张量分析

习题…………………………………………………………………… … 245
内容梗概
【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】
求和约定: 多项简写
哑标
自由标: 多个方程简写
符号δij
符号erst
⇒ 自由标 ⇒ 换标符δij ⇒ 排列符erst
张量分析引论
张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。 本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。张量分析的一般理论可参考有关书籍。
利用δij定义，可以验证：
＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3 +δ31dx3dx1+δ32dx3dx2+ δ33dx3dx3
＝ δ11dx1dx1+δ22dx2dx2+δ33dx3dx3 ＝ dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3＝ dxidxi
通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程
换自由指标时应注意——
(1)同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名
例： c=a+b=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3 ⇒ ci=ai+bi
其中c=c1e1+c2e2+c3e3
(2)自由指标必须整体换名 例：
方程或表达式中出现的同名自由指标需全部改成同一个新名字; 而哑指标可以成对地局部换名
同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ a2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ a3 ＝c3
所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去 ai”
∑：通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。
指标符号使书写简洁，但也必须小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。
三、其他应用举例 【指标符号的正确用法】
❶ 指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系
❷ 同一项中出现两对（或几对）的不同哑标，表示重复求和。(共九项求和)
❸ 若对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号，或者，在多余指标下加一横， 表示该指标不计指标数。如：
其中，[β] 称为转换矩阵。
◈ 分量形式推导——
可见，转换系数βi’j存在着互逆关系： 同理，可导得另一互逆关系：
可见，两个坐标系的相对方向可由
的9个方向余弦来表征，但这9个方向余弦间
存在6各相关方程，它们之间的关系可用上述关系式表示。
§ A.4 张量的分量转换规律，张量方程
矢量→张量（推广）； 各类量的数学统一定义
2．两个矢量的点积(标量)：【δij】 3．两个矢量的叉积(矢量) ：【erst】
a=ajej ; b=bkek
应用δij与erst简写矢量相乘结果
4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：【erst】
5．三阶行列式的展开式为： 6．利用指标符，证明恒等式：
r,s,t正排列
r,s,t逆排
列
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知： 左端＝右端 ∴恒等式成立
§A.1 矢量和张量的记法，求和约定
◈ 力学中常用的物理量分成三类：
❶标量——只有大小没有方向性的物理量： 温度T、密度ρ、时间t等。
❷矢量——既有大小又有方向性的物理量： 矢径r、位移u、速度v、力F等。 ❸张量——具有多重方向性的物理量：应力张量σ、应变张量ε等（常用黑体表示）
◈ 矢(张)量的三种记法：位移u为例——
xi’ 和xi的正交标准化基ei’和ei分别满足如下一些关系式：
一、基矢量的转换关系
ⓐ 同一坐标间
ⓑ 不同坐标间 把新基ei’对老基ei分解：
其中 βi’j 是新坐标轴i’和老坐标轴j之间的夹角余弦，称为转换系数。 反之，老基对wenku.baidu.com基的分 解式为
二、矢量分量的转换关系
空间点P的位置矢径r在新、老坐标系中的分解式为：
物理量（T，r,σij)和物理定律所固有的性质与坐标系选择无关，但它们的分量随坐标而变。
这些分量间应满足一定的转换规律才能反映矢量或张量本身与坐标选择无关的不变性。
掌握了这个规律就能写出物理定律在任意坐标系中的一般表达式。
考察各类量的定义、转换规律，从中找出共性的东西——
标量： 只有一个分量，它与坐标转换无关： 矢量： 坐标转换时,分量间应满足如下转换规律：
§ A.2 符号δij与erst
本节介绍两个张量分析中的常用符号
一、符号δij ，称为“Kronecker delta” 【使重复下标求和约定更加方便】 ⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号） 即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
❹ 当自由指标在同项内出现两次时，应申明该指标不求和。
或者，在其中一个指标下加一横，表示该指标不求和。例如：s＝aii原表示s＝a11+a22+a33 , 但
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12)
“两边消去
ai
1
≠
(A．13)
如果ai任意取值(A．12)式均成立，则 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ a1 ＝c1
代数方程组求解、坐标变换，及一点处的应力、应变等，都含有大量的分量；利用指标符号可以大大 地简化表达式。
例如 线性变换的表达式为：
一、求和约定、哑标
！
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定： 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内 遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。
【n维空间中的 n 维 K 阶张量有nk个分量】
分量的坐标变换规则是一个量的的重要性质，这使物理量的定义从数学的角度有了一种新的、 统一的认识。按照这样的定义，标量和矢量自然就分别属于零阶和一阶张量。
由张量定义式，可证明一个量∈张量?
