第五章 频率响应法3
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自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
这时，求扰动输入下的误差传递函数 en(s) ，
先求 E(s) 0 C(s) 1GG（（s）s） N（s）
而
e（n s）
NE（（ss））
1
G（s） G（s）
则 ess（2 t） An e（n j）sin(t en( j))
幅频特性
相频特性
二.频率特性的物理意义及求解方法
R
ur
C uc
RC网络微分方程为:
优点:
(1).可以根据系统的开环频率特性判断闭环系 统的稳定性,而不必求解特征方程。
(2).很容易研究系统的结构,参数变化对系统性 能的影响,并可指出改善系统性能的途径,便于
对系统进行校正。
(3).提供了一种通过实验建立元件或系统数 学模型的方法。
(4).可以方便地设计出使系统噪声小到规定 程度的系统。
一.比例环节
传递函数为G(s)=k
频率特性为 G( jw) ke j 0
幅频特性为 A(w)=k
相频特性为 (w) 0
极坐标图和伯德图为：
L(w)(dB)
20lgk
(w)(度) 0.1 1 10 100
w
0
w
-30
Bode图
j
w=0
w
0k
w
极坐标图
二.积分环节和微分环节
积分环节: G(s) C(s) R(s) 1/ s
w? ?
450 W=1/T
1 W=0 w
对数幅频特性：L(w) 20lg 1 T 2w2 1
20lg T 2w2 1
当wT≥1时,L(w)≈-20lgwT
当wT≥1时,L(w)可用一条斜率为-20dB/dec的渐近 直线来表示。
当wT≤1时,L(w)≈0,是一条与0分贝线重合的直线。 两直线交于横坐标w=1/T的地方。
自动控制原理第五章-频率响应法
Im
（K，0°）
0
Re
图5.5 比例环节乃氏图
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
L( )
0
( )
dB K>1
K=1 K<1
lg
0
lg
图5.6 比例环节的Bode图
作用：比例环节只改变原系统的幅值（K＜1，降低；K ＞ 1， 抬高），不改变原系统的相位。
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➢ 乃氏图的绘制—— “三点法”
G(jω)= A(ω)ejφ(ω) →
A(ω)：起止位置 φ(ω) ：起止方向
起点：ω→0，[A(0),φ(0)] 终点： ω→∞，[A(∞),φ(∞)] 与负实轴的交点：令φ(ω) =-180°→ ωx
相位截止频 率或相位剪
切频率
则交点为[A(ωg)，-180°]
注意：由φ(0) → φ(∞)的变化范围可判断乃氏图所在 的 象限。
2 ( )
1 ( )
图5.8 积分、微分环节Bode图
南京工业职业技术学机械学院——自动控制原理
3. 纯微分环节
G(s) s
G( j) j e j90
传递函数与积分 环节互为倒数
Im
A()
（1）乃氏图 ( ) 90
起点：[0, 90°]；终点： [∞, 90°]
0
Re
图5.9 微分环节乃氏图
I ( )
T 1 2T
2
联立消去ω可以得到实部和虚部 的关系式：
[R( ) 0.5]2 [I( )]2 0.52
故，惯性环节的乃氏图是圆心为点（0.5，j0）上，半径为 0.5的半园（ω=0~∞）。
（2）Bode图
自动控制原理(第三版)第五章频率响应法
频段的两条直线组成的折线近似表示, 如图5-18的渐近线所
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
5.3系统的频率响应法(5.3)汇总
第5章 系统的频率响应法(3)
可见，比例环节的对数 幅频特性曲线是—条高 度等于20lgK的水平直线； 其对数相频特性曲线是 与0o重合的—直线，如 图5－14所示(图中K＝10)。 当K值改变时，只是对数幅 频特性上、下移动．而对数 相频特性不变。
比例环节的对数幅频特性曲线图：
第5章 系统的频率响应法(3)
L ( ) 20 lg G ( j ) =20lgA1 ( )A 2 ( )...A n ( ) = 20lgA i ( )
i=1 n
（5－13）
=20lgA1 ( ) 20 log A 2 ( ) ...+20lgA n ( )
（5－14）
对数相频特性为 ( ) G( j ) 1 ( ) 2 ( ) ... n ( ) n （5－15）
L()
0 -10 -20 -1 10
0 1
10
பைடு நூலகம்10
-89 -89.5
()
-90 -90.5 -91 -1 10
10
0
10
1
第5章 系统的频率响应法(3)
3、理想微分环节
传递函数：
频率特性： 幅频特性： 相频特性：
G( s) s
G( j) j e j
2
A( )
对数幅频特性： L( ) 20lg 1 2T 2 对数相频特性：
() = - arctanT
L( ) 20lg 1 T 2 2 0
低频段( << 1/T )
即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。
