正方体截面的形状-(3)
细说正方体的截面图形
细说正方体的截面图形在实际生活中时常出现实物几何体的切面所形成的截面图形形状，在中学数学中也学习了几何体的截面图形，截面是一个平面去截一个几何体得到的平面图形或一个平面与几何体表面交线围成的封闭图形，。
截面图形更好的将平面几何与立体几何联系起来，探究具体几何体的截面图形有助于更深入的认识几何体，发展正确的空间观念。
对于一个几何体不同的切截方式所得到的截面图形可能出现不同的情况。
现具体以正方体为例来探究正方体的截面图形形状。
一个平面截正方体与各面的交线都是线段，因此正方体的截面图形都是平面图形。
正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过正方体的三个面而最多要经过六个面，所有出现的截面图形边数至少是三条而最多是六条，则只可能出现三角形、四边形、五边形、六边形。
一、截面图形是三角形用一平面去截正方体经过正方体三个面时得到的截面图形是三角形1.截面图形是锐角三角形如下图，一个平面截正方体任意三个面得到截面△EFG ，BE=a,BF=b,BG=c.可得EF=22b a +,EG=22c a +,FG=22c b +.（1）如图①，当a ≠b ≠c 时，则EG ≠FG ≠EF,即截面△EFG 是一般三角形。
（2）如图②，当a=b ≠c 时，则EG=FG ≠EF 即截面△EFG 是等腰三角形。
同理可得a=c ≠b 或b=c ≠a 时截面△EFG 是等腰三角形。
（3）如图③,当a=b=c 时EF=FG=EG 即截面△EFG 是等边三角形2.截面图形不能是直角三角形如图①，2EF =22b a +，2FG =22c b +,2EG =22c a +,则222EG FG EF +<,222EG EF FG +<,222EG FG EF +<,所以截面三角形不可能是直角三角形。
3.截面图形不可能是钝角三角形如图①，cos ∠FEG=EG EF FG EG EF ⋅-+2222=22222222222ca b a c b c a b a +⋅+--+++ =22222c a b a a +⋅+>0,则0<∠FEG< 90.同理可得0<∠EFG< 90.0<∠EGF< 90. 所有截面图形不可能是钝角三角形。
【精编版】最新北师大版七年级数学上册第1章《丰富的图形世界》同步练习及答案—1.3截一个几何体(4)
北师大版七年级数学上册第1章《丰富的图形世界》同步练习及答案—1.3截一个几何体（4）1．截面定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．如图所示，阴影部分就是截面．谈重点截面的理解①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．②截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关．③对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同．同一个几何体可能有多种不同形状的截面．【例1】下列关于截面的说法正确的是( )．A．截面是一个平面图形B．截面的形状与所截几何体无关C．同一个几何体，截面只有一个D．同一个几何体，截面的形状都相同解析：根据截面的定义“用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面”可知，A是正确的；截面与几何体的形状有关，B是错误的；从不同的角度和方向去截同一个几何体，所得的截面一般不同，所以C，D是错误的．故选A.答案：A2.正方体的截面正方体截面的形状：如图所示，正方体的截面的形状可以是：(1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图①.(2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图②③④.(3)五边形，如图⑤.(4)六边形，如图⑥.正方体中不同形状的截面的截法：(1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形．(2)图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形．(3)过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形(如图)，且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形．(4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形．(5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形．【例2】下列说法正确的是( )．①正方体的截面可以是等边三角形②正方体不可能截出七边形③用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形④正方体的截面中边数最多的是六边形A．