江苏省南京市学年高一上学期期末考试数学试题含答案

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2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{1，2，3}，集合B ＝{x |x 2≤4，x ∈R }，则A ∩B ＝（） A ．∅ B ．{1}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】由24x ≤，解得22x -≤≤，故{}2B x x =|-2≤≤，所以{}1,2A B =.故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知向量(1,2)OA =-，(1,1)OB =-，则向量AB 的坐标为（） A ．（－2，3） B ．（0，1）C ．（－1，2）D ．（2，－3）【答案】D【解析】利用向量减法运算，求得AB . 【详解】依题意()()()1,11,22,3AB OB OA =-=---=-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，属于基础题.3．已知a ＝log 0.81.2，b ＝1.20.8，c ＝sin 1.2，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】利用0,1分段法，判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】0.80.8log 1.2log 10a =<=，0.801.2 1.21b =>=，由于ππ1.232<<，所以0sin1.21c <=<，所以a c b <<.故选：B 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式和三角函数比较大小，属于基础题. 4．函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（） A ．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得()f x 的定义域. 【详解】由ππ2π42x k +≠+，解得ππ28k x ≠+，所以()f x 的定义域为,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：C 【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题.5．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则AB 的长为（） A ．2 B ．4C ．2πD ．4π【答案】B【解析】利用扇形面积公式求得扇形的半径，进而求得AB 的长. 【详解】设扇形的半径为r ，依题意2124,22r r ⋅⋅==.所以AB 224r α=⋅=⋅=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查扇形面积公式，考查扇形弧长计算，属于基础题.6．若向量,a b 满足：()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥，则a b -=（）A ．1B ．2C ．5D 【答案】D【解析】利用已知条件求得2,a b b ⋅，由此求得a b -r r的值.【详解】由()()1,,2a a b a a b b =+⊥+⊥得()()222102220a b a a a b a b a b b a b b a b b ⎧+⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨+⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩，化简得212a b b ⎧⋅=-⎨=⎩.所以()22221225a b a ba ab b -=-=-⋅+=++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 7．函数212ln ||()x f x x ⋅=图象的大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性，选出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，由此排除B,C 选项.由于()()222221212212,f e f e e e e e ==⋅<，所以当0x >时，()f x 存在减区间，由此排除D 选项. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.8．安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm 3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin 后容器内剩余的细沙量为y ＝101+at（单位：cm 3），其中a 为常数．经过4min 后发现容器内还剩余5cm 3的沙子，再经过xmin 后，容器中的沙子剩余量为1.25cm 3，则x ＝（） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】根据已知条件求得a 的值，由此列方程，求得x 的值.【详解】当4t =时5y =，所以14510a +=，即11114lg5,4lg51lg,lg 242a a a +==-==⋅.设经过min y 后，剩余沙子为111lg 425104y +⋅=，即1411l g 1011241lg 421510101024yy y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭+⋅⎢⎥⎣⎦⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，即1341122y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,124y y ==.所以再经过的时间1248x =-=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.二、多选题9．下列各选项中，值为1的是（） A ．log 26·log 62 B ．log 62＋log 64C ．()()112222⋅D．((112222+-【答案】AC【解析】对选项逐一化简，由此确定符合题意的选项. 【详解】对于A 选项，根据log log 1a b b a ⋅=可知，A 选项符合题意. 对于B 选项，原式()66log 24log 81=⨯=≠，B 选项不符合题意. 对于C选项，原式((11222211⎡⎤==⎣⎦⋅=+，C 选项符合题意.对于D选项，由于(()((1111222222222222-+⎡⎤=⎣⋅⎢⎥⎦4221=-=≠，D 选项不符合题意. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对数、根式运算，属于基础题. 10．记函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为G ，则下列结论正确的是（）A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．直线12x π=-是图象G 的一条对称轴D ．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度，得到图象G 【答案】ABC【解析】根据三角函数的图像与性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，故A 选项正确. 由πππ2232x -≤-≤，解得π5π1212x -≤≤，所以函数f （x ）在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 选项正确. 由于ππππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线12x π=-是图象G 的一条对称轴，故C 选项正确.sin 2y x =向右平移π3得到π2πsin 2sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质，包括周期性、单调性、对称性和图像变换等知识，属于基础题.11．已知函数f （x ）＝x ，g （x ）＝x －4，则下列结论正确的是（） A ．若h （x ）＝f （x ）g （x ），则函数h （x ）的最小值为4 B ．若h （x ）＝f （x ）|g （x ）|，则函数h （x ）的值域为RC ．若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则函数h （x ）有且仅有一个零点D ．若h （x ）＝|f （x ）|－|g （x ）|，则|h （x ）|≤4恒成立【答案】BCD【解析】对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项. 【详解】对于A 选项，()()()224424h x x x x x x =-=-=--，当2x =时，函数()h x 的最小值为4-，所以A 选项错误.对于B 选项，()224,444,4x x x h x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 的值域为R ，故B 选项正确.对于C 选项，()4,0424,044,4x h x x x x x x -<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪>⎩，画出()h x 图像如下图所示，由图可知，()h x 有唯一零点2，故C 选项正确.对于D 选项，由C 选项的分析，结合()h x 图像可知()4h x ≤恒成立，故D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】本小题主要考查函数的最值、值域和零点，考查分段函数，考查数形结合的思想方法，属于基础题.12．已知向量,a b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（） A ．若存在实数λ，使得b a λ=，则a 与b 共线 B ．若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b a λ=C ．若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r rD ．若对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+r r r，则a 与b 不共线【答案】ACD【解析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.对于B 选项，若a 与b 共线，可能0a =，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b a λ=，所以B 选项错误.根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.三、填空题13．已知a 和b 都是单位向量，且0,2a b c a b ⋅==+，则向量b 与c 的夹角的余弦值是____．【解析】利用cos ,b c b c b c⋅=⋅求得向量b 与c 的夹角的余弦值.【详解】依题意cos ,b c b c b c⋅=⋅()2222442b a ba b a b ⋅+====+⋅+.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查向量夹角的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．在△ABC 中，已知7sin cos 13A A ＋＝，则sinAcosA 的值为____，tanA 的值为____．【答案】60169-125- 【解析】利用同角三角函数的基本关系式，求得sin cos ,tan A a A 的值. 【详解】由7sin cos =13A A +两边平方得496012sin cos ,sin cos 169169A A A A +==-.由于A 是三角形的内角，故A 为钝角，所以sin cos 0A A ->，而()2289sin cos 12sin cos 169A A A A -=-=，所以17sin cos 13A A -=.由17sin cos 137sin cos 13A A A A ⎧-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝解得125sin ,cos 1313A A ==-，所以sin 12tan cos 5A A A ==-. 故答案为：（1）60169-（2）125-【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15．已知函数f （x ）（x ∈R ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩剟…则376f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】14【解析】根据函数()f x 的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值. 【详解】依题意3711111111π42sin66666f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ1sin 2πsin 662⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.371111162224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：14【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 16．已知A ，B 是函数()sin 2xf x π=的图象与函数()cos2xg x π=的图象的两个不同的交点，则线段AB 长度的最小值是______．【解析】求得()(),f x g x 在一个周期内的两个交点坐标，由此求得AB 长度的最小值. 【详解】()f x 和()g x 的周期为2π4π2T ==，由()()f x g x =得ππsin cos 22x x =，在[]0,4x ∈时，有ππ24x =或π5π24x =，记得12x =或52x =，不妨设15,,,2222A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以AB 长度的最小值为AB ==.【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.四、解答题17．已知向量()()2,,1,6a m b m ==-．（1）若//a b ，求实数m 的值；（2）若a b a b +=-，求实数m 的值．【答案】（1）3-或4；（2）14【解析】（1）利用两个向量平行的条件列方程，解方程求得m 的值；（2）将a b a b +=-两边平方，求得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得m 的值.【详解】（1）由于//a b ，所以()2610m m ⋅--=，解得3m =-或4m =.（2）将a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，所以0a b ⋅=，即()2160m m -+=，解得14m =.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，考查向量模的运算、数量积的运算，考查方程的思想，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （－3，m ），且4sin 5α=．（1）求实数m 的值；（2）求sin(2)cos()3sin cos 22παππααπα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【答案】（1）4；（2）17【解析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得m 的值. （2）由（1）求得cos α的值，利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】（1）由于角α的终边经过点()3,P m -，且4sin 05α=>，所以0m>，且4sin 5α==，从而()2225169m m =+，即216m =，解得4m =. （2）由（1）知()4,3,4m P =-，所以3cos 5α==-，所以sin(2)cos()sin cos 13cos sin 7sin cos 22ππααππαααααα-++--==-⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19．已知函数()2x x e ae f x --=是奇函数，其中e 是自然对数的底数．（1）求实数a 的值；（2）若f （lgx ）＋f （－1）＜0，求x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）()0,10【解析】（1）根据奇函数的性质，利用()00f =列方程，解方程求得a 的值. （2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以()1002af -==，解得1a =. （2）由（1）得()122x x e f x e=-，由于1,2xx e e -都在R 上递增，所以函数()122x x e f x e=-在R 上递增，根据()f x 为奇函数得()()()lg 11f x f f <--=，所以lg 1x <，解得010x <<.即不等式的解集为()0,10. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为65m ．已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min 转动一圈．游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱．（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin 后，他距离地面的高度为h ，求h 关于t 的函数解析式；（2）已知在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？【答案】（1）π6550cos ,015t h t ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭；（2）20min 【解析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得h 关于t 的解析式.（2）由40h >列不等式，解不等式求得距离地面超过40m 的时间范围，由此求得游客可以观看到游乐场全景的时间. 【详解】（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为x 周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点P .因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每30min 转动一圈，所以OP 在min t 内所转过的角为2πt πt3015=.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为πt π152-，因此P 点的纵坐标为ππ50sin 152t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.从而游客距离地面的高度πππ50sin 656550cos 15215t t h ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0t ≥.（2）令π6550c o s 4015t h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得π1co s 152t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以ππt 5π2π2π3153k k +<<+，即3053025k t k +<<+，k ∈N ，令0k =，则525t <<.由于在距离地面超过40m 的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为25520min -=.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题. 21．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，D 为BC 中点，2AE EB =,12AF FC =．（1）若3A π∠=，求AD EF ⋅的值；（2）若0DE DF ⋅=，求AB AC ⋅uu u r uuu r的值．【答案】（1）12-；（2）818【解析】（1）利用向量加法、减法和数量积运算，化简求得AD EF ⋅的值.（2）利用向量加法、减法和数量积运算，结合0DE DF ⋅=，化简求得AB AC ⋅uu u r uuu r的值. 【详解】（1）由于D 是BC 的中点，所以()12AD AB AC =+，由于2AE EB =,12AF FC =，所以21,33AE AB AF AC ==.所以AD EF ⋅()112233AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭2212112333AB AB AC AC ⎛⎫=--⋅+ ⎪⎝⎭22111366AB AB AC AC =--⋅+22111166333626-⨯-⨯⨯⨯+⨯33121222=--+=-.（2）()21113262DE AE AD AB AB AC AB AC =-=-+=-， ()11113226DF AF AD AC AB AC AB AC =-=-+=--，所以11116226DE DF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211212129AB AC AB AC=-++⋅323049AB AC =-++⋅=,解得818AB AC ⋅=.【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．已知函数f （x ）＝sinx ，g （x ）＝lnx ．（1）求方程()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[0，2π]上的解；（2）求证：对任意的a ∈R ，方程f （x ）＝ag （x ）都有解；（3）设M 为实数，对区间[0，2π]内的满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4的任意实数x i （1≤i ≤4），不等式()()()()()()122334M f x f x f x f x f x f x -+-+-…成立，求M 的最小值．【答案】（1）π4或5π4；（2）详见解析；（2）4【解析】（1）利用诱导公式化简()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合同角三角函数的基本关系式求得tan x 的值，由此求得方程的解.（2）将a 分成0a =和0a ≠两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得4M ≥，再证得()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，由此求得M 的最小值为4. 【详解】（1）因为，()()πsin ,2f x x f x f x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以πsin sin 2x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos x x =，且[]0,2πx ∈.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x +=矛盾.所以cos 0x ≠，从而tan 1x =.又[]0,2πx ∈，所以π4x =或5π4x =. （2）当0a =时，由()()f x ag x =得sin 0x =，即πx =是该方程的一个解；当0a ≠时，令()1ln sin h x x x a =-.因为()h x 的图像在区间22,a ae e -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦上连续不断，且2221211sin 0a a h ee a a a a a --⎛⎫⎛⎫=--≤-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221211sin 0a a h e e a a a a a -⎛⎫⎛⎫=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在性定理可知，存在220,aax e e-⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.因此，当0a ≠时，方程()()f x ag x =有解0x x =. 综上所述，对任意a R ∈，方程()()f x ag x =都有解. （3）先证：4M ≥. 取1234π3π0,,,2π22x x x x ====，122334sin sin sin sin sin sin 1214M x x x x x x ≥-+-+-=++=.再证：当123402πx x x x ≤<<<≤时，都有()()()()()()1223344f x f x f x f x f x f x ≥-+-+-，即1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.①若2πx ≤，因为234π2πx x x ≤<<≤，于是2341sin ,sin ,sin 0x x x -≤≤，所以2334sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，而12sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤.②若3πx ≤，1223sin sin 1,sin sin 1x x x x -≤-≤，34sin sin 2x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤；③若23πx x <<，1223sin sin 1,sin sin 2x x x x -≤-≤，34sin sin 1x x -≤，所以122334sin sin sin sin sin sin 4x x x x x x --+-+≤，于是对任意满足条件的1234x x x x <<<，都有1223344sin sin sin sin sin sin x x x x x x --≥+-+.综上所述，M 的最小值为4. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。

