高三数学课件 函数性质
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
▪ 得 f (a) f (a0 ) a a0
▪ 即 f (a) a a0
▪ 则 (a a0 )2 f 2 (a) 2(a a0 )2 (2)
▪ 由(1),(2)得:
(a a0 )2 f 2 (a) 2 f (a)(a a0 )
(b a0 )2 (1 2 )(a a0 )2
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2).将这个函数看做 m百度文库一次函数,欲g(t)≥0(t∈[-1,1]恒成立
g(-1)=m2-m-2 ≥0 g(1) =m2+m-2 ≥0 由此得:m ≥2或m≤-2
故存在实数m使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t ∈[-1,1]恒成立,其取 值范围为{m|m ≥2或m≤-2}
第二章 函数
§2.2 函数的性质
函数的基本性质
▪ 1， 函数的奇偶性
▪ （1） 函数的奇偶性的定义。
▪ （2） 函数的奇偶性的判断与证明。
▪ （3） 奇、偶函数图象的特征。
▪ 2， 函数的单调性
▪ （1） 函数的单调性的定义。
▪ （2） 函数的单调性的判断与证明。
▪
复合函数的单调性
▪ （3） 求函数的单调区间。
不妨设 a a0
由 (x1 x2 )2 (x1 x2 ) f (x1) f (x2)
得 f (a) f (a0 ) (a a0 )
即 f (a) (a a0 ) 则 2 f (a)(a a0 ) 2(a a0 )2 (1)
▪ 由 f (x1) f (x2 ) x1 x2
1]上是增函数. ▪ （Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； ▪ （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=1/x的两个非零
实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使 得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及 t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值 范围；若不存在，请说明理由.
▪ 解: （Ⅰ）任设-1 ≤ x1<x2 ≤1,则
满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝ （a+b)/2对称.
一般地，如果方程f(x,y)=0满足 f(x,y)= f(2a-x,y)，
则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称
(3)反函数的图象
▪ 函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关 于直线y=x对称；
▪ 函数y=f(x)的图象与－y=f-1 (－x)的图 象关于直线y=-x对称；
▪ ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④ f(a)-f(-b)<g(b)g(-a)
▪ 其中成立的是（C ）
▪ (A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
练习:设函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,且 存在反函数f-1(x),若f(4)=0,则f-1(4)= -2 (2005湖南)
▪ 不存在b0 a0 ，使得f (b0 ) 0
(x1 x2 )2 (x1 x2 ) f (x1) f (x2) (x1 x2)2
1
(2)由 b a λf (a)
要证
(b
即 [(b
a0 )2
a0 )
(1
a]22)(a(1a0 )22
)(a
a0
)2
就是 (a a0 )2 f 2 (a) 2 f (a)(a a0 )
小结:
▪ 关于函数关系式f(a+x)= f(b x)所表 示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮 助记忆:(f可念虎, X可念司) ▪ f, x同号呈周期, 周期恰是a,b差; ▪ f 同 x 异轴对称, f 异x 异有中心. ▪ 方程坐标和折半, 符号一定要小心. ▪ 双重对称周期现; 2 倍4 倍要分清.
▪ 设函数y=f(x)存在反函数，则其图象 关于直线y=x对称的充要条件为 f(x) =f -1(x).
函数图象的对称性与函数的周期性有着密切 的内在联系，我们有下面的结论：
▪ 命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线 x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周 期函数。
▪ 命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的 一个周期。
高考题例 1.（95）已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的
减 函数，则a的取值范围B 是（ ） (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0.2) (D) [2,+∞)
▪ 2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)= ▪ -f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于
（ ）B ▪ (A) 0.5 (B)-0,.5 (C)1.5 (D)-1.5
▪ 3，（97）定义在 R的奇函数f(x)为增函数； 偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象 重合。设a>b>0，给出下列不等式：
▪ ① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a)<g(a)g(-b)
▪ 分析:由条件λ(x1-x2)2 ≤ (x1-x2) [f(x1)-f(x2)] 可得抽象函数f(x)的什么性质?
