随机信号的分析
通信原理第2章-随机信号分析
1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:
随机信号分析实验报告
实验一 随机噪声的产生与性能测试一、实验内容1．产生满足均匀分布、高斯分布、指数分布、瑞利分布的随机数,长度为N=1024，并计算这些数的均值、方差、自相关函数、概率密度函数、概率分布函数、功率谱密度，画出时域、频域特性曲线; 2．编程分别确定当五个均匀分布过程和5个指数分布分别叠加时,结果是否是高斯分布; 3．采用幅度为2, 频率为25Hz 的正弦信号为原信号,在其中加入均值为2 ， 方差为0.04 的高斯噪声得到混合随机信号()X t ，编程求 0()()tY t X d ττ=⎰的均值、相关函数、协方差函数和方差，并与计算结果进行比较分析。
二、实验步骤 1.程序N=1024； fs=1000； n=0:N —1;signal=chi2rnd （2，1，N); ％rand(1,N)均匀分布 ,randn(1,N ）高斯分布，exprnd(2,1，N ）指数分布,raylrnd （2，1,N)瑞利分布，chi2rnd(2，1，N ）卡方分布 signal_mean=mean(signal ）； signal_var=var （signal ）；signal_corr=xcorr(signal,signal ，'unbiased ’)； signal_density=unifpdf(signal ，0，1); signal_power=fft(signal_corr); ％[s,w]=periodogram （signal); [k1,n1］=ksdensity(signal)；[k2,n2］=ksdensity （signal,’function ’，'cdf ’）; figure ；hist(signal)；title （’频数直方图’）; figure ；plot （signal)；title(’均匀分布随机信号曲线’）; f=n ＊fs/N ； ％频率序列 figure;plot(abs （signal_power)）; title('功率幅频’); figure;plot(angle （signal_power)）； title （'功率相频'); figure;plot （1:2047,signal_corr)； title （'自相关函数’）; figure;plot(n1，k1）；title('概率密度’）；figure；plot(n2,k2);title（'分布函数’)；结果（1）均匀分布(2）高斯分布（3）指数分布（4)瑞利分布（5）卡方分布2.程序N=1024；signal_1=rand(1,N);signal_2=rand(1，N）；signal_3=rand(1,N);signal_4=rand（1，N）;signal_5=rand(1,N)；signal=signal_1+signal_2+signal_3+signal_4+signal_5; [k1,n1］=ksdensity(signal）；figure(1）subplot(1，2，1）;hist(signal);title（'叠加均匀分布随机数直方图');subplot(1,2，2);plot（n1,k1）；title(’叠加均匀分布的概率密度'）；结果指数分布叠加均匀分布叠加结果：五个均匀分布过程和五个指数分布分别叠加时，结果是高斯分布。
随机信号分析与处理
一、基本概念1、随机过程随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，不能预测它未来任何瞬时的精确值，任一次观测值只代表在其变动范围内可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
随机信号的描述必须采用概率和统计学的方法。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。
在有限时间区间上的样本函数称为样本记录。
在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，以{x(t)}表示，即2、随机信号类型3、平稳随机过程平稳随机过程就是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。
例如，对某一随机过程的全部样本函数的集合选取不同的时间t进行计算，得出的统计参数都相同，则称这样的随机过程为平稳随机过程，否则就是非平稳随机过程。
如采样记录的均值不随时间变化4、各态历经随机过程若从平稳随机过程中任取一样本函数，如果该单一样本在长时间内的平均统计参数(时间平均)和所有样本函数在某一时刻的平均统计参数(集合平均)是一致的，则称这样的平稳随机过程为各态历经随机过程。
显然，各态历经随机过程必定是平稳随机过程，但是平稳随机过程不一定是各态历经的。
各态历经随机过程是随机过程中比较重要的一种，因为根据单个样本函数的时间平均可以描述整个随机过程的统计特性，从而简化了信号的分析和处理。
但是要判断随机过程是否各态历经的随机过程是相当困难的。
一般的做法是，先假定平稳随机过程是各态历经的，然后再根据测定的特性返回到实际中分析和检验原假定是否合理。
由大量事实证明，一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。
虽然有的不一定是严格的各态历经过程，但在精度许可的范围内，也可以当作各态历经随机过程来处理。
事实上，一般的随机过程需要足够多的样本(理论上应为无限多)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。
在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。
随机信号分析
第9章 随机信号分析随机信号和确定信号是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分析和处理方法也不相同。
