学一轮复习第十一章第61课双曲线自主学习(pdf)

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2021年高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修11

2021年高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修1-1一、教学内容分析本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.二、教学目标设计本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.三、教学重点及难点重点：双曲线的性质.难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.四、教学流程设计并加以研究.3．讨论研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？二、学习新课 1．概念辨析以双曲线标准方程，为例进行说明.1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.从双曲线的方程如何验证？由标准方程可得，当时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a ,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长而在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点.但y 轴上的两个特殊点，在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长归纳：顶点：特殊点：实轴：长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长.注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异 4．渐近线：经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为. （1）定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；（2）直线与双曲线在无穷远处是否相交？解：不失一般性，只研究双曲线在第一象限内a x a x ab y >-=,22与直线的位置关系;设是a x a x ab y >-=,22上的点，是直线上与有相同横坐标的点，则,Y x aba x ab y =≤-=≤220，∴在的下方. ∴22222222))((ax x a x x a x x a b a x a b x a b -+-+--⋅=-- ，是关于的减函数，∴无限增大时，无限趋近于，而到直线的距离，∴无限增大时，也无限趋近于，但永不相交.其他象限类似证明；（3）求法：在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；若方程为，则渐近线方程为. 2．问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：或.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：,当时交点在轴，当时焦点在轴上.例：等轴双曲线的两个焦点在直线上，线段的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.（二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如和；（2）与（a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；例如：分清①、与②、③、④、⑤之间的关系. （三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)与;(2) 与的区别?(1) 不同（互换）相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);(2) 不同,不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此: 双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.问题: 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成.当时交点在x 轴，当时焦点在y 轴上.即:双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.证明：若，则双曲线方程可化为，渐近线，双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同；若，则双曲线方程可化为，渐近线，即，又∵双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.[说明]与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．3．例题分析1、若双曲线以为渐近线, 根据下列条件，分别求双曲线标准方程. （1）且实轴长为；（2）过点；（3）一个焦点坐标为. 解：（1）设双曲线方程为, 当时焦点在x 轴上，，双曲线方程; 当时焦点在y 轴上，，双曲线方程; （2）设双曲线方程为将代入得，双曲线方程（3）设双曲线方程为，因为焦点坐标为，所以，，双曲线方程为. 2、（1）求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角；（2）焦距为，两条渐近线包含双曲线的部分所成角为，求双曲线标准方程. 解：（1）渐近线方程为，22)2(2122=-⋅+--=αtg ，;（2）当焦点在轴上时，方程为; 当焦点在轴上时，方程为.三、巩固练习1、中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是 .2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.3、求与双曲线有共同的渐近线，且经过点A 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.4、以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 .四、课堂小结双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成. 五、作业布置1、习题册P363，4，5，6，72、补充作业（1）求方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标. （2）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，求双曲线方程. （3）求以为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程.七、教学设计说明1．研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的，所以采用类比的教学方法，让学生在已有经验的基础上，研究双曲线并得出结论，比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题的能力.2．渐近线是双曲线所特有的，证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零，是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程，或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容，所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程，加深学生对渐近线的认识.3．等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线，通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质，开拓视野.。

高中双曲线知识点总结

高中双曲线知识点总结高中双曲线知识点总结进入高三总复习的第一阶段，同学们应从基础知识抓起，扎扎实实，一步一个脚印地过数学知识点关。

复习时，将双曲线方程知识点总结熟练掌握运用，小编相信您一定可以提高数学成绩!高中双曲线知识点总结1双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) 长加短减原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.高中双曲线知识点总结2一、用好双曲线的对称性例1若函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x 轴于B。

2023新高考数学一轮复习创新课件第11章第6讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

3．乘法公式对任意两个事件 A 与 B，若 P(A)>0，则 P(AB)＝ 04 ____P_(_A_)P__(B_|_A_)____. 4．条件概率的性质设 P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝ 05 _1__； (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝ 06 _______P__(B__|A_)_＋__P_(_C_|A__) __________； (3)如果 B 与 B 互为对立事件，则 P( B |A)＝ 07 _____1_－__P_(_B_|_A_)_________.
解 (1)记事件 M：甲连胜四场，则 P(M)＝124＝116. (2)记事件 A 为甲输，事件 B 为乙输，事件 C 为丙输，则四局内结束比赛的概率为 P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×124＝14，所以需要进行第五场比赛的概率为 P＝1－P′＝34.
解析
2 ．某班学生考试成绩中，数学不及格的占 15% ，语文不及格的占 5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A．0.2
B．0.33
C．0.5
D．0.6
解析记“数学不及格”为事件 A，“语文不及格”为事件 B，则“两
P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，P(B)>0，有 P(Ai|B)＝ 09
PAiPB|Ai ________P__B__________＝ 10 _________________________，i＝1,2，…，n.
1．事件间的关系及表示 (1)A，B 中至少有一个发生的事件为 A∪B. (2)A，B 都发生的事件为 AB. (3)A，B 都不发生的事件为 A B . (4)A，B 恰有一个发生的事件为(A B )∪( A B)． (5)A，B 至多一个发生的事件为(A B )∪( A B)∪( A B )． 2．条件概率的计算常采用缩小样本空间法求解． 3．乘法公式可以推广为 P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中 P(A1)>0，P(A1A2)>0.

