51李雅普诺夫稳定性的定义解析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析4.8
二、非线性系统的稳定性
1、非线性系统线性化 设系统的状态方程为：x f ( x, t )
xe 为平衡状态；f ( x, t ) 为与 x 同维的矢量函数，并且对 x
具有连续的偏导数。
将非线性矢量函数 f ( x, t ) 在 xe 邻域内展开成泰勒级数：
f x ( x xe ) R x x
塞尔维斯特（Sylvester）定理： V x xT Px
为正定的充要条件是P的所有顺序主子行列式都
是正的。如果P的所有主子行列式为非负的（其 中有的为零），那么V(x)为半正定的。 如果V(x)是正定的（半正定的），则-V(x)将是负定 的 (半负定的)。
例5.2.3
证明下列二次型函数是正定的。
图5.1（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.2.1 李雅普诺夫第一方法
（间接法，通过系统状态方程的解来判定系统的稳定性。）
一、线性系统的稳定性
内部稳定 （平衡状态xe=0渐进稳定） BIBO稳定 系统矩阵A的所有特征值 均具有负实部 传递函数的所有极点均位 于s的左半平面
一个因果系统，如果对于任意一个有界输入
u (t ) 1 , t (t0 , )
对应的输出均有界
y (t ) 2 , t (t0 , )
则称该系统为外部稳定。 线性定常连续系统，BIBO稳定的充分必要条件为 其传递函数矩阵G(s)的所有极点都具有负实部。
5.1 几个稳定性概念
p11 p 21 P p n1
于是有：
P 为权矩阵（常取对称矩阵）。 式中，x T 为 x 的转置，
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
第五章李雅普诺夫稳定性分析讲诉
第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
李雅普诺夫关于稳定性的定义
✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
李雅普诺夫稳定性的定义
x(0) x(0)
x1
? 定义 (李雅普诺夫稳定性) 若状态方程
x2
x'=f(x,t) 所描述的系统,
? 对于任意的?>0和任意初始时刻t0,
??
x(0) x(0)
x1
? 都对应存在一个实数?(?,t0)>0,
? 使得对于任意位于平衡态xe的球域 S(xe,?)的初始状态x0,
? 当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域 S(xe,?)内,
? 它是一种具有普遍性的稳定性理论, 不仅适用于线性 定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分 布参数系统。
? 本节先讨论李雅普诺夫稳定性理论的基础--李雅普 诺夫稳定性定义。
平衡态
? 设我们所研究的系统的状态方程为 x'=f(x,t)
其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。 ? 对该非线性系统,其平衡态的定义如下。
? 则系统在初始时刻t0的平衡态xe 为在李雅普诺夫意义下稳定的。
x2
??
x(0) x(0)
x1
? 以二维状态空间为例,上述定义的几何解释和状态轨线变 化如图所示。
? 对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明：
? 李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状 态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。
? 系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要 不超过S(xe,?)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理 论则认为不稳定。
? 因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状 态空间的原点。
? 值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局 部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻 域(区域)。
5.1_李雅普诺夫稳定性的定义
概述(5/6)
早在1892年, 俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov , 1857 – 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题” 的著名文献, 建立了关于运动稳定性的一般理论
➢ 百余年来, 李雅普诺夫理论 得到极大发展, 在数学、力 学、控制理论、机械工程等 领域得到广泛应用
描述的系统在初始时刻t0, ➢ 对于某个给定的实数>0和任意一个 实数>0,
x1
x(0)
➢ 总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe,)的初始状态x(0), ➢ 使得从x(0)出发的状态方程的解x(t)将脱离球域S(xe,), 则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的.
