中北大学数值分析小论文
数值分析 课程论文
数值方法实验报告课程名称： 数值方法 班级： 09数2 实验日期： 2012学 号： 200902114078 姓名： 李霞 指导教师：实验成绩：一、实验名称用Newton 迭代法方程求根二、实验目的及要求1. 要求学生能够用Newton 迭代法求方程的根2. 要求学生能够找出Newton 迭代法的收敛域三、实验环境Windows XP 操作系统，Matlab 软件四、实验内容求解下列方程:1)Newton 迭代法求解的第一个方程0523=--x x 2) 无求根公式的五次方程0245=--x x3) 超越方程0tan =-x x要求:1) 先用图象法求初始近似,再用Newton 迭代法加工,计算结果达到5位有效数字.2) 设计一个程序找出Newton 迭代的收敛域。
五．算法描述及实验步骤输入 '0(),(),,,f x f x x M ε；输出 方程()0f x =在0x 附近的根或失败信息；步1 0d v ⇐；步2 对1,2,3.....,k M =执行步3——步5；步3 若'()0f x =则2dv ⇐，退出循环；否则：010'0()()f x x x f x ⇐-；步4 1001;e x x x x ⇐-⇐；步5 若e ε≤则1d v ⇐，退出循环；步6 若1dv ⇐则输出1x ，否则若0dv ⇐则输出“迭代M 次失败”，否则输出“奇异”；六、调试过程及实验结果x1= 3;x0 = 0;while abs(x1 - x0) > 1e-5f = x1^3-2*x1-5;g = 3*x1^2 - 2;x0 = x1;x1 = x1 - f/g;endx1>>x=0:0.001:10;>> plot(x,x.^3-2.*x-5) >> grid on>> x=-2:0.01:2;>> plot(x,x.^5-4.*x-2) >> grid onx=-4*pi:0.1:4*pi;ezplot('tan(x)',x)hold onezplot('x',x)ezplot('0',x)grid onsolve('x-tan(x)=0','x')ans =0.七、总结Newton迭代法是著名的方程求根方法，它在解非线性问题上有简单的形式和快的收敛速度，值得注意的是它对初始近似值要求严格和要计算导数值。
数值分析_数值计算小论文
Runge-Kutta 法的历史发展与应用摘要Runge-Kutta 法是极其重要的常微分方程数值解法，本文仅就其起源及发展脉络加以简要研究。
对Runge 、Heun 以及Kutta 等人的贡献做出适当评述，指出Runge-Kutta 方法起源于Euler 折线法。
同时对Runge-Kutta 法的应用做简要研究。
关键词 Euler 折线法 标准四阶Runge-Kutta 法 应用一、发展历史[1]1.1 Euler 折线法在微分方程研究之初，瑞士数学家L.Euler(1707.4—1783.9)做出了开创性的工作。
他和其他一些数学家在解决力学、物理学问题的过程中创立了微分方程这门学科。
在常微分方程方面，Euler 在1743年发表的论文中，用代换kx y e =给出了任意阶常系数线性微分方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的概念。
1768年，Euler 在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求初值问题00(,), (1.1)() (1.2)y f x y x x X y x a '=<≤⎧⎨=⎩ 的数值解的方法，次年又把它推广到二阶方程。
欧拉的想法如下：我们选择0h >，然后在00x x x h ≤≤+情况下用解函数的切线0000()()(,)l x y x x f x y =+-代替解函数。
这样对于点10x x h =+就得到1000(,)y y hf x y =+。
在11(,)x y 重复如上的程序再次计算新的方向就会得到所谓的递推公式：11, (,),m m m m m m x x h y y hf x y ++=+=+这就是Euler 方法。
通过连接所有这些切线得到的函数被称为Euler 折线。
如果我们令0h →， 这些折线就会越来越接近解函数。
Euler 折线法是最早出现的，虽然它亦是常微分方程初值问题的最简单的数值解法， 但它的一些特性和研究方法对于更复杂的方法却具有普遍意义。
中北大学毕业论文
中北大学毕业论文中北大学毕业论文中北大学毕业论文是每位学生在大学期间必须完成的重要任务之一。
它不仅是对学生四年学习成果的总结，更是展示自己学术能力和研究水平的机会。
在这篇文章中，我将探讨中北大学毕业论文的重要性、撰写过程中的挑战以及如何克服这些挑战。
首先，中北大学毕业论文对学生来说具有重要的意义。
它是学生在大学期间最重要的学术项目之一，也是对学生综合能力的一次全面考核。
通过撰写毕业论文，学生可以深入研究自己感兴趣的领域，并展示自己在这个领域的专业知识和研究成果。
毕业论文还可以为学生提供进一步深造的机会，例如申请研究生院或参与学术研究项目。
然而，撰写中北大学毕业论文并不是一件容易的事情。
首先，选择合适的研究课题是一个挑战。
学生需要选择一个既有足够研究价值又符合自己兴趣和专业方向的课题。
这需要学生对自己的兴趣和专业方向有清晰的认识，并与导师进行充分的讨论和指导。
其次，撰写论文的过程需要学生具备良好的研究能力和写作能力。
学生需要进行大量的文献调研，收集和整理相关资料。
在这个过程中，学生需要学会如何筛选和评估文献的质量和可靠性。
然后，学生需要将收集到的资料进行整理和分析，并提出自己的观点和结论。
最后，学生需要具备良好的写作能力，将研究成果清晰、准确地表达出来。
此外，时间管理也是撰写中北大学毕业论文时需要面对的挑战之一。
论文的撰写需要耗费大量的时间和精力，而且往往需要在规定的时间内完成。
学生需要制定合理的计划，合理分配时间，确保能够按时完成各个阶段的任务。
同时，学生还需要克服拖延症，保持高度的自律和专注力，以保证论文的质量和进度。
为了克服这些挑战，学生可以寻求导师的指导和帮助。
导师是学生撰写毕业论文过程中的重要支持者和指导者。
他们可以提供学术上的指导和建议，帮助学生选择研究课题、整理资料、分析数据等。
此外，学生还可以参加学术研讨会、讨论小组等活动，与其他同学和学者进行交流和讨论，提高自己的研究能力和写作水平。
数值分析小论文 董安.(优选)
数值分析作业课题名称代数插值法-拉格朗日插值法班级Y110201研究生姓名董安学号S2*******学科、专业机械制造及其自动化所在院、系机械工程及自动化学院2011 年12 月26日代数插值法---拉格朗日插值法数值分析中的插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。
利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量,如查磁化曲线、查异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时,设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用计算机来完成上述工作时,采用数值插值法来完成。
因此学好数值分析的插值法很重要。
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。