传递函数：
第5章 系统的频率响应法(3)
根据上述两式在MATLAB中编程，其源代码如下： w=logspace(-1,1,1000); K=10 Lw=20*log10(K) phi_w=0 subplot(211) 绘制x为对数 semilogx(w,Lw,'b') 坐标的曲线 grid xlabel('\omega') ylabel('L(\omega)') subplot(212) semilogx(w,phi_w,'r') grid xlabel('\omega') ylabel('\phi(\omega)') 运行程序fig5_14.m，得到图5－14所示的对数幅频特性曲线。
自动控制原理第五章频率响应法
智能化和自适应频率响应分析方法
随着人工智能和机器学习技术的发展，将人工智能和机器学习技术应用于频率响应分析中 ，可以大大提高分析的准确性和效率，是未来研究的一个重要方向。
06
参考文献
参考文献
01
《现代控制系统分析与设计（第八版）》作者： Richard C. Dorf and Robert H. Bishop
01
频率响应法的起源可以追溯到20世纪30年代，当时研究者开始 使用频率响应法来分析电气系统的稳定性。
02
随着计算机技术和信号处理技术的发展，频率响应法的应用范
围不断扩大，分析精度和计算效率也不断提高。
目前，频率响应法已经成为自动控制原理中最重要的分析方法
03
之一，广泛应用于控制系统的分析和设计。
02
非线性系统的频率响应分析
非线性系统的频率响应分析是研究非线性系统对不同频率输入信号的响应特性。由于非线性系统的输出与输入之间不存在明 确的函数关系，因此需要采用特殊的方法进行分析。
在实际应用中，非线性系统的频率响应分析广泛应用于音频处理、图像处理、通信等领域。通过分析非线性系统的频率响应 特性，可以揭示系统的内在规律，为系统设计和优化提供依据。
02
《自动控制原理（第五版）》作者：孙亮
03
《控制系统设计指南（第二版）》作者：王树青
感谢您的观看
THANKS
对数坐标图分析法
对数坐标图分析法也称为伯德图，通过将系统 的频率响应以对数坐标的形式表示出来，可以 方便地观察系统在不同频率下的性能变化。
在对数坐标图中，幅值响应和相位响应分别以 对数形式表示，这样可以更好地展示系统在不 同频率下的变化趋势。
对数坐标图分析法适用于分析各种类型的系统 和多输入多输出系统，对于非线性系统也可以 进行一定的分析。
随着人工智能和机器学习技术的发展，将人工智能和机器学习技术应用于频率响应分析中 ，可以大大提高分析的准确性和效率，是未来研究的一个重要方向。
06
参考文献
参考文献
01
《现代控制系统分析与设计（第八版）》作者： Richard C. Dorf and Robert H. Bishop
01
频率响应法的起源可以追溯到20世纪30年代，当时研究者开始 使用频率响应法来分析电气系统的稳定性。
02
随着计算机技术和信号处理技术的发展，频率响应法的应用范
围不断扩大，分析精度和计算效率也不断提高。
目前，频率响应法已经成为自动控制原理中最重要的分析方法
03
之一，广泛应用于控制系统的分析和设计。
02
非线性系统的频率响应分析
非线性系统的频率响应分析是研究非线性系统对不同频率输入信号的响应特性。由于非线性系统的输出与输入之间不存在明 确的函数关系，因此需要采用特殊的方法进行分析。
在实际应用中，非线性系统的频率响应分析广泛应用于音频处理、图像处理、通信等领域。通过分析非线性系统的频率响应 特性，可以揭示系统的内在规律，为系统设计和优化提供依据。
02
《自动控制原理（第五版）》作者：孙亮
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对数坐标图分析法
对数坐标图分析法也称为伯德图，通过将系统 的频率响应以对数坐标的形式表示出来，可以 方便地观察系统在不同频率下的性能变化。
在对数坐标图中，幅值响应和相位响应分别以 对数形式表示，这样可以更好地展示系统在不 同频率下的变化趋势。
对数坐标图分析法适用于分析各种类型的系统 和多输入多输出系统，对于非线性系统也可以 进行一定的分析。
第五章 频率响应法3
C ( j ) C ( j ) R( j ) 1 G( j ) H ( j )
因此, 已知开环频率特性, 就可以求出系统的闭环
频率特性, 也就可以绘出闭环频率特性曲线。
这里介绍的是已知开环频率特性, 定性地估计闭环
频率特性。
设系统为单位反馈, 即H(jω)=1, 则
C ( j ) G ( j ) R( j ) 1 G( j )
为了使系统稳定，且有足够的稳定裕度，一 般希望中频段位于开环对数幅频特性斜率为20dB/dec的线段上，且中频段要有足够的宽度；
高频段
高频段指开环对数幅频特性在中频段以后的频 段，高频段的形状主要影响时域响应的起始段 ；
系统开环对数幅频特性在高频段的幅值，直接
反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。
对应的频率范围, 也即0~ωb的频率范围。
带宽反映了系统对噪声的滤波特性, 同时也
反映了系统的响应速度。
带宽愈大, 系统复现快速变化信号的能力强、
