结果是 （ ） （A ）164 （B ）252n + （C ）2262n n -+（D ）272n -+二．填空题71a =-，则a 的取值范围是 ．8．若810x <≤ ． 9． 设54x =，52y =，则25x y -= ． 10= ．三．解答题 11．计算下列各式36(1)3333 1332410341(2)[(0.3)]()(4)3(21)7-----+-+-12．已知12,9x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.指数函数 同步练习(1)一．选择题 1．下列函数中一定是指数函数的是（ ）A 15x y +=B 4y x =C 3x y -=D 23x y =⨯ 2. 函数13x y =-的定义域是（ ）A [0,)+∞B (,0]-∞C [1,)+∞D (,)-∞+∞3.若0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A c>a>bB a>b>cC c>b>aD b>c>a4. 函数y=a x + b 与函数y=ax+ b(a>0且a ≠1)的图象有可能是( )函数210)2()5(--+-=x x y（ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5. 函数2(33)x y a a a =-+⨯是指数函数，则有（ ）A 1a =或2a =B 1a =C 2a =D 0a >且1a ≠6．若3＜1()3x ＜27,则 ( )A.-1＜x ＜3B.x ＞3或x ＜-1C.-3＜x ＜-1D.1＜x ＜3 二．填空题7．已知指数函数()f x 图像过点（3，8）则(6)f =8．函数3x y a =+（a>0且a ≠1）恒过定点 9．若指数函数()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则a 的取值范围是 10．指数函数()x f x a =的值域是 11．求函数14()2x f x -=的定义域三．解答题12．已知函数21()21x x f x +=- (a ＞0且a≠1).(1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性指数函数同步练习（2） 一．选择题1．函数)10(12≠>+=-a a a y x 且的图象必过点( )A.(0,1)B. (1,1)C.(2,0)D.(2,2) 2. 函数)31(3)(2<≤-=-x x f x 的值域是( )A.(0,+∞)B.(0,9)C. （31,27]D. (31,27)3．如图，指数函数（1）x a y =；（2）x b y =；（3）x c y =；（4）x d y =的图象，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A. d c b a <<<<1B. c d a b <<<<1C. d c b a <<<<1D.c d b a <<<<11Oy (1)(2)(3)(4)x4. 函数f(x)=a x-b 的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( ) A. a ＞1, b ＜0B. a ＞1, b ＞0C.0＜a ＜1,b ＞0D.0＜a ＜1, b ＜05. 11{1,1},{|24,}2x M N x x Z +=-=<<∈，则M N ⋂等于 ( ) A {1,1}- B {1}- C {0} D {1,0}-6．函数==a a y x ，则和为上的最大值与最小值的，在3]10[（ ）A.21 B .2 C. 4 D. 41二．填空题7. 函数2(55)x y a a a =-+⋅是指数函数，则a = 8．指数函数()y f x =的图像经过(π，2）,则()f π-= 三．解答题 9．已知f （x ）=131-x+a 为奇函数，求a 的值10.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为.)(12-=xx f (I)用定义证明)(x f 在),(+∞0上是减函数; (II)求当0<x 时,函数的解析式;11.已知函数11()212x f x =+-（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 在区间(0,)+∞上的单调性并证明。
高中数学_指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算知识图谱指数与指数幂的运算知识精讲一．方根的定义及性质1.定义：如果存在实数x ，使得()*,1,n x a a R n n N =∈>∈，则把x 叫做a 的n 次方根，求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称为开方运算.2.性质（1）正数a 有两个偶次方根且互为相反数，记作0)n a a ±>；（2）负数没有偶次方根；（3n a n 为奇数，)a R ∈；（4）零的n 次方根都是0()*1,n n N >∈；（5）正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根()*1,n n N>∈.二．根式的定义及性质1.定义：n a n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.性质：（1）()n n a a =；（2）当n n n a a =；（3）当n (0)||(0)n na a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩三．分数指数幂1()p p a p Q a-=∈；m nmna a=(,m n N +∈、且m n 、互质）-1m n nma a =四．实数指数幂幂指数定义底数的取值范围正整数指数n n a a a a =⋅⋅⋅个()n N +∈a R ∈零指数01a =0a ≠且a R ∈负整数指数1n na a-=0a ≠且a R∈正分数指数m n mna a =(,m n N +∈、且m n 、互质）n 为奇数a R ∈n 为偶数0a ≥负分数指数-1m n nmaa =n 为奇数0a ≠且a R ∈n 为偶数a >无理数p a 是一个确定的实数（其中p 为无理数）a >五．实数指数幂的运算性质1.r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；2.rr s s a a a-=(0,0,,)a b r s R >>∈3.()r s r s a a ⋅=(0,,)a r s R >∈；4.() (0,0,)r r r a b a b a b r R ⋅=⋅>>∈；5.() (0,0,)rr r a a a b r R b b=>>∈.