2021年高考数学大一轮复习第十一章第61课双曲线自主学习

2021年高考数学大一轮复习第十一章第61课双曲线自主学习1. 双曲线的简单几何性质定义(1) 第一定义:平面上,到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定点间距离2c)的动点轨迹叫作双曲线.(2) 双曲线的定义用代数式表示为|MF1-MF2|=2a,其中2a<F1F2=2c.(3) 当MF1-MF2=2a时,曲线仅表示靠近焦点F2的双曲线的一支;当MF1-MF2=-2a时,曲线仅表示靠近焦点F1的双曲线的一支;当2a=F1F2时,轨迹为以F1,F2为端点的两条射线;当2a>F1F2时,动点轨迹不存在.(4) 第二定义:平面上,到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线图形标准方程-=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)几何性质范围|x|≥a |y|≥a焦点F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)对称性关于x轴、y轴轴对称,关于原点中心对称实、虚轴长实轴(A1A2)长为2a,虚轴(B1B2)长为2b离心率e==双曲线上任意一点到一个焦点F的距离与到这个焦点对应的准线l的距离之比准线方程x=±y=±渐近线方程y=±x y=±x2. (1) 等轴双曲线:实轴和虚轴相等的双曲线叫作等轴双曲线,也叫等边双曲线.(2) 等轴双曲线离心率e=两条渐近线垂直(位置关系)实轴长=虚轴长.(3) 双曲线的离心率与=都是刻画双曲线的开口的宽阔程度的量.3. 点P(x0,y0)和双曲线-=1的关系:(1) P在双曲线内->1(含焦点);(2) P在双曲线上-=1;(3) P在双曲线外-<1.4. 焦半径:双曲线上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径,分别记作r1=PF1,r2=PF2.(1) -=1(a>0,b>0).若点P在右支上,r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.(2) -=1(a>0,b>0).若点P在上支上,r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.5. 焦点弦:AB为经过双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点的弦,通径AB=.1. (选修2-1P46练习1改编)双曲线-=1的离心率为.[答案][解析]c2=a2+b2=25,所以e2==,所以离心率为.2. (选修2-1P47习题1改编)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的离心率为,且过点(1,),则曲线C的标准方程为.[答案]y2-x2=1[解析]因为曲线C的离心率为,所以曲线为等轴双曲线,其方程可以设为x2-y2=λ.因为过点(1,),所以λ=1-2=-1,标准方程为y2-x2=1.3. (选修2-1P46例1改编)若双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m=.[答案]44. (选修2-1P47习题2改编)经过点(-,6),且渐近线为y=±3x的双曲线的方程是.[答案]-x2=1[解析]设双曲线方程为y2-9x2=t,则t=36-27=9,所以双曲线的方程为-x2=1.5. (选修2-1P47习题4改编)已知双曲线-=1(b>0)的离心率为,那么它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为.[答案]2[解析]依题意得=,解得b=2,该双曲线的一个焦点坐标为(2,0),于是它的一个焦点到其中一条渐近线y=x的距离d==2.38349 95CD 闍R33884 845C 葜26294 66B6 暶Yc39242 994A 饊38265 9579 镹33715 83B3 莳33269 81F5 臵z29335 7297 犗P32014 7D0E 紎k。

高中数学双曲线知识点归纳总结

范围
，
，
对称轴
轴，轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点（）到准线（）的距离为
顶点（）到准线（）的距离为
焦点到准线的距离
8.
(
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线与直线相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线：双曲线C：（＞0，＞0）
1)当，即时，直线与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
工作好，才有好的生活！）
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~~~专业文档，VIP专享。更多精彩文档，尽在~~~3.双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部 .
(2)点在双曲线的外部 .
4. 形如的方程可化为
当，双曲线的焦点在轴上；
当，双曲线的焦点在轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
若2a=2 时，即 ,当，动点轨迹是以为端点向右延伸的一条射线；当时，动点轨迹是以为端点向左延伸的一条射线；

