四年级奥数讲义容斥原理
四年级奥数讲义之：容斥原理(2)
四年级数学讲义奥数：容斥原理(2)教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？二、教学内容例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球17人18人15人6人6人6人2人求全班人数。
例2．某班有学生50人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。
已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组参加的学生有多少人？例3．一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。
结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。
既参加篮球队又参加足球队的有多少人？三、教学练习1．第三小队的学生有20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有红球的有4人。
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
第三十五周容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab Nb Na例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
练习一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
奥数四年级--容斥问题(一)
经 例2、有62名学生，其中会弹钢琴的有11人，会吹竖笛的有56人，
典 两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？
题 依题意，画圈框图。
总人数62人
型 依图可知，会弹钢琴+会竖笛
=11+56=67人， 67 > 总人数62人
会弹钢琴的 会两样 会吹竖笛
有11人
?人
既不是5的倍数，也不是7的倍数？？。
(3)求既是5的倍数又是7的倍数的数量： 1000÷35 = 28...20
总1--1000的自然数
(4)根据容斥原理： 是5或7的倍数的数有： 200+142-28=314
(5)既不是5，也不是7的倍数的： 1000-314=686
5的倍数 有200
5和7的 公倍数
容斥问题(一)
容斥问题就是包含与排除原理。当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们 的和中排除重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1： 对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性 质a分类与性质b分类，那么具有性质a或性质b的 事物的总数= Na+Nb－Nab
Na Nab Nb
画圈圈图： 分析包含和排除关系，是解决这类问题的捷径 ！
48名
练 9、有一根36cm长的绳子，从一端开始每隔3 习 厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，
然后把标有记号的地方剪断。绳子共被剪成 了多少段？
18段
练 10、科技节那天，学校的科技室里展出了每 习 个年级学生的科技作品，其中有114件不是
一年级的，有96件不是二年级的，一、二年 级参展的作品共32件。其他年级参展的作品 共有多少件？
分析搞清数量关系，是解决数学问题的不二法门。
四年级奥数第29讲容斥问题(教师版)
四年级奥数第29讲容斥问题(wèntí)（教师版）教学目标λ了解容斥原理二量重叠(chóngdié)和三量重叠的内容λ掌握容斥原理(yuánlǐ)在组合计数等各个方面的应用知识梳理一、两量重叠(chóngdié)问题在一些(yīxiē)计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：,则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为：,即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B,即阴影面积．1．先包含——重叠部分A B计算了次,多加了次；包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B、的元素个数,然后加起来,即先求A B+(意思是把、的一切元素都“包含”进来,加在一起)；A B第二步：从上面(shàng miɑn)的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复(chóngfù)计算的元素个数)．二、三量重叠(chóngdié)问题A类、B类与C类元素(yuán sù)个数的总和类元素(yuán sù)的个数类元素个数类元素个数既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：重叠部分A B、、重叠了2次,多加了1次．2．再排除：在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．典例分析考点一：两量重叠问题、1实验小学四年级二班例参加语文兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有,人,人,人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组有?【解析(jiě xī)】如图所示,A圆表示(biǎoshì)参加语文兴趣小组的人,B圆表示参加(cānjiā)数学兴趣小组的人,A与B重合(chónghé)的部分C(阴影(yīnyǐng)部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人,有(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人,有(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人)．方法二：根据包含排除法,直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人,即：(人)．例2、对全班同学调查发现,会游泳的有人,会打篮球的有人．两项都会的有人,两项都不会的有人．这个班一共有多少人?【解析】如图,用长方形表示全班人数,A圆表示会游泳的人数,B圆表示会打篮球的人数,长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出,全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数,至少会一项的人数为：(人),全班人数为： (人)．例3、在人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有人,既采了樱桃又采了杏的有人,既没采樱桃又没采杏的有人,问：只采了杏的有多少人?【解析(jiě xī)】如图,用长方形表示全体(quántǐ)采摘人员46人,A圆表示采了樱桃(yīng táo)的人数,B圆表示(biǎoshì)采了杏的人数．长方形中阴影(yīnyǐng)部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出,全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和,则至少采了一种的人数为：(人),而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数,所以,只采了杏的人数为：(人)．例4、育才小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的,五、六年级共展出25幅画,其他年级的画共有多少幅?【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道,五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅,我们还知道五、六年级共展出25幅画, 进而可以求出五年级画作有13幅,六年级画作有12幅,那么就可以求出其他年级的画作共有3幅．考点二：三量重叠问题例1、全班有25个学生(xuésheng),其中(qízhōng)人会骑自行车,人会游泳(yóuyǒng),人会滑冰(huá bīng),这三个运动(yùndòng)项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格,那么, （1）数学成绩优秀的有几个学生?（2）有几个人既会游泳,又会滑冰?【解析】（1）有6个数学不及格,那么及格的有：(人),即最多不会超过人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动,那么,最少也会有：(人)至少会这三项运动之一．于是,至少会三项运动之一的只能是19人,而这19人又不是优秀,说明全班25人中除了19人外,剩下的6名不及格,所以没有数学成绩优秀的．（2）上面分析可知,及格的19人中,每人都会两项运动；会骑车的一定有一部分会游泳,一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰,而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳,但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以,全班有(人)既会游泳又会滑冰．考点三：图形中的重叠问题例1、把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长厘米,焊接后这根铁条有多长?【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长(厘米)．例2、两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【解析(jiě xī)】两个长方形如图摆放(bǎi fànɡ)时出现了重叠(见图中的阴影部分), 重叠部分(bù fen)恰好是边长为2厘米(lí mǐ)的正方形,如果(rúguǒ)利用两个的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以,被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是,被覆盖面积(平方厘米)．例3、三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少?【解析】将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法,三个纸片盖住桌面的总面积=(A圆面积B+圆面积A与B重合部分+圆面积C面积与C重合部分面积B+与C重合部分面积三个纸片共同重叠的面积, 得：与B重合部分面积A+与C重合部+与C重合部分面积B分面积,得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：平方厘米,而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和,即：阴影部分面积,则阴影(yīnyǐng)部分面积为：(平方厘米)．考点(kǎo diǎn)四：容斥原理在数论(shùlùn)问题中的应用例1、在的全部(quánbù)自然数中,不是(bùshi)3的倍数也不是的倍数的数有多少个?【解析】如图,用长方形表示1~100的全部自然数,圆表示1~100中3的倍数,B圆表示1~100中5的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由可知,1~100中3的倍数有个；由可知,1~100中5的倍数有20个；由可知,1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法,3或5的倍数有：(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问：和最大?是多少最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.实战演练➢课堂(kètáng)狙击1、一个班有48人,班主任在班会上(huìshànɡ)问：“谁做完语文(yǔwén)作业?请举手！”有37人举手。
