生物统计学教案(7)
生物统计学：第7章 方差分析II
H02 : 1 2 b 0
H03 :
ij
0
i j
1,2,,a 1,2,,b
7.2.3 平方和与自由度的分解
与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为
构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的 分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得 出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。
, ,
a b
k 1,2,, n
处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此
a
b
i 0 ,
j 0
i 1
j 1
所以，交互作用的效应也是固定的
a
ij 0 ,
b
ij 0
i 1
j 1
其中，εijk是相互独立且服从N(0 , σ2)的随机变量。
固定模型方差分析的零假设为：
H01 : 1 2 a 0
第7章 方差分析II ——双向交叉分组资料
两因素试验资料的方差分析是指对试验 指标同时受到两个试验因素作用的试验资料 的方差分析。
两因素试验按水平组合的方式不同，分 为交叉分组和系统分组两类。
原理
• 因变量的值随着自变量的不同取值而变化。我们把 这些变化（变差，即离均差平方和）按照自变量进 行分解，使得每一个自变量都有一份贡献，最后剩 下无法用已知的因素解释的则看成随机误差的贡献。
• 误差自由度dfe= dfT - dfA – dfB=(a-1)(b-1)
相应均方为
MS A SS A / df A , MS B SSB / dfB , MS e SSe / dfe
检验A因素所使用的统计量为：
F MS A ，具有(a 1), (a 1)(b 1)自由度 MS e
生物统计学教案
《生物统计学》教案第一章统计数据的收集和整理教学时间：2学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握样本特征数平均数、样本方差、标准差的概念和计算方法，掌握数据类型及频数（率）分布，了解众数、中位数、变异系数。
讲授难点：样本方差、标准差的概念和计算方法总体与样本统计数据的不齐性1、变异性是自然界存在的客观规律。
2、自然界如果没有变异，也就不需要统计学了。
3、生物学研究的对象都是很大的群体，不可能研究全部对象，只能通过研究其中的一部分，来推断全部对象，于是引出以下概念。
总体与样本总体：研究的全部对象。
个体：总体中的每个成员。
样本：总体的一部分。
样本含量：样本所包含的个体数目。
抽样抽样：从总体中获得样本的过程。
随机抽样：总体中的每一个个体被抽中的机会都相同的一种抽样方法。
放回式抽样：从总体中抽出一个个体，记下其特征后，放回原总体中，再做第二次抽样。
非放回式抽样：从总体中抽出个体后，不再放回，即做第二次抽样。
抽样的目的：从总体中获得一个有代表性的样本，以便通过样本推断总体。
应注意的问题：①样本必须有代表性。
②样本含量与可实施性之间的平衡。
数据类型及频数（率）分布连续型数据和离散型数据连续型数据：与某种标准比较所得到的数据。
又称为度量数据。
离散型数据：由记录不同类别个体的数目所得到的数据。
又称为计数数据。
频数（率）分布表和频数（率）分布图的编绘例调查每天出生的10名新生儿中体重超过3公斤的人数，共调查120天，结果如下：表 1－1 每10名新生儿中体重超过3Kg的人数的频数（率）分布表频数（率）分布：把频数（率）按组值的顺序排列起来，便得到离散型数据的频数（率）分布。
频数（率）分布还可以用图形表示，见图1-1。
图1－1 每10名新生儿中体重超过3Kg的人数的频数分布图下面介绍连续型数据的频数（率）分布表和分布图的编绘方法。
例表1-2列出了高粱“三尺三”提纯时所调查的100个数据。