①②③④ B．①②③C．①③④ D．①②④解析：过正方体三个不相邻顶点的截面是等边三角形，①正确；正方体只有六个面，所以最多与六个面相交，截面最多是六边形，②正确；当一个平面与四个平面相交时，截面也可能是长方形和梯形，③错误；正方体有六个面，当与六个面都相交时，截面是六边形，④正确．答案：D3．圆柱、圆锥、球的截面(1)圆柱的截面用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分．(2)圆锥的截面用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分．(3)球体的截面用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆．【例3】下列几何体的截面分别是__________、________、________、________.解析：观察时要注意平面截几何体的方向和角度，找出它与几何体的几个面相交，同时注意截面是否与底面平行或垂直．答案：圆长方形三角形圆4．根据截面判断几何体(1)常见几何体截面的比较常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体．棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱柱……其中以正方体为代表．各种几何体的截面如下表：(2)根据截面判断原几何体的方法：①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面．例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台．②若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形．【例4－1】一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )．A．圆柱和圆锥B．球体和圆锥C．球体和圆柱D．正方体和圆锥解析：球的截面只能是圆形；圆柱的截面可以是圆、长方形、椭圆和椭圆的一部分；正方体和圆锥都可以截出三角形，故选C.答案：C【例4－2】一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长方形，判断这个几何体的名称(写出一种几何体的名称即可)．分析：本题考查由截面的形状判断几何体．用水平面截，所得截面都是圆，该几何体可能是圆柱、圆锥、球；用竖直的面去截，所得截面是长方形，该几何体可能是棱柱、圆柱、正方体、长方体．综合两个条件可得该几何体可能是圆柱．解：这个几何体可能是圆柱．点评：同一个几何体可能有多个不同的截面图形，只有综合考虑不同的截面图形，才能准确判断出几何体的形状．5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关．【例5－1】__________个．解析：过一个顶点截掉一个角后，去掉了一个顶点，又增加了两个，实际上比原来的长方体增加了一个顶点，有9个．答案：9【例5－2】如图，用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有________个顶点，有________条棱，有________个面．解析：剩下的部分是一个五棱柱，故有10个顶点，15条棱，7个面．答案：10 15 76．截面的应用把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平行的底面的面积．如图所示．【例6】72平方厘米，则这根木料原来的体积是多少？分析：木料被锯成4段，实际上可以看成用3个平面去截一个长方体，每个截面处增加2个相等的面，共增加了3×2＝6个面，这6个面的面积和是72平方厘米，可先求出每个面的面积，再求体积．解：因为将木料锯成4段，则表面积多出6个面，且每个面的面积相等，所以72÷6＝12(平方厘米)．所以原木料的体积是12×200＝2 400(立方厘米)．答：这根木料原来的体积为2 400立方厘米．点评：①长方体的体积＝横截面的面积×长；②注意本题单位要统一．。
正方体的截面问题研究资料讲解
正方体的截面问题研究研究性学习报告——正方体的截面形状【课题】正方体的截面形状【作者】刘可歆岳新茹【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。
【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。
再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。