2023版高考数学一轮总复习专题考点精析9-3双曲线及其性质pdf

专题九　平面解析几何／１０３㊀９．３㊀双曲线及其性质考点一㊀双曲线的定义及标准方程㊀㊀１．定义在平面内到两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的差的绝对值等于常数（小于｜Ｆ１Ｆ２｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线，定点Ｆ１，Ｆ２叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．注意㊀（１）设双曲线上的点Ｍ到两焦点Ｆ１，Ｆ２的距离之差的绝对值为２ａ，即｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜｜＝２ａ，其中０＜２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜，这一条件不能忽略．①若２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜，则点Ｍ的轨迹是分别以Ｆ１，Ｆ２为端点的两条射线；②若２ａ＞｜Ｆ１Ｆ２｜，则点Ｍ的轨迹不存在；③若２ａ＝０，则点Ｍ的轨迹是线段Ｆ１Ｆ２的垂直平分线．（２）若将双曲线定义中的差的绝对值等于常数中的绝对值去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支（上支）还是右支（下支）视情况而定．２．标准方程，焦点在ｘ轴上的双曲线的标准方程为ａ＞０，ｂ＞０）；，焦点在ｙ轴上的双曲线的标准方程为ａ＞０，ｂ＞０）．注意㊀（１）焦点位置的判断：在双曲线的标准方程中，看ｘ２项与ｙ２项的系数正负，若ｘ２项的系数为正，则焦点在ｘ轴上；若ｙ２项的系数为正，则焦点在ｙ轴上，即焦点位置看正负，焦点随着正的跑．（２）ａ，ｂ，ｃ满足ｃ２＝ａ２＋ｂ２，即ｃ最大（ｃ为半焦距）．（３）焦点位置不确定时，可设双曲线方程为ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍｎ＜０）．３．焦点三角形问题（１）Ｐ为双曲线上的点，Ｆ１，Ｆ２为双曲线的两个焦点，且øＦ１ＰＦ２＝θ，则ＳәＦＰＦ１的直线与双曲线的一支交于Ａ㊁Ｂ两点，则Ａ㊁Ｂ与另一个焦点Ｆ２构成的әＡＢＦ２的周长为４ａ＋２｜ＡＢ｜．（３）若Ｐ是双曲线右支上一点，Ｆ１㊁Ｆ２分别为双曲线的左㊁右焦点，则｜ＰＦ１｜ｍｉｎ＝ａ＋ｃ，｜ＰＦ２｜ｍｉｎ＝ｃ－ａ．（４）Ｐ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）右支上不同于实轴端点的任意一点，Ｆ１㊁Ｆ２分别为双曲线的左㊁右焦点，Ｉ为әＰＦ１Ｆ２内切圆的圆心，则圆心Ｉ的横坐标恒为定值ａ．考点二㊀双曲线的几何性质焦点在ｘ轴上焦点在ｙ轴上图形标准方程ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）几何性质范围｜ｘ｜ȡａ｜ｙ｜ȡａ焦点Ｆ１（－ｃ，０）㊁Ｆ２（ｃ，０）Ｆ１（０，－ｃ）㊁Ｆ２（０，ｃ）顶点Ａ１（－ａ，０）㊁Ａ２（ａ，０）Ａ１（０，－ａ）㊁Ａ２（０，ａ）对称性关于ｘ轴㊁ｙ轴对称，关于原点对称实㊁虚轴长实轴长为２ａ，虚轴长为２ｂ离心率双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ渐近线方程ｙ＝ʃｂａｘｙ＝ʃａｂｘ㊀㊀ʌ常见结论ɔ（１）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率ｅ＝２⇔两条渐近线互相垂直．（２）共轭双曲线的性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于１．（３）焦点到渐近线的距离为ｂ．考点三㊀直线与双曲线的位置关系㊀㊀直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题㊁相交弦问题及其他综合问题．解决这样的问题，常用下面的方法：将双曲线方程Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１与直线方程ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ联立，消去ｙ，整理得（ｂ２－ａ２ｋ２）ｘ２－２ａ２ｍｋｘ－ａ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０．当ｂ２－ａ２ｋ２＝０，即ｋ＝ʃｂａ时，直线ｌ与双曲线Ｃ的一条渐近线平行，直线ｌ与双曲线Ｃ只有一个交点；当ｂ２－ａ２ｋ２ʂ０，即ｋʂʃｂａ时，设该一元二次方程根的判别式为Δ．