2022-2023学年江苏省南京市高淳中学高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）{}{}1,2,3,2A B x N x ==∈≤∣A B ⋃=A. B. C. D.{}2,3{}0,1,2,3{}1,2{}1,2,32.命题“”的否定是（）0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭A. B.0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭C. D.0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈≤ ⎪⎝⎭0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）3π6πB. C. D.13π23π43π4.，不等式恒成立，则的取值范围为（）x R ∀∈2410ax x +-<a A.B.或4a <-4a <-0a =C.D.4a ≤-40a -<<5.已知，则（）0.50.5e ,ln5,log e a b c -===A.B.c a b <<c b a <<C.D.b a c <<a b c <<6.已知函数是定义在上的奇函数，，且，则()f x R ()()4f x f x =+()11f -=-（）()()20202021f f +=A. B.0 C.1D.21-7.已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+,,a b c ,,a b c ）A.B.c b a <<b a c <<C.D.a c b <<c a b <<8.已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ()()sin f x A x ωϕ=+）A.B.122y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()21y f x =+C.D.122x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12x y f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（）()0,∞+A. B.21y x =+3y x =C. D.23y x =3xy -=10.若，则下列不等式正确的是（）110a b <<A. B.a b <a b<C. D.a b ab +<2b a a b +>11.若函数，则下列选项正确的是（）()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A.最小正周期是πB.图象关于点对称,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.在区间上单调递增7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.图象关于直线对称12x π=12.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令x ∈R []x x []y x =，以下结论正确的是（）()[]22f x x x =-A.()1.10.8f -=B.为偶函数()f x C.最小正周期为()f x 12D.的值域为()f x []0,1第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）5log 25+=14.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.（1），若则12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >（2）()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=15.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于，两xOy Ox ,αβP Q 点，的纵坐标分别为.则的终边与单位圆交点的纵坐标为__________.,P Q 34,55αβ+16.已知函数，使方程有4个不同的解：，则()2log ,04,2cos ,482x x f x t R x x π⎧<<⎪=∃∈⎨≤≤⎪⎩()f x t =1234,,,x x x x 的取值范围是__________；的取值范围是__________.1234x x x x 1234x x x x +++四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题10.0分）求值：（1）22log 33582lg2lg22+--（2）251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18.（本小题12.0分）已知全集，集合，集合.U R ={}2120A x x x =--≤∣{}11B x m x m =-≤≤+∣（1）当时，求；4m =()U A B ⋃ （2）若，求实数的取值范围.()U B A ⊆ m 19.已知函数的部分图象如图.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，()f x 6π得到函数的图象，当时，求值域.()g x ,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 20.（本小题12.0分）已知函数()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简；()f α（2）若，求的值.()1,052f παα=-<<sin cos ,sin cos αααα⋅-21.（本小题12.0分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要500m 500m ⨯建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.S（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；x y S （2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值.S 22.（本小题12.0分）已知函数.()1ln1x f x x -=+（1）求证：是奇函数；()f x （2）若对于任意都有成立，求的取值范围；[]3,5x ∈()3f x t >-（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为(),1,αβ∞∈+αβ<()f x [],αβ，求实数的取值范围.ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦m 高淳中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题参考答案）第I 卷（选择题共60分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再求.B A B ⋃【详解】因为，所以.{}{}1,2,3,0,1,2A B =={}0,1,2,3A B ⋃=故选：B2.【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【详解】命题“”为全称命题，0,,sin 2x x x π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭按照改量词否结论的法则，所以否定为：，0,,sin 2x x x π⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭故选：D3.【答案】B【解析】【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.326ππ=12233ππ⋅⋅=故选：B4.【答案】A【解析】【分析】先讨论系数为0的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.【详解】，不等式恒成立，x R ∀∈2410ax x +-<当时，显然不恒成立，0a =所以，解得：.0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩4a <-故选：A.5.【答案】A【解析】【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可.【详解】因为，0.500.50.50e e 1,ln5lne <1,log e log 10a b c -<===>==<=所以，c a b <<故选：A.6.【答案】C【解析】【分析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值.()()4f x f x =+【详解】是奇函数，，()f x ()()()00,111f f f ∴==--=又是周期函数，周期为4.()()()4,f x f x f x =+∴.()()()()2020202101011f f f f ∴+=+=+=故选：C.7.【答案】C【解析】【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可.【详解】函数的零点转化为与()()()e ,ln ,sin x f x x g x x x h x x x =+=+=+e ,ln ,sin x y y x y x ===的图象的交点的横坐标，因为零点分别为，y x =-,,a b c 在坐标系中画出与的图象如图：e ,ln ,sin x y y x y x ===y x =-可知，0,0,0a b c <>=满足.a cb <<故选：C.8.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把()1y f x =+的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，()1y f x =-12所以如图的图象所对应的解析式为.()21y f x =+故选：B 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.【答案】AC【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断.【详解】对于A ：22()11y x x =-+=+函数是偶函数，在上是增函数，故A 正确；∴21y x =+()0,∞+对于：B 33()y x x =-=- 函数是奇函数，故错误；∴3y x =B 对于：C 2233()y x x=-= 是偶函数，在上是增函数，故C 正确；23y x ∴=()0,∞+对于：D 33x x y ---== 是偶函数，在上是减函数，故错误.3xy -∴=()0,∞+D 故选：AC10.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解即可【详解】由于，则，故错误；110a b <<0b a <<a b <正确；正确；，正确0a b ab +<<a b <2222,2a b a b ab b a b a ab ab a b ++=>=∴+>故选：BC D.11.【答案】BC【解析】【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可.【详解】函数，函数的最小正周期为：错误；tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,A 2π令，2,3246k k x x k Z ππππ+=⇒=-∈当时，，所以图象关于点对称，正确；2k =3x π=,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭B 因为，解得，当时，，所2,232k x k k Z πππππ-<+<+∈5,212212k k x ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭1k =7,1212x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以在区间上单调递增，C 正确；又正切函数不具有对称轴，所以D 错误7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B C.12.【答案】AC【解析】【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于，直接求解即可，对于，取，检验可得反A B 1.1x =-例，对于，直接求解即可；对于，要求的值域，只需求时的C ()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ()f x 102x ≤<()f x 值域即可.【详解】对于A ，，故A 正确.()[]1.1 2.2 2.2 2.230.8f -=---=-+=对于，取，则，而，B 1.1x =-()1.10.8f -=()[]1.1 2.2 2.2 2.220.2f =-=-=故，所以函数不偶函数，故B 错误.()()1.1 1.1f f -≠-()f x 对于，则，故C 正确.C [][]()1212121212f x x x x x f x ⎛⎫+=+-+=+--= ⎪⎝⎭对于，由的判断可知，为周期函数，且周期为，D C ()f x 12要求的值域，只需求时的值域即可.()f x 102x ≤<()f x 当时，则，0x =()[]0000f =-=当时，，102x <<()[]()222020,1f x x x x x =-=-=∈故当时，则有，故函数的值域为，故错误.102x ≤<()01f x ≤<()f x [)0,1D 故选：A C.第II卷（非选择题共90分）三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.【答案】6【解析】【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.，5log 25426+=+=故答案为：614.【解析】【分析】由条件（1），若则.可知函数为上增函数；12,x x R ∀∈12x x >()()12f x f x >()f x R 由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=()f x 【详解】令，()2x f x =则为上增函数，满足条件（1）.()2x f x =R 又()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++==⨯=故()()()1212f x x f x f x +=即成立.()()()121212,,x x R f x x f x f x ∀∈+=故答案为：等均满足题意()()()(2,3,4x x x f x f x f x ===)15.【答案】1【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义可得，再由展开3443sin ,cos ,sin ,cos 5555ααββ====()sin αβ+求解即可.【详解】以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，的纵坐标分别Ox ,αβ,P Q ,P Q 为34,55所以是锐角，可得，3sin ,5αα=4cos 5α=因为锐角的终边与单位圆相交于点，且纵坐标为，βQ 45所以是锐角，可得，4sin ,5ββ=3cos 5β=所以，()3344sin sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=所以的终边与单位圆交点的纵坐标为1.αβ+故答案为：1.16.【答案】①.②.()32,354⎝⎭【解析】【分析】先画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把()f x 12,x x 34,x x 和转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.1234x x x x +++1234x x x x 【详解】做出函数的图像如下：()2log ,042cos ,482x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩在单调递减：最小值在单调递增：最小值0，最大值2；()f x (]0,1()0;f x []1,4在上是部分余弦型曲线：最小值，最大值2.()f x []4,82-若方程有4个不同的解：，则()f x t =1234,,,x x x x 02t <<不妨设四个解依次增大，则12341145,784x x x x <<<<<<<<是方程的解，则，即；12,x x 2log (04)x t x =<<2122log log x x =-121x x =是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知.34,x x ()2cos 482x t x π=≤≤3412x x +=故，()()212343433312636x x x x x x x x x ==-=--+由得即345x <<()233263635x <--+<12343235x x x x <<1234121111212x x x x x x x x +++=++=++当时，单调递减，1114x <<()112m x x x =++则1116514124x x <++<故答案为：①；②()32,354⎝⎭四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）解：；()()22log 33582lg 2lg243lg5lg22lg27lg5lg27162+--=+---=-+=-=（2）解：251013sincos tan 634πππ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭sin 4cos 3tan 3634ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11sin cos tan 1063422πππ=+-=+-=18.解：（1）集合，{}34A x x =-≤≤∣当时，或，4m ={}35,{3U B x x B x x =≤≤=<∣∣ 5}x >所以或；(){4U A B x x ⋃=≤∣ 5}x >（2）由题可知或，{3U A x x =<-∣ 4}x >由可得或，U B A ⊆ 13m +<-14m ->解得或，4m <-5m >故的取值范围为或.m {4mm <-∣5}m >19.（1）由图象可知，的最大值为2，最小值为，又，故，()f x 2-0A >2A =周期，则，452,,03123T πππππωω⎡⎤⎛⎫=--=∴=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2ω=从而，代入点，得，()()2sin 2f x x ϕ=+5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭5sin 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则，即，52,Z 62k k ππϕπ+=+∈2,Z 3k k πϕπ=-+∈又，则.2πϕ<3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，()f x 故可得；2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象6π()g x 故可得；()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5,,,sin 66366x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈-∴-∈--∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 的值域为.()2sin 2,6x g x π⎛⎫⎡⎤-∈∴ ⎪⎣⎦⎝⎭2⎡⎤⎣⎦20.解（1）()()()()()sin cos sin cos 2cos tan sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos cos cos tan ααααααα-=+⋅-，sin cos αα=+故；()sin cos f ααα=+（2）由，()1sin cos 5f ααα=+=平方可得，221sin 2sin cos cos 25αααα++=即.242sin cos 25αα⋅=-所以，12sin cos 25αα⋅=-因为，249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=又，所以，2πα-<<sin 0,cos 0αα<>所以，sin cos 0αα-<所以.7sin cos 5αα-=-21.解：（1）由已知，其定义域是.30003000,xy y x =∴=()6,500，()()()46210S x a x a x a=-+-=-，150026,332y a y a x +=∴=-=- ，其定义域是.()150015000210330306S x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()6,500（2），15000303063030303023002430S x x ⎛⎫=-+≤-=-⨯= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，上述不等式等号成立，150006x x =()506,500x =∈此时，.max 50,60,2430x y S ===答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.50m,60m x y ==22.（1）证明：由函数，可得，()1lg 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭101x x ->+即，解得，故函数的定义域为，关于原点对称.101x x -<+11x -<<()1,1-再根据，可得是奇函数.()()11lg lg 11x x f x f x x x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭()f x （2）由（1）知，其定义域为.()1ln 1x f x x -=+()(),11,∞∞--⋃+.因为在上为增函数，()2ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()211u x x =-+()1,∞+在上为增函数，当，时，()f x ()1,∞+[]3,5x ∈()ln2ln2ln3f x -≤≤-对任意都有成立，，即，[]3,5x ∈()3f x t >-ln23t ->-3ln2t <-的取值范围是.t (),3ln2∞--（3）由（2）知在上为增函数，()f x ()1,∞+又因为函数在上的值域为.()f x [],αβ11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，且，0m >1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩所以1,121,12m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩则是方程的两实根，,αβ112x m mx x -=-+问题等价于放程在上有两个不等实根，211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭()1,∞+令，对称轴()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭1124x m =-则，即解得.()2011124Δ14102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩0,20,522,9m m m m ⎧⎪>⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎪⎩或209m <<。

江苏省高一(上)期末数学试卷(附参考答案)