在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.本文着重介绍拉格朗日(Lagrange)插值法。
1.一元函数插值概念定义 设有m+1个互异的实数1x ，2x ，···，m x 和n+1 个实值函数x ，1x ，···nx ，其中n m 。
若向量组k=（0kx ，1kx ，···，km x ）T （k=0,1，，n ）线性无关，则称函数组{kx （k=0,1，，n ）}在点集{i x (i=0,1,,m)}上线性无关；否则称为线性相关。
例如，函数组{2+x ，1-x ，x+2x }在点集{1,2,3,4}上线性无关。
又如，函数组{sin x ，n2x ，sin3x }在点集{0，3，23，}上线性相关。
给点n+1个互异的实数0x ，1x ，···，n x ，实值函数f x 在包含0x ，1x ，···，n x 的某个区间,a b 内有定义。
数值分析论文
研究生课程论文封面课程名称：《数值分析》论文题目：基于MATLAB机械设计的三次样条插值函数学生班级： 2学生学号：学生姓名：任课教师：余厚习学位类别：学位课(2学分，32学时)评分标准及分值选题与参阅资料（分值）论文内容（分值）论文表述（分值）创新性（分值）评分论文评语：总评分评阅教师: 评阅时间年月日基于MATLAB机械设计的三次样条插值函数摘要本文给出了在机械设计过程中优化设计时经常用到的三次样条插值函数的定义以及在三种不同边界条件下的求解过程，并总结了三次样条插值函数的实现流程。
此外，还编制了第一边界条件下的三次样条插值函数程序，并给出运行结果。
【关键词】机械设计、三次样条、插值函数、MATLAB一、引言在各学科领域当中用函数来表示变量间的数量关系十分普遍。
然而在实际问题中，往往需要通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上的函数值。
如何通过这些离散的点找出函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式，是非常必要的。
其中通过插值的方法求出函数的近似表达式是极常用的求解方法。
分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。
利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。
故给出分段三次样条插值的构造过程、算法步骤，利用MATLAB软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。
二、三次样条函数的定义给定区间[a,b]上n+1个节点a=x0<x1<…<xn=b及函数f(x)在这些点上的函数值yi，如果函数S(x)满足条件：<1>S(xi )=yi，i=0，1，…，n；<2>S(x)在每个小区间[xi-1,xi]上是不超过3次的多项式；<3>S(x)在[a,b]内具有二阶连续导函数；则称S(x)为f(x)关于剖分a=x0<x1<…<xn=b的三次样条差值函数，并称为样调节点。
数值分析小论文
基于ABAQUS软件的混凝土柱的有限元分析摘要：有限元法是工程分析中广泛应用的数值计算方法，由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。
ABAQUS 软件是国际上公认的最好的CAE大型通用分析软件之一。
本文对有限单元法进行简单介绍并采用ABAQUS软件分析一混凝土柱的受力问题。
关键词：ABAQUS，混凝土柱，有限元分析1 有限元理论概述1.1 有限元法基本思想有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。
有限元法作为数值分析方法的一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数，分片地表示全求解域上待求的未知场函数，单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数表达。
这样，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一经求解出这些未知量，就可通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
1.2 有限元法分类1.2.1 线弹性有限元法线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应变与位移也是线性关系。
线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力分析与线弹性动力分析两个主要内容。
学习这些内容需具备材料力学、弹性力学、结构力学、数值方法、矩阵代数、算法语言、振动力学、弹性动力学等方面的知识。
数值分析论文
数值分析应用案例一、摘要曲线拟合是数值分析中的一种普遍且重要的方法，求解拟合曲线的方法也有很多，这里主要介绍利用MATLAB曲线拟合工具箱对离散数据点做你和处理，并与利用最小二乘法求相应的拟合曲线的方法做对比，突出MATLAB曲线拟合工具箱的优点，并阐述了其适用的范围，最后通过利用MATLAB曲线拟合工具箱对实例中离散数据点的拟合来具体说明它的使用方法和优点。
关键字：数值分析；MATLAB；曲线拟合；最小二乘法二、引言在很多的实际情况中，两个变量之间的关系往往很难用具体的表达式把它表示出来，通常只能通过实际测量得到一些互不相同的离散数据点，需需要利用这些已知的数据点估计出两个变量的关系或工件的具体轮廓，并要得到任意未知数据点的具体数据，这个过程就需要用到拟合或差值方法来实现，这里主要讨论拟合的方法。
曲线拟合可以通过MATLAB编程来完成，通常为了达到更好的讷河效果需要做多次重复修改，对于非线性曲线拟合还需要编写复杂的M-文件，运用MATLAB曲线拟合工具箱来实现离散数据点的曲线拟合是一种直观并且简洁的方法。
三、曲线拟合的最小二乘法理论数值分析应用案例假设给定了一些数据点（X i ,Y i ），人们总希望找到这样的近似的函数，它既能反映所给数据的一般趋势，又不会出现较大的偏差，并且要使构造的函数与被逼近函数在一个给定区间上的偏差满足某种要求。
这种思想就是所谓的“曲线拟合”的思想。
曲线拟合和差值不同，若要求通过所有给定的数据点是差值问题，若不要求曲线通过所有给定的数据点，而只要求反映对象整体的变化趋势， 拟合问题，曲线拟合问题最常用的解决方法是线性最小二乘法[1],步骤如下：第一步：先选定一组函数r 1(x),r 2(x),…,r m (x),m<n,令： F （x ）=a 1 r 1(x)+a 2r 2(x)+…+a m r m (x)其中a 1，a 2，…，a m 为待定系数。
第二步：确定的准则（最小二乘法准则）：使n 个点（x i ,y i ）与曲线y=f （x ）的距离δi 的平方和最小。
数值分析论文范文