（１）当Δ＞０时，直线与双曲线有两个公共点Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），则可结合根与系数的关系，代入弦长公式｜ＭＮ｜＝（ｘ２－ｘ１）２＋（ｙ２－ｙ１）２＝（１＋ｋ２）［（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２］求弦长；（２）当Δ＝０时，；（３）当Δ＜０时，直线与双曲线相离．注意㊀有一个交点，可能相交，也可能相切．ʌ常见结论ɔ（１）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为２ｂ２ａ．　A 版　高考理数／１０４㊀㊀㊀（２）设Ｐ，Ａ，Ｂ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上的三个不同的点，其中Ａ，Ｂ关于原点对称，则直线ＰＡ与ＰＢ的斜率之积为ｂ２ａ２．（３）弦中点结论：设ＡＢ为双曲线不平行于ｘ轴，ｙ轴的弦，点Ｍ为弦ＡＢ的中点．标准方程点差法结论ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｋＡＢ㊃ｋＯＭ＝ｂ２ａ２ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｋＡＢ㊃ｋＯＭ＝ａ２ｂ２方法１利用双曲线的定义解题的方法㊀㊀１．利用双曲线定义解题的主要方向：一是判断平面内与两定点有关的动点的轨迹是不是双曲线；二是利用定义讨论焦点三角形的周长㊁面积或双曲线的弦长㊁离心率等问题．２．求双曲线方程的方法：（１）定义法：根据已知条件，若所求轨迹满足双曲线的定义，则利用双曲线的定义求出参数ａ，ｂ的值，从而得到所求的轨迹方程；（２）待定系数法：根据题目条件确定焦点的位置，从而设出所求双曲线的标准方程，利用题目条件构造关于ａ，ｂ的方程（组），解得ａ，ｂ的值，即可求得方程．例１㊀（２０２０山西太原部分重点中学４月联考，８）已知双曲线ｘ２４－ｙ２ｂ２＝１（ｂ＞０）的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２，过点Ｆ２的直线交双曲线右支于Ａ㊁Ｂ两点，若әＡＢＦ１是等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，则әＡＢＦ１的周长为（㊀㊀）Ａ．１６３３＋８Ｂ．４（２－１）Ｃ．４３３＋８Ｄ．２（３－１）解析㊀解法一：由双曲线方程可知ａ＝２，ʑ２ａ＝４，ȵәＡＢＦ１为等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ２｜，由双曲线的定义知｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜＝２ａ＝４，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＋４，ʑ｜ＢＦ２｜＝４，由双曲线的定义知｜ＢＦ１｜＝｜ＢＦ２｜＋４＝８．ȵ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜，øＡ＝１２０ʎ，ʑøＡＦ１Ｂ＝３０ʎ．在әＡＢＦ１中，由正弦定理可得｜ＡＢ｜ｓｉｎ３０ʎ＝｜ＢＦ１｜ｓｉｎ１２０ʎ，即｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜㊃ｓｉｎ３０ʎｓｉｎ１２０ʎ＝８３３，ʑәＡＢＦ１的周长为１６３３＋８，故选Ａ．㊀㊀解法二：由双曲线方程得ａ＝２，则２ａ＝４，过Ａ作ＡＤʅＢＦ１，垂足为Ｄ，如图所示．由题意知Ｄ为线段ＢＦ１的中点，设｜ＡＦ２｜＝ｍ，｜ＢＦ２｜＝ｎ，由双曲线定义知｜ＡＦ１｜＝４＋ｍ，｜ＢＦ１｜＝４＋ｎ，由于әＡＢＦ１为等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜，即４＋ｍ＝ｍ＋ｎ，解得ｎ＝４．在ＲｔәＡＤＦ１中，øＡＦ１Ｄ＝３０ʎ，ʑ｜ＤＦ１｜＝｜ＡＦ１｜㊃ｃｏｓ３０ʎ＝３２（４＋ｍ），ʑ｜ＢＦ１｜＝２｜ＤＦ１｜＝３（４＋ｍ）＝４＋ｎ，ʑｍ＝８３３－４，ʑәＡＢＦ１的周长为４＋ｍ＋ｍ＋ｎ＋４＋ｎ＝８＋２（ｍ＋ｎ）＝８＋１６３３，故选Ａ．答案㊀Ａ㊀㊀经典例题㊀㊀例㊀（２０２０浙江浙南名校联盟联考，２）双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的离心率为２，且其右焦点为Ｆ２（２３，０），则双曲线Ｃ的标准方程为（㊀㊀）Ａ．ｘ２３－ｙ２９＝１Ｂ．ｘ２９－ｙ２３＝１Ｃ．ｘ２４－ｙ２１２＝１Ｄ．ｘ２１２－ｙ２４＝１解析㊀本题考查双曲线的标准方程及几何性质；考查学生数学运算的能力；考查了数学运算的核心素养．由已知有ｃ＝２３，ｃａ＝２３ａ＝２，所以ａ＝３，ｂ２＝ｃ２－ａ２＝９，故双曲线的标准方程为ｘ２３－ｙ２９＝１，故选Ａ．答案㊀Ａ方法２求双曲线离心率的值或取值范围的方法㊀㊀１．在解析几何中，解决范围问题，一般可从以下几个方面考虑：（１）与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；（２）通过一元二次方程的根的判别式Δ的符号建立不等关系；（３）利用点在曲线内部或外部建立不等关系；（４）利用解析式的结构特点，如ａ２，｜ａ｜，ａ等的非负性来完成范围的求解．