失真小。即系统的快速性好，阶跃响应的上升
时间短，调节时间短。 反之, 带宽愈小, 只有较低频率的信号才易 通过, 则时域响应往往比较缓慢。
C (j ) Rn 2 ( n 2 ) 2 ( 2 n ) 2
d | G ( j ) | 0 得谐振频率ωr为 由 d
r n 1 2
2
(0≤ζ≤0.707)
则谐振峰值Mr为
M r | G( j ) |
1 2 1
2
(0≤ζ≤0.707)
＝0 .1 ＝0 .2 ＝0 .3 ＝0 .5 ＝0 .7 ＝1
1 0/ T
1 /T
由此可看出，谐振峰值Mr仅与阻尼比ζ有关，超调
5.3系统的频率响应法(5.3)
第5章 系统的频率响应法(3)
一阶微分环节的Bode图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒 数，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性 环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性 曲线关于零度线对称。 显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐 近线近似描述。
第5章 系统的频率响应法(3)
5、一阶微分环节 传递函数： G( s ) Ts 1 频率特性： G( j ) 1 jT
2 2 A ( ) 1 T 幅频特性：
相频特性：
() = arctgT
对数幅频特性： L( ) 20lg 1 2T 2 对数相频特性： () = arctgT
第5章 系统的频率响应法(3)
可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标上是等距的，等于 一个单位。 通常用L()简记对数幅频特性，也称L() 为增益；用()简记对数相频特性。 对数坐标的优点 幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围
第5章 系统的频率响应法(3)
当n个环节串联时： G ( j ) G1 ( j )G2 ( j )...Gn ( j )
=A1 ( )e j1 ( ) A 2 ( )e j2 ( ) ...A n ( )e jn ( ) =A1 ( )A 2 ( )...A n ( )e j[1 ( )2 ( )...n ( )] 对数幅频特性为：
2
第5章 系统的频率响应法(3)
即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。 两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转 折频率等于其无阻尼固有频率。
对数相频特性
( ) arctg 2 n
1 n
第5章频率响应法
第 5 章频率响应法频率响应法是控制理论的重要组成部分，是分析和综合控制系统的一种工程实用方法。
它不仅适用于单变量系统，而且也可以推广至多变量系统。
它的特点是：不必求解系统的高阶微分方程，可直接根据频率特性曲线的形状及其特征量来研究系统的性能。
其突出的优点是：物理意义明确，可用实验的方法求出系统的频率特性和传递函数；而且计算量小，方法形象和直观，因而广为工程界所采用。
根据它在系统分析和综合中的应用，将频率响应法分为两部分：频率响应分析法和频率响应综合法，并分别在第 5 章和第6 章讨论。
在这一章里主要介绍：频率响应法的基本概念和控制系统频率特性曲线的绘制方法，以及它在系统分析与综合中的应用，重点在于其基本概念和应用。
5.1 频率特性频率响应法起源于通讯学科。
它的基本思想是：将控制系统的变量也看作是信号；这些信号通过傅里叶(Fourier) 分析，对于周期信号可展开为傅氏级数，对于非周期信号可进行傅氏变换，它们均可视为由不同频率成分的正弦信号所合成的；线性定常系统各个变量的运动，就是系统对各个不同频率信号响应叠加的结果。
频率响应法的优点：第一，这种方法具有鲜明的物理意义。
第二，可以用实验方法测出系统的频率特性，并获得其传递函数以及其它形式的数学模型。
第三，它是一种图解法，形象直观、计算量小。
频率响应法也存在一定的局限性：首先它只适用于线性定常系统。
其次，频率响应法的筒便和实用性是以它的工程近似性为代价的。
5.1.1 频率特性的基本概念首先考察图 5.1 一阶RC 电路图图 5.1 所示的简单系统。
该系统为一阶RC 电路。
该电路的微分方程为：（5.1）系统的传递函数为：（5.2）图 5.1 一阶 RC 电路图若外施正弦输入电压，则可得系统的输出响应为：式中等号右边的第一项为输出响应的暂态分量，第二项为输出响应的稳态分量。
当t趋于无穷大时第一项的暂态分量将趋于零，故系统的稳态输出响应为：可以看到：在正弦输入电压作用下系统的稳态输出，是与输入同频率的正弦电压，其幅值为输入幅值的倍，相角比输入的迟后arctgωT。
自动控制原理 第五章 频率响应法c3
15
练习P185 5.7 （a）（b） （c）（d） （f） （i）
16
2 100 40 dB dec
-20
Ks
G(s)
(1 1
s
1)
(
S
2 2
2
2
S 2
1)
Ga (s) Ks
3.