数值分析论文范文Title: An Overview of Numerical AnalysisIntroduction:Numerical analysis is a field of mathematics that deals with the development and application of algorithms to solve mathematical problems. In this paper, we will provide an overview of numerical analysis, including its history, important concepts, and applications in various fields.History of Numerical Analysis:Important Concepts in Numerical Analysis:2. Error Analysis: Since numerical methods involve approximation, it is essential to quantify and analyze theerrors associated with these approximations. Error analysis provides insights into the accuracy and efficiency of numerical algorithms. Different error measures, such as absolute error, relative error, and truncation error, are used to evaluate the quality of the approximate solutions.3. Numerical Algorithms: Numerical analysis relies on the development and implementation of efficient algorithms to solve mathematical problems. Iterative methods, such as Newton's method for finding roots of equations and the Jacobi method for solving linear systems, are widely used in numerical analysis.Applications of Numerical Analysis:3. Finance: In finance, numerical analysis is used to model and solve problems related to option pricing, portfolio optimization, risk management, and financial derivatives pricing. The Black-Scholes-Merton model, for instance, relies heavily on numerical methods for pricing options.Conclusion:。
数值分析实验报告中北大学
实验类别：数值分析专业：信息与计算科学班级：学号：姓名：中北大学理学院实验二 函数逼近与曲线拟合【实验内容】从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。
【实验方法或步骤】1、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为；33221)(t a t a t a t ++=ϕ3、打印出拟合函数)(t ϕ，并打印出)(j t ϕ与)(j t y 的误差，12,,2,1 =j ；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、* 绘制出曲线拟合图。
#include "stdio.h" #include "conio.h" #include "stdlib.h" #include "math.h"#define N 12//N 个节点 #define M 2//M 次拟合 #define K 2*Mvoid zhuyuan (int k,int n,float a[M+1][M+2]) {int t,i,j;float x,y;x=fabs(a[k][k]);t=k;for (i=k+1;i<=n;i++)if (fabs(a[i][k])>x){x=fabs(a[i][k]);t=i;}for (j=k;j<=n+1;j++){y=a[k][j];a[k][j]=a[t][j];a[t][j]=y;}}void xiaoyuan(int n,float a[M+1][M+2]){int k,i,j;for(i=0;i<n;i++){zhuyuan(i,n,a);for (j=i+1;j<=n;j++)for (k=i+1;k<=n+1;k++)a[j][k]=a[j][k]-a[j][i]*a[i][k]/a[i][i];}}void huidai(int n,float a[M+1][M+2],float x[M+1]){int i,j;x[n]=a[n][n+1]/a[n][n];for (i=n-1;i>=0;i--){ x[i]=a[i][n+1];for (j=i+1;j<=n;j++)x[i]=x[i]-a[i][j]*x[j];x[i]=x[i]/a[i][i];}}void main(){float x_y[N][2],A[N][K+1],B[N][M+1],AA[K+1],BB[M+1],a[M+1][M+2],m[M+1]; int i,j,n;printf("请输入%d个已知点：\n",N);for(i=0;i<N;i++){printf("(x%d y%d):",i,i);scanf("%f %f",&x_y[i][0],&x_y[i][1]);}for(i=0;i<N;i++){A[i][0]=1;for(j=1;j<=K;j++)A[i][j]=A[i][j-1]*x_y[i][0];for(j=0;j<=M;j++)B[i][j]=A[i][j]*x_y[i][1];}for(j=0;j<=K;j++)for(AA[j]=0,i=0;i<N;i++)AA[j]+=A[i][j];for(j=0;j<=M;j++)for(BB[j]=0,i=0;i<N;i++)BB[j]+=B[i][j];for(i=0;i<M+1;i++){a[i][M+1]=BB[i];for(j=0;j<=M;j++)a[i][j]=AA[i+j];}n=M;printf("正规系数矩阵为:\n");for(i=0;i<=n;i++){for(j=0;j<=n+1;j++)printf("%f ",a[i][j]);printf("\n");}xiaoyuan(n,a);huidai(n,a,m);printf("拟合曲线方程为:\ny(x)=%g",m[0]); for(i=1;i<=n;i++){printf(" + %g",m[i]);for(j=0;j<i;j++){printf("*X");}}}p3=polyfit(x,y,3);y3=polyval(p3,x);e3=norm(y-y3);t=0:5:60;pt3=polyval(p3,t);plot(t,pt3);plot(t,pt3);title('3次拟合函数')>>3次拟合函数实验三 数值积分与数值微分【实验内容】选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法高斯算法计算（1） )5343916.1(sin 44102≈-=⎰I dx x I（2） )9460831.0,1)0((sin 10≈==⎰I f dx xxI （3） dx x e I x⎰+=1024 ;（4） dx x x I ⎰++=1021)1ln( 【实验前的预备知识】1、 深刻认识数值积分法的意义；2、 明确数值积分精度与步长的关系；3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。
