第2章 可靠性基本概念与表示

解： 已知 n 100
ns (100) 100 n f (100) 1 t 5h
n f (t ) ˆ (t ) ns (t ) t ˆ(100) 1 0.2% / h ns (100) t 100 5
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n f (100)


已知
n f (t ) ˆ f (t ) n t n f (100) 1 ˆ f (100) 0.2% / h n t 100 5
ns (1000 ) 100 51 49 n f (1000 ) 1 t 1005 1000 5h
n f (t ) ˆ (t ) ns (t ) t n f (1000 ) 1 ˆ (1000 ) 0.4% / h ns (1000 ) t 49 5
R(t ) e o
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( t ) dt
t

R( t ) e
t
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(2)失效率与不可靠度（故障概率）的关系
R(t ) e 0
( t ) dt
t
R(t ) 1 F (t )
F (t ) 1 e 0
( t ) dt
t
（3）失效率与故障概率密度的关系
dF (t ) 1 dr (t ) f (t ) dt N 0 dt
dr (t ) dr (t ) N0 (t ) f (t ) (t ) N s (t )dt N0 (t )dt N s (t ) R(t )
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dF (t ) dR(t ) f (t ) dt dt dR(t ) (t )dt R(t )
Introduction to Reliability_Conception & Parameter
2
2.1可靠性基本概念
产品可靠性的研究，首先是对产品对象有深入 的了解，即产品的组成、各环节及其相互影响， 掌握产品可能的失效原因、失效过程、产品的 薄弱环节与潜在因素。 产品的结构与系统分析是产品可靠性分析的基 础，是研究可靠性的必要条件，是取得可靠性 分析的关键。 在分析产品特性结构的基础上，如何用可靠性 的观点分析、表示以及如何计算可靠性给出结 果是可靠性分析的重要步骤
f (t ) f (t ) (t ) R(t ) 1 F (t )
F (t ) f (t )dt
0
t
(t )
f (t ) 1 f (t )dt
0 t
问题
故障率是概率值么？ 故障率有量纲么？ 故障率和累计故障以及概率密度函数之间 有什么关系？
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可靠性基本概念与表示
Introduction to Reliability Conception
苏州大学城市轨道交通学院
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主要内容
可靠性基本概念 可靠性特征量
可靠度函数 不可靠度函数 概率密度函数 故障率 可靠性的寿命特征值
常用失效分布
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t ( t ) dt ln R ( t ) | 0 0 ( t ) dt
0
t
R(t ) e

t
此即可靠度与故障率函数的关系式。
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2.2.5 可靠性的寿命特征 产品的寿命是反映产品可靠性的时间指标，衡量
产品可靠性的一种尺度。
平均寿命θ ，可靠寿命Tr,特征寿命 Te 和中位寿命
早期 故障
偶然故障
耗损故障
t
产品典型的故障率、可靠度和密度函数曲线
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失效率的常用单位有%/小时，%/千小时，菲特等。其中
菲特是故障率的基本单位。
对于低故障率的元部件常以10-9/h为故障率的单位，称之为 菲特(Fit)
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故障率与可靠度、故障密度函数的关系
（1）失效率与可靠度的关系
0
障前时间（用符号 TTF 表示）为：
TTF
1 N0
t
i 1

N0
i
当 N 0 趋向无穷时， TTF 为产品故障时间这一随机变 量的数学期望，因此，
TTF tf (t )dt
N 0 r (t ) R(t ) N0
式中：N 0 ——t=0时，在规定条件下进行工作的产品数； r(t) ——在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数 （产品故障后不予修复）
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上式中：Ns(t) = N 0– r(t)
而故障密度函数
r (t ) F (t ) 1 R(t ) N0
dr(t ) dr(t ) N 0 (t ) f (t ) (t ) N s (t )dt N 0 (t )dt N s (t ) R(t )
由于 f (t ) dR (t )
dt
，所以
dR(t ) (t )dt R (t )
t ( t ) dt ln R ( t ) | 0 0 t
R(t ) F (t ) 1
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可靠度函数与累积故障分布函数的性质
R(t ) 与 F (t )
的性质如下表 所示：
R(t )
F (t )
取值范围 单调性 对偶性
[0，1] 非增函数
1 F (t )
[0，1] 非减函数
1 R(t )
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2.2.3 故障（失效）概率密度函数f(t)
从成/败的角度来看，可靠度与系统寿命相关，且是一个 以时间为坐标的质量特征。用来度量可靠度的随机变量为 故障时间T(R.V.)。如果假设T是连续的，那么故障时间 随机变量就有概率密度函数f(t)
F (t ) f (t )dt
0
t
f (t ) dF (t )
F (t t ) F (t ) f (t ) dt
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由密度函数的性质


0
f (t )dt 1 可知：
t 0 t
R(t ) 1 F (t ) 1 f (t )dt f (t )dt
因此， R(t ) 、 F (t ) 与 f (t ) 之间的关系如图所示。
f(t)
f(t) R(to) F(to)
上式反映t时刻失效（故障）的速率，称为瞬时失效（故障）率。 由条件概率
P(t T t t ) P(t T t t T t ) P(T t )
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故障率公式推导