La (1) 20 lg K 1 12 , 1 4
4.
K 100
L(100) 20lg
100 1002
1
2 2
0,
2 50
6
绘制
L()dB
G(s)H (s)
s2 (s
10(
1 2
s
1)((
S 20
)
2
-1)
1 2
S 20
1)
的L()曲线
60
-40
40
La (0c )
20 lg
K 2
0
20
0C K 10 3.16
0
[-60]
0.1 0.2
12
10 20 100
-20
-40
低频段：10 0.1 60dB
S 2
1)
Ga (s) Ks
1. 谐振峰值
20lg Mr 20lg
2
1 8
1 2
0.335
2.
La (1) 20 lg K 1 0, K 1
谐振频率r ? 14
L() dB
20 12
0 0.1
-10
20 dB dec 1
0 dB dec
第五章频率响应分析法
求拉氏反变换，得系统输出
n i 1
对于稳定系统，极点实部一定为负
c(t ) ai e pi t b1e jt b2 e jt
t 时，瞬 态分量为零
c ss (t ) lim c(t ) b1e jt b2 e jt
t
系统输出的 稳态响应
7
频率特性一般形式的推导 Ar G j Ar G j b1 b2 css t 2 j s j 2 j s j s j s j
1 1 幅频特性：A( ) 1 jT 1 2T 2
1 j ( ) G( j ) A( ) e 1 jT
描述系统对不同频率的输入信号在稳 态情况下的衰减或放大特性 相频特性： () G( j) arctgT 描述系统的稳态输出对于不同频率的 正弦输入信号的相位滞后或超前特性
G( j ) A( )e j ( )
ImG( j ) ReG( j )
Ar G( j ) 2j
G j e jt G j e jt e j[t ( )] e j[t ( )] css t Ar Ar A( ) 2j 2j
1 r ( t ) j( 135o ) A sin t r ( t ) cos t , r .707e 若 (s ) , 则( j1) 0 , css (t ) ！ s 1 o o )] 2 ( j ) 若系统稳定 ,则 c ( t ) [ A cos ( j 友情提醒 t 90 ss ] cssr(t ) 0.707 cos(t 135 ) 11 [
b1 G(s) Ar (s j ) s2 2
C (s)
s j
第五章 频域响应法
第五章 频域响应法5-1 频率特性一． 频率特性的基本概念1. 所谓频率特性，即在零初始条件下，系统输入在正弦信号的控制下，其稳态输出C(t) 的被控制量信号的幅值A(ω)和相角ψ（ω）随r(t)信号的角频率ω变化的规律，记为G(j ω)。
G(j ω)=G(S)| s=j ω C(j ω) C(s)G(j ω)== R(j ω) R(s)| s=j ωb 0(j ω) m +b 1(j ω) 1+m +……+b 1-m (j ω)+b m G(j ω)=( j ω) n +a 1(j ω) 1-n +……a 1-n (j ω)+a n2、G(j ω)的数模表达式有两种标准式: （1）Nyquist 标准式：G(j ω)=︱G(j ω)︱e)(jw G j ∠=u(ω)+jv(ω)其中A(j ω)= ︱G(j ω)︱称为幅频特性，是ω的偶函数。
ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为相频特性，是ω的奇函数。
u(ω)=Re [G(j ω)]为实部； v(ω)=Im [G(j ω)]为虚部。
（2）Bode 表达式：L (ω)=20lg [A(j ω) ] 称为对数幅频，ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为对数相频。
二． 频率特性的图解表示法在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发研究。
现以RC 网络为例。
如图5-2。
其频率特性为G(j ω)=)(11jw T +（T=RC ）。
A(ω)= G(j ω)=2)(11TW +；ψ(ω)=-arctg(T ω)1.极坐标图----Nyquist图当ω=0→∞变化时,A(ω)和φ(ω)随ω而变,以A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端点在s平面上形成的轨迹,称Nyquist曲线（幅相频率特性曲线）简称幅相曲线即Nyquist图，是频率响应法中常用的一种曲线。
2、对数坐标图----Bode图对数频率特性曲线又称Bode曲线，包括对数幅频和对数相频两条曲线。
自动控制原理(第二版)第五章频率响应法
发展多变量频率响应法