数值分析论文 (8)
牛顿迭代法及其应用[摘要]本文研究应用泰勒展开式构造出牛顿迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。
分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。
最后给出了离散牛顿法的具体做法。
[关键词] 关键词：泰勒展开式，牛顿迭代法及其收敛性，重根，离散牛顿法。
1.牛顿法及其收敛性求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即，ξ在x与之间忽略余项，则得方程的近似右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即(2.4.1)称为解方程的牛顿法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与x轴交点为,作为的新近似，如图1所示图1关于牛顿法收敛性有以下的局部收敛定理.定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则牛顿法(2.4.1)具有二阶收敛，且(2.4.2)证明由式(2.4.1)知迭代函数,，,而，由定理可知，牛顿迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕.定理表明牛顿法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序列收敛.有关牛顿法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论.例1用牛顿法求方程的根.,牛顿迭代为取即为根的近似，它表明牛顿法收敛很快.例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用牛顿法求解，由式(2.4.1)得(2.4.3)这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对牛顿法我们已证明了它的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当时有即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且所以｛｝从k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3)中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛.在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到=1.732 051,具有7位有效数字.求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。
数值分析小论文
“数值分析”课程第一次小论文郑维珍2015210459 制研15班（精密仪器系）内容：数值分析在你所在研究领域的应用。
要求：1）字数2500以上；2）要有摘要和参考文献；3）截至10.17，网络学堂提交，过期不能提交！数值分析在微流控芯片研究领域的应用摘要：作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。
当前，微流控芯片发展十分迅猛，而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题，加上微纳尺度上的尺寸效应，理论研究和数值计算都显得困难重重。
发展该领域的数值计算，成为重中之重。
本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手，简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。
微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip )，它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2]，它通过微细加工技术，将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上，完成整个生化实验室的分析功能，具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。
通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能，如泵、混合、热循环、扩散和分离等，精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。
因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持，还需要很多数学计算。
1）微流体力学计算[3]：对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面：(1)微管内流体的粘滞力的研究；(2)微管内气流液流的传热活动；(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。
这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下，可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。
由此，再结合不同的初值条件和边界条件，我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程，而求解这些方程，就是需要很多数值分析的知识。
例如，文献[4]里就针对特定的初值和边界条件，由软件求解了Navier-Stodes方程：文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。
数值分析_学科期末论文(数值分析方法在实际问题中的应用)
数值分析方法在实际问题中的应用摘要：数值分析方法是现代科学计算中常用的数值计算方法，其研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机同实际问题的有机结合；本文对拉格朗日插值法和数值积分法的基本原理做了简要阐述；从实际问题出发，分别探究了拉格朗日插值法在油罐储油量中的应用、数值积分法在预测森林伐量中的应用。