表1－2 “三尺三”株高测量结果155 153 159 155 150 159 157 159 151 152159 158 153 153 144 156 150 157 160 150150 150 160 156 160 155 160 151 157 155159 161 156 141 156 145 156 153 158 161157 149 153 153 155 162 154 152 162 155161 159 161 156 162 151 152 154 157 162158 155 153 151 157 156 153 147 158 155148 163 156 163 154 158 152 163 158 154164 155 156 158 164 148 164 154 157 165158 166 154 154 157 167 157 159 170 158 从上表中除可以看出最大值为170，最小值为141，以及平均高度大约在150-160之外，很难再看出什么规律出来。
生物统计课程教案模板范文
课程名称：生物统计学授课对象：生物科学类专业学生授课时间：2课时教学目标：1. 理解生物统计学的基本概念和原理。
2. 掌握生物统计学中的常用统计方法。
3. 能够运用生物统计学方法分析生物数据。
4. 培养学生的统计思维能力和应用意识。
教学重点：1. 生物统计学的基本概念和原理。
2. 常用统计方法，如描述性统计、推断性统计、方差分析等。
教学难点：1. 统计方法的实际应用。
2. 统计结果的解释和分析。
教学过程：一、导入（10分钟）1. 提问：什么是生物统计学？2. 介绍生物统计学的定义、研究对象和意义。
3. 引导学生思考生物统计学在生物学研究中的应用。
二、基本概念与原理（20分钟）1. 介绍生物统计学的基本概念，如总体、样本、变量、参数、统计量等。
2. 讲解概率论和数理统计的基本原理，如随机事件、概率分布、期望、方差等。
3. 通过实例说明生物统计学在生物学研究中的应用。
三、常用统计方法（30分钟）1. 描述性统计：介绍均值、中位数、众数、方差、标准差等统计量，并通过实例说明如何计算和解释这些统计量。
2. 推断性统计：介绍假设检验、置信区间、显著性水平等概念，并通过实例说明如何进行假设检验和计算置信区间。
3. 方差分析：介绍单因素方差分析、多因素方差分析等，并通过实例说明如何进行方差分析。
四、案例分析（10分钟）1. 选择一个生物学领域的实际案例，引导学生运用所学的统计方法进行分析。
2. 鼓励学生提出问题、讨论解决方案，并分享分析结果。
五、总结与作业（10分钟）1. 总结本节课的重点内容，强调生物统计学在生物学研究中的应用。
2. 布置作业，要求学生运用所学的统计方法分析一组生物学数据。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的提问、讨论和案例分析中的表现。
2. 作业完成情况：检查学生的作业，评估学生对统计方法的理解和应用能力。
教学资源：1. 教材：《生物统计学》2. 教学课件3. 生物学领域的实际案例备注：1. 教师应根据学生的实际情况调整教学内容和教学方法。
医学生物统计学实验教学设计与实践
素质目标
培养学生的科学思维能力和创新精神，提高其解 决生物医学实际问题的能力。
培养学生的团队协作精神和沟通能力，提高其与 他人合作开展生物医学研究的能力。
培养学生的批判性思维能力和学术道德意识，提 高其对待科学研究的严谨性和诚信度。
实验要求与考核标准
实验要求
学生需要按照实验指导书的要求，独立完成实验数据的收集、整理、描述和推断，并提 交实验报告。实验报告应包括实验目的、实验方法、实验结果、数据分析、结论与建议
03
实验教学资源建设
教材及参考书目推荐
推荐使用国内外经典教材，如《医学统计学》、《生物统计学》等，确保教学内容 的科学性和系统性。
辅助教材可选用针对特定领域或技术的专业书籍，如《临床医学统计学》、《基因 组学数据分析》等，以满足不同专业方向的需求。
参考书目应涵盖统计学基础、生物医学应用、数据分析方法等方面，为学生提供全 面的学习资源。
实验操作
