最短路径流程图及算法详解

动态规划求最短路径的两种方法

动态规划1．最短路线问题解（1）：将上图该画成下图：记a （1,2）=4，a(1,3)=5，依次类推，表示每个点和值的关系。

逆序递推方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态：逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。

例如，当K=4时，状态它们到F 点需经过中途点E ，需一一分析从E 到 F 的最短路：先说从D1到F 的最短路有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。

这说明由 D1 到F 的最短距离为7，其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段第2阶段第3阶段第4阶段第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为：s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析：s 表示每个点到终点的最短距离，那么最短路程为17。

Dijkstra算法图示

Dijkstra算法学习笔记Dijkstra算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径，动态路由协议OSPF中就用到了Dijkstra算法来为路由计算最短路径。

算法本身并不是按照我们的正常思维习惯，我们一般会，从原点遍历所有与之相连的节点，找到最短路径，再从最短路径上的那个点遍历与之相连的所有其它点（原点除外），然后依次类推。

这样做虽然可以算出一个树形，但是在大多数情况下，这种算法会产生很多次优路径，也就是说非最短路径。

Dijkstra算法的大概过程：假设有两个集合或者说两个表，表A和表B表A表示生成路径，表B表示最后确定的路径1.从原点出发，遍历检查所有与之相连的节点，将原点和这些节点存放到表A 中，并记录下两节点之间的代价。

2.将代价最小的代价值和这两节点移动到表B中（其中一个是原点）。

3.把这个节点所连接的子节点找出，放入到表A中，算出子节点到原点的代价4.重复第二步和第三步直到表A为空。

然后根据表B中的数据算出最优树。

维基百科中还有另一种说法，Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。

我们以V表示G中所有顶点的集合。

每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。

(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。

我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。

因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。

边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。

任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。

已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。

这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。

Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到u的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。

最短路径问题的优化算法

最短路径问题的优化算法最短路径问题是图论中的经典问题之一，涉及在给定图中找到两个节点之间的最短路径。

这个问题在实际生活中有广泛的应用，如导航系统中的路线规划、网络通信中数据包的传输等。

为了提高计算效率，许多优化算法被提出和应用于解决最短路径问题。

1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中，从一个固定的起始节点到其他所有节点的最短路径问题。