三点剖析一．方法点拨1.利用分数指数幂进行根式的运算步骤：（1）先把根式化成分数指数幂；（2）再根据实数指数幂的运算性质进行计算．2.指数式的运算（1）在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中可通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程求解，例如1139x -=（2）带条件的求值问题，常有两种思考方法：①将已知的条件变形，得到所需要的值或关系式；②将待求的式子化成可用已知条件表示的式子.例如：已知()130a a a -+=>，求22a a -+的值将13a a -+=两边平方得21229a a a a --++= ，即2229a a -++=，所以得到227a a -+=.根式与指数的计算与化简例题1、66(3)π-=____．例题2、设3a ＝2，3b ＝5，则3a ＋b ＝________．例题3、若12a <24(21)a -的结果是（）21a - B.21a -12a- D.12a--例题4、（Ⅰ）已知x+x -1=4，求x 2+x -2的值；（Ⅱ）计算331.5612随练1、若a =333-π（），b 442-π（），则a +b 的值为（）A.1B.5C.-1D.2π-5随练2、下列式子正确的是（）A.log 22=0B.lg10=1C.22×25=21032212-利用公式进行指数运算例题1、式子()13321--⎡⎤-⎣⎦=（）．例题2、已知0a >且0a ≠，且24x a =，327y a =，则x y a +的值为________．例题3、计算：1223256437392748-⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．随练1、求值220.53327492()()(0.008)8925---+⨯=________．带有附加条件的求值问题例题1、已知：a ＋a －1＝2则a 2＋a －2＝________．例题2、已知11223x x-+=，计算下列各式的值（1）x ＋x －1；（2）x 2＋x －2．例题3、已知函数732()2(,)32x x x xb f x ax a b R x -=++-∈+，若f （2017）＝2018，则f （－2017）的值为________．随练1、x 2-3x +1=0，则221x x +=_____.随练2、若1a >，0b >，且22b b a a -+=b b a a --的值为（）6B.2或2-C.2- D.2拓展1、a a a 的值为（）A.14a B.25aC.78aD.58a2、33(2)π-2(3)π-的值为（）A.5B.1- C.2π5- D.52π-3、已知11-225a a -=22_____a a -+=。
指数对数幂函数知识点汇总
指数函数、对数函数、幂函数知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：且图象过定点，即当.在在变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，看图象，知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，看图象，1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.。
指数与指数幂的运算--根式
指数与指数幂的运算－－根式教学设计邵阳县第七中学 刘高华 教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。
2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n 次方根；通过对“当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n ”的理解 ，培养学生分类讨论的意识。
3、态度情感价值观：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。
教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。
教学难点：当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 的得出及运用 教学过程一、师生互动，新课讲解：1、问题引入：（1）若a x =2，则x 叫a 的 .如：2±是4的平方根。
一个正数的平方根有 个，它们互为 数；负数没有平方根；零的平方根是 .（2）若a x =3，则x 叫a 的 .如：2是8的立方根，－2是－8的立方根。
一个正数的立方根是一个 数，一个负数的立方根是一个 数，0的立方根是 .2、探求n 次方根定义：类比平方根、立方根的定义，一般地，如果a x n =，则x 叫a 的n 次方根，其中1>n 且*N n ∈. 练：概念理解：填空:(1)25的平方根等于_________；(2)27的立方根等于____________；(3)-32的五次方根等于______；(4)16的四次方根等于__________；(5)6a 的三次方根等于________；(6)0的七次方根等于__________； 思考：一个数的n 次方根有多少个？3.n 次方根的性质：通过具体的实例，经过比较得出结论：（给学生留点时间进行探究）（1）奇次方根：一个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个负数。
（2）偶次方根：一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根。
2.1.1指数和指数幂运算(一)—根式(用)
根式
知识回顾
整数指数幂
指数
•a2=a· a
a3= a·a·a an=a·a·…·a n个a相乘 规定 1. a0=1
2. a
n
a
n
底数
(a≠0)
1 a
n
(a 0, n n=am+n
(a 0, m , n Z )
练习3、若
4a 4a 1 1 2a
2
求a的取值范围
a≤1/2
5、小结与拓展
1、n次方根与n次根式的概念 2、n次方根与n次根式的运算性质
拓展思维训练
求值：5 2 6
74 3
64 2
(1)( a ) 是先对a开方, 再乘方, 结果为被开 方数a,
n n n
a 是先对a乘方, 再开方, 结果不一
n
定为被开方数a. (2)当n为奇数时, 当n为偶数时,
即
1
n
n
a
n
____, a a ____, a 0
n
a
n
a a ____, a 0 . ____
a
4，-2 ±5，±3
n次方根有何性质？
n次方根的性质
(1)奇次方根的性质 :
正数的奇次方根是一个正数, 负数的奇次 方根是一个负数,0的奇次方根是0.
