江苏省苏州中学高三数学1月月考质量检测试题苏教版

2014.1

一、填空题：

1. 已知集合

⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ▲ ． 2．已知命题:p “若b a =，则||||=”，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 ▲ ．

3. 已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这7个数据的中位数，且

y x -,,2,12

这四个数据的平均数为1，则x y 1

-

的最小值为 ▲ ．

4. 已知

⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()

3f 的值为 ▲ ． 5. 已知向量),cos 6,9(),3,5(α--=-= α是第二象限角，)2//(-，则αtan = ▲ ．

6. 已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：

①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β；④ ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题序号是 ▲ ． 7. 已知数列

{}n a 中，n a *N ∈，对于任意*n N ∈，1n n a a +≤，若对于任意正整数K ，在数

列中恰有K 个K 出现，求

50

a ＝▲ ．

8. 设y x ,均为正实数，且33

1

22x y +=++，则xy 的最小值为 ▲ ．

9.已知方程2

x +θtan x －θsin 1

=0有两个不等实根a 和b ，那么过点

),(),,(2

2b b B a a A 的直线与圆

12

2=+y x 的位置关系是 ▲ ． 10．若动直线)(R a a x ∈=

与函数

())()cos()

66f x x g x x ππ

=+=+与的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为 ▲ ．

11. 各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，且

2(2)

n

S n =≥，

若

11n n

n n n a a b a a ++=

+

，且数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则n T = ▲ ．

12.若函数32

()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ,且11(=f x x ）则关于x 的方程

213())2()0

f x af x b ++=（的不同实根个数是 ▲ ．

13．已知椭圆与x 轴相切，左、右两个焦点分别为)25(1

,1(21，），F F ，则原点O 到其左准线的距离为 ▲ ．

14. 设

13521A ,,,

,

2482n n

n -⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭()

,2n N n *∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的

和为S ，则S = ▲ ． 二、解答题：

15．(本小题满分14分)

设向量),cos ,(sin x x a =),sin 3,(sin x x b =x ∈R ，函数)2()(b a a x f +⋅=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；

（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒

∠=，

PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点．

（1）求证：DM PB ⊥； （2）求点B 到平面PAC 的距离．

17．(本小题满分14分)

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进

行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求 用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线

2

()1(0)f x ax a =->的一部分，栏栅与矩形区域的边界交 于点M 、N ，切曲线于点P ，设(,())P t f t ．

( I)将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成f 的函数S(t)；

(II)若

1

2t =

，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值．

18．(本小题满分16分)

如图：在平面直角坐标系xOy 中，已知12,F F 分别是椭圆E:()2

22210

y x a b a b +=>> 的左、右

焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且225AF BF +=0． （1）求椭圆E 的离心率；

（2）已知点D （1,0）为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120

k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

19. (本小题满分16分) 已知数列

{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当

n

a 为偶数时，

12n n a a +=

；当n a 为奇数时，1

1

2n n a a +-=. （1）若

1

a 为偶数，且

123

,,a a a 成等差数列，求

1

a 的值；

（2）设123m a =+(3m >且m ∈N)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；

（3）若

1

a 为正整数，求证：当

211log n a >+(n ∈N)时，都有0

n a =.

20. (本小题满分16分)