江苏省高一（上）期末数学试卷（附参考答案）一、单选题（共8小题）.1．集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{0，1}，则集合A∩B中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{0，1}，∴A∩B＝{0，1}，∴集合A∩B中元素的个数是2．故选：B．2．函数y＝tan（2x﹣）的周期为（）A．2πB．πC．D．解：函数y＝tan（2x﹣），所以T＝＝．故选：C．3．方程的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3解：因为方程的解的个数即为函数y＝与函数y＝log x的交点个数，在同一直角坐标系中，画出草图可得：交点个数只有一个，故方程的解的个数为1，故选：B．4．对于全集U，命题甲“所有集合A都满足A∪∁U A＝U”，命题乙为命题甲的否定，则命题甲、乙真假判断正确的是（）A．甲、乙都是真命题B．甲、乙都不是真命题C．甲为真命题，乙为假命题D．甲为假命题，乙为真命题解：因为命题乙为命题甲的否定，所以命题乙“存在集合A都满足A∪∁U A≠U”．对于A，因为命题与命题的否定只有一个为真，所以A错；对于B，因为A∪∁U A＝U对任何U的子集都成立，所以B错；对于C，因为任何集合A，A∪∁U A＝U都成立，但不存在集合A使A∪∁U A≠U，所以C 对；对于D，由C知，D错；故选：C．5．如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水．水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起．已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t＝t0时，壶中水面高度h达到最高h0．在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度h与注水时间t的关系是（）A．B．C．D．解：由于壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起，则注水过程中，水面逐步增加，一开始递增速度较慢，超过中间部分后，单位时间内递增速度较快，则对应的图象为B，故选：B．6．函数f（x）＝log3（x+2）+x﹣1的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：∵f（x）＝log3（x+2）+x﹣1，∴f（0）＝log32﹣1＜0，f（1）＝1，∴f（0）f（1）＜0，∴f（x）在（0，1）上存在零点．故选：A．7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．已知函数的图象可能为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B，C，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除D，故选：A．8．为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求．假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（）（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年解：设经过n年后的投入资金为y万元，则y＝500（1+20%）n，令y≥1600，即500（1+20%）n≥1600，故，所以＝，所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元．故选：C．二、多项选择题9．下列命题中正确的是（）A．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bdB．若a＞b，则ka＞kbC．若a＜b，则|a|＜|b|D．若a＞b＞0，则解：对于A，若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd，故A正确；对于B，当k≤0时，不等式ka＞kb不成立，故B不正确；对于C，若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故C不正确；对于D，若a＞b＞0，则显然成立，故D正确．故选：AD．10．已知点P（1，t）在角θ的终边上，下列关于θ的论述正确的是（）A．如果，B．如果，则t＝2C．如果t＝3，则sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝2D．如果sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1），则解：对于A，＜0⇒θ角终边在三、四象限，又因为点P（1，t）在角θ的终边，所以θ在第四象限，所以A对；对于B，当t＝﹣2时，也有，所以B错；对于C，t＝3⇒cosθ＝，sinθ＝⇒sin2θ+sinθcosθ+8cos2θ＝＝2，所以C对；对于D，sinθ+cosθ＝a（a为常数，0＜a＜1）⇒sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ＝a2⇒＜0，又⇒sinθ＜0⇒sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，sin3θ﹣cos3θ＝（sinθ﹣cosθ）•（sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）＝（sinθ﹣cosθ）（1+sinθcosθ）＝﹣[1+]⇒，所以D对．故选：ACD．11．若2x＝3，3y＝4，则下列说法正确的是（）A．xy＝2B．C．D．x＞y解：∵2x＝3，3y＝4，∴x＝log23，y＝log34，∴xy＝log23•log34＝2，故A正确；x＝log23＞＝，故B错误；x+y＝log23+log34＞＝2，故C正确；x﹣y＝log23﹣log34＝﹣＝＞＞＝0，即x＞y，故D正确．故选：ACD．12．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米．已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点，则下列说法正确的是（）A．在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒B．当t＝[0，15]时，点P距水面的最大距离为6米C．当t＝10秒时，PP0＝6D．若P第二次到达最高点大约需要时间为80秒解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h＝f（t）＝A sin（ωt+φ）+B．则，解A＝6，B＝3，又水轮每分钟转动一周，则，∴f（t）＝6sin（φ）+3，由f（0）＝6sinφ+3＝0，得sinφ＝，∴φ＝，则f（t）＝6sin（）+3．对于A，由f（t）＝6sin（）+3＞3，得0π，解得5＜t＜35，则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35﹣5＝30秒，故A正确；对于B，f（15）＝6sin（）+3＝＞6米，故B错误；对于C，当t＝10时，，又OP＝6，∴，故C正确；对于D，由6sin（）+3＝9，得，即t＝20，则P第二次到达最高点大约需要时间为60+20＝80秒，故D正确．故选：ACD．三、填空题13．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）的值为．解：设幂函数为：y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），∴2＝4a，∴a＝，∴f（2）＝．故答案为：14．函数在上的值域为．解：对于函数，当x∈时，2x﹣∈[﹣，π]，故当2x﹣＝时，y取得最大值为2，当2x﹣＝﹣时，y取得最小值为﹣，∴函数在上的值域为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．15．若正数a，b满足a+b＝2，则ab的最大值为1；的最小值为．解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴2≥2，解得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴ab有最大值为1．＝（+）（a+b）＝（5++）（5+2）＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．∴的最小值为，故答案为：1，．16．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉．如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成．两岸连接点间距离为米．其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米．某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为（40+30）π米．解：由题意，如图所示，可得QT＝60米，PQ＝60米，连接PO，可得PO⊥QT，因为sin∠QPO＝，所以∠QPO＝，∠QPT＝，所以绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为L＝2π×（）+60×＝（40+30）π米．故答案为：（40+30）π．四、解答题17．求下列各式的值．（1）（e为自然对数的底数）；（2）．解：（1）＝＝．（2）＝＝＝．18．已知函数定义域为A，集B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}．（1）求集合A，B；（2）若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知：，解得x＞3或x＜1，∴集合A＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），对于集合B满足：x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）≤0，其中m﹣2＜m+2，∴B＝[m﹣2，m+2]；（2）若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，由（1）知，只需满足m+2＜1或m﹣2＞3即可，此时解得m＜﹣1或m＞5，综述，满足题意的m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．19．设函数．（1）解不等式．（2）若x∈[1，9]，求函数f（x）的最大值．解：（1）令，则原式变为，而t2﹣t+2＞0恒成立，∴，即，所以2t＞t2﹣t+2，即t2﹣3t+2＜0，解得t∈（1，2），∴，解得x∈（3，9）；（2）当x∈[1，9]时，由（1）中换元知t∈[0，2]．当t＝0时，f（t）＝0；当t＝（0，2]时，∵，当且仅当时取等，∴f（x）的最大值为，经检验满足题意，综上所述，f（x）的最大值为．21．已知函数f（x）＝x3﹣3x．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）用定义证明函数f（x）在[0，1]上为减函数；（3）已知x∈[0，2π]，且f（sin x）＝f（cos x），求x的值．【解答】解．（1）奇函数；证明：函数f（x）＝x3﹣3x，定义域x∈Rf（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣（x3﹣3x）＝﹣f（x）故f（x）为奇函数（2）任取0≤x1＜x2≤1，＝，因为，，0≤x1x2＜1所以则f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2）所以f（x）在[0，1]上为减函数．（3）x∈[0，2π]，﹣1≤sin≤1，﹣﹣1≤cos x≤1f（x）在R上为奇函数且f（x）在[0，1]为减函数，则有f（x）在[﹣1，1]也是减函数，又f（sin x）＝f（cos x）⇒sin x＝cos x，又x∈[0，2π]，则或．22．已知函数（a为常数，且a≠0，a∈R）．请在下面四个函数：①g1（x）＝2x，②g2（x）＝log2x，③，④中选择一个函数作为g（x），使得f（x）具有奇偶性．（1）请写出g（x）表达式，并求a的值；（2）当f（x）为奇函数时，若对任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，求实数m的取值范围；（3）当f（x）为偶函数时，请讨论关于x的方程f（2x）＝mf（x）解的个数．解：（1）若选①g1（x）＝2x，则f（x）＝，定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝＝＝，整理得2a＝不是常数，不满足条件．若选②g2（x）＝log2x，则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．若选③，则f（x）＝．定义域为R，当f（x）为奇函数，f（0）＝≠0，不满足条件．奇函数的性质；当f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），即＝＝＝，整理得a＝＝﹣＝﹣不是常数，不满足条件．若选④g（x）＝8x，，，当f（x）为奇函数，f（x）＝﹣f（﹣x）⇒a＝﹣1；当f（x）为偶函数，f（x）＝f（﹣x）⇒a＝1．（2）当f（x）为奇函数时，f（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，2x∈[2，4]，，若对于任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，，所以m的取值范围是．（3）当f（x）为偶函数时，f（x）＝2x+2﹣x，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，令t＝2x+2﹣x≥2，则t2﹣2＝mt（t≥2），，又在[2，+∞）单调递增，所以h（t）≥1，1．当m＜1，此时方程无解；2．当m≥1，存在唯一解t0∈[2，+∞），又因为f（x）＝2x+2﹣x为偶函数，不防设0≤x1＜x2，，所以f（x）在[0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0]单调递减，①当m＝1时，t0＝2，此时方程有唯一解x0＝0；②当m＞1时，t0＞2，此时方程有两个解，下证必要性：令h（x）＝2x+2﹣x﹣t0，h（x）为偶函数，h（x）在[0，+∞）单调递增，h（0）＝2﹣t0＜0，所以h（x）在有一个零点，又因为函数时偶函数，则在也有一个零点，所以当m＞1，t0＞2时一共有2两个零点．。

江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题含答案解析

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断函数的函数值的正负情况，即可得答案.
【详解】由题意定义在上的奇函数，，则，
对任意且，都有，
则在时单调递减，
则当时，，此时；当时，，此时；
根据奇函数的对称性可知，当时，，此时；当时，，此时；
14.已知 , ,用 , 表示 _________.（结果用 , 表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据换底公式找到和之间的等式关系,将用换底公式换为的形式,代换成即可.
【详解】解:由题知, , ,
, ,
,
故答案为: .
15.若任意，不等式恒成立，则实数的范围为_________.
【答案】
C.若，则是偶函数
D.若为奇函数且满足任意，都有，则在上是增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数单调性的性质，结合函数奇偶性的性质、函数图象变换的性质逐一判断即可.
【详解】A：若在上是减函数，显然由，不可能有成立，所以在上不是减函数，因此本选项说法正确；
B：因为是偶函数，所以函数的图象关于纵轴对称，
∴ ；
当时，由得：，
若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和，
又，
∴ ，
综上所述：实数m的取值范围为 ,
故答案为∶ .
【点睛】本题考查了分段函数性质的应用，考查了根据一元二次型不等式的解的情况求参数范围问题，综合性较强，解答时要注意数形结合以及分类讨论的思想方法，解答的关键是确定不等式解集中的整数解，从而确定参数范围.

2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)

2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。

江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末统考数学试题Word版含答案

江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{－1，0，1，2}，则M ∩ N ＝ ▲ ． 2．计算：lg4＋lg 52的值是 ▲ ．3．函数 f (x )＝(x －2)12的定义域是 ▲ ． 4．已知 tan α＝2，则 tan(α＋π4) 的值是 ▲ ．5．若函数 f (x )＝cos x ＋|2x －a | 为偶函数，则实数a 的值是 ▲ ．6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)．若向量a －b 与向量k a ＋b 共线，则实数k 的值是 ▲ ． 7．已知角α的终边经过点P (12，5)，则sin(π＋α)＋cos(－α) 的值是 ▲ ．8．已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2－x )，x ＜1，2x ，x ≥1，则 f (－2)＋f (log 23) 的值是 ▲ ．9．在△ABC 中，若 tan A ＞1，则角A 的取值范围是 ▲ ．10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ．若|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为 π3，则线段BD 的长度为 ▲ ．11．已知α∈(0，π2)，且满足 sin 2α_x001F_－3cos 2α_x001F_sin αcos α ＝2，则tan α 的值是 ▲ ．12．已知函数 f (x )＝sin(ωx －π3) (ω＞0)，将函数 y ＝f (x ) 的图象向左平移 π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值是 ▲ ．13．如图，已知函数f (x )的图象为折线ACB (含端点A ，B )，其中A (－4，0)，B (4，0)，C (0，4)，则不等式 f (x )＞log 2(x ＋2) 的解集是 ▲ ．14．若m ＞0，且关于x 的方程 (mx －1)2－m ＝x 在区间 [0，1] 上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)．（1）求向量a ＋b 与向量a 夹角的大小；（2）若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值．16．（本小题满分14分）已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ( A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π) 的图象如图所示．（1）求A ，ω，φ的值；（2）若x ∈[－π2，π12]，求f (x )的值域．(第16题图)已知sin α＝－437，α∈(－π2，0)．（1）求cos(π4＋α)的值；（2）若sin(α＋β)＝－3314，β∈(0，π2)，求β的值．18．（本小题满分16分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为 π3的扇形，点A 在弧 ⌒PQ 上(异于点P ，Q )，过点A 作AB ⊥OP ，AC ⊥OQ ，垂足分别为B ，C ．记∠AOB ＝θ，四边形ACOB 的周长为l ．（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l 有最大值，并求出l 的最大值．19．（本小题满分16分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE →＝2EB →．M 是线段CE 上一动点．（1）若M 是线段CE 的中点，AM →＝m AB →＋n AD →，求m ＋n 的值；（2）若AB ＝9，CA →·CE →＝43，求 (MA →＋2MB →)·MC →的最小值．P（第18题图）MEDCBA(第19题图)如果函数f(x)在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f(x)是该定义域上的“和谐函数”．（1）求证：函数f(x)＝log2(x＋1)是“和谐函数”；（2）若函数g(x)＝x2－1＋t (x≥1)是“和谐函数”，求实数t的取值范围．江苏省南京市2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1} 2．1 3．[2，＋∞) 4．－3 5．06．－1 7．713 8．5 9．(π4，π2) 10．711．3 12．2 13．(－2，2) 14．(0，1]∪[3，＋∞)注：第1、3、13题的答案必须是集合或区间形式，第9、14题可以用不等式表示；其它题严格按标准执行。

2019-2020学年江苏南京高一上学期期末数学试卷详解版

2019~2020学年江苏南京高一上学期期末数学试卷(详解)一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。

）2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知向量，，则向量的坐标为（）．D ∵向量，，∴，选项正确．故选．3.A.B.C.D.【答案】已知，，，则，，的大小关系是（）．B1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，集合，则（）．C ∵集合，集合，∴．故选．【解析】，，∵，∴，∴．故选．4.A. B.C.D.【答案】【解析】函数的定义域为（）．C ∵函数，则，，即，，∴函数的定义域为．故选．5.A.B.C.D.【答案】【解析】已知扇形的面积为，圆心角为弧度，则的长为（）．B∵扇形面积为，圆心角又为，∴，则，由，则．即，，解得．故的长为．故选．6.A.B.C.D.【答案】【解析】若向量，满足：，，，则（）．D 依题意，，，∴，，∴，∴，，∴，∴．故选．7.A.B.C. D.【答案】【解析】函数图象的大致为（）．A 的定义域为，故排除选项；，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项；又当时，，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故排除选项．故选．8.A.B.C.D.【答案】【解析】安装了某种特殊装置的容器内有细沙，容器倒置后，细沙从容器内流出，后容器内剩余的细沙量为（单位：），其中为常数．经过后发现容器内还剩余的沙子，再经过后，容器中的沙子剩余量为，则（）．C由题意可知，后，剩沙子，则，∴，又∵再过剩沙子，∴，∴，∴．故选．二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。

）9.A. B.C.D.【答案】A 选项：【解析】下列各选中，值为的是（）．AC根据换底公式有：，故正确；B 选项：C 选项：D 选项：，故错误；，故正确；原式的平方可得：，∴原式，故错误．故选 A C .10.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】记函数的图象为，则下列结论正确的是（）．函数的最小正周期为函数在区间上单调递增直线是图象的一条对称轴将函数的图象向右平移个单位长度，得到图象ABC∵函数，∴函数的最小正周期为，故正确；令，，，，则函数在上单调递增，当时，在上单调递增，故正确；令，，则，，函数的对称轴为，，当时，函数的一对称轴为，故正确；将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故错误．故选 A B C .11.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数，，则下列结论正确的是（）．若，则函数的最小值为若，则函数的值域为若，则函数有且仅有一个零点若，则恒成立BCD 若，则，故取得的最小值．所以选项错误．若，则当时，，当时，．所以当时，，当时，．故的值域为．所以选项正确．若，当时，，当时，，当时，．故当时，解得，只有一个零点．所以选项正确．当时，单调递增，此时有，所以恒成立．故选项正确．一综上所述，结论正确的有、、．故选、、．12.A.B.C.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】已知向量，是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（）．若存在实数，使得，则与共线若与共线，则存在实数，使得若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，，使得若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与不共线ACD若存在实数，使得，则不可能为零向量，所以与共线，故正确；若与共线，当为零向量时，不为零向量时，不存在实数，使得，故错误；若与不共线，则与可作为平面内一组基底，则存在实数，，使得平面内的任一向量，都可以表示成，故正确；若对平面内的任一向量，均存在实数，，使得，则与为平面内的一组基底，故与不共线，故正确．故选 A C D .三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。

南京市高一上学期期末数学试卷(I)卷

南京市高一上学期期末数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题。

(共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|-1≤x≤4}，B={x|-2≤x≤3}，那么集合A∩B等于（）．A . {x|-2≤x≤4}B . {x|3≤x≤4}C . {x|-2≤x≤-1}D . {x|-1≤x≤3}2. （2分） (2017高一下·长春期末) 设直线l的方程为：（），则直线l 的倾斜角α的范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·河口期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·庄河期末) 已知某几何体的俯视图是如下图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其侧面积（）A . 4B .C .D . 85. （2分）在正方形ABCD中，AB=4沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角，则点B到直线CD的距离为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·哈尔滨期中) f（x）=x5+ax3+bx﹣8且f（﹣2）=0，则f（2）等于（）A . ﹣16B . ﹣18C . ﹣10D . 107. （2分）圆的半径为（）B .C . 2D . 48. （2分）设则（）A .B .C .D .9. （2分）一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.（）下列结论中正确的个数有（）①直线MN与A1C相交.②MN⊥BC.③MN∥平面ACC1A1.④三棱锥N-A1BC的体积为 = a3.A . 4个C . 2个D . 1个10. （2分）过点且与原点的距离最大的直线方程是（）．A .B .C .D .11. （2分）与圆x2+（y﹣2）2=2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A . 6条B . 4条C . 3条D . 2条12. （2分） (2019高一上·焦作期中) 已知函数若函数有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知点A（1，2，1），B（﹣2，， 4），D（1，1，1），若=2，则||的值是________ ．14. （1分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为________15. （1分）不等式2﹣lnx≥0解集是________ ．16. （1分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=8相外切，则圆C的方程为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2016高一上·天河期末) 已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．18. （5分） (2017高一上·辽源月考) 全集 ,A＝{ | ≥1},B＝{ | -2 -3＞0},求.19. （5分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；（Ⅱ）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.20. （20分） (2019高二下·郏县月考) 已知是的极值点.（1）求；（2）求；（3）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.（4）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.21. （5分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+2﹣m=0．（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B；（Ⅱ）若∠ACB=120°，求m的值；（Ⅲ）当|AB|取最小值时，求直线l的方程．22. （20分） (2018高三上·汕头月考) 已知函数，．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的单调递增区间；（3）若，，且，，，求实数a的取值范围．（4）若，，且，，，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题。