２．求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法（１）由ａ㊁ｂ或ａ㊁ｃ的值，得ｅ＝ｃ２ａ２＝ａ２＋ｂ２ａ２＝１＋ｂ２ａ２．（２）列出含有ａ，ｂ，ｃ的齐次方程（或不等式），借助ｂ２＝ｃ２－ａ２消去ｂ，然后转化成关于ｅ的方程（或不等式）求解．（３）构造焦点三角形，利用定义转化为焦点三角形三边的关系，如图，ｅ＝ｃａ＝２ｃ２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜．例２㊀（２０１７课标Ⅰ，１５，５分）已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右顶点为Ａ，以Ａ为圆心，ｂ为半径作圆Ａ，圆Ａ与双曲线Ｃ的一条渐近线交于Ｍ，Ｎ两点．若øＭＡＮ＝６０ʎ，则Ｃ的离心率为㊀㊀㊀㊀．解题导引专题九　平面解析几何／１０５㊀解析㊀解法一：不妨设点Ｍ㊁Ｎ在渐近线ｙ＝ｂａｘ上，如图，әＡＭＮ为等边三角形，且｜ＡＭ｜＝ｂ，则Ａ点到渐近线ｙ＝ｂａｘ的距离为３２ｂ，将ｙ＝ｂａｘ变形为一般形式ｂｘ－ａｙ＝０，则Ａ（ａ，０）到渐近线ｂｘ－ａｙ＝０的距离ｄ＝｜ｂａ｜ａ２＋ｂ２＝｜ａｂ｜ｃ，所以｜ａｂ｜ｃ＝３２ｂ，即ａｃ＝３２，所以双曲线的离心率ｅ＝ｃａ＝２３３．解法二：不妨设点Ｍ㊁Ｎ在渐近线ｙ＝ｂａｘ上，如图，作ＡＣ垂直于ＭＮ，垂足为Ｃ，根据题意知点Ａ的坐标为（ａ，０），则｜ＡＣ｜＝ｂｂ２ａ２＋１＝ａｂａ２＋ｂ２，在әＡＣＮ中，øＣＡＮ＝１２øＭＡＮ＝３０ʎ，｜ＡＮ｜＝ｂ，所以ｃｏｓøＣＡＮ＝ｃｏｓ３０ʎ＝｜ＡＣ｜｜ＡＮ｜＝ａｂａ２＋ｂ２ｂ＝ａａ２＋ｂ２＝ａｃ＝３２，所以离心率ｅ＝ｃａ＝２３３．答案㊀２３３例３㊀（２０２０四川成都摸底考试，１１）已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左㊁右焦点分别为Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０），又点Ｎ－ｃ，３ｂ２２ａ()．若双曲线Ｃ左支上的任意一点Ｍ均满足｜ＭＦ２｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ，则双曲线Ｃ的离心率的取值范围为（㊀㊀）Ａ．１３３，５æèçöø÷Ｂ．（５，１３）Ｃ．１，１３３æèçöø÷ɣ（５，＋ɕ）Ｄ．（１，５）ɣ（１３，＋ɕ）解析㊀由双曲线定义知｜ＭＦ２｜－｜ＭＦ１｜＝２ａ，所以｜ＭＦ２｜＝｜ＭＦ１｜＋２ａ，所以｜ＭＦ２｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ恒成立即｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜＋２ａ＞４ｂ恒成立，即｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ－２ａ恒成立．所以（｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜）ｍｉｎ＞４ｂ－２ａ．由平面几何知识，得当ＭＦ１ʅｘ轴时，｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜取得最小值３ｂ２２ａ，所以３ｂ２２ａ＞４ｂ－２ａ，即３㊃ｂａ()２－８㊃ｂａ＋４＞０，解得０＜ｂａ＜２３或ｂａ＞２．又ｅ＝ｃａ＝１＋ｂａ()２，所以ｅɪ１，１３３æèçöø÷ɣ（５，＋ɕ）．故选Ｃ．答案㊀Ｃ㊀㊀经典例题㊀㊀例㊀（２０１８山东泰安２月联考，１１）已知双曲线Ｃ１：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ａｘ＋３４ａ２＝０，若双曲线Ｃ１的一条渐近线与圆Ｃ２有两个不同的交点，则双曲线Ｃ１的离心率的范围是（㊀㊀）Ａ．１，２３３æèçöø÷Ｂ．２３３，＋ɕæèçöø÷Ｃ．（１，２）Ｄ．（２，＋ɕ）解析㊀由双曲线方程可得其渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘ，即ｂｘʃａｙ＝０，圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ａｘ＋３４ａ２＝０可化为（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝１４ａ２，圆心Ｃ２的坐标为（ａ，０），半径ｒ＝１２ａ，由双曲线Ｃ１的一条渐近线与圆Ｃ２有两个不同的交点，得｜ａｂ｜ａ２＋ｂ２＜１２ａ，即ｃ＞２ｂ，即ｃ２＞４ｂ２，又ｂ２＝ｃ２－ａ２，所以ｃ２＞４（ｃ２－ａ２），即ｃ２＜４３ａ２，所以ｅ＝ｃａ＜２３３，又知ｅ＞１，所以双曲线Ｃ１的离心率的取值范围为１，２３３æèçöø÷，故选Ａ．答案㊀Ａ。