针对多输入多输出系统，需要发展多变量频率响 应法，以便更好地处理复杂系统的分析问题。
深入研究非最小相位系统
针对非最小相位系统的稳定性判断问题，需要深 入研究其频率响应特性，并寻求有效的解决方法 。
06
CATALOGUE
结论
总结频率响应法的要点与重点
01 02 03 04
频率响应法是一种通过分析线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应 来评价系统性能的方法。
频率响应法的优势与局限性
优势
频率响应法能够提供系统在整个频率范围内的动态性能信息，有助于全面了解 系统的性能特点；通过分析频率特性，可以更容易地识别系统的稳定性和潜在 的谐振问题。
局限性
频率响应法主要适用于线性定常系统，对于非线性或时变系统，其应用可能受 到限制；此外，频率响应法无法提供系统的时域信息，如瞬态响应和稳定性。
05
CATALOGUE
频率响应法的局限性与改进方法
频率响应法的局限性
01
频率响应法主要适用于线性时不 变系统，对于非线性或时变系统 ，频率响应法可能不适用。
02
频率响应法只能给出系统在正弦 输入下的稳态输出，无法反映系
统的动态行为。
频率响应法无法处理多输入多输 出系统，对于复杂的多变量系统 ，需要采用其他方法进行分析。
02
CATALOGUE
频率响应的基本概念
频率特性的定义
频率特性
系统对正弦输入信号的稳态输出与输入之比，用复数表示的频率 函数。
频率特性与传递函数
传递函数是系统在零初始条件下，频率特性的解析表达式。
频率特性与系统性能
频率特性直接反映系统在不同频率的正弦输入信号下的响应特性 ，与系统的动态和稳态性能密切相关。
自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
N(s)
例： R(s)
C(s)
- G(s)
(1).输入信号为正弦 r(t) A0 sin(wt 0) ,求扰动 n(t)=0时的稳态输出Css(t)。 先求闭环传递函数
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s) 然后列特征方程：1＋G(s)=0，劳斯判据判稳。 如果系统稳定，则稳态输出Css(t)为：
Css (t) A0 ( jw) sin(wt 0 ( jw))
(2).输入信号为正弦 r(t) A0 sin(wt 0) ,求扰动 n(t)=0时的稳态误差ess1(t)。
必须判稳，只有稳定的系统才有稳态误差。
这时，求R(s)输入下的误差传递函数 er (s) ，
E(s)=希望输出－实际输出
一.比例环节
传递函数为G(s)=k
频率特性为 G( jw) ke j 0
幅频特性为 A(w)=k
相频特性为 (w) 0
极坐标图和伯德图为：
L(w)(dB)
20lgk
(w)(度) 0.1 1 10 100
w
0
w
-30
Bode图
j
w=0
w
0k
w
极坐标图
二.积分环节和微分环节
积分环节: G(s) C(s) R(s) 1/ s
1
e jarctgTw
T 2w2 1
幅频特性: A(w) 1
T 2w2 1
将惯性环节的频率特性 G( jw)分解成实部ReG( jw)
和虚部 ImG( jw) ，并整理得：
Re G(
jw)
12 2
ImG(
jw)2
(1)2 2
Nyquist曲线:以(0.5,j0)为圆心,以0.5为半径的
第五章 频率响应法3
假设开环传递函数G(s)H(s)可以表示成s的多项式之比，对
于物理上可实现的系统， 传递函数的分母多项式的阶数必须大 于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何
物理上可实现系统G(s)H(s)的极限，或趋于零，或趋于常数。
实验表明,对于所有实际的物理系统或元件，当正弦输 入信号的频率很高时，输出信号的幅值一定很小。这说明 对于实际的物理系统，当w很大时，|G(jw)|一定很小。 以此为基础，解释为什么实际物理系统传函的分子阶
F
F 和 GH只
沿实轴负方向平移一
闭合曲线 GH 包围F(s)平面(-1，j0)点的圈数。
F 包围F(s)平面原点的圈数等于
G(s) As Cs A s Ds (s) 1 1 G(s)H(s) Bs Ds Bs Ds As Cs As Cs Bs Ds As Cs F(s) 1 G(s)H(s) 1 Bs Ds Bs Ds
F F
变化分别为-3600和00即 Fs s 2 s 0 3600 即
s2 3.围线 S 只包围极点不包围零点 Fs s S平面 A B C
H D
G’ H’
F’ E’ D’
-2 -1
G
0
F E S 顺时针
0
-1 A’ B’ C’