随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的，无法预测未来某时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
随机信号分为平稳和非平稳两类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
本章所讨论的随机信号是平稳的且是各态历经的。
在研究无限长信号时，总是取某段有限长信号作分析。
这一有限长信号称为一个样本（或称子集），而无限长信号x(t)称为随机信号总体（或称集）。
各态历经的平稳随机过程中的一个样本的时间均值和集的平均值相等。
因此一个样本的统计特征代表了随机信号总体，这使得研究大大简化。
工程上的随机信号一般均按各态历经平稳随机过程来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
随机信号序列可以是连续随机信号的采样结果，也可以是自然界里实际存在的物理现象，即它们本身就是离散的。
平稳随机过程在时间上是无始无终的，即其能量是无限的，本身的Fourier 变换也是不存在的；但功率是有限的。
通常用功率谱密度来描述随机信号的频域特征，这是一个统计平均的频谱特性。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(n)无限长，而实际上这是不可能的，只能用一个样本，即有限长序列来计算。
因此得到的计算值不是随机信号真正的统计值，而仅仅是一种估计。
本章首先介绍随机信号的数字特征，旨在使大家熟悉描述随机信号的常用特征量。
然后介绍描述信号之间关系的相关函数和协方差。
这些是数字信号时间域内的描述。
在频率域内，本章介绍功率谱及其估计方法，并给出了功率谱在传递函数估计方面的应用。
最后介绍描述频率域信号之间关系的函数---相干函数。
9.1 随机信号的数字特征9.1.1 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)均值可表示为： []⎰∞→==TT x dt t x Tt x E 0)(1)(limμ （9-1）均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随时间而变化。
随机信号分析李晓峰
随机信号分析李晓峰引言随机信号分析是一门研究信号及其性质的学科，其在现代通信、图像处理、生物医学工程等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍随机信号分析的基本概念、常见的分析方法以及李晓峰教授在随机信号分析领域的研究成果。
随机信号的定义随机信号是指在某个时间段内具有随机性质的信号。
其特点是信号的取值在时间和幅度上都是不确定的，只能通过概率统计的方法来描述。
一个随机信号可以用一个概率密度函数来描述其取值的分布情况。
随机信号有两种基本的分类方式：离散随机信号和连续随机信号。
离散随机信号是在离散的时间点上进行取样的信号，连续随机信号则是在连续的时间上变化的信号。
随机信号分析方法统计特性分析统计特性分析是随机信号分析的基本方法之一，它通过对信号进行统计分析，从而得到信号的数学特性。
常见的统计特性包括均值、方差、自相关函数和谱密度等。
均值是衡量随机信号集中程度的一个指标，它表示信号的中心位置。
方差则用来衡量信号的离散程度，方差越大表示信号的波动性越大。
自相关函数描述了信号在不同时间点之间的相关性，而谱密度则表示信号在不同频率上的能量分布情况。
概率密度函数分析随机信号的概率密度函数描述了信号取值的概率分布情况。
常见的概率密度函数包括高斯分布、均匀分布和指数分布等。
高斯分布是最常用的概率密度函数之一，其形状呈钟型曲线，具有对称性。
均匀分布则表示信号的取值在一个区间上是均匀分布的，而指数分布则表示信号的取值在一个时间段内的分布服从指数规律。
谱分析谱分析是通过对随机信号进行频域分析来研究其频率成分的分析方法。
常见的谱分析方法有功率谱密度分析和相关函数分析。
功率谱密度分析可以用来分析信号在不同频率上的能量分布情况，通过功率谱密度分析可以得到信号的频谱图。
相关函数分析则是通过对信号进行自相关操作，得到信号的相关函数，从而分析信号在不同频率上的相关性。
李晓峰教授的研究成果李晓峰教授是我国著名的随机信号分析专家，他在随机信号分析领域做出了许多重要的研究成果。
随机信号分析
随机信号分析随机信号是在时间或空间上具有随机性质的信号，其数学模型采用随机过程来描述。
随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其应用广泛涉及通信、控制、电力系统等领域。
本文将从随机信号的基本特性、常见的随机过程以及随机信号分析的方法等方面进行阐述。
随机信号的基本特性包括：平均性、相关性和功率谱密度。
首先，平均性是指随机信号的统计平均等于其数学期望值。
随机信号的平均性是通过计算信号在一定时间或空间范围内的平均值来描述的。
其次，相关性是指随机信号在不同时刻或不同空间位置上的取值之间存在一定程度的相关性。
相关性可以描述信号之间的相似度和相关程度，常用相关函数来表示。
最后，功率谱密度是用来描述信号在频域上的分布特性，它表示了随机信号在不同频率上所占的功率份额。
随机信号的常见模型主要有白噪声、随机行走、随机震荡等。
其中，白噪声是指功率谱密度在整个频率范围内均匀分布的信号，其在通信领域中应用广泛。
随机行走模型是一种随机过程，它描述了随机信号在不同时刻之间的步长是独立同分布的。
随机震荡模型是一种具有振荡特性的随机过程，常用于描述具有周期性或周期性变化的信号。
对于随机信号的分析方法，主要包括时间域分析和频域分析两种。
时间域分析是通过观察信号在时间上的波形和变化规律来分析随机信号的特性，常用的方法有自相关函数和互相关函数等。
频域分析是将信号转换为频率域上的功率谱密度来分析信号的频谱特性，常用的方法有傅里叶变换和功率谱估计等。