证明：
▪ 解：（1）不妨设x1 x2 ，由λ>0及
(x1 x2 )2 (x1 x2 ) f (x1) f (x2)
▪ 可知，f (x1) f (x2 ) 0
▪ f (x) 是R上的增函数
▪ f(x1)-f(x2)=
2x1 x12
2
2x2 x22
2
(x2 x1)[2x1x2 a(x1 x2 ) 4]
x2
x1
0,
|x1|
(x12 2)( x22
≤ 1,|x2| ≤ 1,
2)
2x1x2-a(x1+x2) ≤ |2x1x2-a(x1+x2)|
≤ 2|x1x2 | + |a| |x1+x2 | < 2+2 |a|.
x2 ax 2 0的二非零二根.
x1 x2 a
x1x2 2 1 a 1,
x1 x 2 (x1 x2 )2 4x1x2
a2 8 3
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t ∈[-1,1] 恒成立,当且仅当m2+tm+1 ≥3对任意t ∈[-1,1]恒成立. 即m2+tm-2 ≥0对任意t ∈[-1,1]恒成立.
▪ 解:函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,则其 反函数f-1(x)的图象关于点(2,1)对称,
▪ 即f-1(4-x)=2-f -1(x). ▪ 又f(4)=0,则f-1(0)= 4. ▪ 在式f-1(4-x)=2-f -1(x)中令X=0得: ▪ f-1(4-0)=2-f -1(0)=2-4=-2.
和|f(x1)-f(x2)| ≤ |x1-x2 |，其中λ是大于0的常数.设 实数a0，a，b满足f(a0)=0 和b=a-f(a)
(Ⅰ)证明λ≤1 并且不存在b0 , a0，使得； f(a0)=0 (Ⅱ)证明:(b-a0)2 ≤ (1- λ 2)(a-a0)2 (Ⅲ)证明: :f[(b)]2 ≤ (1- λ 2)f[(a)]2
▪ 命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对 称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个 周期。
命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0) 和点(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函 数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)
命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b) 和(c,d)对称，那么：当a ≠ c，b=d时，f(x) 是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。 当a ≠ c， b≠d时，f(x)不是周期函数。
(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零
常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且 f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)
的一个周期。 定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常 数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且 f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b
为使f(x)在区间[-1,1]为增函数,由所设: X2-x1>0,故2x1x2-a(x1+x2)-4<0, 2x1x2-a(x1+x2)<4, 所以只要2+2 |a| ≤ 4. 即-1 ≤ a ≤ 1. 所以A=[-1,1]
由 2xa x2 2
1 x
, 得x 2
ax 2 0,
a 2 8 0, x1, x2是方程
(3)
[ f (a)]2 (a a0 )2
(1 2 )[ f (a)]2 (1 2 )(a a0 )2
[ f (b)]2 (b a0 )2
又由(2)中的结论,
[ f (b)]2 (1 2 )[ f (a)]2
[ f (b)]2 (1 2 )[ f (a)]2
((a+b)/2,0)成中心对称.
（1）偶函数的图象关于Y轴对称； 一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，
则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称
▪ （2）设a是非零常数，如果对函数定义域中
的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)f(a+x)=f(a-x)
▪ 则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 ▪ （３）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均
▪ 竞赛试题
▪ 4．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇
函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限 个元素，则CM（ ）
▪ (A)可能是 Φ
(B)元素的个数是偶数
▪ (C)元素的个数是奇数
▪ (D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数
▪ 5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2， f(a)=0，则f(-a)的值为（C ）
为f(x)的一个周期。
▪ (2)最小正周期: ▪ (3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也
是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)
▪ 一·中4心.函对数称：图象的对称性
▪ (1) 奇函数的图象关于原点对称；一般地， ▪ 如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线
由f(10+x)=f(10-x),f(x)有对称轴x=10 由f(20-x)=-f(20+x),f(x)e 对称中心(20,0)故函数的周期为4(20-10). 故f(-x)=f(40-x)=f[20+(20-x)] =-f[20-(20-x)]=-f(x)
更上一层楼
▪ 7.（2004. 福建理）（本小题满分14分） ▪ 已知f(x)=(2x-a)/(x2+2)(x∈R)在区间[－1，
f(x,y)=0关于原点对称 （2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的
充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x)