【小学四年级奥数讲义】容斥原理
【小学四年级奥数讲义】容斥原理一、专题简析：容斥问题波及到一个重要原理——包括与清除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包括时，为了不重复计数，应从它们的和中清除重复部分。
容斥原理：对 n 个事物，假如采纳不一样的分类标准， 按性质 a 分类与性质 b 分类（如图），那么拥有性质 a 或性质 b 的事物的个数 =N a ＋N b －N ab 。
NaNabNb二、精讲精练：例 1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42 人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都达成的人数。
练 习 一1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人起码有一门功课获得优异成绩。
此中语文成绩优异的有 65 人，数学优异的有 87 人。
语文、数学都优异的有多少人？2、四年级一班有54 人，定阅《小学生优异作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优异作文》的有45 人，每人起码订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例 2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有25 人，答对第二题的有23 人，两题都答对的有15 人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（ 1）班有 40 个学生，此中25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有 55 名学生，定阅《小学生数学报》的有32 人，定阅《中国少年报》的有 29 人，两种报纸都定阅的有25 人。
两种报纸都没有定阅的有多少人？例 3：某班有 56 人，参加语文比赛的有 28 人，参加数学比赛的有 27 人，假如两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科比赛的有多少人？练习三1、一个旅游社有 36 人，此中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人。
小学四年级奥数竞赛：容斥原理
课题容斥原理年级4授课对象编写人时间学习目标利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
学习重点、难点（1）找出题干中物品对应的量；（2）合理构造抽屉（简单问题中抽屉明显，找出即可）；（3）利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
教学过程T （测试）1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？S （归纳）容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
Nab NbNaE （典例）例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
小学四年级奥数竞赛班作业第31讲：容斥原理初步(一)
容斥原理练习题一．夯实基础：1.实验小学五年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？2.有100位旅客，其中有10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，又83人懂俄语.那么这100位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人.3.在1至2011的自然数中，1)能被3或7整除的数有______个；2)既能被3整除，又能被7整除的有______个；3)能被3整除，但不能被7整除的有______个；4)能被7整除，但不能被3整除的有______个.4.在2至400 的偶数中，既不能被3整除，又不能被5整除，同时不能被7整除的整数有多少个？二．拓展提高：5.1-1001中，既不是7的倍数，也不是11的倍数，也不是13的倍数的数有多少个？6.1到1000的自然数中，既不是完全平方数，也不是完全立方数的有多少个？7.森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？8.体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？三. 超常挑战9.如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?10.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？11.(西城实验考题)新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？三．杯赛演练：12.(101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段？13.(西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有多少个？14.(走美试题)2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，…，2006．将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下．拉完后亮着的灯数为几盏？15.（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。
四年级奥数讲义-容斥原理初步二通用版
【例1】(★★★)在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。
那么只喜欢唱歌的有多少人？容斥原理初步(二)【例2】(★★★)在网校40名老师中，每个人都爱喝橙汁、桃汁、苹果汁中的一种或几种。
其中有10人爱喝橙汁，15人不爱喝橙汁却爱喝桃汁。
请问：只爱喝苹果汁的有几人？【例3】(★★★)网校老师组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？【例4】(★★★★)网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？1【例5】(★★★★★)网校共130名老师，其中70人参加了歌唱小组，80人参加了舞蹈小组，60人参加了模特小组，至少参加两个小组的有60人，参加了三个小组的有30人，那么网校老师有多少人没有参加小组？【例6】(★★★★)在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？【例7】(★★★★★)2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为l，2， (2006)将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。
拉完后亮着的灯数为多少盏？本讲总结三者文氏图：奇层加，偶层减重点例题：例3，例4，例7【例5】(★★★★★)2。
小学奥数教案——容斥问题
教案容斥问题一本讲学习目标理解并掌握容斥问题。
二重点难点考点分析容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。
也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。
三概念解析容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质 1 和性质 2 分类，那么具有性质 1 或性质 2 的事物个数等于性质 1 加上性质 2 减去它们的共同性质。
四例题讲解一班有48 人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37 人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42 人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。
求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？四年级一班有54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有生13 人，订阅《小学优秀作文》的有45 人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？某班有36 个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15 人。
问多少个同学两题都答的不对？某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25 人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人？在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24 幅不是五年级的，有22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10 幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24 人，会弹电子琴的有17 人，其中两样都会的有8 人。
这个文艺组一共有多少人？一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29 人，两种都订阅的有25 人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？一个俱乐部有103 人，其中会下中国象棋的有69 人，会下国际象棋的有52 人，这两种棋都不会下的有12 人。
四年级奥数专题-容斥原理