江苏省南京市高一上学期期末考试数学试题

江苏省南京市高一上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分． 1．函数f (x )＝1x – 3的定义域是 ▲ ． 2．集合{0，1}的子集的个数为 ▲ ． 3．求值：log 345－log 35＝ ▲ ．4．已知角α 的终边经过点P (2，－1)，则sin α 的值为 ▲ ．5．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 ▲ cm 2． 6．函数f (x )＝cos (x －π3)，x ∈[0，π2]的值域是 ▲ ．7．三个数a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3之间的大小关系是 ▲ （用a ，b ，c 表示，并用“＜”连结）．8．将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式是 ▲ ． 9．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝2，且BE →＝EC →，DF →＝12FC →，则AE →·BF →＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝3x －log 2x 的零点为x 0，若x 0∈(k ，k ＋1)，其中k 为整数，则k ＝ ▲ ． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0，ln x ，x ＞0，其中e 为自然对数的底数，则f [f (12)]＝ ▲ ．12．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f (lg x )＜f (1)，则x 的取值范围是 ▲ ．C E （第9题）13．若函数f (x )＝m ·4x －3×2x ＋1－2的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是▲ ．14．若函数f (x )＝sin(ωx ＋π3) (ω＞0)在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值－1的x 的值均唯一，则ω的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）已知sin x ＝45，其中0≤x ≤π2．（1）求cos x 的值；（2）求cos(－x )sin(π2－x ) －sin(2π － x )的值．17．（本小题满分10分）经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t (天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足：f (t )＝－t ＋30(1≤t ≤20，t ∈N *)，日销售价格(单位：元)近似地满足：g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t + 40，1≤t ≤10，t ∈N *，15， 11≤t ≤20，t ∈N *．（1）写出该商品的日销售额S 关于时间t 的函数关系；（2）当t 等于多少时，日销售额S 最大？并求出最大值．18．（本小题满分10分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)（A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π）的部分图象如图所示，且f (0)＝f（1）求函数f (x )（2）求f (x ) 参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1． (3，＋∞) 2．4 3．2 4．－55 5． 9 6．[12，1] 7．b ＜a ＜c8． y ＝sin(2x －π3) 9．－4 10．2 11．12 12．(110，10)13． (0，＋∞) 14．[712，1312)二、解答题：本大题共6小题，共58分．15．解（1）因为sin 2x ＋cos 2 x ＝1，所以cos 2x ＝1－sin 2 x ＝1－(45)2＝925．…… 2分又因为0≤x ≤π2，故cos x ≥≤0，所以cos x ＝35． ………… 4分（2）原式＝cos x cos x ―(―sin x ) ＝cos x cos x ＋sin x…… 7分＝3535＋45＝37．………… 8分（第18题）17．解（1）由题意知，S ＝f (t )·g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2t ＋40)(－t ＋30)，1≤t ≤10，t ∈N *，15(－t ＋30)， 11≤t ≤20，t ∈N *． ………… 4分（2）当1≤t ≤10，t ∈N *时，S ＝(2t ＋40)(－t ＋30)＝－2 t 2＋20t ＋1200＝－2 (t －5)2＋1250．因此，当t ＝5时，S 最大值为1250； ……………………… 7分当11≤t ≤20，t ∈N *时，S ＝15(－t ＋30)＝－15t ＋450为减函数，因此，当t ＝11时，S 最大值为285． ……………………… 9分综上，S 的最大值为1250．答：当t ＝5 时，日销售额S 最大，最大值为1250元． …………… 10分18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x ＝0＋5π62＝5π12， ………… 2分则 T 4＝5π12－π6＝π4，即T ＝π．所以函数的最小正周期是π．…………… 4分（2）由图可知，A ＝2，因为T ＝π，所以ω＝2πT ＝2． ……………………… 6分又f (5π12)＝－2，所以2 sin(5π6＋ϕ)＝－2，即sin(5π6＋ϕ)＝－1，因此5π6＋ϕ＝2k π－π2，即ϕ＝2k π－4π3，k ∈Z ．因为0＜ϕ＜2π，所以ϕ＝2π3．所以函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋2π3)．… 8分由2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为[k π－7π12， k π－π12]，k ∈Z ．……………… 10分。

2023-2024学年江苏省南京市高一上册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市高一上册期中数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}1,2,5,6B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2,3,4【正确答案】B【详解】试题分析：由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为()U C B A ⋂且{}1,5,6U C B ={},1,2A =所以(){}1U C B A ⋂=故选B ．1、集合的交集、并集、补集运算；2、韦恩图表示集合．【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言()U C B A ⋂，再进行集合的补集，交集运算．本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案．2．下列函数中，在区间()0,2是增函数的是（）A ．1y x =-+B ．245y x x =-+C ．y =D ．1yx=【正确答案】C【分析】直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间()0,2上的单调性即可得到结果.【详解】1y x =-+、245y x x =-+、1y x=在区间()0,2是减函数，y =()0,2是增函数.故选C.一次函数的单调性判断：()0y kx b k =+≠，当0k >时在R 上递增，当0k <时在R 上递减；二次函数的单调性判断：()20y ax bx c a =++≠，当0a >时在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；当a<0时在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减.3．已知集合{}21,49,2021A a a a =++-，若4A -∈，则实数a 的值为（）．A ．5-B ．1C ．5或1-D ．5-或1【正确答案】B【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出a 的值.【详解】{}21,49,2021A a a a =++- ，且4A -∈，4=1a ∴-+或24=49a a -+-⑴、当24=49a a -+-即=5-a 或=1a ，①、当=5-a 时，1=4a +-，249=4a a +--，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；②、当=1a 时，1=2a +，249=4a a +--，此时{}2,4,2021A =-，符合题意；⑵、当1=4a +-即=5-a 时，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数a 的值为1.故选：B4．《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有如下图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD AB ⊥于点C ，设AD a =，BD b =，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为（）A ．222a b ab+≥B 2a b+≥C ．2aba b≤+0a >0b >D ．2a b+≥0a >0b >【正确答案】A【分析】易得OD CD ≥，再分别用AD ，BD 的表达式表达OD CD ≥再化简即可【详解】易得OD CD ≥，又2ABOD ==1122AD BD AB CD ⋅=⋅，故AD BDCD AB⋅==2≥，化简得222a b ab +≥故选：A本题主要考查了几何法证明基本不等式，属于基础题5．已知函数()222f x x x =-+，()2,2x ∈-，函数()f x 的值域为（）A ．()2,10B ．[)1,2C ．[]2,10D ．[)1,10【正确答案】D【分析】利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 的值域.【详解】当()2,2x ∈-时，311x -<-<，则()()[)2222111,10f x x x x =-+=-+∈.故选：D.6．设集合{}{}|02|03M x x N y y =≤≤=≤≤，.下列四个图象中能表示从集合 M 到集合N 的函数关系的有（）①②③④A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【正确答案】B【分析】根据函数的定义判断．【详解】A 中12x <≤中的x 没有对应的象，不符合；B 符合函数定义，C 也符合函数定义，D 中对于02x <≤的x 有两个象与之对应，不符合．所以有2个满足．故选：B ．7．已知命题p ：x R ∀∈，20x x a ++≠，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．14a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭B ．1<4a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{1<4a a 或0a >}D ．{14a a ≤或0a ≥}【正确答案】A【分析】根据题意，分析可得若命题p ：x ∀∈R ，20x x a ++≠为假，则方程20x x a ++=有解，结合二次方程的性质可得p ⌝为真命题时a 的取值范围，可得答案.【详解】根据题意，若命题p ：x ∀∈R ，20x x a ++≠为假，则p ⌝为真命题∴方程20x x a ++=有解，∴140a ∆=-≥，解得：14a ≤，故选：A.8．设函数11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则满足() 1()2f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．1(]2-∞-，B ．1(,)2-∞C ．1(0)2-，D ．1()2-+∞，【正确答案】B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式() 1()2f x f x +<求其解.【详解】∵11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，∴2,1()1,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩，当11x +≤且21x ≤时，不等式() 1()2f x f x +<可化为2122x x --<-，∴0x ≤，当11x +≤且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为211x --<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为11<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x ≤时，不等式() +12()f x f x <可化为122x <-，∴102x <<，∴满足() +12()f x f x <的x 的取值范围是1(,)2-∞，故选：B.二、多选题9．已知,a b c d >>，则下列不等关系正确的是（）A ．22ac bc >B ．33a b >C ．11a b <D ．a d b c->-【正确答案】BD【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.【详解】A ：当0c =时，显然不成立，所以本选项不正确；B ：因为a b >，所以33222213()()()[()]024a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++>，即33a b >，所以本选项正确；C ：若0a =，显然1a没有意义，所以本选项不正确；D ：因为c d >，所以d c ->-，而a b >，所以a d b c ->-，因此本选项正确，故选：BD10．下面命题为真命题的是（）A ．设,a b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的既不充分也不必要条件B ．“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的充要条件C ．“2m =”是“(){}2220M x mx m x =+++=为单元素集”的充分而不必要条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件【正确答案】BCD【分析】A 由0ab ≠，则,a b 都不为0则可判断命题；B 结合韦达定理即可判断命题；C 根据方程根的个数求出参数即可判断；D 结合不等式的性质以及解分式不等式即可判断.【详解】A 若0a ≠，0b =，则0ab =；若0ab ≠，则,a b 都不为0，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件；故A 为假命题；B 若二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根，则两根之积为负，即0ca<，从而0ac <，故“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的必要条件，若0ac <，则240,0cb ac a=->< ，即方程有两根且两根之积为负，所以二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根，故“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的充分条件，综上“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的充要条件，故B 为真命题；C 因为(){}2220M x mx m x =+++=为单元素集，若0m =，则{}1M =-符合题意；若0m ≠，则()2280m m ∆=+-=，则2m =，则{}1M =-符合题意；综上：(){}2220M x mx m x =+++=为单元素集，则0m =或2，因此“2m =”是“(){}2220M x mx m x =+++=为单元素集”的充分而不必要条件，故C 是真命题；D 因为1a >，所以1110aa a --=<，但是若11a <，则1a >或a<0，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故D 是真命题，故选：BCD.11．下列函数()f x 中，满足对任意()12,1,x x ∈+∞，有()()12120f x f x x x -<-的是（）A ．()()2212f x x =---B ．()31f x x=-C ．()11f x x=+D ．()4f x x =-【正确答案】AC由题意可得只需满足函数在区间(1,)+∞上单调递减即可.【详解】对任意12,(1,),x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-，则函数在区间(1,)+∞上为减函数，对于A ，()()2212f x x =---，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A 可选；对于B ，()31f x x=-，根据幂函数的性质，函数在区间(1,)+∞上为增函数，故B 不可选；对于C ，()11f x x=+，函数在区间(1,)+∞上为减函数，故C 可选；对于D ，()4,444,4x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，显然函数在区间(1,)+∞上不是单调函数，故D 不可选；故选：AC.关键点睛：熟记二次函数的图像与性质、幂函数的单调性、分段函数的单调性是解题的关键.12．已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为【正确答案】AB【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解：对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确．对于B ：由0a >，0b >，12a b =+≥18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-，所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b<<+，故C 错误；对于D ：112221233a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥+=+当且仅当2b a a b =，即22b =，1a =时取等号，故D 错误；故选：AB三、填空题13．函数()f x =15x +-的定义域为____________【正确答案】[)()3,44,+∞ 利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则30150x x -≥⎧⎨+-≠⎩，解得3x ≥且4x ≠.故[)()3,44,+∞ 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.14．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =__________．【正确答案】1-【分析】利用换元法求出()f x 的解析式，代入数字即可求解.【详解】 ()2212f x x x +=-，∴令21t x =+，则12t x -=，∴()2211652224t t t t f t ---+⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，即()2654x x f x -+=，∴()23635314f -⨯+==-.故答案为.1-15．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知3log 6a =，236b=则123aba b ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭______________.【正确答案】由题22log 362log 6b ==，分别化简12,3ab a b+的值代入即可.【详解】因为236b =，所以22log 362log 6b ==，所以66321212log 3log 21log 62log 6a b +=+=+=，3332ln 6ln3log 6ln 22ln 611log 2log 22log 62ln3ln 222333333322a b=====⨯==所以1231aba b ⎛⎫+⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为.本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.16．已知：1x >，0y >，2111x y+=-，且x y a +>恒成立，则a 的取值范围是___________.【正确答案】4a <+【分析】由(1)1x y x y +=-++，结合已知等式及基本不等式“1”的代换求x y +的最小值，注意等号成立条件是否满足，进而由不等式恒成立确定a 的取值范围.【详解】由题设，10x ->，0y >，∴2121(1)1(1)()1(3)111y x x y x y x y x y x y -+=-++=-+++=+++--4≥+4=+1x =-时等号成立，∴要使x y a +>恒成立，只需4a <+.故答案为.4a <+四、解答题17．计算：(1)()()1223021329.63 1.548-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)ln 2831lg lg 20e log 9log 82+-+⋅【正确答案】(1)4736-(2)1【分析】（1）利用分数指数幂化简求值即可；（2）利用对数运算性质及换底公式进行化简即可.【详解】（1）()()1223021329.63 1.548-⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222392731482-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2333341229⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3941249=--+4736=-.（2）ln 2831lg lg 20e log 9log 82+-+⋅()1ln 2333log 9lg 2lg 210e log 8log 8-=+⨯-+⋅3lg 2lg 212log 9=-++-+1221=-+=.18．解下列不等式：(1)24410x x -+>；(2)2690x x -+≤；(3)2230x x -+->；(4)(2)(3)6x x +-<.【正确答案】(1)1{|}2x x ≠(2){|3}x x =(3)∅(4){|34}x x -<<【分析】（1）配方法求解即可；（2）配方法求解即可；（3）先看判别式正负，确定有没有解；（4）因式分解即可求解.【详解】（1） 24410x x -+>，∴()2210x ->，解得.12x ≠所以解集为：1{|}2x x ≠（2） 2690x x -+≤，∴()230x -≤，解得.3x =所以解集为：{|3}x x =（3） 2230x x -+->，∴()()2241380∆=-⨯-⨯-=-<，所以方程无解，解集为∅.所以解集为：∅（4） (2)(3)6x x +-<，∴()()340x x +-<，解得.34x -<<所以解集为：{|34}x x -<<19．已知集合{}20,211x A x B x m x m x -⎧⎫=≤=-<<+⎨⎬+⎩⎭．(1)当2m =时求()R ,;A B A B ⋂⋃ð(2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){}02x x <≤；{1x x ≤-或}0x >(2)1m £【分析】（1）把集合,A B 化简再求解.（2）根据题意得到B A ⊆，然后根据B =∅和B ≠∅两种情况讨论.【详解】（1）()()2102012110x x x x x x ⎧-⋅+≤-≤⇒⇒-<≤⎨++≠⎩{}12A x x ∴=-<≤，当2m =时{}03B x x =<<，所以{}{}{}120302A B x x x x x x ⋂=-<≤⋂<<=<≤{R 1A x x =≤- ð或}2x >，所以(){R 1A B x x ⋃=≤-ð或}{}203x x x >⋃<<{1x x =≤-或}0x >（2）A B A B A⋃=∴⊆ 当B =∅时满足1212m m m -≥+∴≤满足B A ⊆；当B ≠∅时满足1122121312121m m m m m m m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎪⎪⎩⎩综上：1m £20．现有三个条件：①对任意的x ∈R 都有(1)()22f x f x x +-=-；②不等式()0f x <的解集为{12}x x <<；③函数()y f x =的图象过点(3,2).请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）已知二次函数2()f x ax bx c =++，且满足___________（填所选条件的序号）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知()1g x x =-，若存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，求满足条件的实数x 的取值范围.【正确答案】(1)2()32f x x x =-+(2)(,1)(3,)-∞+∞ 【分析】（1）条件①：由(1)()22f x f x x +-=-可得,a b ；条件②：由()0f x <的解集得,,a b c 的关系；条件③：()y f x =的图象过点(3,2)得932a b c ++=.选择条件①②：由,a b 可得()f x ；选择条件①③：由,,a b c 关系可得()f x ；选择条件②③：由,,a b c 关系可得()f x .（2）由()y f x =的图象在()y g x =图象的上方得2321x x x -+>-，解不等式可得答案.【详解】（1）条件①：因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()22(1)()(1)(1)222f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-，即2(1)20a x a b -+++=对任意的x 恒成立，所以2(1)02a a b -=⎧⎨+=-⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩.条件②：因为不等式()0f x <的解集为{12}x x <<，所以032a b a c a⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，即032a b a c a >⎧⎪=-⎨⎪=⎩.条件③：函数()y f x =的图象过点(3,2)，所以932a b c ++=.选择条件①②：1,3,2a b c ==-=，此时2()32f x x x =-+；选择条件①③：13932a b a b c =⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，则1,3,2a b c ==-=，此时2()32f x x x =-+；选择条件②③：032932a b a c aa b c >⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪++=⎩，则1,3,2a b c ==-=，此时2()32f x x x =-+.（2）由题知因为存在x 使()y f x =的图象在()y g x =图象的上方，所以2321x x x -+>-，解得(,1)(3,)-∞+∞ .21．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【正确答案】(1)400吨；(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为y x，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.（2）根据获利100S x y =-，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.22．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列两个条件：①()f x 在D 上具有单调性；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在区间[],a b 上的值域也为[],a b ，则称()f x 为D 上的“精彩函数”，区间[],a b 为函数()f x 的“精彩区间”．（1）判断[]0,1是否为函数3y x =的“精彩区间”，并说明理由；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否为“精彩函数”，并说明理由；（3）若函数()g x m =是“精彩函数”，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）是“精彩区间”，理由见解析；（2）不是“精彩函数”，理由见解析；（3）1744m -<≤-（1）先判断函数3y x =是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断[]0,1是否为函数3y x =的“精彩区间”；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否满足“精彩函数”的条件即可；（3）由()g x 是“精彩函数”，可知()g x x =至少存在两个不等的实数解，可转化为()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根，两实根都不小于4-和m ，结合二次函数的性质，求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，3y x =是R 上的增函数，易知3y x =在[]0,1上的值域为[]0,1，所以函数3y x =是“精彩区间”，[]0,1是该函数的“精彩区间”.（2）不是精彩函数，证明如下：因为函数()()40f x x x x =+>在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+¥上单调递增，所以函数()4f x x x =+在定义域()0,+¥上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件，所以函数()()40f x x x x=+>不是“精彩函数”.（3）由题意，函数()g x m =的定义域为[)4,-+∞，且()g x 在定义域上为单调递增函数，因为函数()g x m =是“精彩函数”m x =至少存在两个不等的实数解，方程整理得()222140x m x m -++-=，所以该方程有两个不等的实数根，设为12,x x ，不妨设21x x >，则214x x >≥-，21 x x m >≥，令()()22214h x x m x m =-++-，由题意得，()()()()()()22222214402140416421402142m m h m m m m m h m m m ⎧∆=+-->⎪⎪=-++-≥⎪⎨-=+++-≥⎪⎪+>-⎪⎩，即()2417040402142m m m m +>⎧⎪+≤⎪⎪⎨+≥⎪+⎪>-⎪⎩，解得1744m -<≤-.所以实数m的取值范围是174 4m-<≤-.本题考查新定义，考查函数与方程的综合应用，考查了函数基本性质的运用，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.。