当s沿围线 S 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角 分别为00 和-3600即 Fs s 2 s 0 3600 即映射 推广：当围线 S 包含F(s)的P个极点，在F(s)平面上的映射 F 应逆时针包围原点P次。
由F(s)的特点可以看出F(s)取上述特定形式具有两个优点： 建立了系统的开环极点和闭环极点与F(s)的零、极点之间 的直接联系； 建立了闭合曲线 和闭合曲线 GH 之间的转换关系。 F 在已知开环传函G(s)H(s)的条件下，上述优点为应用幅角
于物理上可实现的系统， 传递函数的分母多项式的阶数必须大 于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何
物理上可实现系统G(s)H(s)的极限，或趋于零，或趋于常数。
实验表明,对于所有实际的物理系统或元件，当正弦输 入信号的频率很高时，输出信号的幅值一定很小。这说明 对于实际的物理系统，当w很大时，|G(jw)|一定很小。 以此为基础，解释为什么实际物理系统传函的分子阶
F
F 和 GH只
沿实轴负方向平移一
闭合曲线 GH 包围F(s)平面(-1，j0)点的圈数。
F 包围F(s)平面原点的圈数等于
G(s) As Cs A s Ds (s) 1 1 G(s)H(s) Bs Ds Bs Ds As Cs As Cs Bs Ds As Cs F(s) 1 G(s)H(s) 1 Bs Ds Bs Ds
F F
变化分别为-3600和00即 Fs s 2 s 0 3600 即
s2 3.围线 S 只包围极点不包围零点 Fs s S平面 A B C
H D
G’ H’
F’ E’ D’
-2 -1
G
0
F E S 顺时针
0
-1 A’ B’ C’
当s沿围线 S 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角 分别为00 和-3600即 Fs s 2 s 0 3600 即映射 推广：当围线 S 包含F(s)的P个极点，在F(s)平面上的映射 F 应逆时针包围原点P次。
由F(s)的特点可以看出F(s)取上述特定形式具有两个优点： 建立了系统的开环极点和闭环极点与F(s)的零、极点之间 的直接联系； 建立了闭合曲线 和闭合曲线 GH 之间的转换关系。 F 在已知开环传函G(s)H(s)的条件下，上述优点为应用幅角
第五章 频率响应法之一、二、三
学习方法1、熟悉数学工具——解决抽象问题。
（自找原型，自作图等）2、熟练使用图形等设计方法——避开复杂的数学运算。
1、机械：线性齐次常微分方程Æ特征方程Æ劳斯判据飞球调速器等线性定常系统分析与设计方法——反馈系统的动态特性2、通讯：反馈放大器等频率响应法1932，Nyquist；1942，Bode；根轨迹法（航空、飞机等）1948，Evans。
线性定常系统分析与设计方法——反馈系统的动态特性3、航空、航天：状态空间法精确模型、高精度传感器、优化指标。
第五章——频率响应设计法原理复杂，方法简单，含义深刻本次课要点1、为什么将频率响应法引入自动控制系统的分析与设计？——优点2、如何将频率响应法应用于自动控制系统的分析与设计？——本章脉络3、频率响应定义及建模方法引言——频域法与自控系统为什么将频域法引入自动控制系统的分析与设计？系统响应（性能）的描述当速度设定值改变或负载变化，蒸气机速度可能会在设定值附近不断振荡，长时间无法收敛。
为描述振荡波动特征，•超调量、调节时间等（时域）•周期、幅度等（频率）M功率放大器负载减速器θ为什么？系统频率响应法优点——在动态反馈控制系统中的应用主要优点：实验确定系统特性：将系统（对象）看作信号变换环节。
可靠的设计方法：对象模型存在不确定性因素（尤其是不确定的小惯性或高频谐振环节）时，仍能得到满意的设计结果。
最简单的补偿设计方法：较少次试探即可得到满意设计结果。
本次课要点1、为什么将频率响应法引入自动控制系统的分析与设计？——优点2、如何将频率响应法应用于自动控制系统的分析与设计？——本章脉络3、频率响应定义及建模方法M功率放大器减速器θM功率放大器负载减速器θ本次课要点1、为什么将频率响应法引入自动控制系统的分析与设计？——优点2、如何将频率响应法应用于自动控制系统的分析与设计？——本章脉络3、频率响应定义及建模方法——频率响应法采用何种模型？第一节频率特性的基本概念（P189，模型及建模方法）频率响应法采用何种模型刻画系统特性？数学描述（点）1.幅相频率特性(Nyquist 曲线、极坐标图)Æ(ω: 0Æ∞)频率特性的图示法——1、Nyquist 曲线对串联组合能手工快捷绘——2、Bode图展示宽广频段系统特性。
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B(s) D(s)