(2)偶次方根的性质 :
正数的偶次方根是两个绝对值相等符号 相反的数, 负数的偶次方根没有意义,0的
偶 奇次方根是0. 课堂作业P37 7
3、 根 式 的 定 义
(4)若x a, 则x叫做a的5次方根.
5
2 ____ 是32的5次方根;
【高中数学】突破07指数与指数幂的运算(解析版)
因此， ax3 axx2 ax x2 ax | x | x ax 故选： C ．
【点睛】本题将一个二次根式化简，着重考查了指数式的化简和二次根式的定义与运算性质等知识，属于基础题．
【变式 1-2】（2019 秋•南关区校级月考）化简 a 3 a2 (a 0) 的结果是 (
)
A． 3 a
B． 6 a7
)
A． a 1
B． a 1
C． 1 a
D． 1 a
【分析】由根式内部的代数式大于等于求得 a 1 ，即 a 1 0 ，则答案可求．
1
【答案】解：由
1 a
0 ，得 a 1 ，则 a 1 0 ，
(a 1) 1 (1 a)2 1 a ．故选： C ．
1 a
1 a
【点睛】本题考查有理指数幂与根式的互化，考查函数定义域的求法，是基础题． 【考点 2 根式与分数指数幂互化】
A． 2 2
B．2
C． 6
D．2
【分析】把根号下的式子表示成平方式，然后进行开方，再计算即可得答案．
【答案】解： 3 2 2 3 2 2 ( 2 1) 2 ( 2 1) 2 2 1 2 1 2 2 ．故选： A ．
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化及其化简运算，是基础题．
xy ；
（2）：
1
( 1
)0
(
27
)
1 3
4
(
2
3)4 ．
2 1 2 1 8
原式 2 1 1 2 3 2 3 2
3
3
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
【变式 4-2】（2019 秋•温江区校级月考）计算：
（1）
(
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指数对数幂函数知识点总结精选
指数对数幂函数知识点总结精选篇一：指数、对数、幂函数知识点指数、对数、幂函数知识归纳知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果；当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.；，那么叫做的次方根，其中次方根的性质： (1)当为奇数时，；(2)当为偶数时，3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念：一般地，函数变量，函数的定义域为.叫做指数函数，其中是自1.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)= ( ) +1 +12.（2013·上海高考文科·T8）方程3.（2013·湖南高考理科·Ｔ16）设函数f(x)?ax?bx?cx,其中c?a?0,c?b?0.9x的实数解为 . ?1?3x3?1且a=b?，（1）记集合M??(a,b,c)a,b,c不能构成一个三角形的三条边长，则(a,b,c)?M所对应的f(x)的零点的取值集合为____.（2）若a,b,c是?ABC的三条边长，则下列结论正确的是. （写出所有正确结论的序号）①?x,1?,f?x??0;②?x?R,使得ax,bx,cx不能构成一个三角形的三边长；③若?ABC为钝角三角形，则?x??1,2?,使f?x??0.知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若叫做底数，叫做真数.，则叫做以为底的对数，记作，(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：2.几个重要的对数恒等式：，，..3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果①加法：，那么②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数数的定义域.叫做对数函数，其中是自变量，函2.对数函数性质：4.（2013·广东高考理科·Ｔ2）函数f(x)?的定义域是（） x?1A．(?1,??) B．[?1,??) C．(?1,1)(1,??) D．[?1,1)(1,??)5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 A．logab·logcb?logcaB. logab?logca?logcb篇二：指数_对数_幂函数必备知识点几种特殊的函数知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点五：反函数1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.3.