江苏省南京高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则（）{}R,{13},2U A x x B x x ==-<<=≤∣∣()U A B ⋃=ðA ． B ． (](),12,-∞-+∞ ()[),12,-∞-⋃+∞C ． D ．[)3,+∞()3,+∞【答案】C【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】∵ {}R,{13},2U A xx B x x ==-<<=≤∣∣∴，则， ),3(A B ⋃=-∞,()[)3U A B ⋃=+∞ð故选：C.2．已知，则（） 22log 3,log 5a b ==18log 15=A ．B ．21a ba +-12a ba++C ． D ．1a b -+-1a b +-【答案】B【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可．【详解】，2221822log 15log 3log 5log 15log 1812log 312a ba++===++故选：B ．3．设为实数，且，则“”是“的（） a b c d ,,,c d <a b <”a c b d -<-A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由不能推出，如，，，， a b <a c b d -<-2a =3b =0c =1d =满足，但是，故充分性不成立；a b <a c b d -=-当时，又，可得，即，故必要性成立； a c b d -<-c d <a c c b d d -+<-+a b <所以“”是“的必要不充分条件. a b <”a c b d -<-故选：B.4．函数的零点所在的大致区间为（）()3ln f x x x=-A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,e ()e,3【答案】D【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案. ()f x ()0,∞+()()e 0,30f f 【详解】易判断在递增，. ()f x ()0,∞+()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.()3ln f x x x=-()e,3故选:D.5．已知，则的值是（）π1sin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭25πsin()2cos (6π3x x -+-A ．B ．C ．D 59-1959【答案】C 【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果. π6t x =+【详解】令，则，， π6t x =+π6=-x t 1sin 3t =则. 2225π125sin()2cos ()sin(π)2cos ()sin 2sin 63399ππ2x x t t t t -+-=-+-=+=+=故选：C.6．将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π3后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性()g x ()g x 质是（） A ．图象关于直线对称3x π=B ．图象关于点成中心对称π,06⎛⎫⎪⎝⎭C ．的一个单调递增区间为()g x 5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．曲线与直线 ()g x y =π6【答案】D【分析】先利用题意得到，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到()f x π3，ππ5ππ2sin 42sin 42sin 43333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x x 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x对于A ，因为ππsin 2sin π01,33⎛⎫⨯+==≠± ⎪⎝⎭所以直线不是的对称轴，故错误；3x π=()g x A对于B ， ππ2πsin 2sin0,633⎛⎫⨯+==≠ ⎪⎝⎭所以图象不关于点成中心对称，故错误；π,06⎛⎫⎪⎝⎭B 对于C ，当，则， 5ππ,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x π13π5π2,366⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x 因为正弦函数在不单调，故不是的一个单调递增区间，故错sin y x =13π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x C 误；对于D ，当则或， ()g x =sin 23⎛⎫+=⎪⎝⎭x πππ22π33+=+x k 2π2π,Z 3+∈k k 则或，则相邻交点距离最小值为，故D 正确πx k =Z π6,+∈k k ππ6故选：D. 7．函数的图象大致为（） ()22cos 1x xf x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性及在上的函数值正负逐个选项判断即可．()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为，定义域为R ， ()22cos 1x xf x x =+所以， ()222()cos()2cos ()()11x x x xf x f x x x ---==-=--++所以为奇函数，又因为时，所以由图象知D 选项正确，()f x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x >故选D ．8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用x ∈R 表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数[]x x []y x =][3.64,3.63⎡⎤-=-=⎣⎦，则函数的值域是（） ()1e 21e xxf x =-+()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦A ． B ．C ．D ．{}1,0-{}0{}0,1{}1,0,1-【答案】A【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数()1121e x f x =-++0x >0x =0x <的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为，定义域为， ()1e 11e 11111121e 21e 21e 21e x x x x xx f x +-⎛⎫=-=-=--=-+⎪++++⎝⎭R 因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减， 1e x y =+11e xy =+所以在定义域上单调递减，()1121e xf x =-++R 时，， 0x <()()()111e 0,1,,1,0,,01e 22xx f x f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈∈∈= ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭()00f ⎡⎤=⎣⎦时，； 0x >()()()111e 1,,0,,,0,11e 22xx f x f x ∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈+∈∈-=- ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭则时，0x >()()101,f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=-+=-⎣⎦⎣⎦时，，0x <()()()011f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎣⎦⎣⎦时，.0x =()()000f x f x ⎡⎤⎡⎤+-=+=⎣⎦⎣⎦故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研()f x 究的值域，突破难点. ()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的是（） A ．若为正整数，则 ,a b n >n n a b >B ．若，则0,0b a m >>>a m ab m b+>+C ．22222a ba b++≥D ．若，则0απ<<0sin 1α<<【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若，则，故A 错误； 1,1,2a b n ==-=n n a b =对于B ，时，，故B 正确； 0,0b a m >>>a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+对于C ，由，则，当且仅当时取等号，故C 正确；20,20a b >>22222a b a b ++≥=⨯a b =对于D ，当时，，故D 错误； π2α=πsin 12=故选：BC ．10．设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（）m x ()2310mx m x +-+=A ．当时，方程的两个实数根之和为0 3m =B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是 01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 0m <【答案】BCD【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m 满足的不等式，解出m 的范围，判断正误. 【详解】对于A 选项，时无实根，A 错误；3m =2310x +=对于B 选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得0m =0m ≠2(3)40m m --<19m <<，一个必要条件是，B 正确；1m >对于C 选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得； 0m ≠0∆>30mm ->10m>01m <<对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D 正确； 0m ≠10m<0m <故选：BCD.11．设，已知） 0,0a b >>22,a b M N ab +=A ．有最小值 B ．没有最大值M MC ．D ．N N 【答案】ABD【分析】由均值不等式分别求出的最值，即可得出答案. ,M N 【详解】时正确， ,0a b >()[)10,,2,AB b b a t M t a a b t∞∞=∈+=+=+∈+，时错误，D 正确； 0,0a b >>2a b +C ≥12．设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（） ωa ()()4sin f x x a ωϕ=++A ．若函数的最大值为2，则()f x 2a =-B ．若对于任意的，都有成立，则 x ∈R ()()πf x f x +=2ω=C ．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是 π3ϕ=()f x ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当，函数在区间上至少有两个零点，则的取值a =-ϕ∈R ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω范围是 [)4,+∞【答案】ACD【分析】对A ：根据正弦函数的有界性分析判断；对B ：利用函数的周期的定义分析判断；对C ：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D ：以为整体，结合正弦函数的性质x ωϕ+x ωϕ+分析判断.【详解】A 选项，由题意，则，A 正确； 42a +=2a =-B 选项，若，则的周期为， ()()πf x f x +=()f x π设的最小正周期为，则， ()f x T ()*2π=πkT kk ωN =Î解得，B 错误；()*2ωk k N =ÎC 选项，当时， π3ϕ=∵，则，ππ,62x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππππ,36323x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦若在区间上单调递增，则，()f x ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦0πππ632πππ232ωωω⎧⎪>⎪⎪-+≥-⎨⎪⎪+≤⎪⎩解得，C 正确；10,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦选项，由题意可得，对，在上至少两个零点，D ()sin x ωϕ+=ϕ∀∈R π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,2x ωϕϕωϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦若对，在上至少两个零点，则，解得，D 正确；ϕ∀∈R π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π2ωϕϕ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭4ω≥【点睛】方法点睛：求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解． ①令ωx ＋φ＝k π＋(k ∈Z )，可求得对称轴方程． π2②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标．③将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． (3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论A >0，A <0.三、填空题13．命题“”的否定是__________. 21,20x x ∃≥-<【答案】21,20x x ∀≥-≥【分析】根据特称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意，则其否定为. 21,20x x ∀≥-≥故答案为：. 21,20x x ∀≥-≥14．已知，则__________.2212sin cos 2sin cos θθθθ+=-tan θ=【答案】3【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.221sin cos θθ=+2cos θ【详解】由题意，222222sin 2sin cos cos tan 2tan 12sin cos tan 1θθθθθθθθθ++++==--即，则. tan 12tan 1θθ+=-tan 3θ=故答案为：3.15．设函数，则满足的的取值范围是__________.21,0()3,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩3()()32f x f x +->x 【答案】()1,+∞【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得.x 【详解】当时，，则在0x ≤()33212141122f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=-≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭当时，，在单调递增，时302x <≤()3332132222x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 1x =，则的解集为；132123+⨯-=()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭31,2⎛⎤⎥⎝⎦当时，，则在时恒成立；32x >()33022*******x x f x f x -⎛⎫+-=+>+> ⎪⎝⎭()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭32x >综上，的解集为.()332f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()1,+∞故答案为：．()1,+∞16．已知函数是定义在上不恒为零的偶函数，且对于任意实数都有()f x R x ()1()(1)x f x xf x -=-成立，则__________.7(())2f f =【答案】0【分析】根据解析式求出，进而得到若，则，从而求出.102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()10f x -=()0f x =7(())02f f =【详解】由，令可得，今可得，()1()(1)x f x xf x -=-0x =()00f =12x =11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由是偶函数可得，则， ()f x 1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，若，则，0,1x ≠()10f x -=()0f x =则，135702222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则.7(((0)02f f f ==故答案为：0.四、解答题17．设，已知集合. m ∈R (){}2321,2201x A xB x x m x m x +⎧⎫=<=+--<⎨⎬-⎩⎭∣∣(1)当时，求；1m =A B ⋃(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.x B ∈x A ∈m 【答案】(1)3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(2) [)3,+∞【分析】（1）求出集合，由并集的定义即可得出答案.,A B（2）由“”是“”的必要条件可得，则，解不等式即可得出答案. x B ∈x A ∈A B ⊆322m -≤-【详解】（1）由可得，即，则， 3211x x +<-2301x x +<-()()1230x x -+<3,12A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，.()(){210},1B x x m x m =+-<=∣13,1,,122B A B ⎛⎫⎛⎫=-⋃=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由“”是“”的必要条件可得， x B ∈x A ∈A B ⊆则，则，实数的取值范围是. 322m -≤-3m ≥m [)3,+∞18．设，计算下列各式的值： tan 2α=(1)；2sin cos 3sin cos αααα+-(2).22sin sin cos ααα-【答案】(1)1 (2)5【分析】（1）所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；cos α（2）将分子看成，所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；2()222sin cos αα+2cos α【详解】（1）原式；2tan 122113tan 1321αα+⨯+===-⨯-（2）原式. ()22222222sin cos 2tan 22225sin sin cos tan tan 22αααααααα++⨯+====---19．设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且()f x ()g x ()1,1-()f x ()g x .()()2lg(1)f x g x x -=-(1)求函数和的解析式；()f x ()g x (2)判断在上的单调性，并给出证明.()f x ()0,1【答案】(1)， ()lg(1)lg(1)f x x x =-++()()()lg 1lg 1g x x x =+--(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）根据函数奇偶性构造关于和得方程组，进而求出它们的解析式； ()f x ()g x （2）根据函数单调性定义进行证明.【详解】（1）由，可得，()()2lg(1)f x g x x -=-()()2lg(1)f x g x x ---=+由为偶函数，为奇函数，可得， ()f x ()g x ()()2lg(1)f x g x x +=+则，；()lg(1)lg(1)f x x x =-++()()()lg 1lg 1g x x x =+--（2）由（1）得()2lg(1)f x x =-在单调递减，证明如下： ()f x ()0,1取任意，1212,(0,1),x x x x Î< ()()22211212221lg(1)lg(1)lg 1x f x f x x x x --=---=-由，可得，则， 1201x x <<<2212110x x ->->2122111x x ->-则， ()()2112221lg 01x f x f x x --=>-则，则在单调递减.()()12fx f x >()f x ()0,120．如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点修建一条长为的栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且D m l ABOAB A .点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金OAB θ∠=H AB OH AB ⊥OH OH 鱼，下方养殖锦鲤.OH(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求的长度；l (2)若游客可以在河岸与栈道上投喂金鱼，在栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路OA AH HB ，求的取值范围. 1θ【答案】(1)(2). ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）过作垂直于，求得，从而得出养殖观赏D ,DM DN ,OAOB AM BN θ=鱼的面积，利用基本不等式可求得最小时的值，进而113tan 2tan OAB S OA OB θθ=⋅=+A OAB S A θ求得的长度；l （2）由，可得，则，由题意π2AOB OHA ∠=∠=BOH θ∠=,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===，则，化切为弦可得即可求得1BH OA AH -+tan 111sin tan θθθ≥+1cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结果.【详解】（1）过作垂直于，垂足分别为，D,DM DN ,OA OB ,M N则DM ON DN OM ====，tan tan DM AMBN DN θθθ====养殖观赏鱼的面积， )1113tan 22tan OAB S OA OB θθθ=⋅==+A 由可得，则，当且仅当时取等号， π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0θ>13tan tanθθ+≥tanθ=π6θ=则最小时，，此时l 的长度为； OAB S A π6θ=sin cos DM DN l θθ=+==（2）由，可得，π2AOB OHA ∠=∠=BOH θ∠=则，,,tan sin tan OH OH OA AH BH OH θθθ===由题意，则， 1BH OA AH ≥+tan 111sin tan θθθ≥-+而， ()()22sin tan sin 1cos 1cos 1111cos cos 1cos cos 1cos cos sin tan sin θθθθθθθθθθθθθθ-====-++++则可得，则. 1cos θ≥π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0θ>cos θ≤ππ,42θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭21．设为实数，已知函数，. a ()122x x f x =-()()ln ln 2g x x x a =⋅-+(1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当()f x ()g x [)1,+∞()f x 1M ()g x 2M 时，求的取值范围；21M M ≤a (2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，x ()0g x >x ()()0f g x a +=求出此方程的解；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出和的最小值，()f x ()g x 12,M M 然后解不等式即可；（2）利用二次函数的性质，求得的最小值为，由题意可得，当时,()g x 1a -1a >()0g x >()21g x >，，可得，即可得出结论. ()112g x <()()0f g x a +>【详解】（1）当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故1x ≥2x y =12x y =-()122x x f x =-当时，取最小值，则； 1x =()f x 32132M =当时，，，1x ≥ln 0x ≥()()2ln 11g x x a =-+-则当，即时，取最小值，即，ln 10x -=e x =()g x 1a -21M a =-由题意得，则，即的取值范围是； 312a -≤52a ≤a 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）当时，，，0x >ln R x ∈()()2ln 11g x x a =-+-则当，即时，取最小值为，ln 10x -=e x =()g x 1a -则恒成立时，有，即，()0g x >10a ->1a >当时，，， ()0g x >()21g x >()112g x <则，则，()()()()1202g x g x f g x =->()()0f g x a +>故关于的方程不存在实数解.x ()()0f g x a +=22．设，函数. a ∈R ()2πsin cos ,,π2f x x x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭(1)讨论函数的零点个数；()f x (2)若函数有两个零点，求证：. ()f x 12,x x 123π2x x +<【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；()f x （2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明. 123π2x x +<【详解】（1）， ()2cos cos 1f x x x a =--++令，即，()0f x =2cos cos 1x x a +=+时，即， π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()21cos 1,0,,0,04t x t t f x ⎡⎫=∈-+∈-=⎪⎢⎣⎭21t t a +=+或即时，无解； 10a +≥114a +<-[)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭21t t a +=+即时，仅有一解，此时仅有一解； 114a +=-54a =-21t t a +=+12t =-x 2π3即时，有两解， 1104a -<+<514a -<<-21t t a +=+12t =-有两个零点； 1cos 2x =-()f x 综上，时，无零点， [)5,1,4a ∞∞⎛⎫∈--⋃-+ ⎪⎝⎭()f x 时，有一个零点， 54a =-()f x 时，有两个零点； 5,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()f x （2）有两个零点时，令，则为两解，()f x 1122cos ,cos t x t x ==12,t t 21t t a +=+则，则，121t t +=-12cos cos 1x x +=-则，221122cos 2cos cos cos 1x x x x ++=由可得， 12π,,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭12cos 0,cos 0x x <<则，则，122cos cos 0x x >2212cos cos 1x x +<则， 2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭由可得， 2π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭223ππ3π,π,cos 0222x x ⎛⎫⎛⎫-∈-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，由在递减， 123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭cos y x =π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，则. 123π2x x <-123π2x x +<【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．。

