小学奥数知识名师点拨 例题精讲 解题思路 巧求周长.教师版
《数学小学三年级奥数专题》(附答案)第35讲 巧求周长(一)
3米2米《数学小学三年级奥数专题》第35讲 巧求周长（一）一、知识要点：一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。
我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？（1）对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。
（2）将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。
二、精讲精练例1 下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。
练习一1、下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样测量？2、如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A 路线行走，小玲沿B 路线行走。
如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？A例2 下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？练习二1、下图是由5个边长为3厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长。
2、下图是由6个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的周长。
例3两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减少了6厘米。
原来一个正方形的周长是多少厘米？练习三1、把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长和减少10厘米。
原来一个正方形的周长是多少？2、把一个正方形剪成两个大小相同的长方形后，两个长方形的周长和比原来正方形的周长增加28分米。
原来正方形的周长是多少？例4一个正方形，边长是5厘米，将9个这样的正方形如下图一样拼成一个大正方形，问：拼成的大正方形的周长是多少？练习四1、把16个边长为3厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少厘米？2、把6个边长为4厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的周长为多少厘米？例5将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？练习五1、将一张边长为12厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形，那么这4个小正方形周长之和比原来的大正方形的周长增加了多少厘米？2、把一个边长为20厘米的正方形，如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长的和与原来的正方形相比，增加了多少厘米？三、课后作业1、下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。
小学三年级奥数巧求周长知识点与习题(K12教育文档)
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巧求周长我们知道:这两个计算公式看起来十分简单,但用途却十分广泛。
用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角的多边形）的周长问题.这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形.例如，下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的.由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长计算公式的题目。
例1一个苗圃园（如左下图），周边和中间有一些路供人行走（图中线段表示“路”），几个小朋友在里面观赏时发现:从A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到B处。
你知道其中的道理吗？分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母。
由A处到B处，按“向右"、“向上”方向走，只有下面六条路线：(1)A→C→D→E→B；(2）A→C→O→E→B；(3)A→C→O→F→B；（4)A→H→G→F→B；(5）A→H→O→E→B；(6)A→H→O→F→B。
因为A→C与H→O，G→F的路程一样长，所以可以把它们都换成A→C；同理,将O→E，F→B都换成C→D；将A→H,C→O都换成D→E;将H→G,O→F都换成E→B。
这样换过之后，就得到六条路线的长度都与第（1)条路线相同，而第（1）条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+宽”，也就是说,每条路线的长度都是“长+宽”。
小学数学奥赛4-2-2 巧求周长.教师版
一、基本概念①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．二、基本公式：①长方形的周长2=⨯(长+宽)，面积=长⨯宽．②正方形的周长4=⨯边长，正方形的面积=边长⨯边长．三、常用方法：（1）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．（2）转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．（3）寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．（4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段．四、几个重要的解题思想 （1）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．知识点拨4-2-2.巧求周长（3）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．（5）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．例题精讲模块一、图形的周长和面积——割补法【例 1】求图中所有线段的总长(单位：厘米)【考点】巧求周长【难度】2星【题型】填空【解析】要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是AB、BC、CD、DE四段，还包括AC、BE等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．同时应该注意到，=++=++=BE BC CD DE，等等．因此，为了计算图中所有线段的AC AB BC；3126=+=+43总长，需要先计算AB、BC、CD、DE这四条线段分别被累加了几次．这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由1段组成的线段共有4条，即AB、BC、CD、DE，而求和过程中AB、BC、CD、DE这四条线段各被累加了1次．类似地考虑到，由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB、DE各被累加了1次, BC、CD各被累加了2次．由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB、DE各被累加了1次，BC、CD各被累加了2次．由4段组成的线段只有AE，其中AB、BC、CD、DE各被计算了1次．综上所述，AB、DE各被计算了4次，BC、CD各被计算了6次．因而图中所有线段的总长度为：()()442631=48⨯++⨯+（厘米）【答案】48【例 2】如图所示，点B是线段AD的中点，由A、B、C、D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是。