经典的解决方法包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。

迪杰斯特拉算法是一种贪婪算法，通过确定与起始节点距离最短的节点来逐步扩展最短路径树。

具体步骤如下：1) 初始化距离数组，将起始节点距离设为0，其他节点距离设为无穷大。

2) 选择当前距离最短的节点，并标记为已访问。

3) 更新与该节点相邻节点的距离，若经过当前节点到相邻节点的距离更短，则更新距离数组。

4) 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过。

最后，距离数组中记录的即为从起始节点到其他所有节点的最短路径。

贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，通过不断地松弛边来逐步得到最短路径。

具体步骤如下：1) 初始化距离数组，将起始节点距离设为0，其他节点距离设为无穷大。

2) 依次对所有边进行松弛操作，即更新边的端点节点的距离。

3) 重复步骤2，直到所有边都被松弛完毕。

4) 判断是否存在负环路，若存在则说明无最短路径；若不存在，则距离数组中记录的即为从起始节点到其他所有节点的最短路径。

2. 全局最短路径问题全局最短路径问题是指在给定图中，找到任意两个节点之间的最短路径问题。

弗洛伊德算法是一种经典的解决方法，通过动态规划的思想逐步求解。

弗洛伊德算法的具体步骤如下：1) 初始化距离矩阵，将所有节点之间的距离设为无穷大。

2) 根据已知的边信息更新距离矩阵，即将已知路径的距离设为对应的实际距离。

3) 对于每一对节点，考虑经过中转节点的路径是否更短，若更短则更新距离矩阵。

4) 重复步骤3，直到距离矩阵不再变化。

最后，距离矩阵中记录的即为任意两个节点之间的最短路径。

最短路径算法(dijkstra)讲解

最短路径算法(dijkstra)讲解最短路径算法是计算机科学中一个非常重要且广泛应用的算法,它用于求解网络中节点到节点的最短路径。

本文将介绍 Dijkstra 最短路径算法的基本原理和步骤,并对其进行拓展。

Dijkstra 算法的基本原理是:从起点开始,依次将每个未连接的节点加入已连接的队列中,直到所有节点都被加入队列,并且队列为空。

然后从最后一个节点开始,依次取出队列中的节点,计算每个节点到起点的最短距离,并将这些距离累加到一个距离数组中。

最后,返回距离数组中的最小距离,即最短路径。

下面是 Dijkstra 算法的基本步骤:1. 初始化:- 将起点标记为已连接节点。

- 将起点到所有其他节点的距离设为无穷大。

- 将起点加入到距离队列中。

2. 处理队列:- 从距离队列中取出一个节点,并将其加入到连接表中。

- 计算该节点到起点的最短距离。

- 如果该距离小于当前最小距离,则更新最小距离。

- 将该节点标记为已连接节点。

3. 处理连接表:- 如果所有节点都被标记为已连接节点,则返回起点。

- 如果某个节点没有被标记为已连接节点,且该节点到其他节点的最短距离小于当前最小距离,则更新最小距离。

- 将该节点加入到距离队列中。

下面是针对 Dijkstra 算法的拓展:1. 时间复杂度分析:- Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(nlogn)。

- 在最坏情况下,当所有节点的权重都为0时,Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2)。

2. 非最坏情况下的改进:- 当节点的权重都较小时,Dijkstra 算法使用的是贪心算法,其性能可能会退化为 O(n^2)。

- 针对这种情况,可以使用启发式算法,如 A* 算法或贪心算法,来改进Dijkstra 算法的性能。

3. 扩展应用场景:- Dijkstra 算法可以用于求解单源最短路径问题、单源最短路径问题和无后效性问题。

- Dijkstra 算法还可以用于求解网络中的最小生成树问题和最小生成树问题。

dijkstra最短路径算法详解

dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。

以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。

2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。

之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。

更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。

3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。

4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。

Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。

其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。

总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。

在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。

最短路径算法的原理和方法

最短路径算法的原理和方法最短路径算法是一类解决图中节点最短路径问题的算法，例如在网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径，或者在地图中找到从一个地点到另一个地点的最短路线。

最短路径问题可以用图论来描述，即在有向或无向的图中，根据边的权重找到连接两个顶点的最短路径。

最短路径算法可以分为以下几种：1. Dijkstra 算法Dijkstra 算法是最常用的找到单源最短路径的算法，它适用于没有负权边的有向无环图或仅含正权边的图。

算法步骤：（1）初始化，将起点到所有其他顶点的距离初始化为正无穷，将起点到自己的距离初始化为0。

（2）选择一个起点，将其距离设为0。

（3）将起点加入已知最短路径集合。

（4）遍历与起点相邻的所有顶点，将它们到起点的距离更新为起点到它们的距离。

（5）从未加入已知最短路径集合中的顶点中选择最小距离的顶点，将它加入已知最短路径集合中。

（6）重复步骤4和步骤5直到所有顶点都被加入已知最短路径集合中。

2. Bellman-Ford 算法Bellman-Ford 算法是一种解决有负权边的单源最短路径问题的算法。

算法步骤：（1）初始化，将起点到所有其他顶点的距离初始化为正无穷，将起点到自己的距离初始化为0。

（2）遍历每条边，将该边起点的距离加上该边的权重，如果得到的距离比该边终点的距离小，则更新该终点的距离为该距离。

（3）重复步骤2 V-1 次，其中V 是图中的顶点数。

（4）检查是否存在负环，即在V-1 次迭代后，仍然可以更新顶点的距离。

如果存在负环，算法无法执行。

3. Floyd-Warshall 算法Floyd-Warshall 算法是一种解决所有顶点对之间的最短路径问题的算法。

算法步骤：（1）初始化，将每个顶点到其他顶点的距离初始化为边权，如果两个顶点之间没有边相连，则初始化为正无穷。

（2）依次加入每个顶点，如果通过加入该顶点可以得到更短的路径，则更新路径。

（3）输出结果，即每个顶点对之间的最短路径。

迪杰斯特拉算法最短路径

迪杰斯特拉算法最短路径迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种用于计算图中最短路径的算法。

它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉（Edsger Wybe Dijkstra）于1956年提出的，并且被广泛应用于网络路由和地图导航等领域。