【研究过程】探究1：当截面为三角形根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:====由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：====》正三棱锥探究2：当截面是四边形1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4．菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》探究3：当截面是五边形6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》探究3：当截面是六边形7.六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：【拓展探究】1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
2. 正方体最大面积的截面四边形:通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。
几何体截面的形状
几何体截面的形状取决于几何体的形状以及截取的方向和角度。
以下是一些常见的几何体截面形状：
1. 正方体：截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
2. 长方体：截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
3. 圆柱体：截面可能是圆形、椭圆形、矩形、三角形等。
4. 圆锥体：截面可能是圆形、椭圆形、抛物线等。
5. 球体：截面可能是圆形、椭圆形等。
需要注意的是，对于不规则的几何体，其截面的形状也可能不规则。
此外，对于一些复杂的几何体，如多面体等，其截面的形状也可能比较复杂。
正方体截面总结
结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形 2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
正方体截面的形状 (3)
正方体截面的形状1.按截面图形的边数分类：三边形（锐角三角形，等腰三角形，等边三角形）四边形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形）五边形（五边形）六边形（六边形，正六边形）2.（1）证明：截面是三角形①锐角三角形证明：∵设三边为a,b,c ，∴则证明a^2+b^2>c^2,且cosC>0,C为锐角。
同理可证，B、C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形。
②等腰三角形证明：取相邻两边任意两点，距离两边交点相等，在第三边取任意一点（与交点不重合）∵AB长确定，AC=AD,∠CAB=∠DAB=90°。
∴根据勾股定理可知CB=DB且三角形为等腰三角形③等边三角形证明：在AB.AC.AD上,取三点距离原点A相同。
∵图形为正方体。
∴AB=AC=AD又∵三线两两垂直，根据勾股定理知BC=CD=BD，且截面为等边三角形。
（2）证明：截面是四边形。
①．矩形.正方形。
证明：：取任意一平面平行于上下底面或侧面。
且所截图形为正方形。
又∵正方形是特殊的矩形，∴截面可以是矩形。
∵ABCD平行于上底面，∴AB=BC=CD=AD又∵AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面为正方形。
②．菱形证明：以相对顶点为菱形对点，取与顶线不相交的相对侧棱中点，所截平面。
∵图形为正方体，所以对边平行且相等。
∴截面为平行四边形。
又∵AB=BD,AE=DF.∠BAE=∠BDF=90°，且BE=BF. ∴截面为菱形③梯形.等腰梯形证明：当平面不垂直底面时,且在上底面的截线段平行对角线,所得的截面图形可能为梯形。
当上下底面的截线段都平行于同一条对角线，所得的截面图形可能为等腰梯形。
∵AB∥CD, ∴ABCD为梯形。
作AF’⊥CF，BF1⊥FD又∵AE=BE,CF=FD,AF’=BF1=EF. ∴AC=BD且截面为等腰梯形。
（3）证明：截面是五边形。
证明：第一个为五边形，在正面上画一个直线，直线一端为右下角另一段为左前侧棱1/2往上这样将直线延长与正上棱相交同样的道理在右侧面画一条直线直线一端为右下角（与上同理）另一段为后右侧棱1/2往上这样将直线延长与上右侧棱相交由图得所截平面为五边形。
【原创】正方体截面的形状 教学设计-人教版(2019)高中数学必修第二册