四年级奥数讲义-巧求周长(二)
【试一试】
1．如图，已知这个长方形的周长是38厘米，阴影部分为正方形
求长方形的长和宽。
2．小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽2米，所以篱笆墙共长16米，而这个长方形的宽是长的一半，长和宽各多少米？
【例5】一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽都为4厘米，长方形的长是多少厘米？
【试一试】
1．一个长方形的周长是正方形的4倍2．一个长方形的周长是正方形的2倍，正方形的边长与长方形的宽为10厘米，长方形的长是多少厘米？
【※例6】三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是48厘米，求每个长方形的周长。
数学学科教师辅导教案
学员编号：年 级： 四年级课 时 数：
学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师：
课程主题：巧求周长（二）
授课时间：
学习目标
教学内容
知识点：（巧 求 周 长（二））
【知识梳理】
在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式往往行不通，这时灵活地运用所学的知识在解题中显得相当的重要。
【※试一试】
1．一张长为25厘米，宽为10厘米的长方形纸，先剪下一个最大的正方形，余下的长方形的周长是多少？
2．一张长方形纸，长为32厘米，宽为15厘米，先剪下一个最大的正方形，再从余下的纸片中，又剪一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？
【课后作业】
1．绕一个长方形球场跑一圈是400米，球场宽是80米，这个球场的长是多少米？
2．已知一个长方形的周长是60厘米，宽比长少10厘米，求长方形的长和宽各是多少？
()三年级奥数第三十五讲巧求周长(一)
辅导教案学员姓名辅导科目奥数年级三年级授课教师课题巧求周长〔一〕授课时间教学目标重点、难点教学内容专题简析：一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。
我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？对于一些不规那么的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。
将一个大长方形或正方形分割成假设干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将假设干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。
例题1 以下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。
米3米思路导航：如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方〔如以下图〕，这样楼梯侧面图就转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长。
米3米〔2＋3〕×2=10米。
练习一1，以下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可以怎样测量？2，如以下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A路线行走，小玲沿B路线行走。
如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？B学校A3，以下图是一个“凹〞字形的花园，求花园的周长。
〔单位：米〕12123060例题2以下图是由6个边长2厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？思路导航：这题我们可以用平移的方法将它转化为一个长方形，如以下图：这个长方形的长含有4个小正方形的边长，长为2×4=8厘米；宽含有2个小正方形的边长，宽为2×2=4厘米。
这个长方形的周长为：〔2×4＋2×2〕×2=24厘米。
练习二1，以下图是由5个边长为3厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长。
2，以下图是由6个边长为2厘米的正方形组成的，求此图形的周长。
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教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
2
【例 3】 三只猴子走得一样快，所走的路线如下图。哪只猴子先吃到桃子，就在它旁边的( )里画勾。
A( )
B( )
C( )
【考点】巧求周长 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 9 题，12 分 【解析】猴子走的路线应该分为横向与竖向，两个纬度来看，横向看三只猴子所走路线是相同的，竖度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，初赛，12 题
【解析】剪开后的图形与原图形相比，多了两条边，这两条边的长度为 2a ，所以这两个长方形的长度为
4a 2a 6a
【答案】 6a
【巩固】如图，两个长方形拼成了一个正方形。如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少 6 厘米，则正 方形面积是________平方厘米。
的“长+宽”，若“长+宽”最小，则长与宽的差要尽量小，即长=宽=13 厘米时，P 到长方形四边的距离 之和最小，为 26 厘米。
P
【答案】 26 厘米
【例 5】 边长是15 厘米的 3 个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？ 【考点】巧求周长 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】想一想，把几个正方形拼合在一起，拼出的长方形的周长与所有正方形的周长相差多少呢？
【巩固】用 6 张边长为 2 厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是________厘米． 【考点】巧求周长 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 6 题 【解析】6 张边长为 2 的正方形可以拼成的长方形有两种情况具体分析为：
周长为 6 2 1 2 2 28 （厘米）
由 3 个大小相同正方形拼成一个长方形，只有一种拼法，就是把三个正方形排成一排．于是拼成的长 方形的长是15 3 45 厘米，宽是15 厘米． 所以长方形的周长是：(长 宽) 2 （45 15） 2 120 (厘米)． 【答案】120 厘米
【巩固】用一块长 8 分米，宽 4 分米的长方形纸板与两块边长 4 分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正 方形的周长是多少分米？
计算了 6 次．因而图中所有线段的总长度为： 4 4 2 6 3 1 =48 （厘米）
【答案】 48
【例 2】 如图所示，点 B 是线段 AD 的中点，由 A 、 B 、 C 、 D 四个点所构成的所有线段的长度均为整数，
若这些线段的长度之积为 10500，则线段 AB 的长度是
。
A
B
C
D
（4）对称
平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重 合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质， 对面积计算会有很大帮助．
