习题答案

参数估计练习题

1. 指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间: (i)二点分布; (ii) 普哇松分布;(iii)在()θ,0上的均匀分布; (iv) 正态分布()2

,σμN . 2. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.

3. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么?

4. 用极大似然法估计几何分布 ()() ,2,1,11=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .

5．设()11,ηξ,()n n ηξ,, 是取自二维正态母体()

ρσσ,,,0,02221N 的一个子样,求2221,σσ和ρ的极大似然估计.

6. 设ξ1n ξ 是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数()⎪⎩

⎪⎨⎧>=--其它,0,1,122121θθθθθθx e x ；f x

，其中.0,21∞<<∞<<∞-θθ试求参数1θ和2θ的极大似然估计和矩法估计.

7. 设随机变量ξ服从二项分布()() ,1,0,1=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==-x x n x P x n x θθξ,n 试求2θ无偏估计量. 8. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2

,σμN

的一个子样,其中μ为已知,证明 (i) ()21

21∑=-=n i i n n S μξ是2σ的有效估计; (ii) ∑=-=n

i i n 1

21μξπσ 是σ的无偏估计,并求其有效率. 9. 设n ξξ,,1 是独立同分布的随机变量,其分布是均匀分布().0,,0∞<<θθR

其密度函数()⎪⎩

⎪⎨⎧<<=,00,1;θθθx x f , 试证:

()i ()112,,ˆξξξθ=n 是θ的无偏估计; ()ii ()⎪⎭

⎫ ⎝⎛n E ξξ12是θ的无偏估计. 10. 设 X 具有分布密度 f (x, θ) =其他∞<<=⎪⎩

⎪⎨⎧-θθθ0,2,1,00,! x x e x , X 1,X 2,---,X n 是X 的一个样本, 求未知参数θ的极大似然估计.

11. 用天平称量某物体的质量9次，得平均值为()15.4x g =，已知天平称量结果为正态分布，其标准差为0.1g,试求该物体质量的0.95置信区间。

12. 某厂生产的零件重量服从正态分布()

2,N μσ，现从该厂生产的零件中抽取9个，测其质量为（单位：g ） 45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6

试求总体标准差σ的0.95置信区间。

13. 0.50, 1.25, 0.80, 2.00是取自总体X 的样本，已知lnX Y =服从正态分布(),1N μ。

（1）求μ的置信水平为95%的置信区间。

（2）求X 得数学期望的置信水平为95%的置信区间。