江苏省南京市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．函数的定义域为（） ()ln 1y x =+A ． B ． ()1,+∞()1,-+∞C ． D ．[)1,-+∞(),1-∞-【答案】B【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x 的不等式，即可解得函数的定义域. ()ln 1y x =+【详解】令，解得， 10x +>1x >-故函数的定义域为. ()ln 1y x =+()1,-+∞故选：B.2．“”是“”的（） 1x >21x >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不1x >21x >21x >1x >1x >21x >必要条件．故选：A ．3．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x0.500.99 2.01 3.98y 0.99-0.010.982.00则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（）A ． B ． C ．2y x =21y x =-22y x =-D ．2log y x =【答案】D【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．【详解】解：根据，，代入计算，可以排除； 0.50x =0.99y =-A 根据，，代入计算，可以排除、； 2.01x =0.98y =B C 将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意 2log y x =故选：．D【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十1R 2R α二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.1R 2R α1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩6α=故选：C5．已知函数，则的值为（）()12cos ,0,0x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪≥⎩π3f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ABC ．4D ．14【答案】B【分析】根据分段函数运算求解.【详解】由题意可得：，故πππ1cos cos 3332f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12π11322f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B.6．函数的图像大致为（）()2sin f x x x =A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论．()2sin f x x x =()0,πx ∈【详解】由函数定义域为,,故()2sin f x x x =R ()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-()2sin f x x x=为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C 和D ；又函数在时,函数，可以排除B ，所以只有A 符合．()2sin f x x x =()0,πx ∈()2sin 0f x x x =>故选:A ．7．在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，e 2.71828...=3e 20≈，则（）7e 1100≈ln 55≈A ．B ．C ．4D ．673113【答案】C【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】由题意可得：.7431100e ln 55ln ln ln e 420e =≈==故选：C.8．函数的零点为，函数的零点为，若()2log 4f x x x =+-1x ()()()log 151a g x x x a =+-->2x ，则实数的取值范围是（） 211x x ->aA ．B ．C ．D ．(()1,2)+∞()2,+∞【答案】D【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围. 211x x ->a 【详解】已知,, ()2log 4f x x x =+-()()()log 151a g x x x a =+-->函数的零点为，()2log 4f x x x =+-1x函数的零点为， ()()()log 151a g x x x a =+-->2x 则()12122log 4log 150a x x x x +-=+--=()12122log 41log 14a x x x x +-=-+--()12122log 1log 1a x x x x +=-+-121x x <-又因为,这两函数均单调递增， 2log y x x =+()()log 111a y x x a =+-->当时，,解得. 121x x <-()212log >log 1a x x -2a >故选:D.二、多选题9．已知角的终边经过点，则（） θ()()2,0P a a a >A ．B ．sin θ=cos θ=C ．D ．1tan 2θ=tan 2θ=【答案】AC【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角的终边经过点， θ()()2,0P a a a >所以，故A 正确；sin θ=B 错误；cos θ==，故C 正确，D 错误. 1tan 22a a θ==故选：AC.10．若，则（） 01m a b <<<<A ． B ． a b m m <m m a b <C ．D ．log log m m a b >b aa mb m>++【答案】BCD【分析】对于A ：构造函数，利用单调性判断；对于B ：构造函数，利用单调()x f x m =()mg x x =性判断；对于C ：构造函数，利用单调性判断；对于D ：利用作差法比较大小.()log m h x x =【详解】对于A ：因为，所以单调递减.01m <<()xf x m =因为，所以.故A 错误；a b <a b m m >对于B ：因为，所以单调递增.01m <<()mg x x =因为，所以.故B 正确；a b <m m a b <对于C ：因为，所以单调递减. 01m <<()log m h x x =因为，所以.故C 正确；a b <log log m m a b >对于D ：因为，所以.故D 正()()()()()()220b a b a m b a b bm a am a m b m a m b m a m b m -+-+---==>++++++b aa mb m>++确. 故选：BCD11．已知函数，则（） ()1tan tan f x x x=+A ．的最小正周期为B ．的图象关于轴对称()f x π()f x y C ．的最小值为2 D ．在上为增函数()f x ()f x ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可()2sin 2f x x=判断A 正确；举反例即可排除B ；取特殊值计算即可判断C 错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D 正确.【详解】对于A ，因为， ()221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2x x x x f x x x x x x x x+=+=+==设的正周期为，则，即， ()f x T ()()f x T f x +=()22sin 2sin 2T x x =+所以，()sin 22sin 2T x x +=由诱导公式可得，即， 22π,Z T k k =∈π,Z T k k =∈又，故，即，则，故， 0T >π0k >0k >1k ≥ππT k =≥所以的最小值为，即的最小正周期为，故A 正确；T π()f x π对于B ，因为， ππ1ππ1tan 2,tan 2ππ4444tan tan 44f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又与不关于轴对称， π,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,24⎛⎫⎪⎝⎭y 所以的图象关于轴对称，故B 错误；()f x y 对于C ，因为，所以2不是的最小值，故C 错误；π24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，故在上单调递减，且，ππ42x <<π2π2x <<sin 2y x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭sin 20x >又在上单调递减， 2y x=()0,∞+所以在单调递增，故D 正确. ()2sin 2f x x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭故选：AD.12．已知函数，对于任意，，则（） ()y f x =,R x y ∈()()()f x f x y f y =-A ． B ．()01f =()()22f x f x =C ． D ．()0f x >()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥【答案】ACD【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可. 【详解】令，故A 正确； ()()()()001f x x y f f f x =⇒=⇒=由已知，① ()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x y f x y f x f y f y =-⇒=-⇒+=令满足题干要求，则，故B 错()()(),0,11,x f x a a =∈+∞ ()()2222,,x xf x a f x a ==()()22f x f x ≠误；由①可知，令，则，2x x y ==()2222x x x f x f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又因为，则，所以，故C 正确； ()()()f x f x y f y =-02x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()202x f x f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为，所以，()0f x>()()f x f y +≥=又由①，令，则， 2x y x y +==()2222x y x y x y f x y f f f ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，故D 正确.()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥故选：ACD.三、填空题13．函数的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可） 2cos y x =【答案】（答案不唯一）π,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对称中心的横坐标满足，取得到2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =π,02⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：π,02⎛⎫⎪⎝⎭14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为x 0ax b +>()3,-+∞x 20ax bx +<_________. 【答案】()3,0-【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. ,a b a 【详解】由的解集为， 0ax b +>()3,-+∞可得，且方程的解为， 0a >0ax b +=3-所以，则， 3ba-=-3b a =所以，()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒-<<即关于的不等式的解集为. x 20ax bx +<()3,0-故答案为：.()3,0-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若R ()f x ()()4f x f x +=[)0,4x ∈()2xf x m =+，则___________.()()202331f f =m =【答案】1【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.【详解】由可得的函数周期为4，则， ()()4f x f x +=()f x ()()()20235054338f f f m =⨯+==+由，则，解得.()()202331f f =()832m m +=+1m =故答案为：1.四、双空题16．对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则M ()0,Φ1,x Mx x M ∉⎧=⎨∈⎩A B A B ⊆___________；若，，且存在，()()1A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦1sin 2A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭(),2B a a =x R ∈，则实数的取值范围是_______________.()()2A B x x Φ+Φ=a 【答案】 0513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】第一空分，和且三种情况来研究，第二空根据已知分析出a 的大致x A ∈x B ∉x A ∉x B ∈范围，最后列出不等式求解即可.【详解】即则一定有，所以分三段研究：A B ⊆x A ∈x B ∈时，，，即； x A ∈()1A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦时，，，即； x B ∉()0A x Φ=()0B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦且时，，，即.x A ∉x B ∈()0A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦综上所述，；()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦由已知()()()()21A B A B x x x x Φ+Φ=⇒Φ=Φ=且， 522,66A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(),20B a a a =⇒>要满足题意则，此时区间长度时一定满足，故下研究时，（其中A B ⋂≠∅43a π≥403a π<<，即为集合的补集中一段的区间长） 452366ππππ=+-A 此时，因此满足题意的反面情况有或，8023a a π<<<026a a π<<≤513266a a ππ<≤≤解得或，因此满足题意的范围为. 012a π<≤513612a ππ≤≤a 513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、解答题17．求下列各式的值：(1)； 6213222⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(2).ln3213log 8log 9e -+【答案】(1)128 (2)8【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数和指数的运算性质求解.【详解】（1）.612216723322222128⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭（2）. ln3213log 8log 9e 3238-+=++=18．若.()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα⋅(2)若，求的值. ()0,πα∈tan α【答案】(1) 12sin cos 25αα=-(2)43-【分析】（1）化简得到，平方得到，得到答案. 1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=（2）根据得到，解得，得到答案.12sin cos 025αα=-<7sin cos 5αα-=4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】（1），则，()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5sin 4cos cos 1ααα+=-+，，，则；1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα=-（2），所以，即，， 12sin cos 025αα=-<2απ<<πsin 0α>cos 0α<. 7sin cos 5αα-===，解得， 7sin cos 51sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin tan s 43co ααα==-19．已知集合，. 14x A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭()(){}230B x x m x m =---<(1)若，求；3m =-A B ⋃(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若A B B = A B ⋂=∅_________，求实数的取值范围.m 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(),0A B ⋃=-∞(2)选①；若选②. (]{},73-∞-⋃[)2,-+∞【分析】(1)代入的值，求出集合B ，用并集的运算性质计算即可.m (2)若选①，即，则对的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到的取值A B B = B A ⊆m m 范围.若选②，对的值进行分类讨论，依次根据，求实数的取值范围. m A B ⋂=∅m 【详解】（1），即， ()36060m x x x =-⇒+<⇒-<<()6,0B =-而，即，所以； 441004444x x x x x x x -->⇒>⇒<⇒<-+++(),4A =-∞-(),0A B ⋃=-∞（2）若选①即A B B = B A ⊆时，，即，要满足题意则，与前提矛盾，舍； 3m >23m m >+()3,2B m m =+24m ≤-时，，即，符合题意；3m =23m m =+B =∅时，，即，要满足题意则，即.3m <23m m <+()2,3B m m =+34m +≤-7m ≤-综上所述，实数的取值范围是. m (]{},73-∞-⋃若选②，若，A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则，则满足，解得3m >23m m >+()3,2B m m =+A B ⋂=∅34m +≥-，则；7m ≥-3m >若时，，即，满足；3m =23m m =+B =∅A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则解得，即；3m <23m m <+()2,3B m m =+24,m ≥-2m ≥-23m -≤<综上，实数的取值范围是.m [)2,-+∞20．函数（，）在一个周期内的图象如图所示.()()sin f x A x =+ωϕ0,0A ω>>0πϕ<<(1)求的解析式； ()f x (2)将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：()f x 2π3()g x ()()()h x f x g x =-为偶函数.()h x 【答案】(1)()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，2,πA T ==2ω=π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z 结合题意得到，即可求得函数的解析式；23ϕπ=（2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可.()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）由最值得， 2A =由相邻两条对称轴距离得，则，即，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=此时，()()2sin 2f x x ϕ=+代入点得：，π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则，即， ()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ()2π2π3k k ϕ=+∈Z 又因为，所以， 0πϕ<<230,k πϕ==故.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意得， ()2π2π2π2sin 22sin 2333g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则， ()2π2π2sin 22sin 233h x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， ()()2π2π2π2π2sin 22sin 22sin 22sin 23333h x x x x x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以为偶函数.()h x 21．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单x C 位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与x ()()2005C x x x =>+安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. y (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； y x (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ x y 【答案】(1)[]11,20(2)设备占地面积为时，的值最小. 215m y【分析】（1）由题意解不等式，即可求得； 800.27.25x x ++≤（2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得. ()800.205y x x x =+>+要满足题意,则， 7.2y ≤即，解得：. 800.27.25x x ++≤1120x ≤≤即设备占地面积的取值范围为.x []11,20（2）， 805800.21117555x y x x x +=+=+--=++≥=当且仅当时等号成立. 5801555x x x +=⇒=+所以设备占地面积为时，的值最小. 215m y 22．已知函数，. ()()1222x x f x -=+()()1222x x g x -=-(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； ()f x [)0,∞(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实()()()2449F x fx mf x =-+m []20,log x m ∈()0F x ≥数的取值范围； m (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 0a ≥()()g x f x ()()1af x a +-【答案】(1)证明见解析 (2)(]1,3(3) ()()()()1g x af x a f x <+-【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围； m （3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小. 【详解】（1）解：， 120x x ∀>≥()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+ 2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为，所以，，所以， 120x x >≥12220x x ->1221x x +>()()120f x f x ->即在上是增函数.()f x [)0,∞+（2）解：由已知 ()2222244922x x x xF x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设，由（1）得在上单调递增，即，222xxt -+=()f x []20,log m 11,2m m t ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以， ()229044904494F x t mt mt t m t t⇔-+⇔+⇔+≥≥≤≤①时，，即，当且仅当时取等， m 1322m m +≥934t t+=≥32t =此时要满足恒成立，即；94m t t +≤min 934m t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≤3m ≤②，此时在上单调递减， 1m <<1322m m +<94y t t =+11,2m m ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即， min119,1222m m m m t ym m ++==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭此时要满足恒成立，即，化简得， 94m t t+≤min 1991422m m m t t m m +⎛⎫+=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭≤42910m m --≤此时因为，此时恒成立211m m <<⇒<<42910m m --≤综上所述，实数的取值范围是.m (]1,3（3）解：()()()()112222111222x xx x xxg x af x a a a f x -+---=-⋅-++ 2112222222111222222x xxxxx xxxx a a a ⎛⎫++ ⎪=--⋅=--⎪⎪++⎝⎭因为（当且仅当时取等），所以，即， 1222xx +≥0x =12212x x +≥122102x x+-≤由已知，所以， 0a ≥122102xx a ⎛⎫+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭≤又因为，所以，即，20x >220122xxx>+220122xxx-<+因此，所以. ()()()()122221101222xx x x x g x af x a a f x ⎛⎫+ ⎪---=--< ⎪⎪+⎝⎭()()()()1g x af x a f x <+-。