关键词：拉格朗日插值法、数值积分法、原理、应用1. 拉格朗日插值法原理介绍及应用拉格朗日插值法是一种多项式插值法，在很多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。
如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。
这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。
1.1 拉格朗日插值多项式 （1）问题提出已知函数()y f x =在n+1个不同的点,,,01x x xn 上的函数值分别为01,,,n y y y , 求一个次数不超过n 的多项式()n P x , 使其满足()n i i P x y =,()0,1,,i n =即n+1个不同的点可以唯一决定一个n 次多项式。
（2）插值基函数过n+1个不同的点分别决定n+1个n 次插值基函数01(),(),,()n l x l x l x 。
每个插值基本多项式()i l x 满足：(i).()i l x 是n 次多项式;(ii).()1i i l x =，而在其它n 个()()0,i k l x k i =≠。
由于()()0,i k l x k i =≠，故()il x 有因子：011()()()()i i n x x x x x x x x -+----因其已经是n 次多项式，故而仅相差一个常数因子。
令:011()()()()()i i i n l x a x x x x x x x x -+=----由()1i i l x =，可以定出a ，进而得到：011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----,,（3）n 次拉格朗日型插值多项式()n P x()n P x 是n+1个n 次插值基本多项式01(),(),,()n l x l x l x 的线性组合，相应的组合系数是01,,,ny y y 。
数值分析论文-插值方法在数学分析中的应用
数值分析论文数值分析中插值方法的分析与应用学院：专指导教师：年月数值分析中插值方法的分析与应用摘要：数值分析是高等学校理工科一门重要的基础课程, 主要研究数学方法的数值求解。
数值分析是各种计算性科学的联系纽带和共性基础, 是一门兼有基础性、应用性和边缘性的交叉学科,数值分析中插值法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
本文主要介绍了各种插值方法的计算分析和推导，通过简单的例题进行算法分析并编程得出计算结果。
关键字：数值分析；数值求解；插值法1绪论在最近的几十年中，随着计算机的发展，计算数学和应用数学中的各种方法也相应发展起来，特别是应用数学，它已经越来越渗透到其它非理工学科和各行各业中，尤其表现在生命科学、政治、军事、经济等非传统数学应用领域．同时许多教师在实践中也认识到，现有的大学数学教学内容与实际要求相去甚远．比如，几位大学计算机系毕业的学生，在面对工作中所遇见的一个非线性方程求根的问题时，他们既不知道该如何利用计算机编程求解，也不知道该如何利用计算机软件求解．某单位在LAMOS望远镜设计中，有一个复杂的概率计算问题，这个概率涉及到一个重积分，而且重积分的区问不能解析给出，负责计算的学生面对此问题感到不知所措．兴起于80年代末90年代初的数学建模比赛在一定程度上弥补了这个缺憾，参赛选手们通过参加比赛，激发了他们对数学的兴趣，也培养了他们应用数学工具解决实际问题的能力．虽然数学建模活动对学生的创造能力、应用能力有所帮助，但参加这个活动的学生毕竟是少数，这些做法并没有真正使广大学生掌握应用数学对实际问题的分析处理能力．那么，有没有这样一门课程，它既是必修课程，又具有像数学建模那样培养学生分析问题、解决问题能力的课程呢? 事实上，现有的数学课程中，数值分析课程本身就具有一定的理论教学与实践的意义．数值分析是一门介绍适合于在计算机上使用的数值分析方法的课程，有时也称为计算方法课程，与其它相关数学课程相比，数值分析方法是偏重于应用的一门课程，其中的理论和方法不仅在其他专业课程中常常运用，而且在解决实际问题中也常常会用到．数值分析方法课程的基础是数学分析、线性代数、微分方程等数学理论，这些理论都为普通工科高等数学教育所覆盖，它的内容大体包括三个部分：数值逼近、数值代数、微分方程数值求解。
数值分析报告论文
数值分析结课论文论文题目：浅谈数值分析在解决实际问题中的应用学校：天津商业大学专业班级：数学类 1 0 0 3 班姓名：何铭学号：2 0 1 0 2 3 4 1摘要:数值分析是一门历史悠久的高等教育课程之一。
是其他数学课程与应用的根底。
同时它的应用也非常广泛，在经济生活以与科研教育领域都有应用。
随着科学技术和信息技术的飞速开展，通过计算机编程方面的开发应用，数值分析也被更加广泛的应用于学习和生活中，使得人们对数值分析有了更深刻的了解以与最全面的认识。
正文:数值分析的原理和方法在各学科中的应用越来越广泛，因此将原来的主要面向应用数学专业开设的数值分析面向理工科大学中数学要求较高的专业本科生。
同时由于科学与计算机的开展，计算机算法语言的多样化与数学软件的普与，要求数值分析更加强调算法原理与理论分析，而且参加了数学软件例如：MATLAB的学习以便学习与应用。
数值分析目前涵盖了四大板块：极限论、微分学、积分学、级数理论，使得数学分析对计算机、物理、化学、生物、电教、经济学等课程产生了直接而重要的影响。
另外，数学分析不仅在内容上为后继课程学习提供了必要的根底知识，而且它所蕴涵的分析数学思想、逻辑推理方法、解决问题的技巧，对于整个高等数学的学习与科学研究都起到基石和推波助澜的作用。
几十年来由于计算机与科学技术的快速开展，求解各种数学问题的数值方法也越来越多地应用于科学技术领域，新的计算性交叉学科分支不断涌现，如？：计算力学，计算物理，计算化学，计算生物学，计算经济学，统称科学计算，它涉与数学的各个分支，研究它们适合于计算机编程的算法就是计算数学的研究X畴。
计算数学是各种计算性学科的共性根底，兼有根底性、应用性和边缘性的数学学科。
科学计算开展迅速，它与理论研究和科学实验成为现代科学开展的三种主要手段，它们相辅相成又互相独立，在实际应用中导出的数学模型其完备形式往往不能方便地求出准确解，于是只能转化为简化模型求其数值解，如较复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为可以求出准确解的线性模型，但这样做往往不能满足近似程度的要求，因此使用数值方法直接求解做较少简化的模型，可以得到满足近似程度要求的结果，使科学计算发挥更大的作用，这正是得益于计算机与计算数学的快速开展。
中北大学 毕业论文
中北大学毕业论文中北大学毕业论文中北大学，作为一所位于中国中部的知名高校，每年都有大批学生毕业并完成他们的毕业论文。
毕业论文是学生在大学期间所学知识的总结和应用，也是对学生综合能力的一次考验。
在这篇文章中，我们将探讨中北大学毕业论文的一些特点和重要性。
首先，中北大学毕业论文的题目和内容多样化。
学生可以根据自己所学专业的要求和兴趣选择合适的题目。
无论是工科、理科、文科还是艺术类专业，都有各自的研究方向和领域。
学生可以通过与导师的讨论和指导，确定一个独特的、有深度的论题，并在论文中展示自己的研究成果和学术能力。
其次，中北大学毕业论文注重实践和创新。
学生在完成毕业论文的过程中，需要进行大量的实地调研、实验和数据分析。