【教学主题】正方体截面的形状【教材分析】本节内容是高中数学必修2中的一个探究性课题，安排学习完本章内容之后讲授，通过对几何体的切截活动，交流等过程，提升学生的空间观念，积累数学知识.【学生分析】从认知特点来看，学生爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强，是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段，他们希望得到的充分的展示和表现，因此，在学习充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自已观察、大胆动手操作、进行小组间的讨论和交流、利用课件自主探索等方式，让学生主动地学习.【教学目标】知识与技能目标：经历切截正方体的活动过程，探索发现正方体的截面形状，体会几何体在切截过程中面与体的变化.过程与方法目标：通过对几何的切截活动，经历、观察、操作、想像、交流等过程，发展学生的空间观念，积累数学活动经验.情感与态度目标：通过学生自主探索与合作交流，培养学生与人合作，与人交流的良好品质，激发学生对知识需求的欲望和探索创新的精神，培养用数学的意识，激发学生对数学的热爱.【教学重点】探索截面形状的过程【教学难点】从切截活动中发现对同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与如何截.【教学准备】在正式上课前一周给学生安排布置任务.根据课本必修2课题学习内容：用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？要求学生通过自己具体实验操作，如可以利用切土豆或其他物体,也可以找一个正方体的封闭塑料桶灌上带有颜色的水等,组内讨论探究等形式，逐一解决课本上提出的问题，最后形成结论，完成课题学习报告.首先由课代表将全班学生分成6组，指定组长，提出课下讨论、研究的要求和建议.发给各小组课题学习报告表格.让学生课后进行实验和研究，最后形成小组的研究成果的报告.老师在这个阶段要不断的通过课代表了解各组实验及研究进程，及时予以指导.对一些错误的做法要及时给予纠正.【教学过程】一．新课导入1.立体几何中的三个公理分别是什么？2.面和面的位置关系有几种？3.面面平行的性质定理是什么？4.截面的定义用一个平面去截几何体，就得到一个平面图形，这个平面图形叫做截面.二．问题探究1.用一个平面截一个正方体，截面分别是什么形状？2.观察截正方体所得截面，问题探究截面可能是七边形吗？三．问题小结1.几何体的截面由平面与几何体各表面交线构成；一般的截面和几何体的几个面相交就能得到几条交线，截面就是几边形.2.正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形.四.例题讲解例 1.证明正方体的截面是锐角三角形.若正方体的棱长是1,则截面是三角形时，面积最大是多少？例2.如图正方体的棱长是a，C,D分别是两条棱的中点.(1)证明四边形ABCD（图中阴影部分）是一个梯形；(2)求四边形ABCD的面积.例3、已知正方体A1B1C1D1—ABCD，E、F、H分别是A1B1、B1C1、AD的中点，过三点E、F、H作该正方体的截面．五.课堂练习1. 如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选D．本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．2.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z （x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关解：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的14而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故选D．六.数学文化资料医学CT影像技术. CT是一种医学影像诊断技术，它就是类似于今天所要学习的“截一个几何体”的方法，只不过这里的“截”并不是真正的截，这里的“几何体”是病人某个患病器官，“刀”是射线，它的原理是用射线透射人体，然后用检测器测定透射后的放射量，通过计算机进行处理，重建人体断层图象并作出诊断，这是数学的“图象重建原理”在医学上的成功应用．CT的发明具有划时代的意义,获得了诺贝尔奖.七.课堂小结1、正方体截面可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、正方体截面不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形八.课外思考正四面体的截面的形状有哪些？九．信息技术应用思路本节讲授的是正方体的截面形状，如何让学生对截面有一个直观地认识，因此在讲解截面为三角形、四边形、五边形、六边形时运用PPT中的动画技术，给学生一个直观的呈现，让学生直观地感受到了信息技术的魅力，也为课堂增加了丰富的画面，为学生对本节知识点的掌握奠定了良好的基础。
正方体的截面问题研究报告
正方体的截面问题研究报告研究报告：正方体的截面问题一、引言：正方体是一种具有六个面都是正方形的立体，它具有许多有趣的性质和特点。
其中一个问题是关于正方体的截面问题，即在不同位置和方式截取正方体，观察其截面形状和特征。
本研究报告将对正方体的截面问题进行研究和分析。
二、研究目的：1. 研究正方体的截面形状及特征。
2. 探索正方体的不同截面位置和方式对截面形状的影响。
3. 分析正方体的截面特性与其它几何形体的关系。