迪杰斯特拉算法可以解决的问题是，给定一个带有非负权重的有向图和一个起始节点，找出从起始节点到其他所有节点的最短路径。

该算法采用了贪心的策略，即每次选择当前离起始节点最近的节点进行扩展，直到扩展到目标节点为止。

算法的具体步骤如下：1.初始化：将起始节点的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。

2.创建一个优先队列（通常是最小堆），用于存储待扩展的节点。

将起始节点加入队列。

3.循环以下步骤直到队列为空：-从队列中取出距离起始节点最近的节点，记为当前节点。

-如果当前节点已被访问过，则跳过该节点。

-更新与当前节点相邻节点的距离。

如果经过当前节点到达某个相邻节点的路径比之前计算的路径短，则更新这个节点的距离。

-将未访问过的相邻节点加入队列。

4.循环结束后，所有节点的最短路径已被计算出。

迪杰斯特拉算法的核心思想是不断扩展距离起始节点最近的节点，通过更新节点的距离，逐步获取最短路径。

算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数量。

这是因为每次循环需要查找距离起始节点最近的节点，而在最坏情况下，这个操作需要遍历所有节点。

以下是一个简单的例子来说明迪杰斯特拉算法的使用：假设有一个有向图，如下所示：```A ->B (1)A -> C (4)B ->C (2)B -> D (5)C ->D (1)C -> E (3)D ->E (4)```起始节点为A，我们希望找到到达其他节点的最短路径。

首先，初始化距离：A到A的距离为0，A到B/C/D/E的距离均为无穷大。

然后，将A加入优先队列。

从队列中取出A，更新A的邻居节点的距离。

(完整)Dijkstra算法的流程图

Dijkstra算法的流程图需求和规格说明：Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径.主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止.Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低.算法本身并不是按照我们的思维习惯——求解从原点到第一个点的最短路径,再到第二个点的最短路径，直至最后求解完成到第n个点的最短路径，而是求解从原点出发的各有向路径的从小到大的排列，但是算法最终确实得到了从原点到图中其余各点的最短路径，可以说这是个副产品,对于算法的终结条件也应该以求得了原点到图中其余各点的最短路径为宜.清楚了算法的这种巧妙构思后，理解算法本身就不是难题了.实现注释：想要实现的功能：Dijkstra算法是用来求任意两个顶点之间的最短路径。

在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。

在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。

用户可以将任意一个图的信息通过键盘输入，让后在输入要查找的两个顶点，程序可以自动求出这两个顶点之间的最短路径.已经实现的功能:在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。

在该程序中设置一个全局变量的二维数组,用它来存储任意两个顶点之间的边的权值。

然后通过最短路径的计算,输入从任意两个顶点之间的最短路径的大小。

用户手册：对于改程序，不需要客户进行什么复杂的输入，关键是用来存放图的任意两个顶点之间的边的权值的二维数组的初始化,即将要通过Dijkstra算法求最短路径的图各条边的权值放入二维数组中。

这样程序就可以自动的计算出任意两个顶点之间的最短路径并且进行输出.设计思想：s为源，w［u，v] 为点u 和v 之间的边的长度，结果保存在 dist［]初始化：源的距离dist[s]设为0，其他的点距离设为无穷大，同时把所有的点状态设为没有扩展过。

循环n-1次：1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展.2. 对于每个与u相邻的点v，如果dist［u] + w［u，v] < dist［v］，那么把dist ［v]更新成更短的距离dist［u］ + w[u，v]。

最短路径之Dijkstra算法详细讲解(C#)