这些实践活动不仅可以帮助学生巩固所学知识，还能提高他们的实际操作能力和解决问题的能力。
同时，中北大学鼓励学生在毕业论文中提出创新的观点和方法，以推动学术领域的发展。
第三，中北大学毕业论文要求严谨的论证和清晰的逻辑结构。
在写作过程中，学生需要对自己的研究进行全面的分析和归纳，并用恰当的理论框架和方法进行论证。
论文的结构要合理，逻辑要清晰，以使读者能够理解和接受作者的观点。
同时，学生还需要注意引用他人的研究成果，避免抄袭和侵权的问题。
最后，中北大学毕业论文的完成对学生的综合能力有着重要的意义。
毕业论文不仅是对所学知识的应用，更是对学生综合能力的一次考察。
在撰写论文的过程中，学生需要独立思考、自主学习和团队合作。
他们需要具备扎实的专业知识、良好的研究方法和优秀的表达能力。
通过完成毕业论文，学生可以提高自己的学术素养和综合能力，为今后的工作和学习打下坚实的基础。
综上所述，中北大学毕业论文是学生在大学期间的重要任务之一。
它要求学生选择合适的题目，注重实践和创新，严谨论证和清晰逻辑结构，并对学生的综合能力进行考察。
完成毕业论文不仅是对学生所学知识的应用，更是对他们学术素养和综合能力的一次检验。
希望中北大学的学子们能够充分发挥自己的才智和创造力，在毕业论文中取得优秀的成绩，为自己的未来铺就一条光明的道路。
数值分析论文
数值分析在计算机领域中的应用数值算法在DOS图形分析中的应用：非函数图形数据处理的算法中，目前还没有一个算法可以较好解决求解离散数据点所形成的曲线的积分问题。
在扩充最小二乘性质的基础上提出了相关算法，并进行可行性和误差分析。
该算法已经较好运用于纳迷=米的DOS图形分析。
利用现行插值技术实现二维形变动画：建立一个计算机图形学视觉特效—通过二维模型数据的线性插值产生形变动画。
基于约束三次样条插值函数及其应用 :三次样条插值算法的稳定性和光滑性,使它成为在已知点之间进行插值的一种有效算法。
但是它不可避免在中间点产生振动和越界现象,而是否越界对于许多工程应用来说又是非常关键的。
结合算例分析了基于约束三次样条插值函数算法的特性:这种算法将样条插值算法的光滑性和线性插值算法的稳定性有机结合在一起,得到更能反映实际问题特征的插值函数,很好地克服了振动和越界现象,具有一定的工程价值。
连分式法在计算机辅助数值分析上的应用：连分式在单变量问题数值分析上的应用,如在石油化工热力学性质的若干经典,并与经典的拉格朗日(Lagrange)多项式法和牛顿前进法等作了比较.结果表明利用连分式方法较之经典的数值分析方法具有数学运算次数少、方法简单、计算精度高和编程方便等优点.各种函数的连分式表示方法,可以方便地编制成递归计算机程序,来解算插值计算、函数求根和极值点确定等问题现代计算机的发展飞速，而指纹识别系统也已经向计算机领域渗透，下面主要说明计算方法的迭代法在指纹图像中的应用：用迭代法求指纹图像中的阀值：在指纹识别系统中,通常的指纹处理算法都需要对指纹图像进行二值化处理,二值化之后可以对指纹图像进行细化和特征提取等工作。
二值化过程需要确定合适的阀值,当相应的灰度值大于该阀值时则把该灰度值设为255(白),否则设为0(黑)。
二值化过程使得指纹图像的纹线变得更加清晰。
确定阀值的方法有很多,例如直方图法、迭代法等。
对于只有一个波峰或没有波峰的指纹图像,确定合适的阀值很困难。
2000-2009年中北大学SCI收录论文统计与分析
基 金 项 目 ： 文 系 中北 大 学 哲 学 社 会 科 学 研 究 经 费 资助 课 题 “ 于 Ｓ Ｉ 量 分 析 的工 科 类 院校 学 术 水 平 评 价 ” 果 之 一 。 本 基 Ｃ计 成
项 目编 号 ：０ ９ ０ ４ ２ ０ Ｊ １
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２ １ 年 ５月 ０１
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年 的第 ４位 ， 文 被 引 用 次 数 也 从 ２ ０ 论 ０ ２年 的 第 ｌ ９ 位上 升 到 ２ ０ ０ ８年第 ９位 ； 同时 ， 用 它进 行 科 学 评 利 价 的范 围也越 来 越 广 ， 多高 校 把 Ｓ Ｉ 为学 校 基 许 Ｃ作
础研究 水 平 的评价 指标 和制定 学 校科 研发 展 战略 的 重要 依据 之一 。 为 了解 中北 大 学 近 几 年 的 科 研 论 文 状 况 和 水 平 ， 者对 ２ ０ ２ ０ 笔 ０ ０— ０ ９年 中北 大学 学 术 论 文 被 Ｓ Ｉ Ｃ
分布 和结 构 、 文质 量和 学术 水平 等 ， 论 以促进 本校 科研 工作 的快速 发展 。
关键词 ： 中北 大学 ； 学引文 索 引（ Ｃ ） 统计 分析 ； 科 ＳＩ； 科研 评估 中图分 类号 ： ３ ０ Ｇ ５ 文 献标 识码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ４—１ ８ （ ０ １ ０ ０ １ ０ １０ ６ ０ ２ １ ）３— ０ ３— ４
２１ ０ １年 ５月
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Ｍａ ２ ｙ， ０１ １
２１ ０ １年第 ３期 （ 总第 １４期 ） ２
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中北大学毕业论文正文模板
丁炔二醇可以进行烷基化反应，与芳醚进行的烷基化过程是可逆的。
⑷醇醛缩合反应
在酸性催化剂存在下，丁炔二醇与醛或缩醛反应生成醇醛缩合物，它们是用于高能固体发动机燃料的聚氨基乙炔酯的中间体。
HOCH2C≡CCH2OH→HO(CH2C≡CCH2OCH2O)nH
⑸环化反应
在羟基镍-膦络合物存在下，丁炔二醇可以环化生成六羟甲基苯。与氨催化剂一起加热生成吡咯或它的衍生物。
⑵悬浮床反应器工艺
悬浮床工艺使用的催化剂直径为0.1～2mm，从反应器底部引入乙炔和甲醛，也有采用甲醛溶液溶解乙炔进料。在反应过程中，催化剂床层呈接近于流化状态的悬浮状，其优点是避免了催化剂结块和变干，有利于提高催化剂的活性和使用寿命，也利于安全生产。其流程与固定床工艺相比，只是在反应器的形式上有差别，其余基本相同。
我国有丰富的煤炭资源电石产量占世界电石总产量的三分之一左右因此以电石为原料生产丁炔二醇具有得天独厚的条件和优势15综上所述丁炔二醇具有非常广泛的应用以及市场需求但全国生产总量却很少目前上规模的丁炔二醇生产厂商仅有三维集团一家且产量非常少仅为1000ta与日益加大的市场需求相差甚远丁炔二醇工艺的设计及车间的投产建设不仅带来巨大的经济效益还将产生深远的社会效益在金融危机日益加重的形势下实现丁炔二醇的大规模生产进而减少从国外进口数量对缓解金融危机对我国影响将起到积极的作用同时也可解决当前的就业压力问题因此丁炔二醇的研究和生产具有非常重要的意义
四氢呋喃主要用于生产聚四亚甲基乙二醇醚(PTMEG)。PTMEG用于生产注塑和热塑性聚氨酯弹性体、弹性纤维(Spandex)和高性能共聚酯醚弹性体，PTMEG是氨纶的原料，氨纶是新一代化纤原料，1999年底，全球PTMEG的生产能力约21.85万吨[5]，我国氨纶生产所需原料全部依赖进口，PTMEG供应紧，氨纶生产不易得到便宜的原料供应。其余的THF主要用于生产聚氯乙烯胶合剂、涂料和精密磁带中作溶剂，以及在制药中用作反应溶剂。
中北大学学位论文25扭矩测量方案...
