51李雅普诺夫稳定性的定义解析
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? 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳 定性方法的思路是一致的。
? 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。
? 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳 定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函 数来分析判别稳定性。
? 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第 二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。
? 动态系统的状态稳定性理论--李雅普诺夫稳定性
? 基本概念: 平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、
不稳定性
? 基本方法:李雅普诺夫第一法、
重点与难点喔！
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法在线性定常系统的应用--李雅普诺 夫方程的求解
重点喔！
李雅普诺夫稳定性的定义(1/4)
5.1 李雅普诺夫稳定性的定义
本章简介(2/2)
? 最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设 计。
目录
? 概述 ? 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 ? 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 ? 5.3 线性系统的稳定性分析 ? 5.4 非线性系统的稳定性分析 ? 5.5 Matlab问题 ? 本章小结
目录(1/1)
概述(8/5)
? 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 ? 时变系统、 ? 非线性系统,甚至 ? 离散时间系统、 ? 离散事件动态系统、 ? 逻辑动力学系统
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。
概述(9/5)
? 可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
本章简介
本章简介(1/2)
? 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 ? 主要介绍 ? 李雅普诺夫稳定性的定义以及 ? 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; ? 着重讨论 ? 李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统 的应用、 ? 李雅普诺夫函数的构造、 ? 李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。
概述(3/5)
? 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题。
? 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统 的稳定性判据。
? 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生 了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判 据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别 系统稳定性的方法。
? 实际上 ,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：
? 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状 态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定 性。
? 经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定即为外 部稳定性 。
? 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈 现稳定性,即系统的内部状态稳定性。 ? 本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。
? 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加 以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。 ? 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是 基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李 雅普诺夫稳定性定理。
概述(5/5)
概述(2/5)
? 也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是
Lim ? x(t) ? ?
t? ?
式中，? x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; ?为任意小的规定量。 ? 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
概述(1/5)
概述
? 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系 统。 ? 例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力; ? 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以 及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 ? 具有稳定性的系统称为稳定系统。
? 稳定性的定义为： ? 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰 去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 ? 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
? 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和 表示的定性指标。 ? 它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系 统变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制。 ? 这也是控制理论和控制工程的精髓。 ? 在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有 界输出的输入输出稳定性问题。 ? 从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性 取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关, 而非线性系统则不然。
? 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论 的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的 注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得 到了进一步研究和发展。
? 本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫 第一法和第二法的理论及应用。
概述(10/5)
? 本章需解决的问题:
? 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统 输入输出间动态关系,讨论的是
? 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,
未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。
概述(4/5)
? 再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化 方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用, 但是难以胜任一般系统。
? 百余年来,李雅普诺夫 理论得到极大发展,在 数学、力学、控制理论、 机械工程等领域得到广 泛应用。
? 李雅普诺夫把分析一阶常微 分方程组稳定性的所有方法 归纳为两类。
Fra Baidu bibliotek
概述(7/5)
? 第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后 通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来 讨论原非线性系统的稳定性问题。
? 外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于 线性系统,而且也适用于非线性系统。 ? 对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两 种定义才具有等价性。
概述(6/5)
? 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 – 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题” 的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。
? 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。
? 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳 定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函 数来分析判别稳定性。
? 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第 二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。
? 动态系统的状态稳定性理论--李雅普诺夫稳定性
? 基本概念: 平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、
不稳定性
? 基本方法:李雅普诺夫第一法、
重点与难点喔！
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法在线性定常系统的应用--李雅普诺 夫方程的求解
重点喔！
李雅普诺夫稳定性的定义(1/4)
5.1 李雅普诺夫稳定性的定义
本章简介(2/2)
? 最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设 计。
目录
? 概述 ? 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 ? 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 ? 5.3 线性系统的稳定性分析 ? 5.4 非线性系统的稳定性分析 ? 5.5 Matlab问题 ? 本章小结
目录(1/1)
概述(8/5)
? 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 ? 时变系统、 ? 非线性系统,甚至 ? 离散时间系统、 ? 离散事件动态系统、 ? 逻辑动力学系统
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。
概述(9/5)
? 可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
本章简介
本章简介(1/2)
? 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 ? 主要介绍 ? 李雅普诺夫稳定性的定义以及 ? 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; ? 着重讨论 ? 李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统 的应用、 ? 李雅普诺夫函数的构造、 ? 李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。
概述(3/5)
? 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题。
? 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统 的稳定性判据。
? 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生 了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判 据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别 系统稳定性的方法。
? 实际上 ,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：
? 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状 态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定 性。
? 经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定即为外 部稳定性 。
? 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈 现稳定性,即系统的内部状态稳定性。 ? 本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。
? 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加 以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。 ? 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是 基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李 雅普诺夫稳定性定理。
概述(5/5)
概述(2/5)
? 也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是
Lim ? x(t) ? ?
t? ?
式中，? x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; ?为任意小的规定量。 ? 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
概述(1/5)
概述
? 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系 统。 ? 例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力; ? 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以 及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 ? 具有稳定性的系统称为稳定系统。
? 稳定性的定义为： ? 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰 去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 ? 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
? 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和 表示的定性指标。 ? 它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系 统变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制。 ? 这也是控制理论和控制工程的精髓。 ? 在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有 界输出的输入输出稳定性问题。 ? 从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性 取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关, 而非线性系统则不然。
? 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论 的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的 注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得 到了进一步研究和发展。
? 本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫 第一法和第二法的理论及应用。
概述(10/5)
? 本章需解决的问题:
? 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统 输入输出间动态关系,讨论的是
? 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,
未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。
概述(4/5)
? 再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化 方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用, 但是难以胜任一般系统。
? 百余年来,李雅普诺夫 理论得到极大发展,在 数学、力学、控制理论、 机械工程等领域得到广 泛应用。
? 李雅普诺夫把分析一阶常微 分方程组稳定性的所有方法 归纳为两类。
Fra Baidu bibliotek
概述(7/5)
? 第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后 通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来 讨论原非线性系统的稳定性问题。
? 外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于 线性系统,而且也适用于非线性系统。 ? 对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两 种定义才具有等价性。
概述(6/5)
? 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 – 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题” 的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。