最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。

最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。

２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

数据结构16--最短路径

pre：0‥n；
end； var
/*前趋结点序号*/
adj：array[1‥n，1‥n] of real dist：array[1‥n] of path；
/*相邻矩阵*/ /*路径集合*/
计算单源最短路径的过程如下： fillchar(adj，sizeof(adj)，0)；/*建立相邻矩阵adj*/ for i←1 to n do for j←1 to n do if(i,j)∈E then adj[i，j+←wij else adj[i，j+←∞； for i←1 to n do /*路径集合初始化*/ {dist[i]．length←adj*v0，i]； if dist[i]．length<>∞ then dist[i]．pre←v0 else dist[i]．pre←0； }；/*for*/ adj[v0，v0+←1；/*源结点v0进入第一组*/
k源最短路问题
1、k源无权图：与其采用Dijkstra算法(k*n2),不如采用宽度优先搜索(n2)。初始时，所有源点入队列。 2、 k源有权图：将所有源点压缩成一个源点，保持源点与非源点之间的连接关系，采用Dijkstra算法(k*n2)计算
多源最短路问题
在一个加正权的有向图G ={V， E}中给出源s1，s2和s3，图中边上的数值为边的权值，顶点后括号内的数值为到该点最短路的长度。求源到其余所有点的最短路长度。与单源最短路问题不同的是，本题中源是一个集合S中的所有点。而S到某一个点p的最短距离等于S中所有点到p的最短距离的最小值
方法1：对每个源点执行一次Dijkstra算法。每执行一次 Dijkstra算法，需要计算时间O(ElgV)。如果有k个源点的话，则需花费总时间O(k*ElgV)。方法2：由于源点集合S中任何两点间的连边关系对答案都没有影响，因此可以将S视为一个内外隔绝的“包裹”，舍去包裹内的冗余信息，并将其“压缩”成为一个新的点PS，并保留S中节点对外的连边情况作为压缩后节点PS的对外连边，得到一张新图和一个单源最短路问题

算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法

D(2) [i][j] = min{D(1) [i][j], D(1) [i][2]+D(1) [2][j]}
6
0123
V2 8 V3
8
0 1 1920 43 0
3
4 52
ADA(((-32101)))==
8
11021 0 98 2 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
90 110 6 0 3
12
5.算法实现
• 图用邻接矩阵存储 • edge[ ][ ]存放最短路径长度 • path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号
void floyd ( ){
for ( int i = 0; i < n; i++ ) //矩阵dist与path初始化
for ( int j = 0; j < n; j++ ) { //置A(-1)
例题：
6 A4 3 11
C
初始：
0 6
4 0
11 2
3 0 B
路径： BA CA
AB AC BC
2 0 4 11
加入A： 6 0 2 37 0
AB AC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入B： 6 0 2
37 0
AB ABC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入C： 5 0 2
37 0
AB ABC
8
0092 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
0160 3
1
以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短

迪杰斯特拉算法求最短路径图解

迪杰斯特拉算法求最短路径图解
迪杰斯特拉算法是在用运筹学中解决路径搜索问题时候非常有用的一种算法。

它适用于求解从一个点到其他所有点的最短路径。

这种算法主要应用于交通网络，求解旅游问题，处理穿越桥梁或隧道的情况等等。

迪杰斯特拉算法的含义就是“最短路径”。

这种算法比较常见的一种，因为它
可以用于解决上述类型的问题，也能够给出即时的答案。

需要说明的是，运用迪杰斯特拉算法求解最短路径，需要满足一定的条件：必须满足图的邻接关系，并且确定用于求最短路径的起点和终点。

迪杰斯特拉的步骤可以分为四步：
第一步：先从所有节点中选择一个起始节点，找出该节点与其他节点之间的最
短路径；
第二步：选择一个未被访问的节点，计算从起始节点到该节点的最短路径长度；
第三步：在剩余节点中重复步骤二直至起始节点与所有节点均被访问；
第四步：当所有节点都被访问后，根据记录的信息，选择起始节点通往其他节
点的最短路径。

一旦经过这四步完成了最短路径的搜索，就可以使用迪杰斯特拉算法解决最短
路径问题了。

这种算法的特点在于它的有效性，准确性和便捷性，可以找出最短路径的最优解来解决问题，并且很容易实施。

解决最短路径问题时，使用该算法的一大优势在于可以考虑到不同的费用，这也就意味着可以计算具有很高效率的最短路径。

(完整word版)最短路径算法附应用

最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。

如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。

那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。

在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。

在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。

最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。

一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。

首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。

（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。

例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。

Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。

执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。

在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。

例1中，s=1。

因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。

图的最短路径(ppt文档)