(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) f(a+x)=f(a-x)
(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点
▪ (A) -a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a
6．（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上 的函数，且满足下列关系：
f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。 C 则f(x)是（ ）
(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数
(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数
▪ 即 f (a) a a0
▪ 则 (a a0 )2 f 2 (a) 2(a a0 )2 (2)
▪ 由(1),(2)得:
(a a0 )2 f 2 (a) 2 f (a)(a a0 )
(b a0 )2 (1 2 )(a a0 )2
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2).将这个函数看做 m百度文库一次函数,欲g(t)≥0(t∈[-1,1]恒成立
g(-1)=m2-m-2 ≥0 g(1) =m2+m-2 ≥0 由此得:m ≥2或m≤-2
故存在实数m使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t ∈[-1,1]恒成立,其取 值范围为{m|m ≥2或m≤-2}
第二章 函数
§2.2 函数的性质
函数的基本性质
▪ 1， 函数的奇偶性
▪ （1） 函数的奇偶性的定义。
▪ （2） 函数的奇偶性的判断与证明。
▪ （3） 奇、偶函数图象的特征。
▪ 2， 函数的单调性
▪ （1） 函数的单调性的定义。
▪ （2） 函数的单调性的判断与证明。
▪
复合函数的单调性
▪ （3） 求函数的单调区间。
不妨设 a a0
由 (x1 x2 )2 (x1 x2 ) f (x1) f (x2)
得 f (a) f (a0 ) (a a0 )
即 f (a) (a a0 ) 则 2 f (a)(a a0 ) 2(a a0 )2 (1)
▪ 由 f (x1) f (x2 ) x1 x2
1]上是增函数. ▪ （Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； ▪ （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=1/x的两个非零
实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使 得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及 t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值 范围；若不存在，请说明理由.
▪ 解: （Ⅰ）任设-1 ≤ x1<x2 ≤1,则
满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x＝ （a+b)/2对称.
一般地，如果方程f(x,y)=0满足 f(x,y)= f(2a-x,y)，
则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称
(3)反函数的图象
▪ 函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关 于直线y=x对称；
▪ 函数y=f(x)的图象与－y=f-1 (－x)的图 象关于直线y=-x对称；
▪ ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④ f(a)-f(-b)<g(b)g(-a)
▪ 其中成立的是（C ）
▪ (A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
练习:设函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,且 存在反函数f-1(x),若f(4)=0,则f-1(4)= -2 (2005湖南)
▪ 不存在b0 a0 ，使得f (b0 ) 0
(x1 x2 )2 (x1 x2 ) f (x1) f (x2) (x1 x2)2
1
(2)由 b a λf (a)
要证
(b
即 [(b
a0 )2
a0 )
(1
a]22)(a(1a0 )22
)(a
a0
)2
就是 (a a0 )2 f 2 (a) 2 f (a)(a a0 )
小结:
▪ 关于函数关系式f(a+x)= f(b x)所表 示的函数性质,我们用下面的歌谣来帮 助记忆:(f可念虎, X可念司) ▪ f, x同号呈周期, 周期恰是a,b差; ▪ f 同 x 异轴对称, f 异x 异有中心. ▪ 方程坐标和折半, 符号一定要小心. ▪ 双重对称周期现; 2 倍4 倍要分清.
▪ 设函数y=f(x)存在反函数，则其图象 关于直线y=x对称的充要条件为 f(x) =f -1(x).
函数图象的对称性与函数的周期性有着密切 的内在联系，我们有下面的结论：
▪ 命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线 x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周 期函数。
▪ 命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数， 4(a-b)为函数的 一个周期。
高考题例 1.（95）已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的
减 函数，则a的取值范围B 是（ ） (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0.2) (D) [2,+∞)
▪ 2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)= ▪ -f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于
（ ）B ▪ (A) 0.5 (B)-0,.5 (C)1.5 (D)-1.5
▪ 3，（97）定义在 R的奇函数f(x)为增函数； 偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象 重合。设a>b>0，给出下列不等式：
▪ ① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a)<g(a)g(-b)
▪ 分析:由条件λ(x1-x2)2 ≤ (x1-x2) [f(x1)-f(x2)] 可得抽象函数f(x)的什么性质?