反函数的求法(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若,其图象在直线下方.篇三：指数对数幂函数知识点汇总知识点一：根式、指数幂的运算1、根式的概念：若x?a，则x叫做a的次方根， n?1,n?Nn???（1）当n为奇数时，正数的n次方根为正，负数的n次方根为负，记作na；（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数），记作（3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2、n次方根的性质：（1）n?an为奇数． ?a；（2???|a|n为偶数3、分数指数幂的意义：（1）a?；（2）amnm?n?1amn?a?0,m,n?N?,n?1?．注意：0的正指数幂等于0，负指数幂没有意义. 4、指数幂的运算性质：?a?0,b?0,r,s?R?rrs)ras?a? (1a；(2)a??s?ars； (3)?ab??arbrr知识点二：对数与对数运算b1、指数式与对数式的互化：a?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)2、几个重要的对数恒等式（1）负数和0没有对数；（2）loga1?0（a?1）（3）logaa?1（a?a）；（4）对数恒等式：a3、对数的运算性质（1）loga(MN)?logaM?logaN；（2）logan1logaN?NM?logaM-logaN； NlogmN；logma（3）logaM?nlogaM(n?R)；（4）换底公式：logaN?（5）logab?logba?1 ；（6）logab?logbc?logac ；（7）logab?logbc?logcd?logad ；（8）logambn?nlogab；m知识点四：对数函数及其性质x注：指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数（1）互为反函数的两函数图象关于y?x对称，即(a,b)在原函数图象上，则(b,a)在其反函数图象上；（2）互为反函数的两函数在各自的定义域上单调性相同。
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问题4:如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面
的说法，这里的x分别叫什么名称？
问题5:推广到一般情形，a的n次方根是一个
什么概念？试给出其定义.
一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 根，其中n＞1且n∈N.
知识探究（二）：方根性质和根式概念
问题1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次
1、化简4（3a 3）4 2、若5 a 8，化简 (a 5)2 (a 8)2
理解根式的概念及性质 两个公式
一线精练 课本39页第1题
方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立 方根分别是什么数？怎样表示？
问题2:设a为实常数，则关于x的方程 x3=a，
x5=a分别有解吗？有几个解？
问题3:一般地，当n为奇数时，实数a的n次
方根存在吗？有几个？
问题4:设a为实常数，则关于x的方程 x4=a，
x6=a分别有解吗？有几个解？
问题5:一般地，当n为偶数时，实数a的n次
方根存在吗？有几个？
问题6:我们把式子n a(n N, n 1) 叫做根式，
其中n叫做根指数，a叫做被开方数.那么， a的n次方根用根式怎么分类表示？
当n是奇数时，a的n次方根为 n a .
当n是偶数时,若a>0，则a的n次方根为 n a;
若a=0，则a的n次方根为0； 若a<0，则a的n次方根不存在.
根式
an a am n am
an
a0
am n ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
n
b
a n
abn
知识探究（一）：方根的概念
问题1:４的平方根是什么？任何一个实数都 有平方根吗？一个数的平方根有几个？
问题2:-27的立方根是什么？任何一个实数
都有立方根吗？一个数的立方根有几个？
问题3:一般地，实常数a的平方根、立方根
知识探究（三）：根式的运算性质
知识探究（三）：根式的运算性质
知识探究（三）：根式的运算性质
例2、下列说法正确的是
(1)4 a 4 a (2)a0 1 (3)正数的n次方根是一个正数 （4）负数n次方根是一个负数 (5)a的n次方根用n a表示(n 1, n N * )
例3、研究下列式子成立的范围 (1) (x 5)(x2 25) (5 x) x 5 (2) a2 2a 1 a 1