在实际应用中，随机信号的分析对于信号处理和系统设计具有重要意义。
在通信系统中，随机信号的噪声特性是衡量系统性能的关键因素之一，因此通过对随机信号的分析可以有效地优化通信系统的传输质量。
此外，在控制系统和电力系统中，随机信号的分析也能帮助我们进行系统建模和性能预测，从而实现系统的稳定性和可靠性。
综上所述，随机信号的分析是信号与系统理论中的重要内容，其对于各个领域的应用具有重要的意义。
通过对随机信号的基本特性、常见的随机过程以及分析方法的了解，可以为我们深入理解和应用随机信号提供帮助。
随机信号分析罗鹏飞
2 | | 0 R X ( ) lim X e
∴mX =0
2 |0| X
X
X
0 rX ( )d e 0
0
| |
1 1 d e |0
(2)
m X lim R X ( ) lim (1 | |) 0
可算出线性变换矩阵的秩r(L)=3，且 X=[X1,X2, X3]T 的协方差阵为单位矩阵I，易知Y服从三维 正态分布，Y的均值为mY=Lm =O，协方差阵为
LKLT 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 0 2 1 0 0 2 1 0 1 0 2 6 0 0 1 1 0 3 1 6 1 6 2 6 1 6 1 6 2 6 1 3 1 3 1 3
2.4 设随机过程 X (t) = b + Nt，已知 b为常量， N 为正态随机变量，其均值为 m，方差为σ2。 试求随机过程X(t)的一维概率密度及其均值和 方差。 解：∵ N 为正态随机变量,∴X(t)也是正态随 机变量。
2.13 已知随机过程 X (t ) = cosΩt ，其中Ω为均 匀分布于 (ω1,ω2)中的随机变量。试求： (1)均值为mX (t) ； (2)自相关函数 RX (t1, t2) 。 1 解：Ω的概率密度函数为： f () 2 1 (1)均值：mX (t) =E{X(t)} costf ()d 2 1 1 2 sin t |1 cost d 1 (2 1 ）t 2 1 sin 2 t sin 1t (2 1 ）t
m
m jm m jm a e a e m 0
随机信号分析
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精确值的信号，也无法用实验的方法重复再现。
换言之，随机信号是指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。
其统计特性：概率分布函数、概率密度函数。
统计平均：均值、方差、相关。
随机信号分为平稳和非平稳两大类。
平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。
1） 各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。
2） 平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。
注：各态历经信号一定是随机信号，反之不然。
工程上的随机信号通常都按各态历经平稳随机信号来处理。
仅在离散时间点上给出定义的随机信号称为离散时间随机信号，即随机信号序列。
平稳随机信号在时间上的无限的，故其能量是无限的，只能用功率谱密度来描述随机信号的频域特性。
1. 随机信号的数字特征 均值、均方值、方差若连续随机信号x(t)是各态历经的，则随机信号x(t)的均值可表示为：⎰→∞==TT x dt t x Tt x E 0)(1lim)]([μ均值描述了随机信号的静态分量（直流）。
随机信号x(t)的均方值表达式为：dt t x TTT x)(1lim22⎰→∞=ψ2xψ表示信号的强度或功率。
随机信号x(t)的均方根值表示为：⎰→∞=T T x dt t x T 02)(1limψ x ψ也是信号能量的一种描述。
随机信号x(t)的方差表达式为：⎰-==-→∞Tx T x x dx t x Tx E 0222])([1lim])[(μσμ2xσ是信号的幅值相对于均值分散程度的一种表示，也是信号纯波动分量（交流）大小的反映。
随机信号x(t)的均方差（标准差）可表示为⎰-=→∞T x T x dx t x T 02])([1limμσ 它和2x σ意义相同。
平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(t)无限长，而实际上只能用一个样本即有限长序列来计算。
第三章 随机信号分析
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
《随机信号的谱分析》课件
七、参考文献
• 李子元（2008）《随机信号分析与处理》 • 谢钊勇、张晨（2013）《信号与系统》 • 陈红兵（2015）《谱分析与信号处理》
三、谱分析方法
周期图法
详细讲解周期图法的 原理和计算步骤，以 及其在周期信号谱分 析中的应用。
帕斯瓦尔定理
介绍帕斯瓦尔定理的 概念和推导过程，以 及在信号谱分析中的 应用。
窗函数法
讨论窗函数法的原理 和选择方法，以及窗 函数在谱分析中的作 用。
特征函数法
解释特征函数法的原 理和使用方法，以及 特征函数在信号谱估 计中的优点。
2
频率识别
讨论谱分析在频率识别与测量中的作用，如频谱分析、频率响应估计等。
3
信号分析
探讨谱分析在信号处理和系统分析中的重要性，如频率响应、滤波器设计等。
六、总结
谱分析的优缺点
归纳谱分析方法的优缺点，如计算复杂、频率 分辨率等方面的考量。
发展趋势
展望谱分析技术的发展方向，如自适应谱估计、 小波分析等新兴技术的应用。
四、谱线的特征
频率 幅值 相位
解释频率在信号谱分析中的含义和重要性，以及 频率对信号特征的影响。
探讨幅值在谱线中的意义和变化规律，以及幅值 与信号能量的关系。
讲解相位在谱线中的作用和计算方法，以及相位 对信号重构和滤波的影响。
五、应用
1
信号检测
介绍谱分析在信号检测与识别中的应用，如噪声分析、信号特征提取等。
《随机信号的谱分析》 PPT课件