11
begin min:=max ; flag[1]:=[1] ; city[1]:=1 ; n:=0 ;pnt[1]:=0 ; r:=1 ;f:=0; repeat inc(f); k:=city[f]; if k<>m then begin flags:=flag[f] ; for j:= 2 to m do if (not( j in flags )) and (link[k,j]>0 ) then begin inc(r); city[r]:=j; flag[r]:=flags+[j];
图的最短路径
1
最短路径
一、最短路径从一个顶点到另一个顶点最短路径长度，称为最短路
径。
2
从源点Vi到终点Vj的每条路径上的权（它等于该路径上所经边上的权值之和，称为该路径的带权路径长度）可能不同，我们把权值最小的那条路径称为最短路径。
例如：图中V1到V5共有三条路径： (v1,v5),(v1,v2,v3,v5),(v1,v2,v4,v5),其带权路径长度分别为30，23和38，其最短路径为23。
18
第三次遍历：
1
2
3
4
5
S
1
DIST
0
PATH V1
1
1
1
0
3
15
11
23
V1,V2 V1,V2,v4,V3 V1,V2,V4 V1,v2,V4,v 5
19
经过以上遍历，我们得到从V1点到各个顶点的最短路径长度以及最短路径所经过的顶点序号。算法的具体描述： Procedure dijkstra (GA,dist , path , i) ;{ 从源点vi点开始}
3

第8章图第8讲-最短路径和Dijkstra算法PPT课件

第2组为其余未求出最短路径的顶点集合（用U表示）。
S
每一步求出v到U中一个 U=V-S
顶点u的最短路径，并将u
移动到S中。直到U为空。
u
v
3/21
狄克斯特拉算法的过程
（1）初始化：，S只包含源点即S={v}，v的最短路径为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点i距离为边上的权值（若v与i有边<v， i>）或∞（若i不是v的出边邻接点）。
path[5]={0,2,3,5}。
？
所有n-1条最短路径可以用二维数组path[][]存储。
9/21
改进的方法是采用一维数组path来保存：
若从源点v j的最短路径如下：
v
…
a
…
v j最短路径中j的前一个顶点
u
j
则
v
…
a
…
？ u 一定是从源点v u的最短路径
反证法证明：
b
是v u的最短路径
v
k
j
考虑中间其他所有顶点k，通过比较得到v j的最短路径
8/21
算法设计（解决2个问题）
如何存放最短路径长度：
用一维数组dist[j]存储！源点v默认， dist[j]表示源点顶点j的最短路径长度。如 dist[2]=12表示源点顶点2的最短路径长度为12。
如何存放最短路径：
从源点到其他顶点的最短路径有n-1条，一条最短路径用一个一维数组表示，如从顶点0 5的最短路径为0、2、3、5，表示为
v
…
a
…
u
j
而通过b的路径更短，则v → … a → … u → j不是最短路径
与假设矛盾，问题得到证明。
10

最短路径问题(Dijkstra算法)和最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)

ift(j)==tmax
t(j)=tmin;
end
end
end
ifk==n
break;
end
end
T;
c;
Prim算法程序：
function[T c] =Primf(a)
%a表示权值矩阵
%c表示生成树的权和
%T表示生成树的边集合
l=length(a);
a(a==0)=inf;
k=1:l;
listV(k)=0;
上机实验1、2
1.最短路径问题（Dijkstra算法）
2.最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）
一、最短路径问题（Dijkstra算法）
实验问题描述：如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地。
listV(1)=1;
e=1;
while(e<l)
min=inf;
fori=1:l
iflistV(i)==1
forj=1:l
iflistV(j)==0&min>a(i,j)
min=a(i,j);b=a(i,j);
s=i;d=j;
end
end
end
end
listV(d)=1;
distance(e)=b;
T =
3 4 1 2
4 5 3 5
c =
10
>> a=[0 5 3 7 inf;5 0 8 inf 4;3 8 0 1 6;7 inf 1 0 2;inf 4 6 2 0];
>> [T c] =Primf(a)