高考数学第一轮复习强化训练 15.2《双曲线》新人教版选修11

【考纲要求】1、了解双曲线的实际背景，了解双曲线上在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3、了解双曲线的简单应用.4、理解数形结合的思想. 【基础知识】 1、双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹叫做双曲线即|)|2(,2||||||2121F F a a PF PF <=-这两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离12F F 叫做双曲线的焦距。

当平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数122(2)a a F F =的点的轨迹是射线12F F 或射线21F F ;当平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹不存在.平面内与两个定点12,F F 距离的差等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹是双曲线的一支。

如果焦点在x 轴上，|)|2(,2||||2121F F a a PF PF <=-,则动点P 的轨迹是双曲线的右支；如果焦点在x 轴上，|)|2(,2||||2121F F a a PF PF <-=-,则动点P 的轨迹是双曲线的左支。

1、双曲线的标准方程⑴设M (,)x y 是双曲线上任意一点，双曲线焦点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)c c -，又点M 与点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2(022),a a c <<则双曲线的标准方程是：22221x y a b-=（其中222,0,0).b c a a b =->> (2)设M (,)x y 是双曲线上任意一点，双曲线焦点12,F F 的坐标分别为(0,),(0,)c c -，又点M 与点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2(022),a a c <<则双曲线的标准方程是：22221y x a b-=（其中222,0,0).b c a a b =->>2、双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形范围 ,x a y R ≥∈,y a x R ≥∈对称性既是中心对称，又是轴对称，原点是双曲线的对称中心，x 轴和y轴是双曲线的对称轴顶点 (,0),(,0)a a - (0,),(0,)a a -离心率 (1,)ce a=∈+∞ 焦点 (,0),(,0)c c -(0,),(0,)c c -焦距 122F F c =（其中222c a b =+）实轴长 2a 虚轴长 2b准线方程2a x c=±2a y c=±渐近线方程b y x a=±a y x b=±通径22b d a=4、点00(,)p x y 和双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的位置关系（1）点00(,)p x y 在双曲线内2200221x y a b⇔->（2）点00(,)p x y 在双曲线上2200221x y a b ⇔-=（3）点00(,)p x y 在双曲线外2200221x y a b⇔-<5、求双曲线的方程，用待定系数法，先定位，后定量。

高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.6 双曲线 word版含答案

第六节双曲线1．双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质．知识点一双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1，F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|易误提醒双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．[自测练习]1．已知F为双曲线C：x2－y2＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|P A|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|P A|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.答案：44知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；顶点顶点坐标A 1(－a,0)，A 2(a,0) 顶点坐标A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±baxy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝ a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b 2aa ，b ，c 关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[自测练习]2．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D4．已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a 2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析：∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C. 答案：C考点一双曲线的定义及标准方程|1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2，又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.答案：C2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，∴c ＝4，(4－a )2＋b 2＝4，∴a ＝2，b 2＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：A3．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．考点二渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起来常见的命题探究角度有：1．已知离心率求渐近线方程． 2．已知渐近线求离心率．3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围．探究一已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x . 答案：C探究二已知渐近线求离心率2．(2016·海淀模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca ＝ 5.2＝4x 的焦点重合，且解析：∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45. 故所求方程为5x 2－5y 24＝1，故选D. 答案：D探究四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba>2，∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.答案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三直线与双曲线的位置关系|(2016·汕头模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A (－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e ＝2.设过右焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP ，AQ 分别与直线x ＝12交于M ，N 两点，求证：MF 2⊥NF 2.[解] (1)由题可知a ＝1.∵e ＝ca ＝2.∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，x ＝ty ＋2，得(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0，则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.又直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得M ⎝⎛⎭⎫12，3y 12(x 1＋1).同理，直线AQ 的方程为y ＝y 2x 2＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得N ⎝⎛⎭⎫12，3y 22(x 2＋1).∴MF 2→＝⎝⎛⎭⎫32，－3y 12(x 1＋1)，NF 2→＝⎝⎛⎭⎫32，－3y 22(x 2＋1).∴MF 2→·NF 2→＝94＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋9y 1y 24(ty 1＋3)(ty 2＋3) ＝94＋9y 1y 24[t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9]＝94＋9×93t 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2×93t 2－1＋3t ×－12t 3t 2－1＋9＝94－94＝0， ∴MF 2⊥NF 2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[易错点析] 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．[解] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． [方法点评] (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[跟踪练习] (2015·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 29＝1整理，得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．答案：DA 组考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|·|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a ＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝ca ＝1. ，P 为双曲线右支上的)解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴ba＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中，由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ，解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α. 又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233. (2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角．解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22，即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)， F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)． ②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同理，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则kA 1B ＝b 2a c ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015·高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________. 解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y x 故A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb a＝4b 4ab . 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ×⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，整理得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32. 答案：32。