随机信号的谱分析是一门重要的信号处理技术，通过研究信号在频率域的特 性，可以揭示信号的随机性质和展现信号的能量分布规律。
一、引言
随机信号的定义
介绍随机信号的基本概念和特性，以及与确定信号 的区别。
通信原理——随机信号分析
x(fx)dxE(X)
称为随机变量X的数学期望，又称均值。用E(X)表 示。 ▪ 方差 设X为一随机变量，则：
E{[X-E(X)]2}＝D(X) 称为随机变量X的方差，用D(X)表示。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ 协方差 设X，Y为两随机变量，则： E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 二维概率分布函数及概率密度函数 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成 一个二维随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，则 F2(x1,x2; t1,t2)=P[ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2] 称为随机过程ξ(t)的二维概率分布函数。
f(x) dF(x) dx
( 导数关系 )
则函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ ▪ 设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设X和 Y是定义在S上的两个随机变量，则由X和Y构成的 向量(X, Y)，叫做二维随机变量/向量。 ▪ 设 (X, Y) 是二维随机变量，对于任意实数x, y，二 元函数： F(x,y)= P{X≤x ,Y≤y} 称为二维随机变量(X, Y) 的概率分布函数。
▪ 相关系数 设X，Y为两随机变量，则： covX(,Y) XY D(X) D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数。
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 随机过程： 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间 波形(称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现 的结果的总体 {x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机 过程，记作ξ(t)。 简言之，无穷多 个样本函数的总 体叫做随机过程， 如图所示。
随机信号分析第1章-随机变量与随机向量
（1）从盒子中任意选取一电阻器作为R的实验中， 样本空间S及其各基本实验结果出现的概率。
（2）经过分压器变换之后，随机变量V的值域空间
Rv和各基本结果的概率。
阻值（ ） 电阻器个数
500
100
30
200
40
+
12V
r0
R
V
E
_
500
15
1000
15
4
解（1）基本可能结果有4个，
s1 (R 100 ), s2 (R 200 ), s3 (R 500 ), s4 (R 1000 )
❖ 例 一个电子服务系统为5个用户服务。若一个用户 使用系统时，系统输出功率为0.6W，而且各用户 独立使用系统，使用概率均为0.3。
（1）求电子服务系统输出功率的概率；
（2）系统输出大于2W时，系统过载，求其过载概 率。
解（1）设输出功率为X，与使用系统的用户数有 关，且X=0.6K ,K取0，1，2，3，4，5，则输出功 率也相应的为0W，0.6W，1.2W，1.8W，2.4W， 3.0W 。输出功率X的概率等于使用系统的用户数K 的概率。在该系统中，使用的用户数K是一个二项 式分布的随机变量。
求（1）X的分布函数F(x);
（2） PX 1
解（1）
x
F (x) f ( )d
F (x) x 1e d 1 ex
2
2
x0
F (x) 0 1e d x 1e d 1 1 ex
2
02
2
（2）P X 1 1exdx 1 e1
12
2
x0
12
❖ 离散型随机变量的概率密度函数和分布函数
（3）F(x,y)是x，y的单增函数。
随机信号的分析
第2章 信号分析基础
任意给定两个固定时刻 t 1、t 2 ，则由 (t1)和 (t2 ) 构成一个二维随机变量 (t1),(t2)，若
F 2 x 1 ,x 2 ; t 1 , t 2 P 2 t 1 x 1 , t 2 x 2 （2-48）
成立，则称之为随机过程 (t ) 的二维分布函数。
对N个随机变量 x t1 ,x t2,.x .tN .,，若有
（2-51）
f N ( x 1 , x 2 , , x N ; t 1 , t 2 , , t N ) f 1 ( x 1 , t 1 ) f 2 ( x 2 , t 2 ) f N ( x N , t N ) （2-52）
则称这些随机变量是统计独立的或不相关的。
清华大学出版社
刻的随机变量的集合则为随机过程；随机变量是 一个实数值的集合，而随机过程是时间函数的集 合。
研究随机变量或随机过程的关键是研究其统
计特征，这不仅简单明了，而且直接反映信号的
变化规律。
概率分布
概率密度函数(pdf)
统计特征
数字特征
分布函数 数学期望(均值) 方差
相关函数
第2章 信号分析基础
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
解：（1）由 pdf函数知，这是一个 a、0 的2标1准
正态分布，故其直流电平为 a。0
（2）由于方差 2就是信号的交流功率，故信号的平均 功率为1(W)。
随机过程的一维分布函数或一维概率密度函 数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特 性或概率分布，并未说明在不同时刻取值之间的 内在联系，为充分描述随机过程，需进一步引入 二维分布函数和二维概率密度函数。