最短路径算法流程图

否
w有确定的最短路径是 D[w]<min)
是不存在w的最短路径且 (D[v]+G.arcs[v][w]<D[w]) 是否更新D[w]即D[w] = D[v]+G.arcs[v][w]; 更改w的前驱为v即Path[w] = v;
否
v=w; min=D[w];
w=w+1
结束 w=w+1
源点到源点的距离为0，即D[i]=0
如果v0和v之间有弧是将v的前驱置为 v0，即PathG.vexnum 是
将v的前驱置为-1 Path[v]=-1 否
w=1
w<G.vexnum v=v+1 是 min=MaxInt(极大值)， w=0
将v加入S即 S[v]=true; (w=0 ) 否 w<G.vexnum
开始
定义整型变量i,j,v,w,min,m,n,k
定义存放起点和终点的数组 start，destination
定义数组D记录从源点到终点的当前最短路径长度，数组Path记录从源点到终点的当前最短路径上某点的直接前驱顶点序号，数组S记录从源点到终点是否已被确定最短路径长度
输入起点和终点 start，destination
调用LocateVex函数，将start， destination的下标分别存在i和j中
v=0
否 v<G.vexnum 是将数组S初始为空集 S[v] = false 将v0加入S ，S[v0]=true,i 为源点的下标
将起点到各个终点的最短路径长度初始化 D[v] = G.arcs[i][v]

图示步步详解最短路径Disktra算法

7 选入C，此时S={A,B,E,G,F,H,C}，此时最短路径 A->A=0,A->B=2,A>B->E=4, A->B->E->G=5,A->B->E>F=6, A->B->E->F->H=8,A->B->C=9 ，以 C 为中间点，从C开始找
U={D}， A->B->E->F->H->D=10， A->B->C->D=12(A->B->E->F-C->D=12), 发现A->B->E->F->H->D=10距离最短
U中集合已空，查找完毕 8 选入D，此时S={A,B,E,G,F,H,C,D}，此时最短路径 A->A=0,A->B=2,A>B->E=4, A->B->E->G=5,A->B->E>F=6, A->B->E->F->H=8, A->B->E->F->H>D=10，以D为中间点，从D开始找
4 选入G，此时S={A,B,E,G}，此时最短路径A->A=0,A->B=2, A->B>E=4, A->B->E->G=5,以G为中间点，从G开始找
U={C,D,F,H}， A->B->E->G->H=9, A->B->C=9, A->B->E->F=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E->F=6距离最短
步 S集合中 U集合中骤 1 选入A，此时S={A}，此 U={B,C,D,E,F,G,H}，时最短路径 A->A=0, 以 A A->B=2, 为中间点，从A开始找 A->G=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B=2距离最短 2 选入 B ，此时 S={A,B} ， U={C,D,E,F,G,H}，此时最短路径A->A=0,A- A->B->E=4, >B=2,以B为中间点，从B A->G=6, 开始找 A->B->C=9 A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E=4距离最短 3 选入E，此时S={A,B,E}， U={C,D,F,G,H}，此时最短路径A->A=0,A- A->B->E->G=5(比上面第一步中A>B=2, A->B->E=4,以E为中 >G=6要短)，此时到G的距离为A间点，从E开始找 >B->E->G=5, A->B->C=9, A->B->E->F=6, A->U中其他顶点=∞ 发现A->B->E->G=5距离最短

最短路径流程图及算法详解

:算法的设计思想本算法采用分支定界算法实现。

构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。

本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。

算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。

当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。

算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。

算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。

伪代码算法AlgBB()读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中Dijkstra(length)Dijkstra(cost)while true dofor i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点if shortestlength>optimal or mincost>1500pruningelseif i＝50optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解和最优解的较小值做最优解elseif looped //如果出现回路pruning //剪枝else将城市i插入到优先队列中end forwhile true doif 优先队列为空输出结果else取优先队列中的最小节点if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解continueend whileend while算法流程图。