（5）代换
在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．
小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形 的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生 的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
3
拼成的正方形的周长是： 8 4 32 (分米) 【答案】 32 分米
【例 6】 用 7 个长 4 厘米，宽 3 厘米的长方形拼成一个大长方形，在所有可能的拼法中，大长方形周长的 最小值是 厘米。
【考点】巧求周长 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，2 题 【解析】这是一道几何问题，可以动手操作．要使所摆的大长方形的周长最小，应使 7 个小长方形有尽可
周长为 3 2 2 2 2 20 （厘米）
【答案】 28 或 20 厘米
【巩固】用 6 张边长为 3 厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是_______厘米。 【考点】巧求周长 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 2 题 【解析】可能拼出的长方形有如下两种可能，周长依次为 42 厘米，30 厘米
例题精讲
模块一、图形的周长和面积——割补法
【例 1】 求图中所有线段的总长(单位：厘米)
4
3
1
2
A
B
CD
E
【考点】巧求周长 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是 AB 、 BC 、 CD 、 DE
四段，还包括 AC 、 BE 等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．同时应该注意到， AC AB BC 4 3 ； BE BC CD DE 3 1 2 6 ，等等．因此，为了计算图中所有线段的 总长，需要先计算 AB 、 BC 、 CD 、 DE 这四条线段分别被累加了几次．这里，可以按照每条线段 分别是由几部分组成的加以讨论：由 1 段组成的线段共有 4 条，即 AB 、 BC 、 CD 、 DE ，而求和 过程中 AB 、 BC 、 CD 、 DE 这四条线段各被累加了 1 次．类似地考虑到，由 2 段组成的线段共有 3 条，求和过程中 AB 、 DE 各被累加了 1 次, BC 、 CD 各被累加了 2 次．由 3 段组成的线段共有 2 条， 求和过程中 AB 、 DE 各被累加了 1 次， BC 、 CD 各被累加了 2 次．由 4 段组成的线段只有 AE，其 中 AB 、 BC 、 CD 、 DE 各被计算了 1 次．综上所述， AB 、 DE 各被计算了 4 次， BC 、 CD 各被
的边，所以共有小平行四边形120 6 2 40 个，而三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是 40 个． 【答案】平行四边形 40 个，三角形 40 个
【巩固】用若干个边长都是 2 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行 四边形的周长是 236 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
【考点】巧求周长 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】两块边长 4 分米的正方形纸可以拼成一个长 8 分米，宽 4 分米的长方形纸板，与原有的一块 8 分米，
宽 4 分米的长方形纸板的面积一样大，而且这两个长方形两条宽的和正好等于一条长．所以，拼法 如图所示．然后运用正方形的周长计算公式很容易求出它的周长．
【答案】 42 或 30 厘米
【例 7】 用若干个边长都是 2 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行
四边形的周长是 244 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
4
【考点】巧求周长 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】大平行四边形上、下两边的长为 (244 2 2) 2 120 厘米，观察上边，每 6 厘米有两个平行四边形
【考点】巧求周长 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛 【解析】正方形的周长比两个长方形的周长的和少 2 个边长,2 个边长是 6 厘米,则边长是 3 厘米,面积是 9 平
方厘米. 【答案】 9 平方厘米
【巩固】两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了 6 厘 米，原来一个正方形的周长是多少厘米？
走的路程最少，所以 A 先吃到桃子。 【答案】 A
【例 4】 在一个长方形的面积为 169 平方厘米。在这个长方形内任取一点 P，则点 P 到长方形四边的距离之 和最小值为_______厘米。
【考点】巧求周长 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 13 题 【解析】容易知道，无论点 P 在长方形内的位置在哪，P 点到则点 P 到长方形四边的距离之和都为该长方形
能多的边重合．只有如下的 3 种摆法：
丙1
丙2
丙3
图 1 的 周 长 为 (3 7 4) 2 50 厘 米 ； 图 2 的 周 长 为 (4 7 3) 2 62 厘 米 ； 图 3 的 周 长 为 (3 4 4 3) 2 38 厘米;显然，在所有的拼法中，大长方形周长的最小值是 38 厘米． 【答案】 38 厘米
【例 8】 将一个边长为 4 厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形．请问：这两个长方形的周 长之和比原来正方形的周长多几厘米？
【考点】巧求周长 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】剪开后的图形与原图形相比，多了两条边，这两条边的长度即为所求． 4 2=8 （厘米）。 【答案】 8
【巩固】把一个边长为 a 的正方形分成两个完全相同的长方形，则这两个长方形的周长的和是
（4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则 图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种 几何变换就是解决这类面积问题的手段．
四、几个重要的解题思想 （1）平移
在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一 个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利 用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．
【考点】巧求周长 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】大平行四边形上、下两边的长为 (236 2 2) 2 116 厘米，观察上边，每 6 厘米有两个平行四边形
的边，116 6 192 ，所以有三角形19 2 38 个，小平行四边形 38 1 39 个． 【答案】三角形 38 个，平行四边形 39 个
4-2-2.巧求周长
知识点拨
一、基本概念
①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长． ②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．