2021年广西高考数学模拟试卷及答案解析
2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝Z，则A∩B＝（）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，且B＝Z；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：C．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2．已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝1，则复数z的虚部为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（2﹣i）z＝1，
得z ＝，
∴复数z 的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、
标准差分别为σ
甲、σ
乙
，则（）
A ．＜，σ甲＜σ乙
B ．＜，σ甲＞σ乙
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2021年广西名校高考数学一模试卷(理科) (解析版)
2021年广西名校高考数学一模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝，集合B＝．则A∪∁R B＝（）A．（6，）B．（6，]C．（6，）D．R2．警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问．甲说：“是乙和丙其中一个干的．”乙说：“我和甲都没干．”丙说：“我和乙都没干．”丁说：“我没干．”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丙和丁D．丁和甲3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，M，N分别是AB、BC的中点，平面B1AC 分别与D1M、D1N交于P、Q两点，则S＝（）A．B．C．D．4．在四面体ABCD中，AB＝6，BC＝3，BD＝4，若∠ABC与∠ABD互余，则的最大值为（）A．20B．30C．40D．505．（x﹣1）（x2﹣1）（x3﹣1）（x4﹣1）（x5﹣1）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A．0B．55C．90D．1206．＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．执行如图所示的程序框图，结果是（）A．162B．171C．180D．无输出8．＝（）A．B．C．D．9．已知a＝，b＝，c＝1﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．已知数列a n＝a n﹣12+3a n﹣1，a1＝2，则log2（a6+1）＝（）A．63log23﹣31B．33log23﹣15C．63log32﹣31D．33log32﹣15 11．已知椭圆＝1上有相异的三点A，B，C，则S△ABC的最大值为（）A．B．C．D．12．若a、b是小于180的正整数，且满足＝．则满足条件的数对（a，b）共有（）A．2对B．6对C．8对D．12对二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13．已知恒正函数f（x）＝x2f′（x），f（1）＝．若x1、x2、x3＜0，且x1+x2+x3＝﹣ln2．则的最大值为．14．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），C为x2+y2＝1上的动点，则|AC|+|BC|的取值范围为．15．已知△ABC满足AB＝1，AC＝2，cos A＝．若E为△ABC内一点，满足λ（λ∈R），且＝0，延长AE至BC交于点D，则＝．16．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+b n＝b n+1，a n+1+b n+1＝4a n，则＝．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17-21为必考题，每个试题考生都必须作答。
广西省钦州市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
广西省钦州市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．3B ．1-C ．0D ．32- 【答案】C 【解析】 【分析】先画出函数图像和圆，可知MA MB =，若设2AMB θ∠=，则1tan MA MB θ==u u u v u u u v，所以2221||cos 22sin 3sin MA MB MA θθθ⋅==+-u u u v u u u v u u u v ，而要求MA MB ⋅u u u r u u u r 的最小值，只要sin θ取得最大值，若设圆2220x y y +-=的圆心为C ，则1sin MCθ=，所以只要MC 取得最小值，若设(,ln )M x x ，则222||(ln 1)MC x x =+-，然后构造函数22()(ln 1)g x x x =+-，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆2220x y y +-=的圆心为C ，设AMC θ∠=，则11,sin tan MA MB MCθθ===u u u v u u u v ，设222(,ln ),||(ln 1)M x x MC x x =+-，记22()(ln 1)g x x x =+-，则212()22(ln 1)(ln 1)g x x x x x x x=+⋅=+-'-，令2()ln 1h x x x =+-， 因为2()ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，所以当01x <<时，()(1)0,()0h x h g x <=<'；当1x >时，()(1)0,()0h x h g x >=>'，则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)2g x g ==，即sin 2MC θ<2221||cos 22sin 30sin MA MB MA θθθ⋅==+-≥u u u v u u u v u u u v （当sin 2θ=时等号成立）. 故选：C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.2．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b -=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =u u u r u u u r ，且23100OA OB c ⋅=-u u u r u u u r ，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．52C 5D ．5【答案】D 【解析】 【分析】过点O 作OM PF ⊥，可得出点M 为AB 的中点，由23100OA OB c ⋅=-u u u r u u u r 可求得cos AOB ∠的值，可计算出cos2AOB∠的值，进而可得出OM ，结合FA BP =u u u r u u u r 可知点M 为PF 的中点，可得出PF '，利用勾股定理求得PF （F '为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示，过点O 作OM PF ⊥，设该双曲线的右焦点为F '，连接PF '.2333cos 22100OA OB AOB c ⋅=⋅⋅∠=-u u u r u u u r ，1cos 25AOB ∴∠=-.1cos 23cos22AOB AOB ∠+∠∴==， 3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP=u u u r u u u r Q ，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=o ，625c PF OM '==， ()22825c PF c PF '∴=-=，由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225ca =， 因此，该双曲线的离心率为5ce a==.故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 5．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u u v u u u v ，120QF QF ⋅=u u u u vu u u v ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 31 B ．31C 132D 132【答案】D 【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=u u u u v u u u u vu u u v u u u v ， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u ru u u u r,点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +==，即22(,)33a c bP +， 代入双曲线的方程可得22(2)1144a c a +-=，解得132c e a ==，故选D ．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 7．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.8．