三、研究方法：通过数学分析与计算机模拟相结合的方式进行研究。
首先，研究者将正方体进行截面，观察并记录截面形状、面积和其他特征。
然后，通过数学模型和计算机模拟，研究者将确定各种截面形状的数学方程，并分析其特性和关系。
四、实验过程与结果：1. 实验过程：研究者首先在正方体的不同位置划定截面平面，包括水平截面、垂直截面和倾斜截面。
然后，使用切割工具在规定的截面平面上进行截取操作，获得正方体的截面。
最后，通过测量和计算，记录截面的形状、面积及其他特征。
2. 实验结果：不同位置和方式的截面形状各不相同。
水平截面和垂直截面一般为正方形，但大小和位置不同。
而倾斜截面则为一种四边形，具有奇特的形状。
截面的面积也因位置和方式的不同而有差异。
五、分析与讨论：1. 正方体的截面形状与其位置和方式密切相关。
对于水平和垂直截面，截面形状为正方形，且大小和位置相对稳定。
而倾斜截面则更具变化性，形状可能是一种特殊的四边形。
2. 正方体的截面特性与其他几何形体有一定的关系。
在特定的截面位置和方式下，正方体的截面形状可能与柱体、圆柱体等具有相似的形态。
3. 正方体的截面问题与数学几何有密切关系，通过研究正方体的截面形状和特性，可以深入理解几何形体的性质，丰富几何学科的研究。
六、结论：通过对正方体的截面问题进行研究和分析，我们发现正方体的截面形状与其位置和方式密切相关，同时也与其他几何形体具有一定的关系。
正方体的截面问题在数学几何研究中具有一定的重要性，对于深入理解几何形体的性质具有积极的作用。
1.3截一个几何体
正方形 长方形 梯形
正方体的截面形状归纳 形状
特殊情形
三角形 四边形 五边形
等
等
腰
边
三
三
角
角
形
形
平
长
正
梯
行
方
方
形
四
形
形
边
形
六边形
2.2 圆柱的截面
长方形
圆 形
椭 圆 形
拱形
圆柱的截பைடு நூலகம்形状归纳
长方 形
圆椭 形圆
形
拱形
2.3 圆锥的截面
2.4 球的截面
截面是圆
三、截面在生活中的意义
如考古领域的树轮定年、医学上的“虚拟人”、雷达 在地质勘探中的运用等。这一部分的知识除了高中 还要继续再学习外，也是工程与机械制图中的基础 知识。
树轮定年
现实生活中截面应用的 例子还有很多，如地质 剖面、CT等。
CT技术以射线作为无形的刀，按照医 生选定的方向，对病人的病灶作一系列平行 的截面，通过截面图像的解读，医生可以比 较精确地得出病灶大小和位置。
CT已经成为各大中医院必备的检查设 备。 CT技术的发明人A. M. 柯马赫 和 G. N. 洪斯菲尔德爵士因此获1979年诺贝尔 医学奖。
§1.3截一个几何体
一、几何体截面的定义
截面
用一个平面去截一个几何体， 截出的面叫做截面
二、常见几何体的截面
（1）正方体截面可能有 哪些形状？
2.1 正方体的截面
我们可以看到截面的形状是三角形
我们可以看到截面的形状是等腰三角形
我们可以看到截面的形状是等边三角形
截面：长方形
我们可以看到截面的形状是正方形
【数学】立体几何中的截面问题(六大题型) 2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册
【答案】 3
【解析】设正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 2 ，体积为 ，
则 = 2 × 2 × 2 = 8 3 ，
因为 E 是棱 1 1 的中点，所以 1 = ，
（ 2 ） 过 M ， N ， P 三 点作 正方 体的 截面 为 ， 如图 所示 ：
则 截 面 的 周 长 为： + + + + = + + ，
因 为 正 方 体 棱 长为 1 ， 则
= =
=
故选：ACD．
3
2
3
2
(2 − )2，ℎ2 =
( 2)2 − [
2 = − 3 2 + 2 3 + 2 3
2 ( 2 − ) − 2 2 2
]
2
=
3 2 ，
2
题型二：截面周长
【例 2 】（ 2024·高三 ·四川成都 ·开学考试）如图，正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 4 ， E 是侧棱 1 的中
A．1∶ 2
B．1∶4
C．1∶（ 2+1）
D．1∶（ 2﹣1）
【答案】 D
【解析】设截后棱锥的高为 h ，原棱锥的高为 H ，
由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面积与底面面积的比为 1 ∶ 2 ， ℎ =
则此正棱锥的高被分成的两段之比：
故选：D
ℎ
−ℎ
=
1
.
2−1
设 1 = ， 则 0 ≤ ≤ 1，
正方体三个中点构成的截面
正方体三个中点构成的截面
正方体的三个中点构成的截面可以是一个等边三角形。
在正方体的每个面上，有一个中点，将这些中点连接起来，就可以得到一个等边三角形。
这个等边三角形是正方体的一个截面，它与正方体的边平行且相交于中点。
这个截面的形状与正方体的每个面都不完全相同，因为它是由三个中点构成的。
它的边长与正方体的边长相等，而且它的内角也是60度，因为它是等边三角形。