D E 2 E 2 （2-60）
随机信号分析基础
1
x 2 (t )
0
t1
x 2 (t1 )
τ
x n (t ) x n (t1 )
x n (τ )
0
t1
τ
t
图 2.2.2 随机信号的 N 次记录 接下来考虑随机信号精确的数学描述。 如图 2.2.2 ， 对一个信号进行了 N 次记录 ( N 次 试 验 )， 得 到 N 个 随 时 间 变 化 的 函 数 (即 每 次 记 录 都 是 时 间 的 函 数 )， 记 为
第二章 随机信号分析基础 ........................................................................................... 25 § 2. 1 概述 ............................................................................................................. 25 § 2. 2 随机信号的概率结构 ................................................................................... 28 § 2. 2. 1 概率论基本概念 ............................................................................... 29 § 2. 2. 2 随机信号有限维概率密度及数字特征 ............................................. 32 § 2. 3 随机信号的平稳性 ...................................................................................... 34 § 2. 4 离散随机信号和复随机信号 ....................................................................... 37 § 2. 4. 1 离散时间随机信号及其数字特征 .................................................... 37 § 2. 4. 2 复随机信号 ...................................................................................... 39 § 2. 5 随机信号的遍历性 ...................................................................................... 40 § 2. 5. 1 总集意义上的数字特征与时间意义上的数字特征 .......................... 40 § 2. 5. 2 平稳随机信号的遍历性 .................................................................. 41 § 2. 6 平稳随机信号的功率谱密度 ....................................................................... 43 § 2. 6. 1 维纳 — 辛钦定理 ............................................................................... 44 § 2. 6. 2 功率谱密度的性质 ........................................................................... 45 § 2. 6. 2 离散随机序列的功率谱密度 ............................................................ 47 § 2. 7 几种常见的随机信号 ................................................................................... 49 思考题 .................................................................................................................... 52 习 题 .................................................................................................................... 53
随机信号分析 第二章随机信号概论
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
随机信号分析-随机信号
2.4 多维高斯分布与高斯信号
93/90
2.4 多维高斯分布与高斯信号
例4：给定R.S.{X (t),t 0}, X (t) X0 Vt, t 0
其中（ V ）~ X0
N
r (u,
r c)
N
0 0
1 0
0
1
V ~ N (0,1) X 0 ~ N (0,1)
r 其中u
E[ X (t1) X *(t2 ) m(t1) X *(t2) X (t1)m*(t2) m(t1)m*(t2)] E[ X (t1) X *(t2 )] m(t1)E[ X *(t2)] E[ X (t1)]m*(t2) m(t1)m*(t2) E[ X (t1) X *(t2 )] m(t1)m*(t2) m(t1)m*(t2) m(t1)m*(t2) RX (t1,t2 ) m(t1)m*(t2 ) C.R.S.