普利姆算法之最短路径问题详解

普利姆算法之最短路径问题详解普利姆算法之最短路径问题详解说明1. 普利姆算法是⼀个求最短路径的算法，即给定⼀个带权的⽆向图，求⼀条路径使得将这些节点连接后带权路径最短，即如何⽣成最⼩⽣成树2. 以修路问题为例，假设有7个村庄，修⼀条通路连接这7个村庄，但是要求路径最短3. 使⽤⽆向图来模拟，图的顶点为村庄，带权路径为村庄的通路，则转化为求图的最⼩权值问题4. 使⽤邻接矩阵来表⽰图5. 将邻接矩阵创建好后，实现普利姆算法，思路6. 仍然创建⼀个⼤⼩等于节点数⽬的⼀维数组表⽰当前节点是否访问过，如果访问过，则置1，如果没有访问过则置07. 从某⼀节点开始，先将当前节点置为1，表⽰访问过8. 因为有7个节点，所有⾄少需要6条通路才能连接所有的顶点，所以最外层循环总共循环6次，每次循环都寻找⼀条最短路径9. 内层循环则要在已经访问过的和没有访问过的节点连接中寻找最短路径，找到后记录两个节点并记录权值10. 通过6次⼤循环后则会找到6条路径将所有的节点连接起来并能保证路径最短11. 源码见下源码及分析package algorithm.algorithm.prim;import java.util.Arrays;/*** @author AIMX_INFO* @version 1.0*/public class PrimAlgorithm {public static void main(String[] args) {//顶点元素char[] data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点个数int vertex = data.length;//设置最⼩⽣成树的权值int[][] weight = {{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}};//图对象MGraph graph = new MGraph(vertex);//最⼩⽣成树MinTree minTree = new MinTree();//邻接矩阵minTree.createGraph(graph, vertex, data, weight);//minTree.showGraph(graph);//普利姆算法minTree.prim(graph,3);}}//创建最⼩⽣成树class MinTree {//创建图的邻接矩阵/*** @param graph 图* @param vertex 顶点个数* @param data 顶点的数据* @param weight 边的权值*/public void createGraph(MGraph graph, int vertex, char[] data, int[][] weight) {for (int i = 0; i < vertex; i++) {//给每个顶点赋值graph.data[i] = data[i];//给每条路径赋权值for (int j = 0; j < vertex; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}/**** @param graph 最⼩⽣成树* @param v 从哪个节点开始*/public void prim(MGraph graph, int v){//创建⼀维数组判断是否访问过,如果访问过，则置1，否则置为0int[] isVisited = new int[graph.vertex];//从当前节点开始，则当前节点已经被访问过//定义变量h1 h2保存最⼩路径的两个顶点下标int h1 = -1, h2 = -1;//定义minWeight保存最⼩路径int minWeight = 10000;isVisited[v] = 1;//因为有graph.vertex个顶点，因此⾄少需要graph.vertex - 1条线连接所有的顶点for (int k = 1; k < graph.vertex; k++) {//寻找已经访问过的节点和其他未访问过的邻接节点之间的最⼩路径for (int i = 0; i < graph.vertex; i++) {for (int j = 0; j < graph.vertex; j++) {//i节点访问过，j节点没有访问过并且两节点之间的路径最短，则记录权值和两个节点if (isVisited[i] == 1 && isVisited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight){minWeight = graph.weight[i][j];h1 = i;h2 = j;}}}//内两层循环结束后则找到⼀条最短路径System.out.println("边 " + graph.data[h1] + " " + graph.data[h2] + " 权值为 " + graph.weight[h1][h2]); //将当前节点标记为已经访问isVisited[h2] = 1;//重置权值minWeight = 10000;}}//查看最⼩⽣成树public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}}//图类class MGraph {//节点个数int vertex;//节点数据char[] data;//节点的边，即邻接矩阵int[][] weight;//构造器，通过节点个数创建图public MGraph(int vertex) {this.vertex = vertex;data = new char[vertex];weight = new int[vertex][vertex];}}。