指导学生使用专业统计软 件进行数据分析和可视化 ，提高学生数据处理和分 析能力。
实验教学环节安排
课前预习
要求学生提前预习相关理论知 识，为实验课做好准备。
课堂讲解与演示
教师对实验内容进行详细讲解 ，并演示相关统计软件的操作 方法。
学生实验操作
学生在教师指导下进行实验操 作，完成实验任务。
结果分析与讨论
校企合作与实践基地建设
01
与相关企业和研究机构建立合作关系，共同建设医学生物统计 学实践教学基地，为学生提供实践机会和就业渠道。
02
利用企业资源和技术优势，开发符合实际需求的实验项目和教
学案例，提高学生的实践能力和问题解决能力。
鼓励学生参与校企合作项目或实习机会，培养其团队协作精神
《生物统计学》教学大纲
《生物统计学》教学大纲《生物统计学》教学大纲课程名称：生物统计学课程类型：范围选修课-基础课学时：56学时，3.5学分适用对象：农学、植物保护、生物技术、生物科学、草业科学等本科专业先修课程：高等数学、线性代数、概率论与数理统计、植物学、植物生理学、遗传学等课程一、课程性质、目的与任务以及对先开课程要求统计学是论述收集、分析并解释数字信息的科学，生物统计学则是一门运用统计学的原理和方法，研究生物学数据资料的一般统计学。
统计方法是现代生物学研究不可缺少的工具。
正确的统计分析能够帮助我们正确认识事物客观存在的规律性。
概率论与数理统计等先开课程的重点是讲述没有量纲或单位抽象的数量规律，为生物学科应用这些规律打基础。
二、教学重点及难点本课程教学的全过程可以看成是一个生物信息搜集、处理、分析，从而提炼新的生物信息的过程。
教学重点是通过生物现象的数量观察、对比、归纳和分析，揭示那些困惑费解的生物学问题，从偶然性的剖析中，发现事物的必然性，指导生物科学的理论和实践。
本课程的难点是概念较多、理论抽象、系统严密、实践性强、公式复杂、符号繁多、计算量大，因此，教学安排上除精讲48学时外，有针对性的安排上机操作8学时。
三、与其他课程关系生物统计学与数学有密切关系，现代统计学用到了较多的数学知识，研究理论生物统计学的人需要有较深的数学功底，应用统计方法的人也应具备良好的数学基础。
统计学又是一门应用性很强的学科，几乎生物学科所有的门类都要研究和分析数据，掌握生物学类学科专业基础课和专业课程知识有利于对统计分析的结果做出合理的解释和分析。
四、教学内容、学时分配及基本要求绪论（1学时）基本要求：理解什么是统计？什么是统计学；统计数据与统计学的关系，描述统计与推断统计内涵；统计方法能解决生物学科中哪些问题，了解生物统计学的产生与发展。
重点：统计工作、统计数据及统计学以及它们间的关系。
难点：描述统计与推断统计的区别，应用的场合。
生物统计学教案(7)
生物统计学教案第七章拟合优度检验教学时间：2学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握二项分布的检验、正态性的检验，掌握独立性检验，了解X2的可加性。
讲授难点：正态性的检验、二项分布的检验7.1拟合优度检验的一般原理7.1.1什么是拟合优度检验用来检验实际观测数与依照某种假设或模型计算出来的理论数之间的一致性的方法。
可分为两种类型：（1）拟合优度检验：检验观测数与理论数之间的一致性。
（2）独立性检验：通过检验实际观测数与理论数之间的一致性来判断事件之间的独立性。
7.1.2拟合优度检验的统计量例黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，第二代分离数目如下：黄圆黄皱绿圆绿皱总计实测数(O i)315(O1)101（O2）108(O3)32(O4)556理论数(T i)312.75(T1)104.25(T2)104.25(T3)34.75(T4)556拟合优度的一般做法是：（1）将观测值分为k种不同类别，如四种类型豌豆。
（2）共获得n个独立观测值，第i类观测值的数目为O i。
如O1－O4，他们的和等于n。
（3）第i类的概率为p i，如上述四类豌豆的概率分别为9/16、3/16、3/16、1/16，概率之和等于1。
（4）第i类的理论数T i=np i,k个理论数之和等于n。