江苏省南京市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷(含答案)

চ.
故答案为：B.
【分析】先计算出茘 চ ，再代入函数从而求出茘茘. 4．【答案】B
6
【解析】【解答】解：由不等式性质可知，
充分性：若
ྦྷ
t t
，则有 x+y>3，故“
”是“ྦྷ t ”的充分条件，
取
x=-1，y=5，显然
x+y>3，但不满足
ྦྷ
t t
，故“
所以“
ྦྷ
t t
”是 “x+y>3”的充分不必要条件.
所以，ሻ ྦྷ茘 ྦྷ茘ሻ是偶函数，D 正确.
故答案为：D.
ྦྷ চ ྦྷ ，即 ྦྷ 为偶函
【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断，从而得出结论.
11．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：对于 A，
，当 চ 时，方程 ྦྷ
实数 a 的取值可以为 0，故 A 错误；
চ 无解，则 চ ；
对于 B，由题意可知：方程 ྦྷ ྦྷ চ 的解为ྦྷ চ ，ྦྷ চ ，且 a<0，
当 ྦྷ ，茘时，ྦྷ ，故答案为：B.
茘， ྦྷ ，茘，所以 ྦྷ茘 t ，故 A 错误，B 满足题意；
【分析】根据函数的奇偶性以及判断函数的单调性即可求解. 7．【答案】D
7
【解析】【解答】解：对任意的ྦྷ ，ྦྷ ，茘ྦྷ ྦྷ 茘，不妨设ྦྷ t ྦྷ ，则ྦྷ ྦྷ t ，又因为ྦྷ ྦྷ 茘 ྦྷ 茘 ྦྷ 茘 t ，所以 ྦྷ 茘 ྦྷ 茘 t ，则 ྦྷ 茘 t ྦྷ 茘，所以，函数 ྦྷ茘在，茘上为增函数，
，则茘茘 চ（）
ྦྷ ，ྦྷ t
A．1
B．3
C．
D．
4．“
”是“ྦྷ t ”的（）条件.
A．充要 C．必要且不充分

江苏省南京市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

【详解】因为集合，且，
所以，
故选：C
2.命题“ ”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】全称命题否定为特称命题即可
【详解】命题“ ”的否定是“ ”，
故选：C
3.已知，若，则的大小关系为（）
A.
B
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出的范围，即可判断的大小关系.
B.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C.将函数图象上所有点向左平移个单位．
D.将函数图象上所有点向左平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到
问题：是否存在正实数，使得“ ”是“ ”的________？
【答案】（1）
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】（1）先解不等式求出集合，再求出两集合的交集即可，
（2）若选择①，则从而可求出的范围，若选择②，则时，不成立，从而可得结果
【小问1详解】
由，得，解得，
所以，
当时，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知集合．
（1）当时，求；

2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题含答案

2021—2022学年第一学期质量检测高一年级数学试题班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. 下列函数中与y x =是同一函数的是（）（1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或36. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（） A. 1 B. 2C.4 D. 1或47. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD. sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（）A. 6B. 9C. 12D. 1812. 设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,1B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.17. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >．（1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若A B A =，求a 的取值范围．19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)πααπαππα⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-的值.20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1xf x x =+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值.23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2.（Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由.24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B2. 下列函数中与y x =是同一函数的是（）（1）2y x =（2）log x a y a =（3）log xa ay a =（4）33y x =（5）()n n y x n N +=∈A. （1）（2）B. （2）（3）C. （2）（4）D. （3）（5）【答案】C3. 某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（）A. 无症状感染者B. 发病者C. 未感染者D. 轻症感染者【答案】A4. 要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象 A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位【答案】B5. 已知函数22,0(),03x x f x x x +≤⎧=⎨<≤⎩，若()9f x =，则x 的值是（） A. 3 B. 9C. 1-或1D. 3-或3【答案】A6. 已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（） A. 1 B. 2C.4 D. 1或4【答案】C7. 已知函数2()8x f x e x x =-+，则在下列区间中()f x 必有零点的是( ) A. (－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,2)【答案】B8. 下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（）A. sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. sin 26xD.sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B9. 设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c大小关系为（）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D10. 设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，(2)0f -=，则xf (x )＜0的解集为（） A. (－1，0)∪(2，＋∞) B. (－∞，－2)∪(0，2) C. (－2，0)∪(2，＋∞)D. (－2，0)∪(0，2)【答案】C11. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,a b c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦----秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足10,8a b c +==，则此三角形面积的最大值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】C12. 设函数()()21ln 11f x x x =+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A13. 已知函数()()314,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）14. 552log 10log 0.25+=____________．【答案】15. 如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(]2∞－， 16. 已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－231617. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中3sin 5BAC ∠=，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．【答案】24:25三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18. 已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{1B x x =<-或5}x >．（1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若AB A =，求a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2- （2）()(),45,-∞-+∞19. 已知角á的终边经过点P 43(,)55-. （1）求sin á的值；（2）求sin tan()2sin()cos(3)ααπαππα-- ⎪⎝⎭+-的值. 【答案】（1）35；（2）54-. 20. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1x f x x =+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．【答案】（1）22,[0,1]1(),[1,0)1x x x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩（2）单调减函数，证明见解析21. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x 万件，其总成本为()G x 万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 满足29,05()2510,5x x x R x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨++>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()283,05257,5x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨+>⎪⎩（2）4万件22. 已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件： ①函数()f x 的周期为π；②3x π=是函数()f x 的对称轴；③7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）请任选其中二个条件，并求出此时函数()f x 解析式；（2）若,33x ∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最值. 【答案】（1）答案见解析，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最大值2；最小值2-. 23. 已知函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )2. （Ⅰ）求实数k 的值; （Ⅱ）若不等式1()02f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数1()2()241f x x x h x m +=+⋅-，2[0,log 3]x ∈，是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12，若存在请求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12k =（2）0a ≤（3）518m =- 24. 已知函数2()21f x ax x a =-+-（a 为实常数）．（1）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式：（2）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩；（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。