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
目录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
目录(1/1)
概述(1/6)
概述
一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统 一个稳定的系统
➢ 当系统受到外界干扰后, 它的平衡被破坏, 但在外扰去掉 以后, 它仍有能力自动地在平衡态附近继续工作
平衡态
平衡态
平衡态
平衡态(3/4)
例5-1 对于非线性系统
xx12
x1 x1
x2
x23
其平衡态为下列代数方程组
x1x1
0 x2
x23
0
的解, 即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态
xe,1
0 0
xe,2
0 1
xe,3
0 1
李雅普诺夫稳定性研究系统在 其平衡态附近(邻域)的运动变 化问题
自动控制原理稳定性判据知识点总结
自动控制原理稳定性判据知识点总结自动控制原理是探讨控制对象的动态特性以及如何设计稳定的控制系统的学科。
在自动控制系统的设计和分析中，稳定性是一个重要的概念。
本文将对自动控制原理中的稳定性判据进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
1. 稳定性定义稳定性是指控制系统在一定的输入条件下，输出不随时间而无穷增长或无穷减小的性质。
一个稳定的控制系统能够保持输出的有限性，而不会因为扰动或非线性特性产生不可控制的结果。
2. 稳定性判据2.1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性判据可以分为两类：时域判据和频域判据。
2.1.1. 时域判据时域判据主要通过分析系统的状态转移方程或差分方程来判断系统的稳定性。
在稳定的线性系统中，初始状态被扰动后，系统状态在有限时间内收敛到稳定状态。
2.1.2. 频域判据频域判据通过系统的频率响应函数来判断稳定性。
常用的频域稳定性判据有：奈奎斯特稳定判据、Nyquist判据、波恩稳定判据等。
这些判据通过分析系统的极点位置和频率响应曲线来判断系统稳定性。
2.2. 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判据相对于线性系统更加复杂。
常见的非线性稳定性判据有：李雅普诺夫稳定性判据、小扰动稳定性判据等。
2.2.1. 李雅普诺夫稳定性判据李雅普诺夫稳定性判据是对非线性系统进行稳定性判断的重要方法。
其基本思想是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
若李雅普诺夫函数为正定函数且导数小于等于零，系统即为稳定的。
2.2.2. 小扰动稳定性判据小扰动稳定性判据是通过对非线性系统进行线性化处理，然后判断线性化后的系统是否稳定来判断非线性系统的稳定性。
3. 典型的稳定性判据3.1. Nyquist判据Nyquist判据是频域判据中的一种，用于判断线性系统的稳定性。
通过绘制系统的频率响应曲线，然后判断曲线与虚轴的交点来确定系统的稳定性。
3.2. Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz判据是一种时域判据，用于判断线性系统的稳定性。
李雅普诺夫关于稳定性的定义
Lyapunov稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统， 而且也能用来研究 时变系统 非线性系统 离散时间系统 离散事件动态系统 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t)
其中x为n维状态变量; f(x, t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。
lim x(t)
t
式中，x(t) 为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;
为任意小的给定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大，显然它 不可能是一个稳定系统。
对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件,只有稳定 的系统才有用。
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统
转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内 应用，但是难以适用于一般系统。
在牛顿建立引力理论后，天文学家试图证明太阳系的稳定性。 特别地，拉格朗日和拉普拉斯在这一问题上做了突出的贡献。 1773年，24岁的拉普拉斯“证明了行星到太阳的距离在一些 微小的周期变化之内是不变的”，并因此成为法国科学院副 院士。虽然他们的论证今天看来并不严格，但这些工作对于 后来Lyapunov的稳定性理论有很大的影响。
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法基础知识解析
为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。
对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量 随时间而最终消失，那么这个系统是渐近稳定的。反 之则不稳定。
若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫 意义下的稳定。
但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一 种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难， 李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普 诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的 函数，所以v(x) > 0。这样就可以根据 的v(定x) 号性来 判断系统的稳定性。显然，若v(x) > 0，并且 v(x) < 0，则系统就是渐近稳定的。