正方体的三个中点构成的截面是一个等边三角形，它与正方体的边平行且相交于中点。
作正方体截面方法
作正方体截面方法
要作出正方体的截面，可以采用以下方法：
1. 确定截面的形状和位置：根据正方体的几何特性，可以确定截面的形状为正方形。
要确定截面的位置，可以通过调整正方体的摆放角度或者选择不同的截取平面来实现。
2. 准备工具和材料：需要用到的工具有直尺、量角器、铅笔和白纸等。
材料可以选择白纸或透明纸，用于绘制正方体和截面。
3. 绘制正方体：根据正方体的几何特性，使用直尺和量角器在纸上画出一个正方形，并使用铅笔和橡皮修改线条，确保正方体的四个边相等且垂直。
4. 确定截面位置：根据要求确定截面的位置，可以使用铅笔在正方体上标记出截面的位置。
可以选择水平、垂直或斜向进行截取。
5. 绘制截面：根据截面的位置，使用直尺和量角器在纸上绘制出正方形截面。
可以使用铅笔和橡皮修改线条，确保截面与正方体的边界线相交。
6. 检查截面：最后检查绘制的截面是否符合要求，即是否为正方形且与正方体的边界线相交。
如果符合要求，则可以确定所绘制的截面为正确的正方体截面。
通过以上步骤，可以准确地绘制出正方体的截面。
正方体截面总结(最全,适用于公务员图形推理)
M / * B结论如下：1可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、非矩形的平行四七边形或更多边正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1•正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下: 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3. 平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下:==》》》 ==》》》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4. 三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下==》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下:==》得到: 正三棱锥5. 猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形:(2)梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：(3 )五边形:(4 )六边形：如图所示，可以截得六边形截面:==》》》如图所示，可以截得五边形截面:通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
正方体中几种常见的截面作法
2.公理 2:过不在一条直线上的三点袁有且只有 一个平面袁及公理 2 的三个推论遥
3.公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点袁 那么它们有且只有一条过该点的公共直线遥
4.面面平行的性质定理院如果两个平行平面同时 和第三个平面相交袁那么它们的交线平行遥
由三角形相似可得 A1M=3MA,CN=2NB袁 易得截面
五边形
D1MENF
的周长为
1 12
(25+2姨13
+9 姨 5
)遥
作法 2 渊平行 线法冤院如图 2袁连接 D1F袁过 A 作
A1S//D1F袁 交 B1B 于 点 S曰 过 E 作 EM//A1S袁 交 AA1
于点 M袁连接 D1M曰过 C 作 C1T//D1M袁交 BB1 于点 T曰 过 F 作 FN//C1T袁交 BC 于点 N袁则 D1MENF 五边形即
为所求作的截面图形遥
图2
点拨院 作法 1 是通过延长线找线与线的交点袁进
而找出面与面的交线袁最终找出截面与正方体各个面 的交点曰作法 2 是在正方体的表面不断地作已知直线
的平行线袁进而找出截面与正方体各个面的交点遥 例 2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1袁点
P尧Q尧R 分别在棱
AB尧BC尧CD
三点的截面袁并且计算截面面积遥
于是由
NB=
1 2
EC 可知袁N 是
AB 的中点遥
同理可
证得院 M尧Q 分别是 A1D1袁CC1 的中点遥 那么
MT=TQ=QS=SN=NR=RM=
姨2 2
淤
又因为 姨RA12+A1D12+D1T
正方体过体对角线的截面形状
正方体过体对角线的截面形状大家好，今天咱们来聊聊一个看似简单但其实挺有意思的数学问题——正方体过体对角线的截面形状。
别担心，这可不是一堂枯燥的数学课，而是带你走进几何世界的小旅行。
我们一起来看看，正方体通过体对角线切割后，截面会变成什么形状。
1. 正方体的基本概念1.1 什么是正方体先来简单了解一下正方体。
正方体就是那种六个面都是正方形的立体，大家平常见的骰子就是正方体的典型代表。