例：试证明δij是二阶张量：
同理可证，erst为三阶张量 eijk= ei ✕ ej • ek=…
三、 δij与erst的应用实例： 1．正交标准化基，具有重要性质：
(1)每个基矢量的模为： (2)不同基矢量互相正交：
(3)当ei，ej ，ek 构成右手系时有 当ei， ej ，ek 构成左手系时有
用δij 统一写成：
用erst 统一写成：
其中，i，j，k的正序排列对应右手系，逆序排列对应左手系。
设空间任意点P的矢径为r。它在笛卡儿坐标系中的分解式为：
当一个坐标任意变化；另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹 称为坐标线。过每个空间点有三根坐标线(一般为曲线），在笛 卡儿坐标系中各坐标线都和相应的坐标轴平行。当坐标变化时， 矢径的变化为：
用矢径对坐标的偏导数定义的三个矢量
称为基矢量。空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。
利用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把许多项缩写成一项
二、二、自自由由标 标
【利用自由标方程组可进一步缩写成】
(A．5)
自由指标：在表达式或方程中的不同项内重复出现的同名指标 自由指标只表示对取值范围轮流取值，无论其取何字母，关系式始终成立； 因此(A．5)式通过换标，可写成：
（只要k和i的取值范围相同）
◈ 定义表明， erst 对任何两个指标都是反对称的（相当于指标互换奇次），即：
◈ 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换偶次)， erst 的值不变：
⑵ e∼ δ恒等式：
上式按行列式相乘展开，并注意到 ❶有一对哑标，如r=i，则按行列式展开
导得：
❷有二对哑标，如再令s=j，则 ❸有二对哑标，再令t=k，则
三
(1)实体记法： u
种 记
(2)分解式记法：
u＝u1e1+u2e2+u3e3=
3
i 1
ui
ei
法 (3)分量记法： ui(i＝1，2，3)的集合
分量和基矢量
【【文文献献之之二一：：轮压胎电大材变料形平分面析问】题】
张
量
应
用
举 例
张量是具有多个分量的复杂物理量，为表达简洁，需引入一些记号和约定
指标符号
张量： 任意二阶张量T的分解式是：
【 Tij为张量分量；eiej为基张量】
张量的分量和基随坐标转换而改变，但作为整体，张量T与坐标选择无关。坐标转换时分量间应满 则T称为二阶张量
将分量转换规律（推广）⇒ 高阶张量：
张量定义：由若干个分量组成的集合， 坐标变换时其分量满足下列转换关系， 则该集合称为张量
物理矢量可在其作用点处的参考架中分解。例如，P点处的位移
对笛卡儿坐标系，由
求导得：
即笛卡儿坐标系的基矢量是三个互相正交的单位基矢量ei，它们构成正交标准化基， 具有重要性质：
张量分析要研究一个物理规律在不同参考坐标系中描述时，其数学表达形式 有什么联系和区别。 为此要弄清各坐标系间的转换关系。笛卡儿坐标系中，新、老两个坐标系
可写成：
实体记法：
F= ma
分量记法(旧) ：
Fk = mak
分解式记法：
Fk ek= mak ek
分量记法(新) ：
∑: 经坐标变换,牛顿第二定律表达式的形式保持不变
每项都由张量组成的方程称为张量方程，它与坐标选择无关的重要性质，可用于描述客观物理现象的固 有特性和普遍规律。采用适用于任意坐标系的张量方程普遍形式，通过坐标转换规律可直接写出该方程 在其他坐标系中的特定表达形式。
指标符号： 对于一组性质相关的n个量用相同的字母加不同的指标符号来表示
举例——
◈ a的n个分量 al，a2，…，an (比如n维空间中的加速度)
可缩写成
ai(i＝1，2，…，n) ⇒ i＝1，2,…n;为指标的取值范围；n是空间维数
◈ 其它例子：
记x, y , z 为x1, x2, x3, → xi,；
利用δ换标作用， 右端⇒左端
谢谢
内容梗概
坐标变换揭示 物理量的性质
坐标变换 ⇒
坐标变换给出 张量统一定义
张量方程形式与 坐标变换无关
张量的代数运算
张量定义 ⇒ 张量方程 ⇒ 张量代数 ⇒
Fk = mak
=＋－•
并积 缩并 内积
张量另一种 简洁判别法
商定理
T=A • B
§ A.3 坐标与坐标转换
张量分析
张量分析引论………………………………………………………………… 211 A.1 矢量和张量的记法，求和约定………………………………………… 211
A.2 符号δij与erst …………………………………………………………… 214
A.3 坐标与坐标转换……………………………………………………………218 A.4 张量的分量转换规律，张量方程…………………………………………221 A.5 张量代数，商判则…………………………………………………………223 A.6 常用特殊张量，主方向与主值………………………………………… 226 A.7 张量的微分和积分，场论基础……………………………………………230 A.8 正交曲线坐标系……………………………………………………………236
∴ δij是二阶张量， 证毕
张量方程的形式不变性
描述物理现象的方程，若其各项都遵守张量的坐标变换规则，则经坐标变换后，方程的形式将保持不变。 张量方程的这一性质，正好表达了自然规律、固有特性和普遍规律，给力学、物理学研究带来了许多方便。
例如，如果（ox1’x2’x3’)是相对于惯性系（ox1x2x3)作匀速直线运动的另一个惯性系，牛顿第二定律
δij起换标作用：如果δ符号的两个指标之一和同项中其他因子的某指标相重，则该因子的那个重 指标可替换成δ的另一个指标，而δ自动消失。
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：
erst称为排列符号或置换符号。
它共有27个元素，其中只有三 个元素为l，三个元素为一l， 其余的元素都是0。
各轴的基矢为e1,e2,e3, → ei,
矢量v 的分量记为v1, v2, v3, → vi,
应力分量σ → σij.
3
W = f·s = f 1s1+f 2s2+f 3s3 = ∑ f is i i=1
本书约定：若不标明取值范围
拉丁指标i，j,k，…∈3D（取值1，2，3） 希腊指标α，β，… ∈2D（取值1，2）
将矢量r向新坐标轴i’ 投影，即ei’ 点乘上式两边：
新坐标用老坐标表示的表达式：
类似地，将矢量r向旧坐标轴i 投影(即• ei )，
老坐标用新坐标表示的表达式： 以上就是矢量分量在不同坐标轴间的转换关系式
【设新【老书坐上标用原的点原重图合】】
新老坐标转换关系的矩阵形式：
三、[ β]阵的互逆关系
◈ 矩阵形式推导—— 所以[β]是正交矩阵，其行列式为