若系统方程的平衡状态 xe 不仅具有李雅普诺夫意义下
的稳定性，且有
lim
t
(t;
x0,t0 )
xe
0
则称系统的平衡状态 xe是渐近稳定的。
若 与初始时刻 t0无关，则称系统的平衡状态xe是
一致渐近稳定的。
几何意义：
当t 时，从S( )出发的轨迹不仅不超出 S( )，
而且最终收敛于 xe，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。
一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系 统稳定。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的 首要任务。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov） 在《运动稳定性的一般问题》一文中，提出了著名的 李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理 论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别 被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析常微分⼤作业--李雅普诺夫稳定性11091059洪⼀洲从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论⼀直指导着关于稳定性的研究和应⽤。
不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第⼆⽅法作了⼀些新的发展。
⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被推⼴到研究⼀般系统的稳定性。
例如，1957年，В．И．祖博夫将李雅普诺夫⽅法⽤于研究度量空间中不变集合的稳定性。
随后，J.P.拉萨尔等⼜对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进⾏了研究。
在这些研究中，系统的描述不限于微分⽅程或差分⽅程，运动平衡状态已采⽤不变集合表⽰，李雅普诺夫函数是在更⼀般意义下定义的。
1967年，D.布肖对表征在集合与映射⽔平上的系统建⽴了李雅普诺夫第⼆⽅法。
这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，⽽是在有序定义的半格上取值。
另⼀⽅⾯，李雅普诺夫第⼆⽅法被⽤于研究⼤系统或多级系统的稳定性。
此时，李雅普诺夫函数被推⼴为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。
⽤这种⽅法可建⽴⼤系统稳定性的充分条件。
1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输⼊后，⾮线性时变系统的状态⽅程如下),(t x f x= （1）式中，x 为n 维状态向量；t 为时间变量；),(t x f 为n 维函数，其展开式为 12(,,,,)i i n x f x x x t = n i ,,1 =假定⽅程的解为 ),;(00t x t x ，x 0和t 0 分别为初始状态向量和初始时刻，0000),;(x t x t x =。
平衡状态如果对于所有t ，满⾜0),(==t x f xe e （2）的状态x e 称为平衡状态（⼜称为平衡点）。
平衡状态的各分量不再随时间变化。
若已知状态⽅程，令0=x所求得的解x ，便是平衡状态。
对于线性定常系统Ax x= ，其平衡状态满⾜0=e Ax ，如果A ⾮奇异，系统只有惟⼀的零解，即存在⼀个位于状态空间原点的平衡状态。
⾄于⾮线性系统，0),(=t x f e 的解可能有多个，由系统状态⽅程决定。
_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
S(ε) S(δ)
.x0 .xe
x2
S?ε?
x1
x0 t0
x2 S?ε? x1
t
(c)
S ?δ ?
平衡状态
状态轨迹
不稳定性的几何表示
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。
非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局
部发散的轨迹。 24
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
几点说明：
1)、 对于线性系统（严格）：渐近稳定等价 于大范围渐近稳定 (线性系统稳定性与初始 条件的大小无关)。
扰动所引起的自由响应是有界的
15
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性
设系统 x? ? f ( x, t ) x?e ? f (xe ,t) ? 0
如果对每个实数 ? ? 0 都对应存在另一个
实数 ? (?, t0 ) ? 0 ，使得满足
x0 ? xe ? ? (?, t0 )
21
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
即：对 ? x0 ? s(? ) ? ? ?
都有
lim
t ??
x(t; x0 , t0 ) ? xe
?
0
初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性 。
s(? ) ? ? , x ?? ? xe大范围稳定
? 当? 与 t0 无关 一致大范围渐近稳定。
? 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态 xe
表示为：
1
x?
x2 1
?
x2 2
??
?
x2 n
?