B(s)D(s)
由F(s)的特点可以看出F(s)取上述特定形式具有两个优点：
❖ 建立了系统的开环极点和闭环极点与F(s)的零、极点之间
的直接联系；
❖ 建立了闭合曲线 F 和闭合曲线 GH 之间的转换关系。
在已知开环传函G(s)H(s)的条件下，上述优点为应用幅角
原理创造了条件。
三 s平面闭合曲线 S的选择 当知道开环传函的极点，也
m
Σ
i1
s
zi
n
Σ j1
s pj
向量F(s)的幅角为
Fs
m
Σ
i1
s
z
i
n
Σ
j1
s pj
考虑s平面上不经过F(s)极、零点的一条封闭曲线 S 。
当s沿 S 顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面
上映射出一条封闭曲线 F 。在s平面上，用阴影表示的区
域称为 S 的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以
5-3 频域稳定判据（奈氏判据）
奈氏判据特点：
（1）根据闭环系统的开环频率特性判断闭环系统 稳定性的一种判据，当系统含某些非最小相 位环节(如延迟环节)也能判断。
（2）该判据可以通过实验法获得系统开环频率特 性来判断闭环系统的稳定性，使用方便。
（3）该判据能指出提高和改善系统动态性能的途 径(环节类型和参数变化)， 因而这种方法在 工程上获得广泛的应用。
当s沿 S 顺时针绕行一周时，F应顺时针包围原点Z-P次，
也即 F 顺时针包围原点的次数为：
N=Z-P
N>0表示顺时针包围原点 N<0表示逆时针包围原点
应当指出，s平面上极点或零点的位置，不论是在 s右半平面还是左半平面都没有区别，但是包围的是极 点还是零点却是有区别的。
12
Z=0
N=Z-P=0-1=-1
所谓不包围(-1, j0)点，是指行进方向的右侧不包围它。
R(s)
C(s) G(s)
H(s)
闭环传递函数为 Φ(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H(s)
闭环系统稳定的充要条件： 为了保证系统稳定，特征方程 1+G(s)H(s)=0 的全部根 都必须位于左半s平面。
虽然开环传递函数 G(s)H(s)的极点和零点可能位 于右半 s 平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位 于左半 s 平面，则系统是稳定的。
二.复变函数F(s)的选择(续)
F(s) 1 G(s)H(s) 1 A(s) C(s) B(s)D(s) A(s)C(s)
B(s) D(s)
B(s)D(s)
闭环特征方程式 开环特征方程式
在复平面上，F的原点（0，0）相当于GH的（-1，0）点
3.s沿闭合曲线 S 运动一周所产生的两条闭合曲线 F 和GH只 相差常数“1”，即闭合曲线GH可由 F 沿实轴正方向平移一
幅角原理
用向量F(s)表示s平面上的点在F(s)平面上的映射，有
Fs
Ks z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn
Fs
F s ejFs
m
KΠs i1 n
zi
expjs
zi
Πs
j1
pj
exp
j
s
pj
m
KΠs i1 n
zi
Π
j1
s
p
j
exp
j(
稳定的系统，在G(s)H(s)平面上的围线 GH不包围(-1,j0)
点，是闭环系统稳定的充要条件。
确定闭环系统稳定性的关键，就在于确定G(s)H(s)平面上
围线GH是否包围(-1,j0)点，而围线 GH就是系统的
开环频率特性G jH j的极坐标图
0型系统
s
G(s)H(s) K(s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
围原点的次数。由于G(s)H(s)与F(s)只相差一个常数1，所
以只要将F(s)平面上的虚轴沿实数轴向右平移一个单位，
就可得到G(s)H(s)平面坐标系，于是原来在F(s)平面上的
围线 F 就变成了G(s)H(s)平面上的围线 GH。 与此相对应，在F(s)平面上围线 F 对原点的包围就变
成在G(s)H(s)平面上的围线 GH 对点(-1,j0)的包围。其中 N>0表示在G(s)H(s)平面上的围线 GH 顺时针包围点 (-1,j0)的次数；N<0表示 GH逆时针包围(-1,j0)点的次数
一.奈氏判据的数学基础（幅角原理）
F(s) K(s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
