中北大学数值分析小论文

中北大学

《数值分析》

常微分方程初值问题的数值解法

专业：

班级：

学号：

姓名:

日期: 2012.12.26

常微分方程初值问题的数值解法

摘 要

微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。

Abstract

The numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations ：difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula.

1.引言

科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题，使用较多的是常微分方程初值问题的求解。对于一阶常微分方程的初值问题

000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<，其中f 为已知函数，0y 是初始值。如

果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件，则初值问题有唯一解。只有当f 是一些特殊类型的函数时，才能求出问题的解析解，但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要，因此通常求其数值解法。

2.主要算法

数值解法是一种离散化的方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。基本思想是离散化，首先要将连续区间离散化，对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=，n n 1n h x x +=-为步长；其次将其函离散

化，基本方法有差商代替导数法、积分插值方法、待定系数法；最后研究其稳定性、收敛性质。 2.1差商法

分别用一阶向前、向后、中心差商近似代替y(x)在n y(x)x =处的导数

n y'(x )，可以求出Euler 系列公式.

2.1.1显式Euler 公式

用一阶向前差商代替导数，即

n y'(x )≈

n 1n y(x )y(x )

h

+-

则

n 1n n n n n y(x )y(x )hy '(x )y(x )hf (x ,y(x ))+=+=+

因为i i y y(x )≈，公式可以简记为

n 1n n n y y hf (x ,y ),n 0,1...+=+=

即为显式Euler 公式。Euler 公式是最简单的一种数值解法，一阶的，精度较差，可直接求解，有明显的几何意义，也称为折线法，但其方法对于更复杂的情况有着较为普遍的意义。 2.1.2隐式Euler 公式

用一阶向后差商代替导数，即

n n 1n y(x )y(x )

y'(x )h

+-≈

则

n n 1n n 1n n y(x )y(x )hy'(x )y(x )hf (x ,y(x ))++=+=+

简记为

n n 1n n y y hf (x ,y ),n 0,1...-=+=

即为隐式Euler 公式或后退Euler 公式，计算比显式麻烦，但稳定性好。 2.1.3两步Euler 公式

二阶中心差商代替导数

n 1n 1n y(x )y(x )

y'(x )2h

+--≈

则

n 1n 1n n y y 2hf (x ,y ),n 0,1...,+-=+=

即为两步Euler 公式，稳定性较单步好。 2.2积分差值法 2.2.1梯形公式

dy /dx f (x,y)=在区间]n n 1x ,x +⎡⎣上求积分，n 1n

x n 1n x y(x )y(x )f (x,y(x))dx ++-=⎰

，

对右端积分采用积分插值公式n 1

n

x n n n 1,n 1x h

f (x,y(x))dx f (x ,y(x ))f (x y )2+++⎡⎤≈

+⎦⎣

⎰

，即得n 1n n n n 1n 1h

y y [f (x ,y )f (x ,y )]2+++=++，为梯形公式，也可看成显式Euler 公

式与隐式Euler 公式的算术平均，可以证明梯形方法是二阶方法。

实际计算时，初始近似n 1y +，可由Euler 法求解，则梯形法每步完整的计

算公式为(0)

n n n n 1(m 1)(m)n n n 1n 1n 1

y y hf (x ,y )

h y y [f f (x ,y )],m 0,1...

2+++++=+=++=⎧⎨⎩

又称为改进的Euler 公式。由Euler 公式给出预测值，再由梯形进行校正，收敛速度较快，一般只需求出两次迭代即可满足要求。 2.2.2中点法

同样，对dy /dx f (x,y)=在区间]n 1n 1x ,x -+⎡⎣上求积分，

n 1

n

x n 1n x y(x )y(x )f (x,y(x))dx ++-=⎰

并对右端采用Gauss 公式，得

n 1n 1n n y y 2hf (x ,y ),n 0,1...+-=+=

也称为两步Euler 公式。

对上式右端积分采用Simpson 公式