每个面都是四条边相等的正方形，所有的角都是直角。
听起来简单，但这玩意儿可是几何的基础呀！1.2 正方体的对角线正方体里有两种对角线，一种是面对角线，另一种是体对角线。
面对角线就是在同一面上的对角线，比如你用尺子在一个正方形的面上画的对角线。
而体对角线呢，是从一个顶点到对角的顶点，穿过整个立方体。
2. 体对角线的截面形状2.1 截面是什么说到截面，就是把一个立体体积给切开，剩下的部分就叫截面。
就像你把一个橙子切成两半，切面就是橙子的内部展示。
正方体也一样，当你用一个平面切割正方体，截面就会显示出不同的形状。
2.2 体对角线的特殊性当我们说“正方体过体对角线”时，意思就是通过正方体的体对角线来切割。
这个时候，截面会呈现出一种特别的形状。
要弄清楚这个形状，我们可以先做个小实验，想象一下如果我们把正方体“切”成两个部分，那么这两个部分就会有一个交集平面，而这个平面正好是一个等边三角形。
3. 截面形状的形成3.1 为何是等边三角形那么，为什么截面会变成等边三角形呢？这就要从正方体的几何特性说起。
正方体的体对角线长，刚好把整个正方体“切”成两个相等的部分。
因为这两个部分是完全对称的，所以切割出来的截面也就自然变成了等边三角形。
这个三角形的每一边都是正方体对角线的一部分，简直是“如鱼得水”呀！3.2 实验演示为了更加直观，可以用纸做一个小实验。
剪一个正方形纸，然后把它卷成一个立方体。
用刀子从一个顶点穿过另一个对角的顶点切开，你就会看到，切开后的截面是个等边三角形。
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正方体截面的形状
1.按截面图形的边数分类：
三边形（锐角三角形，等腰三角形，等边三角形）
四边形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形）
五边形（五边形）
六边形（六边形，正六边形）
2.（1）证明：截面是三角形
①锐角三角形
证明：∵设三边为a,b,c ，
∴则证明a^2+b^2>c^2,且
cosC>0,C为锐角。
同理可证，B、C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形。
②等腰三角形
证明：取相邻两边任意两点，距离两边交点相等，在第三边取任意一点（与交点不重合）
∵AB长确定，AC=AD,∠CAB=∠DAB=90°。
∴根据勾股定理可知CB=DB
且三角形为等腰三角形
③等边三角形
证明：
在AB.AC.AD上,取三点距离原点A相同。
∵图形为正方体。
∴AB=AC=AD
又∵三线两两垂直，根据勾股定理知
BC=CD=BD，且截面为等边三角形。
（2）证明：截面是四边形。
①．矩形.正方形。
证明：：
取任意一平面平行于上下底面或侧面。
且所截图形为正方形。
又∵正方形是特殊的矩形，∴截面可以是矩形。
∵ABCD平行于上底面，∴AB=BC=CD=AD
又∵AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面为正方形。
②．菱形
证明：
以相对顶点为菱形对点，取与顶线不相交的相对侧棱中点，所截平面。
∵图形为正方体，所以对边平行且相等。
∴截面为平行四边形。
又∵AB=BD,AE=DF.∠BAE=∠BDF=90°，
且BE=BF. ∴截面为菱形
③梯形.等腰梯形
证明：
当平面不垂直底面时,且在上底面的截线段平行对角线,所得的截面图形可能为梯形。
当上下底面的截线段都平行于同一条对角线，所得的截面图形可能为等腰梯形。
∵AB∥CD, ∴ABCD为梯形。
作AF’⊥CF，BF1⊥FD
又∵AE=BE,CF=FD,AF’=BF1=EF. ∴AC=BD
且截面为等腰梯形。
（3）证明：截面是五边形。
证明：
第一个为五边形，在正面上画一个直线，直线一端为右下角另一段为左前侧棱1/2往上这样将直线延长与正上棱相交
同样的道理在右侧面画一条直线
直线一端为右下角（与上同理）
另一段为后右侧棱1/2往上这样将直线延长与上右侧棱相交
由图得所截平面为五边形。
（4）证明：截面是六边形。
证明：截面是六边形.正六边形。
取各边的中点，再连接两个平行面的不同位置的中点，所成截面为正六边行。
当平面与正方体的六个面相交时，可以切出六边形。
∵取点为每边中点，图形为正方体。
且过六个面
∴截面为六边形
又∵链接AC.AD 得AC=AD=AE，
且截面为正六边形。
3．由2证明得，截面多边形的边数最多有6条。
为什么六边形以上的多边形无法切出来？
解析：因为正方体只有6个面，所以截面所在的平面与这6个面所在的平面最多只能有6条交线，所以截面的边数至多是6。
4. 为什么正方体的截面不能是直角梯形？
解析：正方体各面全等，并且每条对边互相平行，但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，两条腰也不平行，所以不能是直角梯形。
5．为什么切一个正方体所能切出的切面不能为正五边形？
解析：五个边，一定有两边来自一组平行的面，此两边平行，这个五边形就不可能是正五边形。