( xT x) 2
状态向量 x(t) 到平衡点 xe 的范数： 欧几里得范数
51李雅普诺夫稳定性的定义解析
本章简介(2/2)
? 最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设 计。
目录
? 概述 ? 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 ? 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 ? 5.3 线性系统的稳定性分析 ? 5.4 非线性系统的稳定性分析 ? 5.5 Matlab问题 ? 本章小结
目录(1/1)
? 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论 的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的 注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得 到了进一步研究和发展。
? 本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫 第一法和第二法的理论及应用。
概述(10/5)
? 本章需解决的问题:
? 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳 定性方法的思路是一致的。
? 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。
? 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳 定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函 数来分析判别稳定性。
? 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第 二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。
? 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统 输入输出间动态关系,讨论的是
? 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,
未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。
概述(4/5)
? 再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化 方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用, 但是难以胜任一般系统。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
本章简介
本章简介(1/2)
? 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 ? 主要介绍 ? 李雅普诺夫稳定性的定义以及 ? 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; ? 着重讨论 ? 李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统 的应用、 ? 李雅普诺夫函数的构造、 ? 李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。
第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
t 0 的任何时刻
总不会超出 S ( )
定义中对 、d 的大小没有具体要求，只要是有限的实数就可 以。因此，若状态解是等幅振荡的自由运动，在经典理论中 是不稳定的，而在李雅普诺夫的稳定性定义中是稳定的。
1、一致稳定性 如果平衡状态是稳定的，且 d 与 t 0 无关，则称该平衡状态是 一致稳定的。 因此，若定常系统的平衡状态是稳定的，则一定是一致稳定的。
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
0 xe2 1 0 xe3 1 0 xe1 0
因此该系统有3个平衡状态：
二、范数的概念 范数：衡量（度量）状态空间距离的大小向量x的长度称 为向量x的范数： n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用 x 表示，则 1
x x1 x2 ... xn ( xT x) 2
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
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? 动态系统的状态稳定性理论--李雅普诺夫稳定性
? 基本概念: 平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、
不稳定性
? 基本方法:李雅普诺夫第一法、
重点与难点喔！
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法在线性定常系统的应用--李雅普诺 夫方程的求解
重点喔！
李雅普诺夫稳定性的定义(1/4)
5.1 李雅普诺夫稳定性的定义
? 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和 表示的定性指标。 ? 它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系 统变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制。 ? 这也是控制理论和控制工程的精髓。 ? 在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有 界输出的输入输出稳定性问题。 ? 从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性 取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关, 而非线性系统则不然。
概述(8/5)
? 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 ? 时变系统、 ? 非线性系统,甚至 ? 离散时间系统、 ? 离散事件动态系统、 ? 逻辑动力学系统
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。
概述(9/5)
? 可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。
? 百余年来,李雅普诺夫 理论得到极大发展,在 数学、力学、控制理论、 机械工程等领域得到广 泛应用。
? 李雅普诺夫把分析一阶常微 分方程组稳定性的所有方法 归纳为两类。
概述(7/5)
? 第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后 通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来 讨论原非线性系统的稳定性问题。
概述(3/5)
? 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题。
? 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统 的稳定性判据。
? 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生 了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判 据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别 系统稳定性的方法。
? 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳 定性方法的思路是一致的。
? 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。
? 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳 定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函 数来分析判别稳定性。
? 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第 二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
本章简介
本章简介(1/2)
? 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 ? 主要介绍 ? 李雅普诺夫稳定性的定义以及 ? 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; ? 着重讨论 ? 李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统 的应用、 ? 李雅普诺夫函数的构造、 ? 李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。
? 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加 以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。 ? 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是 基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李 雅普诺夫稳定性定理。
概述(5/5)
? 外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于 线性系统,而且也适用于非线性系统。 ? 对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 – 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题” 的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。
? 实际上 ,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：
? 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状 态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定 性。
? 经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定即为外 部稳定性 。
? 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈 现稳定性,即系统的内部状态稳定性。 ? 本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。
? 随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论 的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的 注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得 到了进一步研究和发展。
? 本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫 第一法和第二法的理论及应用。
概述(10/5)
? 本章需解决的问题:
? 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统 输入输出间动态关系,讨论的是
? 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,
未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。
概述(4/5)
? 再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化 方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用, 但是难以胜任一般系统。
本章简介(2/2)
? 最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设 计。
目录
? 概述 ? 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 ? 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 ? 5.3 线性系统的稳定性分析 ? 5.4 非线性系统的稳定性分析 ? 5.5 Matlab问题 ? 本章小结
目录(1/1)
概述(2/5)
? 也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是
Lim ? x(t) ? ?
t? ?
式中，? x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; ?为任意小的规定量。 ? 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
概述(1/5)
概述
? 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系 统。 ? 例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力; ? 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以 及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 ? 具有稳定性的系统称为稳定系统。
? 稳定性的定义为： ? 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰 去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 ? 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。