人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》

《 等式性质与不等式性质》

1、知识与技能

（1）能用不等式

(组)表示实际问题的不等关系；

（2）初步学会作差法比较两实数的大小；

（3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.

2、过程与方法

使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系.

3、情感态度与价值观

通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】

能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质.

【教学难点】

运用不等式性质解决有关问题.

（一）新课导入

用不等式(组)表示不等关系

中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ).

12v v v ≤<

（二）新课讲授

问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗

（1）某路段限速40km /h ；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40.

对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%.

2.5%2.3%

f p ≥⎧⎨≥⎩ 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c .

对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足

为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE .

以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着，

就可以用不等式研究相应的问题了

问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元

解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

错误!x≥20. ①

求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.

如何解不等式①呢与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.

实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的还有其他不等式的性质吗回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.

由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B 的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a＞b.

探究一：比较两个数(式)的大小的方法:

我们用数学符号“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.

判断两个数(式)的大小的依据是:( 作差法)

a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.

这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.

作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.

（三）例题探究

例1 比较（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）的大小.

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。

解：因为

（x+2）（x+3）-（x+1）（x+4）

=（x2+5x+6）-（x2+5x+4）

=2＞0，

所以

（x+2）（x+3）＞（x+1）（x+4）.

跟踪训练1 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.

解：∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1

＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2

＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]， ∵(x －12)2＋34

＞0，x －1＜0， ∴(x －1)[(x －12)2＋34

]＜0， ∴x 3－1＜2x 2－2x .

探究二：将图中的“风车”抽象成图.在正方形ABCD 中有4个全等

的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为a ，b （a ≠b ），

那么正方形的边长为22a b +.这样，4个直角三角形的面积和为

2ab ，正方形的面积为a 2+b 2.由于正方形ABCD 的面积大于4个直角

三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a 2+b 2＞2ab .

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a =b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有 a 2+b 2=2ab .

于是就有a 2+b 2

≥2ab .

一般地，,a b ∀∈R ，有 a 2+b 2≥2ab ，

当且仅当a =b 时，等号成立

事实上，利用完全平方差公式，得

a 2+

b 2-2ab =（a -b ）2.

因为,a b ∀∈R ，（a -b ）2=0，当且仅当a =b 时，等号成立，所以a 2+b 2

-2ab =0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a 2+b 2

≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立.

通过等式性质可以发现，等式在运算中的不变性. 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗

探究三:不等式的基本性质

(1)a ＞b ⇔b ＜a (对称性)；

(2)a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c (传递性)；

(3)a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c (可加性)；

(4)a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；

(5)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；

(6)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；