2020-2021学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若角α的终边经过点P（3，a）（a≠0），则（）A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜02．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）3．设实数x满足x＞0，函数y＝2+3x+的最小值为（）A．4﹣1B．4+2C．4+1D．64．已知a，b，m都是负数，且a＜b，则（）A．＜B．＜C．a+m＞b+m D．＞5．有一组实验数据如表所示：t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1v 1.5 4.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．v＝2t﹣2B．v＝C．v＝log0.5t D．v＝log3t6．若函数f（x）＝sin2x与g（x）＝2cos x都在区间（a，b）上单调递减，则b﹣a的最大值是（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）同时满足：①定义域内存在实数x，使得f（x）•f（﹣x）＜0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0；则称函数f（x）为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝sin x C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx二、多项选择题（共4小题）.9．关于函数f（x）＝tan2x，下列说法中正确的是（）A．最小正周期是B．图象关于点（，0）对称C．图象关于直线x＝对称D．在区间（﹣，）上单调递增10．已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sin（2x+），下列说法中正确的是（）A．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2B．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2C．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2D．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C211．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．据此，下列说法中正确的是（）A．若A⊆B，则A﹣B＝∅B．若B⊆A，则A﹣B＝AC．若A∩B＝∅，则A﹣B＝A D．若A∩B＝C，则A﹣B＝A﹣C12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝[x+1]﹣x，下列说法中正确的是（）A．f（x）是周期函数B．f（x）的值域是（0，1]C．f（x）在（0，1）上是增函数D．∀x∈R，[f（x）]＝0三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数y＝xα的图象过点，则实数α的值是．14．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝3a，则a的值为15．已知sin（α+）＝，则sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值为．16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M＝lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的倍（精确到1）．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A＝{x|＜1}，B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sin（π+α）cos（π﹣α）＝，且0＜α＜．（1）求cosα+cos（+α）的值；（2）求tanα的值．19．（12分）（1）计算：2+（0.125）+log9；（2）已知a＝log0.43，b＝log43，求证：ab＜a+b＜0．20．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|为R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）若不等式f（sin2x）+f（t﹣2cos x）≥0对任意x∈[，]恒成立，求实数t的最小值．21．（12分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式h＝A sin（ωt+）确定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，+∞）．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s．且最高点与最低点间的距离为10cm．（1）求小球相对平衡位置的高度h（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系；（2）小球在t0s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围．22．（12分）对于定义在D上的函数f（x），如果存在实数x0，使得f（x0）＝x0，那么称x0是函数f（x）的一个不动点．已知f（x）＝ax2+1．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的不动点；（2）若函数f（x）有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．①求实数a的取值范围；②设g（x）＝log a[f（x）﹣x]，求证：g（x）在（a，+∞）上至少有两个不动点．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．若角α的终边经过点P（3，a）（a≠0），则（）A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜0【分析】三角函数的定义可知：sinα＝符号不确定，cosα＝，由此能求出结果．解：∵角α的终边经过点P（3，a）（a≠0），∴由三角函数的定义可知：sinα＝符号不确定，故A，B圴错误；cosα＝，故C正确，D错误．故选：C．2．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）解：函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（x﹣1）的定义域为B，∴A＝{x|4﹣x2≥0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}．∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．故选：B．3．设实数x满足x＞0，函数y＝2+3x+的最小值为（）A．4﹣1B．4+2C．4+1D．6【分析】可看出x+1＞0，从而可得出，这样即可求出原函数的最小值．解：∵x＞0，∴x+1＞0，∴y＝2+3x+＝＝，当且仅当，即时等号成立，∴函数y＝2+3x+的最小值为4﹣1．故选：A．4．已知a，b，m都是负数，且a＜b，则（）A．＜B．＜C．a+m＞b+m D．＞解：对于A，由题意a＜b＜0，则＞，选项A错误；对于B，由a＜b，不等式两边同除ab，可得，即＜，选项B错误；对于C，由不等式的可加性可知，由a＜b，可得a+m＜b+m，选项C错误；对于D，由，所以＞，选项D正确．故选：D．5．有一组实验数据如表所示：t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1v 1.5 4.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．v＝2t﹣2B．v＝C．v＝log0.5t D．v＝log3t解：法一、从图表数据可知，随着t的变大，v变大，则函数为单调递增，且增加速度越来越快，∵A选项为线性增加的函数，C选项为递减函数，D选项为比线性增加较为缓慢的函数，∴排除选项A、C、D．故选：B．法二、取t＝4，对于A选项，v＝2×4﹣2＝6，故选项A错误；对于B选项，v＝＝7.5，故选项B可能正确；对于C选项，v＝log0.5t＝﹣2，故选项C错误；对于D选项，v＝log3t＝log34，故选项D错误．以上只有B选项最接近，故选：B．6．若函数f（x）＝sin2x与g（x）＝2cos x都在区间（a，b）上单调递减，则b﹣a的最大值是（）A．B．C．D．解：由题意函数f（x）＝sin2x在（，）上单调递减，函数g（x）＝2cos x在（0，π）上单调递减，则，，所以b﹣a的最大值为，故选：C．7．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由f（x）的解析式知f（x）为奇函数可排除A，然后计算f（π），判断正负即可排除B，C．解：∵f（x）＝，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）＝，因此排除B，C；故选：D．8．若函数f（x）同时满足：①定义域内存在实数x，使得f（x）•f（﹣x）＜0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0；则称函数f（x）为“DM函数”．下列函数中是“DM函数”的为（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝sin x C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx解：∵由①定义域内存在实数x，使得f（x）•f（﹣x）＜0的限制可知，定义域内需有正有负，且函数值有正有负，由②的限制可知，函数单调递增，对于A，f（x）＝x3的定义域内有正有负，函数值有正有负，函数单调递增，故A成立；对于B，f（x）＝sin x不是单调增函数，故B不成立；对于C，f（x）＝e x﹣1的值域中没有负数，故C不成立；对于D，f（x）＝lnx的定义域中没有负数，故D不成立．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9．关于函数f（x）＝tan2x，下列说法中正确的是（）A．最小正周期是B．图象关于点（，0）对称C．图象关于直线x＝对称D．在区间（﹣，）上单调递增解：由题意函数f（x）＝tan2x的最小正周期为，故选项A正确；由f（）＝0，故选项B正确；因为函数f（x）＝tan2x不存在对称轴，故选项C错误；因为x∈（﹣，），所以2x∈（﹣π，π），此区间不是函数y＝tan x的单调递增区间，故选项D错误；故选：AB．10．已知曲线C1：y＝sin x，C2：y＝sin（2x+），下列说法中正确的是（）A．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C2B．把C1向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C2C．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2D．把C1上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到C2解：变换方式一：由函数y＝sin x的图象可向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到y＝sin（2x+）；变换方式二：因为，所以由函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到y＝sin（2x+）．故选：BD．11．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．据此，下列说法中正确的是（）A．若A⊆B，则A﹣B＝∅B．若B⊆A，则A﹣B＝AC．若A∩B＝∅，则A﹣B＝A D．若A∩B＝C，则A﹣B＝A﹣C【分析】利用集合间的关系以及差集的定义对应各个选项逐个判断即可求解．解：由差集的定义可知，对于选项A，若A⊆B，则A中的元素均在B中，则A﹣B＝∅，故选项A正确；对于选项B，若B⊆A，则B中的元素均在A中，则A﹣B＝∁A B≠A，故选项B错误；对于选项C，若A∩B＝∅，则A、B无公共元素，则A﹣B＝A，故选项C正确；对于选项D，若A∩B＝C，则A﹣B＝∁A C＝A﹣C，故选项D正确；故选：ACD．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝[x+1]﹣x，下列说法中正确的是（）A．f（x）是周期函数B．f（x）的值域是（0，1]C．f（x）在（0，1）上是增函数D．∀x∈R，[f（x）]＝0解：由题意[x+1]＝，所以f（x）＝[x+1]﹣x＝，可得到函数f（x）是周期为1的函数，且值域为（0，1]，在（0，1）上单调递减，故选项A、B正确，C错误；对于选项D，[f（x）]＝1，所以选项D错误，故选：AB．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知幂函数y＝xα的图象过点，则实数α的值是．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得α的值．解：幂函数y＝xα的图象过点，则2α＝，α＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝3a，则a的值为4【分析】由分段函数求得f（0），再由分段函数解a的方程，可得a的值．解：f（x）＝，f（f（0））＝f（20+1）＝f（2）＝4+2a＝3a，解得a＝4，故答案为：4．15．已知sin（α+）＝，则sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值为．解：∵＝sin[]+sin2[]＝sin（α+）＝＝，故答案为：．16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M＝lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的32倍（精确到1）．【分析】由题意可得，分别令M＝7.5，M＝6求出对应的最大振幅，从而求出结果．解：由题意可得M＝lgA﹣lgA0＝，即，所以，当M＝7.5时，地震的最大振幅为；当M＝6时，地震的最大振幅为，所以＝，故答案为：32．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A＝{x|＜1}，B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由＜1，得＜0，所以A＝{x|﹣2＜x＜1}．B＝{x|2x2+（m﹣2）x﹣m＜0}＝{x|（x﹣1）（2x+m）＜0}．当m＝1时，B＝{x|﹣＜x＜1}．所以A∪B＝{x|﹣2＜x＜1}．（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A．若﹣＞1，不符合题意；若﹣＝1即m＝﹣2时，B＝∅，符合题意；若﹣＜1，则B＝{x|﹣＜x＜1}，所以﹣2≤﹣＜1，解得﹣2＜m≤4．综上，m∈[﹣2，4]．18．（12分）已知sin（π+α）cos（π﹣α）＝，且0＜α＜．（1）求cosα+cos（+α）的值；（2）求tanα的值．解：（1）因为sin（π+α）cos（π﹣α）＝sinαcosα，且sin（π+α）cos（π﹣α）＝，所以sinαcosα＝．（2分）故（cosα﹣sinα）2＝cos2α﹣2sinαcosα+sin2α＝1﹣2sinαcosα＝1﹣2×＝．（4分）又因为0＜α＜，所以cosα＞sinα，即cosα﹣sinα＞0，所以cosα﹣sinα＝．所以cosα+cos（+α）＝cosα﹣sinα＝．（6分）（2）法一：由（1）知sinαcosα＝，又因为sin2α+cos2α＝1，所以＝．因为0＜α＜，cosα≠0，所以＝，即tan2α﹣8tanα+1＝0，（9分）解得tanα＝4﹣或tanα＝4+．（10分）因为0＜α＜，所以0＜tanα＜1，所以tanα＝4﹣．（12分）法二：由（1）知因为0＜α＜，所以cosα＞sinα＞0，故，（10分）所以tanα＝＝4﹣．（12分）19．（12分）（1）计算：2+（0.125）+log9；（2）已知a＝log0.43，b＝log43，求证：ab＜a+b＜0．【分析】（1）利用对数的运算性质求解．（2）由函数y＝log0.4x的单调性可得ab＜0，由函数y＝log4x的单调性可得0＜+＜1，进一步得到ab＜a+b＜0．解：（1）原式＝5+[（2）﹣3]+log（）4＝5+4+4＝13．（2）证明：因为y＝log0.4x在（0，+∞）上递减，y＝log4x在（0，+∞）上递增，所以a＝log0.43＜log0.41＝0，b＝log43＞log41＝0，所以ab＜0，因为+＝log30.4+log34＝log3（0.4×4）＝log31.6，且y＝log3x在（0，+∞）递增，所以0＝log31＜log31.6＜log33＝1，即0＜+＜1，所以0＞ab（+）＞ab，即ab＜a+b＜0．20．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|为R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）若不等式f（sin2x）+f（t﹣2cos x）≥0对任意x∈[，]恒成立，求实数t的最小值．【分析】（1）由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），化简整理，结合恒等式的性质可得所求值；（2）求得求得f（x）是R上的单调增函数，原不等式化为t≥2cos x﹣sin2x对任意x∈[，]恒成立，令m＝cos x，结合余弦函数和二次函数的单调性，可得最值，即可得到所求最小值．解：（1）因为函数f（x）＝x|x﹣a|为R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x∈R成立，即（﹣x）•|﹣x﹣a|＝﹣x•|x﹣a|对任意x∈R成立，所以|﹣x﹣a|＝|x﹣a|，所以a＝0．（2）由f（sin2x）+f（t﹣2cos x）≥0得f（sin2x）≥﹣f（t﹣2cos x），因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（sin2x）≥f（2cos x﹣t）．由（1）得，f（x）＝x|x|＝是R上的单调增函数，故sin2x≥2cos x﹣t对任意x∈[，]恒成立，所以t≥2cos x﹣sin2x对任意x∈[，]恒成立．因为2cos x﹣sin2x＝cos2x+2cos x﹣1＝（cos x+1）2﹣2，令m＝cos x，由x∈[，]，得cos x∈[﹣1，]，即m∈[﹣1，]，所以y＝（m+1）2﹣2在[﹣1，]递增，可得最大值为，故t≥，即t的最小值为．21．（12分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h（单位：cm）由关系式h＝A sin（ωt+）确定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，+∞）．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s．且最高点与最低点间的距离为10cm．（1）求小球相对平衡位置的高度h（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系；（2）小球在t0s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围．【分析】（1）根据题意可求得A＝5，T＝2，由周期公式可求得ω，从而可得函数关系式；（2）由函数解析式可得当t＝时，小球第一次到达最高点，再由已知及函数的周期可得t0的取值范围．解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm，所以A＝＝5．因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s，所以周期为2，即T＝2＝，所以ω＝π．所以h＝5sin（πt+），t≥0．（2）由题意，当t＝时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，所以+49T≤t0＜+50T．因为T＝2，所以98≤t＜100，所以t0的取值范围为[98，100）．（注：t0的取值范围不考虑开闭）22．（12分）对于定义在D上的函数f（x），如果存在实数x0，使得f（x0）＝x0，那么称x0是函数f（x）的一个不动点．已知f（x）＝ax2+1．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的不动点；（2）若函数f（x）有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2．①求实数a的取值范围；②设g（x）＝log a[f（x）﹣x]，求证：g（x）在（a，+∞）上至少有两个不动点．【分析】（1）方程f（x）＝x可化为2x2+x﹣1＝0，求解即可．（2）①因为函数f（x）有两个不动点x1，x2，说明方程f（x）＝x，即ax2﹣x+1＝0的两个实数根为x1，x2，记p（x）＝ax2﹣x+1，则p（x）的零点为x1和x2，利用零点判定定理推出a（4a﹣1）＜0，求解即可．②说明p（x）＝0有两个不相等的实数根．设p（x）＝ax2﹣x+1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n．推出1＜m＜＜n＜．记h（x）＝a x﹣（ax2﹣x+1），判断1是g （x）的一个不动点．说明h（x）的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，利用函数的单调性，推出g（x）在（a，+∞）上至少有两个不动点．解：（1）当a＝﹣2时，f（x）＝﹣2x2+1．方程f（x）＝x可化为2x2+x﹣1＝0，解得x＝﹣1或x＝，所以f（x）的不动点为﹣1和．（2分）（2）①因为函数f（x）有两个不动点x1，x2，所以方程f（x）＝x，即ax2﹣x+1＝0的两个实数根为x1，x2，记p（x）＝ax2﹣x+1，则p（x）的零点为x1和x2，因为x1＜2＜x2，所以a•p（2）＜0，即a（4a﹣1）＜0，解得0＜a＜．所以实数a的取值范围为（0，）．（6分）②因为g（x）＝log a[f（x）﹣x]＝log a（ax2﹣x+1）．方程g（x）＝x可化为log a（ax2﹣x+1）＝x，即因为0＜a＜，△＝1﹣4a＞0，所以p（x）＝0有两个不相等的实数根．设p（x）＝ax2﹣x+1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n．因为函数p（x）＝ax2﹣x+1图象的对称轴为直线x＝，p（1）＝a＞0，＞1，p（）＝1＞0，所以1＜m＜＜n＜．记h（x）＝a x﹣（ax2﹣x+1），因为h（1）＝0，且p（1）＝a＞0，所以x＝1是方程g（x）＝x的实数根，所以1是g（x）的一个不动点．（8分）h（n）＝a n﹣（an2﹣n+1）＝a n＞0，因为0＜a＜，所以＞4，h（）＝a﹣1＜a4﹣1＜0，且h（x）的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，所以∃x0∈（n，），使得h（x0）＝0，（10分）又因为p（x）在（n，）上单调递增，所以p（x0）＞p（n）＝0，所以x0是g（x）的一个不动点，综上，g（x）在（a，+∞）上至少有两个不动点．（12分）。

南京市高一上学期数学期末考试试卷A卷(考试)

南京市高一上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，，则（）A . A∩B=∅B . A∪B=RC . B⊆AD . A⊆B2. （2分） (2016高一上·台州期中) 给出下列函数：①f（x）= ，g（x）=x+1；②f（x）=|x|，g（x）= ；③f（x）=x2﹣2x﹣1，g（t）=t2﹣2t﹣1．其中，是同一函数的是（）A . ①②③B . ①③C . ②③D . ②3. （2分）(2013·上海理) 若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A . 1：2B . 1：4C . 1：8D . 1：164. （2分）(2017·广西模拟) 直线y=x﹣1的斜率等于（）A . ﹣1B . 1C .D .6. （2分）已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A .B .C .D . 67. （2分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）A . y=sinxB . y=1g2xC . y=lnxD . y=﹣x38. （2分）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）设是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则10. （2分） (2019高二上·九台月考) 若方程表示一个圆，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）直线l：y=kx－3k与圆C：－4x=0的位置关系是（）A . l与C相交B . l与C相切C . l与C相离D . 以上三个选项均有可能12. （2分） (2016高三上·大连期中) 公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2016高一上·天水期中) 已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，则f（1）=________；f （x）=________．14. （1分）(2017·柳州模拟) 已知圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆M的方程为（x﹣3﹣3cosθ）2+（y ﹣3sinθ）2=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为________．15. （1分）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是________ ．16. （1分） (2016高一上·苏州期中) 不等式恒成立，则a的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共35分)18. （15分）已知函数f（x）=lg（mx﹣2x）（0＜m＜1）．（1）当m= 时，求f（x）的定义域；（2）试判断函数f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性并给出证明；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣1]上恒取正值，求m的取值范围．19. （5分）已知平面α，β，直线l，且α∥β，l⊄β，且l∥α，求证：l∥β20. （5分）已知圆C1：（x+3）2+（y+4）2=4（1）求与圆C1关于原点对称的圆C2的方程；（2）求圆C1与圆C2的外公切线的方程．21. （5分） (2018高一上·吉林期末) 已知函数，当时，恒有．当时，．（Ⅰ）求证：是奇函数；（Ⅱ）若，试求在区间上的最值；（Ⅲ）是否存在，使对于任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共35分) 18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、。