2.1 定义与基本特性
38/90
2.2 典型信号举例
39/90
2.2 典型信号举例
（1）、若A-R.V. .-常数const
则该随机信号如下所示：
40/90
2.2 典型信号举例
（2）、为随机变量，A，为常数，则该随机
信号为：
41/90
2.2 典型信号举例
（3）、为R.V .，A, 为常数，则随机信号为：
2
1 1 2 1
e 1 2 1 2
x 1 12
2
2
x1 y
1 2
2
y
2
2 2
2
2
50/90
2.2 典型信号举例
f X1 (x1;t) f X2 (x2;t)
x1 f X (x1, x2;t1, t2 )dx1
3随机信号的分析
第三章 随析1. 试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=xa x a ax f 其它021)(A 3a,022. 试求下列瑞利概率密度函数0 2)(2≥=-x ebx x f bx的数学期望和方差：A)41(, 4ππ-b3. 具有上题所示的瑞利概率密度函数，已知方差是7，那么均值是多少？并求随机变量大于均值，而又小于10的概率是多少？A 41.0, 06.54. 设（X,Y ）的二维概率密度函数为：0,0 )exp(4),(22≥≥--=y x y x xy y x f求22YXZ +=的概率密度函数。
A 232zez -5. 两个高三斯随机变量X 和Y ，设它们的均值都是0，方差都是2σ。
它们的联合概率密度函数为：])1(22exp[121),(222222ρσρρπσ-+---=y xy x y x f（1）.X 和Y 之间的相关系数。
A. ρ（2）.当0=ρ时，A .X 和Y 是统计独立的。
6. 设随机变量X ，Y 和随机变量θ之间的关系为：,sin ,cos θθ==Y X 并设θ在0至2π范围内均匀分布，则X 和YA .统计不独立，不相关。
7. 如图P3.1给出了随机过程X(t),Y(t)的样本函数。
假设样本函数出现的概率相等。
（1） 试求{})()(t x E t m x =和),(τ+t t R X 。
A 32, 0（2） 过程X (t)是广义平稳的吗？A 是（3） 试求{})()(t Y E t m y =和),(τ+=t t R y 。
A )](1[52, 0τ++⨯t t（4） 过程Y(t)是广义平稳的吗？A 不是8. 设有两个随机过程：⎩⎨⎧+==)cos()()(cos )()(0201θωωt t X t S tt X t S X(t)是广义平稳过程。
θ是对x(t)独立的。
均匀分布于),(ππ-上的随机变量， (1) )(),(21t S t S 的自相关函数。
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1. 试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差:
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=x a x a a x f 其它021)(
2. 设（X,Y ）的二维概率密度函数为：0,0 )exp(4),(22≥≥--=y x y x xy y x f 求22Y X Z += 的概率密度函数。
3. 设有两个随机过程：⎩⎨⎧+==)cos()()(cos )()(02
01θωωt t X t S t t X t S X(t)是广义平稳过程。
θ是对x(t)独立的。
均匀分布于),(ππ-上的随机变量，
(1) )(),(21t S t S 的自相关函数。
(2)并说明)(),(21t S t S 的平稳性。
4. 一个均值为零的随机信号S(t)，具有如图
（1） 信号的平均功率S 为多少？
（2） 其自相关函数为
（3） 设Z Z H V K MH B /1,12μ==。
信号的均方值S 为,以及相距s μ1的S(t)
的两个样值是