高中数学11双曲线的简单几何性质新人教A版选修2-1

课时分层作业(十一) 双曲线的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．31414B ．324C ．32D ．43C [由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，故e ＝32.]2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条B [因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B ．]3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2C [由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C ．]4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )【导学号：46342101】A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等D [若0<k <5，则5－k >0,16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D ．] 5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A ．233B ． 2C ． 3D ．2D [直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc＝34c 即ab ＝34c 2，所以a 2(c 2－a 2)＝316c 4. 整理得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43又b >a >0，所以e 2＝1＋b 2a2>2，故e ＝2.]二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y ＝0垂直，则双曲线方程为________．x 24－y 2＝1 [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求双曲线方程为x 24－y 2＝1.]7．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是________.【导学号：46342102】(1，2) [e 2＝1＋1a2，由a >1得1<e 2<2.所以1<e < 2.]8．若直线x ＝2与双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________．25 [双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则A (2,2b )，B (2，－2b )，|AB |＝4b ，从而S △AOB＝12×4b ×2＝8. 解得b ＝2，所以c 2＝5，从而焦距为2 5.] 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．[解] 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上，∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ，∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a2＝1.又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1.由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c 2a2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围.【导学号：46342103】[解] (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1. ①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. [能力提升练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A ．355B ．62C ．32D ．55A [曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，不妨取y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A ．]2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0D [由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y＝0，故选D ．]3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过点F 作x轴的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．±1 [不妨设点B 在第一象限，则A 1(－a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A 2(a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ，b 2a ，A 2C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，所以c 2－a 2－b 4a 2＝0，整理得，b 2a 2＝1，即ba＝1，所以渐近线的斜率为±1.]4．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则实数m 的值是________.【导学号：46342104】±1 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.则Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ，所以线段AB 的中点坐标为(m,2m )．又点(m,2m )在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5，得m ＝±1.]5．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点． (1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.由题意可得3－a 2≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋a 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋a 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2＝2(1＋a 2)(6－a 2)|3－a 2|. (2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0，即x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，∴(1＋a2)·－23－a2＋a·2a3－a2＋1＝0，解得a＝±1.经检验a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点.。

双曲线(高三一轮复习)

双曲线C的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，则|PF2|＝|PF1|＋2a＝7＋6＝13.
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— 13 —
5．(易错题)若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的焦距为2 10，则该双曲线的
标准方程为 x2－y92＝1或y92－x2＝1
.
解析双曲线的焦距为2 10，所以c＝ 10. 当双曲线的焦点在x轴时，因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以ba＝3⇒b＝3a，
tan 2
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— 8—
(5)与双曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为
x2 a2
－
y2 b2
＝
t(t≠0)．
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— 9—
基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
y2 9
－x2＝1.因此该
双曲线的标准方程为x2－y92＝1或y92－x2＝1.
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关键能力互动探究
— 15 —
命题点1 双曲线的定义及应用
例1 (1)与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在( D )

学一轮复习第十一章第61课双曲线要点导学(pdf)

.
y2 [答案]x2- 4 =1
[解析]由题意可知c= 5 ,F1F2=2 5 ,线段PF1的中点坐标为(0,2),设右焦点为F2, 则有PF2⊥x轴,且PF2=4,点P在双曲线右支上,所以PF1=
(2 5)2 42
=6,所以
y2 PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为x2- 4 =1.
y2 2 故双曲线C的方程为x - 8 =1.
6 2 ,2 代入双曲线方程,再根据c2=a2+b2=3求出双曲线C [精要点评]也可以将点
的方程.
已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(- 5 ,0),点P在双曲线上,且线段
PF1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是
焦点为(0, 7 ),则 7 = 4 3 ,得λ=1,
y2 x2 所以双曲线C2的方程为 4 - 3 =1. y2 x2 2 2 (2) 将y =2px(p>0)代入 4 - 3 =1中并整理,得2x -3px+6=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,
bm -am -bm -am , , x-3y+m=0联立,解得A a-3b a-3b ,B a 3b a 3b .设AB的中点为Q,则
a 2 m 3b 2 m 2 2, 2 2 9b -a 9b -a .因为PA=PB,Q为AB的中点,所以PQ⊥AB,即kPQ·kAB=-1,所以kPQ=-3, Q
要点导学各个击破
求双曲线的方程
x2 y2 2 2 已知双曲线C: a - b =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,

高考数学一轮复习经典课件——双曲线

32m－9n＝1 则方程组化为 81 25m－ n＝1 16
，
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m＝ 1 16 解得 1 n＝ 9
a ＝16 ，即 2 b ＝9
2 2 2
，
y x 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 16 9
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•
授人以渔
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解析
∵双曲线焦点在 y 轴上，所以设双曲线的标准
2 2
y x 方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 将 P1，P2 点的坐标代入方程
(－4 2) －3 ＝1 b a 9 ( ) 25－ 4 ＝1 b a
2 2 2 2 2 2 2
，
1 1 令 m＝ 2，n＝ 2， a b
• (4)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程 (组)，但要注意焦点的位置，从而正确的选择方程的形式，要善于利用双曲线的对称性简化作图步骤和减少运算量，记住口诀：“巧设方程立好系，待定系数求 a ，b；结合图形用性质，避免繁锁有定义．”
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2 2
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3．(2010²辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(
• 答案
A. 2 C. 3＋1 2
)
B. 3 D.
D
5＋1 2
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解析
b 直线 FB 的斜率为－，与其垂直的渐近线的斜率 c
双曲线
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学一轮复习第十一章第61课双曲线检测与评估(pdf)