P(t T t t ) (t ) lim t 0 P(T t )t F (t t ) F (t ) lim R(t ) t dF (t ) 1 f (t ) R(t ) dt R(t ) R(t ) R(t )
6
2.2 可靠性特征量
2.2.1可靠度及可靠度函数
产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功
能的概率称为可靠度。依定义可知，可靠度函数 R(t)
为：
R(t ) P(T t )
N 0 r (t ) N s ˆ R(t ) N0 N0
式中 N0 — t = 0时，在规定条件下进行工作的产品数； r(t) — 在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数。
to
图 R(t)、F(t)与f(t)关系
t
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2.2.4 故障率及故障率函数
故障及其分类 产品或产品的一部分不能或将不能完成预定功能的 事件或状态，称之为故障。 故障的表现形式，叫做故障模式。
引起故障的物理化学变化等内在原因，叫做故障机理。
不可修产品（如电子元器件）：失效
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故障率的工程计算
可按下式进行工程计算：
r(t ) (t ) N s (t )t
故障率
间隔时间内的故障数 间隔起点的存活数 时间间隔
式中r (t ) —— t 时刻后， t 时间内故障的产品数；
t ——所取时间间隔；
N s (t ) ——残存产品数。
故障率是指故障数除以单位时间再除以t时刻未发生故障的
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可靠性主要特征量之间的函数关系
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课堂练习题
写出故障率、可靠度及故障密度函数的定义，推导 出三者的关系式，并最终推导出可靠度与故障率函 数的关系式。
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dr (t ) (t ) N s (t )dt
式中：λ(t）——故障率； dr(t) ——t时刻后，dt时间内故障的产品数； Ns(t) ——残存产品数，即到t时刻尚未故障的产品数。
产品的故障按其故障的规律可以分为两大类：
偶然故障 渐变故障
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2.2.4 故障率及故障(失效）率函数 故障率
工作到某时刻尚未发生故障的产品，在该时刻后单 位时间内发生故障的概率，称之为产品的故障率。 用数学符号表示为：
dr(t ) (t ) N s (t )dt
产品数。因此，它是故障的一个相对比率，与样本量无关。
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例2-1 有100件电子产品进行寿命试验，在时间为100h前
没有失效，在100~105h时间内失效1件，到1000h前共 失效51件。而在1000~1005h之间只失效1件。请分别求
出100h与1000h的故障概率密度与失效率。
(t )
使用寿命 规定的 故障率 A B 维修后故障 率下降 早期 故障 偶然故障 图 产品典型的故障率曲线
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耗损故障
t
人类健康的曲线
(t )
为革命健康工作五十年 A B
年幼体弱
年富力强 图 人类典型的健康曲线
年老体衰
t
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R(t)
(t )
f(t)
1
T0.5
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1、平均寿命θ （Mean Life) 定义：产品寿命的平均值
设产品寿命T的故障概率密度函数为f(t)
则均值为：
E (T ) tf (t )dt
0
R(t )dt
0

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MTTF（Mean Time To Failure
Ns——剩余产品数
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2.2.2累积故障概率（不可靠度）
产品在规定的条件下和规定的时间内，丧失规定
功能的概率称为累积故障概率（又叫不可靠度）。
依定义可知，产品的累积故障概率是时间的函数，
即
F (t ) P(T t )
显然，以下关系成立：
r (t ) ˆ F (t ) N0
式中 (t ) ——故障率； dr(t ) ——t 时刻后，dt 时间内故障的产品数； N s (t ) —残存产品数，即到t 时刻尚未故障的产品数。
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故障率公式的推导——用条件概率的概念
t时刻尚未失效的产品在t~t+Δt单位时间内发生失效的条件概
率
1 (t ) lim P(t T t t T t ) t 0 t
―失效前平均工作时间”，指该产品从开始使用到失效前
的工作时间（或工作次数）的平均值 MTBF（Mean Time Between Failures 到下一次故障发生前无故障工作时间的平均值。
―平均无故障工作时间”，平均故障间隔指一次故障发生后
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平均故障前时间(MTTF)
设 N 0 个不可修复的产品在同样条件下进行试 验，测得其全部故障时间为 t1 , t2 ,, tN 。其平均故
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2.1可靠性基本概念
可靠性 产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。 产品可靠性定义的要素是三个“规定”: “规定条件”、“规定时间”、“规定功能”
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Introduction to Reliability Engineering_Conception
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ˆ (t ) f
n f (t ) n t

n f (1000 ) 1 ˆ f (1000 ) 0.2% / h n t 100 5
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产品故障浴盆曲线 浴盆曲线
大多数产品的故障率随时间的变化曲线形似浴盆，称之 为浴盆曲线。由于产品故障机理的不同，产品的故障率 随时间的变化大致可以分为三个阶段：