5. 试求白噪声（单边功率谱为0N ）通过具有高斯频率特性的谐振放大器后，（该
放大器的频率特性为]2)(exp[)(220β
ωωω--=K H ，其中参数β是用来确定通带带宽的。
），输出噪声的自相关函数。
并画出)(τn R 的图形。
6. 已知一正弦波加窄带高斯过程的信号表示式为)()cos()(t n t A t r c ++=θω，并且有
t t Y t t X t n c c ωωsin )(cos )()(-=
（1） 求r(t)的包络平方)(2
t Z 的概率密度函数。
（2） A=0时，r(t)的包络平方的相关函数为：
通信原理
基本概念
基本方法
基本应用
随机信号分析
•平稳随机过程的定义、性质；
•什么是广义平稳随机过程？
•平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度如何定义，有何性质？•平稳随机过程通过线性系统后，均值、自相关与方差、功率谱密度有何关系？
•什么是高斯噪声？什么是高斯白噪声？什么是窄带高斯噪声？•窄带高斯噪声的幅度和相位服从什么分布？
•窄带高斯噪声的同相分量和正交分量服从什么分布？
•习题1、2、3、7、8、12
信道
•信道分类：广义信道与狭义信道、调制信道与编码信道、恒参信道与变参信道；
•离散信道信道的信道容量是如何定义的，它的物理意义是什么？•连续信道信道的信道容量是如何定义的（山农公式）？
•习题8、13、14、15
模拟调制
•幅度调制的原理（时域表达式、频域表达式、波形图、频谱图）；•相干解调AM、DSB、SSB、VSB原理、信噪比计算；
•瞬时频率与瞬时相位、调频与调相信号的时域表达式、带宽的计算；•相干解调器的原理、相干解调输入和输出信噪比、宽带调频单音调制信噪比的计算。
•习题：7、9、10、13数字信号的基带传输
•基带传输系统组成模型。
•基带数字信号的时域表达式、功率谱密度的一般表达式；
•码型的概念与常用码型（单极性非归零、单极性归零、双极性非归零、差分码、AMI、HDB3）。
•单、双极性非归零码的功率谱的特点；•理解奈奎斯特第一准则的推导
•过程与结论；
•升余弦滚降特性频谱特点；
•部分响应系统的组成与工作原理，相关编码，预编码的方法（表达式）。
•信道时域均衡的原理（均衡器的组成结构）；
•眼图的物理意义；
•习题：5、8、10、11、12、13正弦载波数字调制系统
•二进制ASK、FSK、PSK、DPSK的原理（波形、时域表达式、频域表达式、调制器、解调器组成框图）；
•二进制ASK、FSK、PSK、DPSK的抗噪声性能（分析方法、结论）；•多进制MASK、MPSK的原理（时域表达式、调制器、解调器框图）。
•习题：2、3、4、6、7、10、12、14模拟信号的数字传输
•理想低通与带通抽样定理；
•量化、均匀量化、非均匀量化、量化间隔、分层电平、量化电平、压缩与扩张；
•均匀量化器的量化噪声、量化信噪比；
•编码、自然二进制码、折叠二进制码、，A律13折线编码；
• P C M系统的原理（组成框图与工作过程），编码位数、信号带宽、量化噪声功率、码元速率。
• DPCM系统的原理（组成框图与工作过程）；
•基本增量调制系统的原理（组成框图与工作过程）；
•时分复用与数字复接的概念（帧结构、基群、二次群、高次群、同步数字复接系列SDH、准同步数字复接系列PDH）。
•习题：2、8、9、10、14、17数字信号最佳接收
•数字信号接收的统计模型；
•确知信号、随相信号、起伏信号；
•相关接收机的结构；
•普通接收机与最佳接收机的比较；
•匹配滤波器的传递函数、冲击响应、输出信号；
•习题：1、2、5差错控制编码
•差错控制三种方法；
• ARQ系统组成与工作过程；
•汉明距离，最小汉明距离，纠错能力与最小距离的关系；
•奇偶校验码、水平垂直奇偶校验码、恒比码的编码方法；
•线性分组码的性质，监督矩阵、生成矩阵的特点及其关系。
•循环码的特点、循环码的生成多项式、循环码的生成矩阵；
•循环码的多项式运算编码方法；
•习题：1、2、6、7、10、12。