如上例中的T1－T4,它们的和等于n。
（5）O i与T i不符合程度的计算：①求k个O i－T i之和，显然它们恒等于0。
②求k个(O i－T i)2之和，得不出相对的不符合程度。
O i＝9、T i＝6，O i－T i＝3；O i＝49、T i＝46，O i－T i＝3。
前者的不符合程度远大于后者。
③求k个[(O i－T i)/T i]2之和，但仍有问题。
如：O i＝8、T i＝5以及O i＝80、T i＝50时O i －T i/T i都等于0.6。
④为了解决上述问题，以T i 为权求加权值。
由上式所定义的统计量也称为χ2。
近似服从χ2分布，可由χ2分布表中查出临界值。
《生物统计学》教学大纲
《生物统计学》教学大纲课程名称：生物统计学课程编号：课程类别：专业基础课/选修课学时/学分：32/2开设学期：第七学期说明一、课程性质与说明1.课程性质专业基础课/选修课2.课程说明生物统计学是运用数理统计的原理和方法来分析和解释生物界各种现象和试验调查资料的一门科学，在生物学、农学、林学、医药、卫生、生态、环保等领域已有广泛应用，是生命科学中一门十分重要的工具课。
本课程是本科生物科学专业的选修课，通过本课程的学习，应使学生理解并掌握生物统计学的基本原理和常用方法，在了解生物统计学的产生、发展及其研究对象与作用、生命科学中试验资料的整理、特征数的计算、概率和概率分布、抽样分布等基础上，掌握平均数的统计推断、χ2检验、方差分析、直线回归与相关分析、可直线化的曲线回归分析、多项式回归分析、多元回归与相关分析、常用试验设计、抽样原理和方法等，以运用统计方法分析和解决生物学科研领域内的实际问题为重点，为后续课程的学习和从事生物学科研活动打下必要的基础。
二、教学目标1.学会实验方案的设计方法；2.能搜集、整理、分析实验数据，并会根据实验进程及时调整不合理的实验设计方案；3.能对生物信息进行有目的的搜集、处理、分析，从而提炼新的生物信息；4.会用统计软件处理、分析实验数据。
三、学时分配表章序章题讲授学时实验学时实践学时上机学时小计1前言及统计数据的收集与整理42概率和概率分布3几种常见的概率分布律44抽样分布45统计推断46单因素方差分析47实验设计5统计软件的使用合计264四、教学教法建议本课程主要以课堂讲授为主，应用多媒体教学手段，采用多种教学方法，注意教学方法灵活、生动、吸引力强等特点，并且注重教学方法与手段的不断改进。
注意理论与实际相结合，教学示例尽量选用同学熟知的领域，尤其是本专业历年毕业论文中涉及到的生物统计领域的实例，让学生学会去分析问题、解决问题的能力。
课堂教学采用问题法、比较法、案例法、讨论法和自学法多种教学方式，注重课堂教学与课外自学结合。
生物统计学教案
第一章绪论一、细胞生物学的定义生命体是多层次、非线性、多侧面的复杂结构体系，而细胞是生命体的结构与生命活动的基本单位，有了细胞才有完整的生命活动。
细胞生物学是研究细胞基本生命活动规律的科学，它是在不同层次（显微、亚显微与分子水平）上以研究细胞结构与功能、细胞增殖、分化、衰老与凋亡、细胞信号传递、真核细胞基因表达与调控、细胞起源与进化等为主要内容。
核心问题是将遗传与发育在细胞水平上结合起来。
二、细胞生物学的主要研究内容1、细胞增殖、分化及其调控2、细胞核、染色体以及基因表达的研究3、生物膜与细胞器的研究4、细胞骨架体系的研究5、细胞的衰老与凋亡6、干细胞及其应用7、细胞信号转导8、细胞工程三、细胞生物学发展简史1.细胞的发现英国学者胡克于1665年制造了第一台有科研价值的显微镜，第一次描述了植物细胞的构造，细胞的发现是在1665年。
1677—1683年，荷兰人列文胡克用自己设计好的显微镜第一次观察到活细胞。
2.细胞学说的基本内容1)1838年，德国植物学家施莱登（J.Schleiden）关于植物细胞的工作，发表了《植物发生论》一文（Beitrage zur Phytogenesis）.2)1839年，德国动物学家施旺（T.Shwann）关于动物细胞的工作，发表了《关于动植物的结构和生长一致性的显微研究》一文，论证了所有动物体也是由细胞组成的，并作为一种系统地科学理论提出了细胞学说。