图书分类号 TN06 密级 非密UDC 623.4硕 士 学 位 论 文容栅式旋转轴动态扭矩测试系统研究付永乐指导教师（姓名、职称） 靳鸿 副教授申请学位级别 工学硕士专业名称 测试计量技术及仪器论文提交日期 2012 年 4 月 28 日论文答辩日期 2012 年 6 月 6 日学位授予日期 2012 年 7 月 1 日论文评阅人答辩委员会主席2012年6月 1 日原 创 性 声 明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名： 日期：关于学位论文使用权的说明本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：①学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；②学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；③学校可允许学位论文被查阅或借阅；④学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；⑤学校可以公布学位论文的全部或部分内容（保密学位论文在解密后遵守此规定）。
签 名： 日期：导师签名： 日期：容栅式旋转轴动态扭矩测试系统研究摘要旋转部件作为实施动力传动的关键部件，在整个动力机械传动系统中具有重要作用。
对旋转部件的转速、扭矩等动态参数进行测量，进而对动力系统输出能量在各传动环节的分配以及功率损耗情况进行有效监测，从而发现问题、解决问题，对动力机械系统安全运行以及性能改进具有重要的意义。
对特种车辆传动系统的扭矩测量而言，需要考虑其特殊的外部环境以及运动特性。
针对强振动、高冲击、高温、超低温以及测量空间狭小等恶劣环境下的扭矩测量，本文提出了容栅式旋转轴动态扭矩测试系统，为恶劣环境下的旋转轴转速、扭矩测量提供了新的测量手段和方法。
本文主要阐述了以下几个方面的内容：首先，对容栅传感技术及相关原理进行研究，在此基础上提出并建立了用于转速、扭矩测量的容栅传感器模型，并对其结构以及工作原理进行详细描述。
中北大学 数值分析1-4实验报告
实验类别：数值分析专业：信息与计算科学班级：13080241学号：1308024120姓名：杨燕中北大学理学院实验一 函数插值方法【实验内容】给定一元函数()y f x =的1n +个节点值()j j y f x =(0,1,)j n = ，数据如下：求五次Lagrange 多项式5()L x 或分段三次插值多项式或Newton 插值多项式，并计(0.596)f ,(0.99)f 的值。
（提示：结果为(0.596)f ≈0.625732,(0.99)f ≈1.05423）【实验方法与步骤】利用Lagrange 插值公式 00()n nin k i k k i i kx x L x y x x ==≠⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭∑∏，用C 语言编写出插值多项式程序如下： #include <stdio.h> #define N 5float x[]={0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05};float y[]={0.41075,0.57815,0.69675,0.90,1.00,1.25382}; float p(float xx) { int i,k;float pp=0,m1,m2; for(i=0;i<=N;i++) { m1=1;m2=1; for(k=0;k<=N;k++) if(k!=i) {m1*=xx-x[k];m2*=x[i]-x[k];}pp+=y[i]*m1/m2;}return pp;}main(){printf("f(0.596)=%lf\n",p(0.596));printf("f(0.99)=%lf\n",p(0.99));}【实验结果】【思考】f行不行，精度高不高？1、给出的程序求(1.06)2、五次Lagrange多项式与Newton插值多项式是同一个多项式吗？五次Lagrange多项式与Newton插值多项式是同一个多项式。
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中北大学《数值分析》常微分方程初值问题的数值解法专业：班级：学号：姓名:日期: 2012.12.26常微分方程初值问题的数值解法摘 要微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。
AbstractThe numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations ：difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula.1.引言科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题，使用较多的是常微分方程初值问题的求解。
对于一阶常微分方程的初值问题000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<，其中f 为已知函数，0y 是初始值。
如果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件，则初值问题有唯一解。
只有当f 是一些特殊类型的函数时，才能求出问题的解析解，但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要，因此通常求其数值解法。
2.主要算法数值解法是一种离散化的方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。
基本思想是离散化，首先要将连续区间离散化，对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=，n n 1n h x x +=-为步长；其次将其函离散化，基本方法有差商代替导数法、积分插值方法、待定系数法；最后研究其稳定性、收敛性质。
2.1差商法分别用一阶向前、向后、中心差商近似代替y(x)在n y(x)x =处的导数n y'(x )，可以求出Euler 系列公式.2.1.1显式Euler 公式用一阶向前差商代替导数，即n y'(x )≈n 1n y(x )y(x )h+-则n 1n n n n n y(x )y(x )hy '(x )y(x )hf (x ,y(x ))+=+=+因为i i y y(x )≈，公式可以简记为n 1n n n y y hf (x ,y ),n 0,1...+=+=即为显式Euler 公式。
Euler 公式是最简单的一种数值解法，一阶的，精度较差，可直接求解，有明显的几何意义，也称为折线法，但其方法对于更复杂的情况有着较为普遍的意义。
2.1.2隐式Euler 公式用一阶向后差商代替导数，即n n 1n y(x )y(x )y'(x )h+-≈则n n 1n n 1n n y(x )y(x )hy'(x )y(x )hf (x ,y(x ))++=+=+简记为n n 1n n y y hf (x ,y ),n 0,1...-=+=即为隐式Euler 公式或后退Euler 公式，计算比显式麻烦，但稳定性好。
2.1.3两步Euler 公式二阶中心差商代替导数n 1n 1n y(x )y(x )y'(x )2h+--≈则n 1n 1n n y y 2hf (x ,y ),n 0,1...,+-=+=即为两步Euler 公式，稳定性较单步好。
2.2积分差值法 2.2.1梯形公式dy /dx f (x,y)=在区间]n n 1x ,x +⎡⎣上求积分，n 1nx n 1n x y(x )y(x )f (x,y(x))dx ++-=⎰，对右端积分采用积分插值公式n 1nx n n n 1,n 1x hf (x,y(x))dx f (x ,y(x ))f (x y )2+++⎡⎤≈+⎦⎣⎰，即得n 1n n n n 1n 1hy y [f (x ,y )f (x ,y )]2+++=++，为梯形公式，也可看成显式Euler 公式与隐式Euler 公式的算术平均，可以证明梯形方法是二阶方法。
实际计算时，初始近似n 1y +，可由Euler 法求解，则梯形法每步完整的计算公式为(0)n n n n 1(m 1)(m)n n n 1n 1n 1y y hf (x ,y )h y y [f f (x ,y )],m 0,1...2+++++=+=++=⎧⎨⎩又称为改进的Euler 公式。
由Euler 公式给出预测值，再由梯形进行校正，收敛速度较快，一般只需求出两次迭代即可满足要求。