复变函数F(s)是复变量s的单值函数，s可在整个s平 面上变化，对于其上的每一点，除n个有限极点以外， 函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。F(s)的值域，也 构成一个复平面，称为F(s)平面。其中s平面上关于F(s) 的零点都映射到F(s)的原点； s平面上关于F(s)的极点都 映射到F(s)平面的无限远点；s平面上除了极、零点之 外的有限点，都映射到F(s)平面上的有限点。
内域始终处于行进方向的右侧。
S平面
F(S)平面
s 顺时针
F
在F(s)平面上，由 S 映射得到的封闭曲线 F 的形状和位
置，严格取决于 S 。在这种映射关系中，不需知道围线S
的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的F(s)的零
点和极点的数目，就可预知映射 F 是否包围坐标原点和
包围原点的次数;反过来，根据 F 是否包围原点以及包围
原点的次数，也可推测出S 的内域中有关零、极点数的
信息。 S平面
F(S)平面
s 顺时针
F
F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也可能是
逆时针的，取决于 S中包含F(s)的零极点信息
1.围线 S
既不包围零点也不包围极点
F(s)
s2 s
S平面
AB C
-2 -1 0
H
D
123
G FE S 顺时针
22
3.负虚轴：s j, 频率由 变化到0
上述封闭曲线 S 将包围整个s右半平面，称此封闭曲线 为奈氏路径，考虑到奈氏路径应该不通过F(s)零极点的 要求，这里假定F(s)没有为0的极点，也即开环系统不含 积分环节。 现设： 1.F(s)在s右半平面的零点数(即闭环特征方程在s右半平面 的特征根数)为Z； 2.极点数(即开环特征方程在s右半平面的特征根数)为P；
B(s) D(s)
B(s)D(s)
A(s)
(s)
1
G(s) G(s)H(s)
1
B(s)
A(s) Cs
B(s) Ds
A(s)D(s) B(s)D(s) A(s)C(s)
1.F(s)的零点为闭环传函的极点,F(s)的极点为开环传函的极点
2.由于开环传函的分母阶次等于闭环传函的分母阶次，故F(s) 的零点数和极点数相同
个单位长度获得。闭合曲线 F 包围F(s)平面原点的圈数等于 闭合曲线 GH 包围F(s)平面(-1，j0)点的圈数。
F平面 Im Gk平面
4
4
3
3
2
2
F平面 原点 1
1 Gk平面原点
-2
-1 0 =1∞ 2
345
Re
-2
-1
0
12
3
4
5
Gk平面 -1
-1
(-1,j0)
= 0
点 -2 -2
-3 -3
2.围线S
只包围零点不包围极点F(s)
s
s
2
S平面
AB C
H
D
-3 -2 0
E’
F’
G’
D’
0
H’ A’
C’
G FE
S 顺时针
当s沿围线 S 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角
变化分别为-3600和00即 F(s) (s 2) (s 0) 3600即
映射 F 在F(s)平面上顺时针包围原点一周。
H(s)
F(s) 1 G(s)H(s) 0
可以证明，对于 s平面上给定的一条不通过 F(s)任何 奇点的连续封闭曲线，在F(s)平面上必存在一条封闭 曲线与之对应。
F(s)平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向， 在 下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将F(s) 平面 上的奈氏曲线包围原点的次数和方向与系统的稳定性 联系起来。
1
0
R
2
3
1.正虚轴：s j,频率由0变化到
2.半径为无穷大的右半圆：s Rej , R , 由
22
3.负虚轴：s j,频率由 变化到0
s沿半径为无穷大的半圆运动时，在G(s)H(s)平面上只映射
为围线 GH 上的原点或(K,j0)，只有当s从 j j
沿虚轴运动到 j j 时，才在 G(s)H(s)平面上映射出
P=1
13
Z=3 P=1
N=Z-P=3-1=2
14
二.复变函数F(s)的选择 G(s)H(s) A(s) C(s)
B(s) D(s) 控制系统的稳定性判定是在已知开环传函的条件下
进行，为应用幅角原理，选择
F(s) 1 G(s)H(s) 1 A(s) C(s) B(s)D(s) A(s)C(s)
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 G(jω)H(jω)与1+G(s)H(s)在右半s平面内的零 点数和极点数联系起来的判据。因为闭环系 统的稳定性可由开环频率响应曲线图解确定， 无需实际求出闭环极点。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理 论中的幅角原理的基础上 。