3)细胞是生物体的基本结构单位（单细胞生物，一个细胞就是一个个体）；细胞是生物体最基本的代谢功能单位；细胞只能通过细胞分裂而来。
认为细胞是有机体，一切动植物都是由细胞发育而来,并由细胞和细胞产物所构成；每个细胞作为一个相对独立的单位，既有它自己的生命,又对与其它细胞共同组成的整体的生命有所助益；新的细胞可以通过老的细胞繁殖产生。
3.细胞学的经典时期1）关原生质理论的提出:1840年捷克斯洛伐克生理学家普金耶首次将填满细胞的胶状液体称为“原生质”(protoplasm)，1861年德国解剖学家舒尔测提出了原生质理论，认为有机体的组织单位是一小团原生质。
生物统计学第四版教学大纲
1 差异显著性检验的意义、基本原理、基本步骤， 2 u 、 t 检验方法、总体参数的区间估计方法
第五章 χ2 检验 第一节 χ2检验的原理与方法 第二节 适合性检验 第三节 独立性检验
2学时
1掌握非线性回归的直线化原理 2了解可直线化的非线性回归的 种类及其分析方法
倒数函数、指数函数、对数函数、幂函数及生长曲线的特点及显著性检验方法。
第九章 抽样原理与方法 第一节 抽样误差的估计 第二节 样本容量的确定 第三节 抽样的基本方法 第四节 抽样方案的制定
2学时
掌握抽样误差的估计 ，方案的制定 熟悉抽样方案的制定了解调查研究的质量控制
2学时
明确生物统计学的重要作用和常用术语
1 生物统计与试验设计的概念 2 常用统计术语
第二章 试验资料的整理与特征数的计算 第一节 试验资料的搜集与整理 第二节 试验资料特征数的计算
4 学时
1 掌握对不同类型资料的整理和相关统计图表的绘制方法 2 掌握平均数、标准差和变异系数的计算和应用
1 抽样调查方法 2 样本容量的确定
第十章试验设计及其统计分析 第一节 试验设计的基本原理 第二节 对比设计及其统计分析 第三节 随机区组设计及其统计分析 第四节 裂区设计及其统计分析 第五节 正交设计及其统计分析
8学时
1 掌握试验设计的重要性和基本原则 2 掌握常用的几种试验设计的方法和适用条件
本课程系统地介绍了生物统计学的基本原理和方法，在简要叙述了生物统计学的概念、产生、发展和作用、生物学研究中试验资料的整理、特征数的计算、概率和概率分布、抽样分布基础上，着重介绍了平均数和频率的假设检验、 X 2 检验、方差分析、直线回归与相关分析、可直线化的非线性回归分析、协方差分析、试验设计的原理和常用试验设计及其统计分析、多元回归与相关分析和多项式回归分析，同时简要介绍聚类分析、判别分析、主成分分析等多元分析。
生物统计学课程教案
二、导入新课（需时3分钟）
生物统计学是应用数理统计学（mathematical statistics）的原理和方法来分析和解释生物界数量现象的科学，也可以说是数理统计学在生物学研究中的应用，它是应用数学的一个分支，属于生物数学的范畴。
5、布置作业（需时2分钟）
作业题
和思考
题布置
教材：P20/5、P21/12
参考资料
教材：1.生物统计学，杜荣骞编，第三版，高等教育出版社，2009.
参考书目：
1．EXCEL在统计分析中应用，王文中编中国铁道出版社，2003.
2.生物统计学郭平毅编，中国林业出版社，2006.
3.生物统计学李春喜，第三版，科学出版社，2006.
教学方法
和手段
教学过程
1、巩固复习（需时10分钟）
通过提问等方式复习上次课的学习的内容的加以总结，增强对知识的了解与记忆。
2、导入新课（需时1分钟）
第1章中对总体和样本的概述以及样本数据的处理方法做了一般介绍。用某个样本去推断同一总体将得出不同结论。这些结论不可能都是正确的。
3、讲授新课（需时75分钟）
第一节概率的基本概念
一、随机现象与统计规律
二、统计规律——频率的稳定性
三、概率的统计定义
四、概率的古典定义
五、概率的一般运算
第二节概率分布
一、随机变量
二、离散型随机变量的概率分布
三、连续型随机变量的概率分布
四、总体特征数
4、归纳总结（需时3分钟）
本次课主要学习了概率的基本概念、概率分布、总体特征数。
参考资料
教材：
1.生物统计学，杜荣骞编，第三版，高等教育出版社，2009.