四年级奥数专题-容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.容斥原理：对n 个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a 分类与性质b 分类（如图）,那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab .例1：一个班有48人,班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.分析 完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37＋42=79人,多于全班人数.这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次.所以,这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人.练 习 一1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？Nab NbNa2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人？3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人.这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25－15=10人.又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－33=3人.练习二1,五（1）班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了.那么,有多少人两个小组都没有参加？2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖.已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人？例3：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人.练习三1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人.两样都会的有多少人？2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人.这两队都没有参加的有10人.请算一算,这个班共有多少人？例4：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数.从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.练习四1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？3,五（1）班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等.小华排的位置是：从前面数第5个,从后面数第8个.这个班共有多少个学生？例5：光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数.24＋22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数.（24＋22－10）÷2=18幅.练习五1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件.其他年级参展的作品共有多少件？2,六（1）儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四两个年级参展的画共有8幅.其他年级参展的画共有多少幅？3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅？。
四年级奥数思维训练专题-容斥原理
四年级奥数思维训练专题-容斥原理
专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理.即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分.
例1：某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题都答得不对？
分析：只答对第一题的有25－15=10人.至少有一题答对的人数：10＋23=33人.所以,两题都答得不对的有36－33=3人.
试一试1：一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人.两种报纸都没有订阅的有多少人？
例2：某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析：至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人,两科竞赛都参加：28＋27－31=24人.
试一试2：一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人.问这两种棋都会下的有多少人？
例3：在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析：从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个（100÷6=16……4）,其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）.因此,是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个.
试一试3：在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？。
小学奥数知识点 —— 容斥原理
容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
专题26 容斥原理—四年级数学思维拓展精编讲义(解析)
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题26 容斥原理专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
【典例分析01】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
【典例分析02】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
Nab Nb Na 知识精讲典例分析【典例分析03】某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
【典例分析04】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
四年级奥数 第35讲 容斥问题
第35周容斥问题专题简析:容斥问题涉及一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。
当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理:对n个事物，如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如右图所示),那么具有性质a或性质b的事物的个数是Na 十Nb- Nab。
例1：一个班有48人，班主任在班会上问“谁做完语文作业了?请举手！”有37人举手。
又问:“谁做完数学作业了?请举手!”有42人举手。
最后问“谁语文、数学作业都没有做完?“没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一：1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65 人，数学成绩优秀的有87 人。
语文、数学成绩都优秀的有多少人?2、四(1)班有54 人，订阅<小学生优秀作文》和(数学大世界)两种读物的有13 人，订《小学生优秀作文》的有45 人，每人至少订种读物。
订《数学大世界》》的有多少人?3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人?例2：城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛，结果每人都获奖。
其中有3人两项比赛都获奖，作文比赛获奖的有5 人,求数学比赛获奖的有多少人?练习：1、一个班有55 名学生，他们分别订阅了《小学生数学报》和《中国少年报》。
其中订阅《小学生数学报》的有32 人,两种报纸都订阅的有15 人,求订阅《中国少年报》的有多少人?2、四(1)班有40 个学生,有19 人参加了数学和科技两个兴趣小组。
其中有11人两个小组都没参加，有25人参加数学小组，求有多少人参加了科技小组?3、在四年级96 个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。
调查结果显示:有78人会下中国象棋，有24 人两样都会，还有12人两样都不会。
求会下围棋的有多少人?例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?练习：1、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人,会法语的有18 人,两样都不会的有4 人。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四年级数学讲义
奥数：容斥原理(1)
教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学衔接
二、教学内容
（一）知识介绍
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
（二）例题精讲
例1、一个班有48人，班主任在班会上问：
“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请
举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人
举手。
求这个班语文、数学作
业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？
【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。
因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍
Nab Nb Na
数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。
例5、光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。
24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。
（24＋22－10）÷2=18幅。
三、教学练习
1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？
2、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？
3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？
4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件？
四、教学小结
六、课后练习
1、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？
2、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。
已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
3、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？
4、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
5、六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？。