2.2.2中点法同样，对dy /dx f (x,y)=在区间]n 1n 1x ,x -+⎡⎣上求积分，n 1nx n 1n x y(x )y(x )f (x,y(x))dx ++-=⎰并对右端采用Gauss 公式，得n 1n 1n n y y 2hf (x ,y ),n 0,1...+-=+=也称为两步Euler 公式。
对上式右端积分采用Simpson 公式n 1n 1x n 1,n 1n n n 1n 1x hf (x,y(x))dx [f (x y )4f (x ,y )f (x ,y )]3+---++≈++⎰即n 1n 1n 1,n 1n n n 1n 1hy y [f (x y )4f (x ,y )f (x ,y )]3+---++=+++称为隐式两步法。
2.3待定系数法 2.3.1三阶龙格库塔公式R-K 基本思想即用位于]n n 1x ,x +⎡⎣上的若干个点处的线性组合来近似它，将三阶R-K 公式一般形式表示为:10101Y y ,F f (x ,Y )==202112022Y y ha F ,F f (x hc ,Y )=+=+303113223033Y y h(a F a F ),F f (x hc ,Y )=++=+213132123123a ,a ,a ,b ,b ,b ,c ,c ,c 是未知常数，我们的主要目的要目的是估算12F ,F 和F 3，它们分别是00203y'(x ),y'(x hc ),y'(x hc )++的近似解.对导数进行近似，可以从下列正交逼近中得出0010202303y(x h)y(x )h(b y'(x )b y'(x hc )b y'(x hc ))+≈+++++此正交公式可以使多项式的精度达到2阶，待定系数得出如下条件:123b b b 1++= 22331b c b c 2+=2322331b c b c 3+=33221b a c 6=满足四个条件，令21c 2=，得32131321231213c 1,a ,a 0,a ,b ,b 0,b 3344=======即为三阶Kutta 公式。
R-K 公式的推导是基于Taylor 展开，对光滑度要求较高，如果解充分光滑，则结果精度较高。
3.数值实验3.1实验内容科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler 法，改进Euler 法，Rung-Kutta 方法求其数值解，诸如以下问题：（1）402(0)1⎧'=-⎪<≤⎨⎪=⎩xy xy y x y分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
初值问题的精确解=y 。
（2） 2210(1)0y x y x y '⎧=--≤≤⎨-=⎩取步长h=0.1，用四阶标准R-K 方法求值。
3.2实验前的预备知识1、 熟悉各种初值问题的算法；2、 明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；3、 通过计算更加了解各种算法的优越性。
3.3实验方法或步骤1、 根据初值问题数值算法，编程计算；2、 试分别取不同步长，考察某节点j x 处数值解的误差变化情况；3、 试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常；4、 分析各个算法的优缺点。
3.4实验过程1、402(0)1xy xyy xy⎧'=-⎪<≤⎨⎪=⎩分别取h=0.1,0.2,0.4时数值解。
（1）、步长为0.1时的运行结果：[x,y]=euler('doty',0,2,1,20)[x,y]=euler('doty',0,2,1,20)x =Columns 1 through 130 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000Columns 14 through 211.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.90002.0000y =Columns 1 through 131.0000 1.0000 1.0300 1.0871 1.1648 1.2556 1.3521 1.4485 1.5404 1.6249 1.7002 1.7655 1.8205Columns 14 through 211.8657 1.9019 1.9301 1.9514 1.9672 1.9784 1.9862 1.9915（2）、步长为0.2时的结果：[x,y]=euler('doty',0,2,1,10)[x,y]=euler('doty',0,2,1,10)x =0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000y = 1.0000 1.0000 1.1200 1.3161 1.5229 1.6995 1.8303 1.9155 1.9639 1.9872 1.9964（3）步长为0.4的结果：[x,y]=euler('doty',0,2,1,5)x =0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000y =1.0000 1.0000 1.4800 1.8713 1.9991 2.0003改进的Euler法的求解：（1）、步长为0.1时的运行结果：[x,y]=eulerpro('doty',0,2,1,20)x =Columns 1 through 130 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000Columns 14 through 211.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.90002.0000y = Columns 1 through 131.0000 1.0150 1.0575 1.1220 1.2017 1.2898 1.3806 1.4697 1.5540 1.6312 1.7002 1.7603 1.8116Columns 14 through 211.8544 1.8894 1.9174 1.9393 1.9562 1.9690 1.9784 1.9852（2）、步长为0.2时，输入[x,y]=eulerpro('doty',0,2,1,10)[x,y]=eulerpro('doty',0,2,1,10)x =0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.00001.2000 1.4000 1.6000 1.80002.0000y =1.0000 1.0600 1.2045 1.3814 1.5519 1.69551.8050 1.8820 1.9322 1.9629 1.9804（3）步长为0.4的结果：[x,y]=eulerpro('doty',0,2,1,5)x =0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000y =1.0000 1.2400 1.5605 1.7797 1.8892 1.9343四阶RK方法：（1）步长为0.1时的运行结果：[x,y]=RK(0,0.1,2,1)x =Columns 1 through 130 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.50000.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.10001.2000Columns 14 through 211.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.80001.90002.0000y =Columns 1 through 131.0000 0.9094 0.8358 0.7772 0.7327 0.70180.6842 0.6802 0.6897 0.7130 0.7500 0.80040.8637Columns 14 through 210.9389 1.0249 1.1203 1.2233 1.3324 1.4571.5619 1.6795（2）步长为0.2的结果[x,y]=RK(0,0.2,2,1)x =0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000y =1.0000 0.8358 0.7327 0.6842 0.6898 0.7500 0.8637 1.0250 1.2234 1.4458 1.6795（3）：步长为0.4的结果[x,y]=RK(0,0.4,2,1)x =0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000y =1.0000 0.7328 0.6900 0.8642 1.2248 1.6812（2）2210(1)0y x yxy'⎧=--≤≤⎨-=⎩取步长h=0.1，用四阶标准R-K方法求值。