医学生物统计学教学设计
引导学生参与医学统计学相关的学术论坛和讨论组，与同 行交流学习心得和经验。
经典文献阅读指导
01
经典教材配套文献
指导学生阅读与主流教材相配套的经典文献，深入理解教材中的重点和
难点内容。
02
领域权威期刊文章
推荐学生阅读医学统计学领域的权威期刊文章，如《中华医学统计杂志
》、《Biostatistics》等，了解最新的研究进展和应用成果。
统计推断
实验设计
介绍参数估计、假设检验等统计推断方法 ，用于从样本数据推断总体特征。
阐述实验设计的基本原则和方法，如随机化 、对照、重复等，以确保实验结果的可靠性 和有效性。
实验教学环节设置
统计软件操作实践
01
指导学生掌握常用统计软件（如SPSS、SAS等）的基本操作，
提高数据处理和分析能力。
实验数据分析
探讨教师对现代教学理念和教学 方法的认识和应用情况，提出改 进建议。
团队协作能力提升途径
团队交流与合作
加强教师之间的交流与合作，鼓励共同开展教 学研究和改革。
学术带头人培养
选拔和培养学术带头人，引领团队发展方向， 提高团队整体实力。
教学团队建设经验分享
组织教学团队建设经验交流会，推广成功的教学团队管理模式和经验。
参加要求
鼓励学生积极参加讲座，了解学科发展趋势，拓宽学术视 野。
讲座反馈
组织学生对讲座内容进行讨论和交流，加深对讲座内容的 理解和认识。
05
考核方式与评价标准
平时成绩评定方法
1 2
课堂表现
根据学生的到课率、课堂参与度、回答问题情况 等进行评定。
作业完成情况
根据作业的完成质量、提交及时性等进行评定。
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生物统计学教案
第七章拟合优度检验
教学时间：2学时
教学方法：课堂板书讲授
教学目的：重点掌握二项分布的检验、正态性的检验，掌握独立性检验，了解X2的可加性。
讲授难点：正态性的检验、二项分布的检验
7.1 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
用来检验实际观测数与依照某种假设或模型计算出来的理论数之间的一致性的方法。
可分为两种类型：
（1）拟合优度检验：检验观测数与理论数之间的一致性。
（2）独立性检验：通过检验实际观测数与理论数之间的一致性来判断事件之间的独立性。
7.1.2 拟合优度检验的统计量
例黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，第二代分离数目如下：
黄圆黄皱绿圆绿皱总计
实测数(O i) 315(O1) 101（O2）108(O3) 32(O4) 556
理论数(T i) 312.75(T1) 104.25(T2) 104.25(T3) 34.75(T4) 556
拟合优度的一般做法是：
（1）将观测值分为k种不同类别，如四种类型豌豆。
（2）共获得n个独立观测值，第i类观测值的数目为O i。
如O1－O4，他们的和等于n。
（3）第i类的概率为p i，如上述四类豌豆的概率分别为9/16、3/16、3/16、1/16，概率之和等于1。
（4）第i类的理论数T i = np i, k个理论数之和等于n。
如上例中的T1－T4,它们的和等于n。
（5）O i与T i不符合程度的计算：
①求k个O i－T i之和，显然它们恒等于0。
②求k个(O i－T i)2之和，得不出相对的不符合程度。
O i＝9、T i＝6，O i－T i＝3；O i＝49、T i＝46，O i－T i＝3。
前者的不符合程度远大于后者。
③求k个[(O i－T i)/T i]2之和，但仍有问题。
如：O i＝8、T i＝5以及O i＝80、T i＝50时O i －T i/T i都等于0.6。
④ 为了解决上述问题，以T i 为权求加权值。
由上式所定义的统计量也称为χ2。
近似服从χ2分布，可由χ2分布表中查出临界值。
⑤ 条件：当理论数小于5和df ＝1时，上式与χ2分布偏离较大，因此：1) 当理论数小于5时，应与相邻项合并直到5。
2)当df ＝1时应做连续型矫正，矫正方法如下：
⑥χ2的自由度为：df ＝k －1－a
当理论数已经给定或计算理论数时所用的参数已知时a ＝0。
若总体参数没有给出，需由样本数据估计，这时a ≠ 0，a 为需由样本估计的参数的个数。
7.2 拟合优度检验
7.2.1 一般程序
1、对数据进行分组
2、根据总体参数计算理论数T i 。
这时df ＝k －1
3、由样本数据估计参数并理论数T i 。
这时df ＝k －1－a 。
a 为所估计参数的个数。
4、合并理论数小于5的各组，记合并后的组数为k 。
5、零假设是观测数与理论数符合，拟合优度χ2检验为非参数统计，零假设可形象地记为：H 0：O －T ＝0。
6、计算出χ2值，与临界值比较，当χ2>χα2时拒绝H 0。
7.2.2 参数φ已知时，二项分布的检验
例 检验上一节给出的例子。
理论数均大于5，df >1，φ已知，H 0：O －T = 0，α＝0.05。
将数据代入公式。
从附表中查出χ23, 0.05＝7.815，χ2<χ20.05。
结论是接受H 0，杂交结果符合9：3：3：1的分离比。