第61课双曲线一、填空题1. (2014·海珠模拟)已知双曲线2x m -y 2=1的离心率是2,那么实数m的值是 .2. (2014·天津卷)已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,那么该双曲线的方程为 .3. 双曲线x 2-4y 2=4的离心率为 .4. (2014·通州模拟)已知双曲线22x a -22y b,,0),那么该双曲线的方程为 .5. (2014·全国卷)已知点F为双曲线C:x 2-my 2=3m(m>0)的一个焦点,那么点F到双曲线C的一条渐近线的距离为 .6. 已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).若该双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,则该双曲线的方程为 .7. (2014·衡水模拟)已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与该双曲线的渐近线的一个交点为A(3,4),则此双曲线的方程为 .8. (2014·邢台一中模拟)以双曲线29x -216y =1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 .二、解答题9. (2014·辽宁摸底)已知F 1,F 2是双曲线C:22x a -22y b =1(a>b,b>0)的左、右焦点,过左焦点F 1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若AB∶BF 2∶AF 2=3∶4∶5,求双曲线的离心率.10. (2014·重庆卷)设F 1,F 2分别为双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在一点P使得PF 1+PF 2=3b,且PF 1·PF 2=94ab,求该双曲线的离心率.11. (2014·江西卷)如图,已知双曲线C:22x a -y 2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在双曲线C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点). (1) 求双曲线C的方程;(2) 设过双曲线C上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)的直线l:02x xa -y 0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=32相交于点N,证明:当点P在双曲线C上移动时,MFNF恒为定值,并求此定值.(第11题)。

第61课《老子》四章-高二语文上学期优质课件(统编版选择性必修上册)

老子思想
➢老子对中国哲学发展具有深刻影响，其思想的核心是朴素辩证法。在政治上，主张无为而治在修身方面，老子强调“谦虚”““不
争”“柔弱”“知足”等。他主张要把自己放在弱者地位，认为“柔弱胜刚强”，讲究虚心实腹、不与人争的修持。在历史观上，《老子》要求回到“小国寡民”的时代。
统一：表面看来，正相反对的两个方面是相互对立的，而实际上又是相互包含、相互渗透的。“祸兮，福之所倚；福兮，祸之所伏。” 任何事物都是你中有我，我中有你。转变：任何事物都不是一成不变的。老子在《道德经》第四十章提出“反者道之动”。这就是说，事物发展到一定程度，必然会向相反的方面转化，所谓“物壮则老，“兵强则灭”。量（质）变：事物的发展、事物向反面的转化，并不是一下子实现的，需要经历一个数量上不断积累的过程。“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。”
为之于未有：在事情未发生时就做。治之于未乱：要在祸乱没有产生前就处理妥当。毫末：毫毛的末端。比喻极其细微的事物。
累(léi)土：一筐土。累，同“纂”，土筐。
六十四章：其安易持，其未兆易谋；其脆易泮（pàn），其微易散。为之于未有，治之于未乱。合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累 léi土；千里之行，始于足下。
其在道也：用道的观点来看余食赘行：成语，意为吃剩的食物，身上的赘瘤。比喻遭人讨厌的东西。物：代词，这里指常人。或：常常。处：做
二十四章：企者不立，跨者不行，自见xiàn者不明，自是者不彰，自伐者无功，自矜者不长cháng。其在道也，曰余食赘zhuì行，物或恶wù之，故有道者不处chǔ。
➢儒家像粮食店，绝不能打。否则，打倒了儒家，我们就没有饭吃——没有精神食粮；
➢佛家是百货店，像大都市的百货公司，各式各样的日用品俱备，随时可以去逛逛，有钱就选购一些回来，没有钱则观光一番，无人阻拦，但里面所有，都是人生必需的东西，也是不可缺少的；

高三数学双曲线方程知识点

高三数学双曲线方程知识点
双曲线(Hyperbola)是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的.常数的点之轨迹。

双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于中轴的平面的交截线。

在高三期间大家要好好复习，把握好高三，下面店铺为大家整理高三数学双曲线方程知识点，供大家参考。

双曲线的第一定义：
双曲线是平面内两个定点F1与F2的距离的差的绝对值等于一个常数(值为2a)的轨迹称为双曲线。

注：当|MF1|-|MF2|=2a时曲线仅表示焦点F2所对应的一只。

当|MF1|-|MF2|=-2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一只。

当|F1F2|=2a 时，动点轨迹表示以F1，F2为端点的两条射线。

当|F1F2|＜2a时，动点轨迹不存在。

标准方程：
1、焦点在X轴上时为： x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

2、焦点在Y 轴上时为： y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1。

（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）：
左焦半径：r=│ex+a│。

右焦半径：r=│ex-a│。

准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c。

焦点在y轴上：y=±a^2/c。

弦长公式：|AB| = |x1 - x2|√（1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k^2;)。

【高三数学双曲线方程知识点】。