证明：
▪ 解：（1）不妨设x1 x2 ，由λ>0及
(x1 x2 )2 (x1 x2 ) f (x1) f (x2)
▪ 可知，f (x1) f (x2 ) 0
▪ f (x) 是R上的增函数
▪ f(x1)-f(x2)=
2x1 x12
2
2x2 x22
2
(x2 x1)[2x1x2 a(x1 x2 ) 4]
x2
x1
0,
|x1|
(x12 2)( x22
≤ 1,|x2| ≤ 1,
2)
2x1x2-a(x1+x2) ≤ |2x1x2-a(x1+x2)|
≤ 2|x1x2 | + |a| |x1+x2 | < 2+2 |a|.
x2 ax 2 0的二非零二根.
x1 x2 a
x1x2 2 1 a 1,
x1 x 2 (x1 x2 )2 4x1x2
a2 8 3
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t ∈[-1,1] 恒成立,当且仅当m2+tm+1 ≥3对任意t ∈[-1,1]恒成立. 即m2+tm-2 ≥0对任意t ∈[-1,1]恒成立.
▪ 解:函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称 ,则其 反函数f-1(x)的图象关于点(2,1)对称,
▪ 即f-1(4-x)=2-f -1(x). ▪ 又f(4)=0,则f-1(0)= 4. ▪ 在式f-1(4-x)=2-f -1(x)中令X=0得: ▪ f-1(4-0)=2-f -1(0)=2-4=-2.
和|f(x1)-f(x2)| ≤ |x1-x2 |，其中λ是大于0的常数.设 实数a0，a，b满足f(a0)=0 和b=a-f(a)
(Ⅰ)证明λ≤1 并且不存在b0 , a0，使得； f(a0)=0 (Ⅱ)证明:(b-a0)2 ≤ (1- λ 2)(a-a0)2 (Ⅲ)证明: :f[(b)]2 ≤ (1- λ 2)f[(a)]2
▪ 命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对 称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个 周期。
命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0) 和点(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函 数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)
命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b) 和(c,d)对称，那么：当a ≠ c，b=d时，f(x) 是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。 当a ≠ c， b≠d时，f(x)不是周期函数。
(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零
常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且 f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)
的一个周期。 定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常 数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且 f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b
为使f(x)在区间[-1,1]为增函数,由所设: X2-x1>0,故2x1x2-a(x1+x2)-4<0, 2x1x2-a(x1+x2)<4, 所以只要2+2 |a| ≤ 4. 即-1 ≤ a ≤ 1. 所以A=[-1,1]
由 2xa x2 2
1 x
, 得x 2
ax 2 0,
a 2 8 0, x1, x2是方程
(3)
[ f (a)]2 (a a0 )2
(1 2 )[ f (a)]2 (1 2 )(a a0 )2
[ f (b)]2 (b a0 )2
又由(2)中的结论,
[ f (b)]2 (1 2 )[ f (a)]2
[ f (b)]2 (1 2 )[ f (a)]2
((a+b)/2,0)成中心对称.
（1）偶函数的图象关于Y轴对称； 一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，
则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称
▪ （2）设a是非零常数，如果对函数定义域中
的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)f(a+x)=f(a-x)
▪ 则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 ▪ （３）设函数f(x)对其定义域中的任意值x均
▪ 竞赛试题
▪ 4．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇
函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限 个元素，则CM（ ）
▪ (A)可能是 Φ
(B)元素的个数是偶数
▪ (C)元素的个数是奇数
▪ (D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数
▪ 5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2， f(a)=0，则f(-a)的值为（C ）
为f(x)的一个周期。
▪ (2)最小正周期: ▪ (3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也
是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)
▪ 一·中4心.函对数称：图象的对称性
▪ (1) 奇函数的图象关于原点对称；一般地， ▪ 如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线
由f(10+x)=f(10-x),f(x)有对称轴x=10 由f(20-x)=-f(20+x),f(x)e 对称中心(20,0)故函数的周期为4(20-10). 故f(-x)=f(40-x)=f[20+(20-x)] =-f[20-(20-x)]=-f(x)
更上一层楼
▪ 7.（2004. 福建理）（本小题满分14分） ▪ 已知f(x)=(2x-a)/(x2+2)(x∈R)在区间[－1，
f(x,y)=0关于原点对称 （2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的
充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x)
(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) f(a+x)=f(a-x)
(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点
▪ (A) -a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a
6．（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上 的函数，且满足下列关系：
f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。 C 则f(x)是（ ）
(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数
(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数