例 用正常翅的野生型果蝇与残翅果蝇杂交，F 1代均表现为正常翅。
F 1代自交，在F 2代中
()∑∑==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k i i i k i i i i i T T O T T O T 12
1()∑=--=k i i i i T T O 12
25.0χ()∑=-=k i i
i i T T O 122χ()()()()470.0218
.0135.0101.0016.075
.3475.343225.10425.10410825
.10425.10410175.31275.31231522222=+++=-+-+-+-=χ
包含311个正常翅，和81个残翅。
问这一分离比是否符合孟德尔3∶1的理论比？
解
正常翅残翅总数
实际观测数311 81 392
理论数294 98 392
O－T（未矫正）17 17
(O－T)2289 289
(O－T)2/T0.983 2.949
χ2 = 0.983+2.949 = 3.932
H0：O－T＝0，α＝0.05，df＝1，χ20.05＝3.841，χ2>χ20.05
结论：正常翅与残翅的分离比不符合3∶1
以上的计算是在df＝1但未作矫正时所得结果，下面计算矫正后的χ2。
解
正常翅残翅
|O－T|－0.516.5 16.5
(|O－T|－0.5)2272.25 272.25
(|O－T|－0.5)2/T0.926 2.778
χ2 = 0.926+2.778 = 3.704
H0：O－T＝0，α＝0.05，df＝1，χ20.05＝3.841，χ2<χ20.05
结论：正常翅与残翅的分离比符合3∶1
从以上的结果可以看出，同一个问题矫正与不矫正所得结论不同。
因为矫正后的结果比矫正前的低，若未矫正已经接受了H0，可以不再矫正；若未矫正时拒绝H0，则一定要矫正。
7.3 独立性检验
7.3.1 列联表χ2检验
列联表χ2检验属独立性检验。
例下表给出不同给药方式与给药效果
给药方式有效（A）无效（A）总数有效率
口服(B) 58 40 98 59.2％
注射(B) 64 31 95 67.4％
总数122 71 193
列联表χ2检验的原理
现在要考虑的是给药方式与给药效果有无关联，如果有关联，即不同的给药方式产生不同的效果；反之，如果无关联，即不同的给药方式的治疗效果没有不同。
从另一个角度讲，我们要考虑的是不同的给药方式与给药效果之间是否相互独立，因此列联表χ2检验又称为独立性检验。
上表中没有理论数，需要由实测数推出。
计算理论数的前提是假设给药方式与给药效果并无关联。
在无关联的假设下，计算出理论数，然后比较实测数与理论数之间是否吻合。
如果吻合，说明不同给药方式与给药效果是无关联的，不同的给药方式并不影响治疗效果。
如果不吻合，说明不同的给药方式，其治疗效果不同。
列联表χ2检验的步骤
1、提出零假设：假设实测数与给药方式和给药效果并无关联的前提下所计算出的理论数之间无差异。
即H 0：O －T ＝0。
2、计算理论数：若事件A 和事件B 是相互独立的,则P (AB )=P (A )P (B )。
在给药方式和效果之间是相互独立的前提下，计算口服（事件B ）有效（事件A ）的概率P (BA )＝P (B )P (A ) = (98/193) (122/193)。
其理论数T 1＝(98/193)(122/193)(193) = (98)(122)/93 = 61.15。
以类似的方法可以计算出另外三个理论数。
3、计算χ2值：如同吻合度检验那样计算χ2值，若χ2<χ2α，则
则接受H 0；若χ2>χ2α，则拒绝H 0。
与吻合度检验一样，理论数不得小于5，当理论数小于5时应使用另外的方法。
4、确定自由度：因为每一行的各理论数受该行总数约束，每一列的各理论数受该列总数约束，所以自由度df ＝(r -1)(c -1)。
上例的计算结果如下：
有 效 无 效 总 数
口服 O 1=58 O 2=40 98
T 1=(98)(122)/193=61.95 T 2=(98)(71)/193=36.05
注射 O 3=64 O 4=31 95
T 3=(95)(122)/193=60.05 T 4=(95)(71)/193=34.95
总数 122 71 193
()()()()()95.3495.343105.6005.606405
.3605.364095.6195.615822224122-+-+-+-=-=∑=i i
i i T T O χ
结论：接受H 0，不同给药方式的治疗效果没有显著不同。
本例的df =1应当矫正，矫正后的χ2值更小，不会影响结论，可以不再矫正。
5、r ×c 列联表：上面的例子称为2×2列联表，对于行、列大于2的情况称为r ×c 列联表。
其理论数的计算与2×2列联表相同：T ij =(i 行总数)(j 列总数)/总数。
df =(r -1)(c -1)。
推断过程也类似，不再举例。
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()()205.02205.00,
841.3,
11212,05.0,0:χχχα<==--===-df T O H。