单位正方体ABCD-1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）A ．1B ．C D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离． 【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C→CB→BA ， 即过1段后又回到起点， 可以看作以1为周期， 由202063364÷=L ，白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D→DA ， 黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，所以它们此时的距离为2. 故选B. 【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.9．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（ ）A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥.因为1,CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯，因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=.由正弦定理可得122sin 3DO ==，故11DO =，又因为AD =2DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ， 因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ， 所以四边形21OO DO为平行四边形，所以122OO DO ==，所以OD ==2，外接球的表面积为74=74ππ⨯. 故选：D. 【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.10．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题11．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C 【解析】 【分析】由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2iz化简后可找到其对应的点. 【详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.12．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+=55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯ ()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lglg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(附答案详解)
2021年广西来宾市、玉林市、梧州市等高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={x∈N|x≤5}，A={1,2}，则∁U A=()A. {0,3，5}B. {0,3，4}C. {3,4，5}D. {0,3，4，5}2.设复数z满足z+i=zi(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设x，y满足约束条件{2x+y≤6x≥0y≥0，则z=x−y的最小值为()A. −1B. −2C. −6D. −44.若圆C1：(x−1)2+(y−a)2=4与圆C2：(x+2)2+(y+1)2=a2相交，则正实数a的取值范围为()A. (3,+∞)B. (2,+∞)C. (32,+∞) D. (3,4)5.根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如表，则下列说法错误的是()A. 降雨天数逐年递增B. 五年内三个月份平均降雨天数为41天C. 从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小D. 五年内降雨天数的方差为226.设抛物线C：y2=2px(p>0)与直线y=x交于点M(点M在第一象限)，且M到焦点F的距离为10，则抛物线C的标准方程为()A. y2=4xB. y2=8xC. y2=12xD. y2=16x7.为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为8cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为()(假设材料没有浪费)A. 12√5πcm2B. 8√5πcm2C. 16√5πcm2D. 18√5πcm28.在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6的展开式中，含x3项的系数是()A. 25B. 30C. 35D. 409.如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象，则该函数图象与直线y=x2021的交点个数为()A. 8083B. 8084C. 8085D. 808610.已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0,+∞)上单调递增，f(3)=0，则关于x的不等式f(x+2)+f(−x−2)x>0的解集为()A. (−5,−2)∪(0,+∞)B. (−∞,−5)∪(0,1)C. (−3,0)∪(3,+∞)D. (−5,0)∪(1,+∞)11.设双曲线C：x29−y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(异于顶点)在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是()A. △PF1F2可能是正三角形B. P到两渐近线的距离之积是定值C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为8D. 在△PF1F2中，sin∠F1PF2sin∠PF2F1−sin∠PF1F2=5412.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，记b n=S1+S2+⋯+S n−4n−8，若数列{b n}也为等比数列，则a2=()A. 12B. 32C. −16D. −8二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanθ=√2，则√2sin2θ1+cos2θ=______．14.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+2b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=5，则a⃗⋅b⃗ =______．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=a2=1，当n≥1且n∈N∗时a n+2=(−1)n(a n+n)−n，则S20=______．16.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，直线PB与平面ABC所成角的大小为30°，AB=2√3，∠ACB=60°，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3(a2+c2−b2)=2bcsinA．(1)求B；(2)若△ABC的面积是2√3，c=2a，求b．318.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是棱长为2的菱形，O是AD的中点，OB⊥PD，△PAD与△ABD全等．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)求二面角A−PB−C的正弦值．19.为了解某小区业主对物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的居民分别对物业服务进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男居民评分结果的频数分布表分数区间频数[40,50)3[50,60)3[60,70)16[70,80)38[80,90]20为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：分数[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意(1)求m的值；(2)为进一步改善物业服务状况，从评分在[40,60)的男居民中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X，求X的分布列与数学期望；(3)以调查结果的频率估计概率，从该小区所有居民中随机抽取一名居民，求其对物业服务“比较满意”的概率．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−1,√22)，短轴长为2．(1)求椭圆C的标准方程，(2)过点(0,2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点.求△MON的面积的最大值．21.已知函数f(x)=x+alnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a≠0时，若f(x)≤1ax2+e，求实数a的取值范围．22.在极坐标系中，已知三点A(2,0)，B(2,3π2)，C(ρ,π6)．(1)若A，B，C三点共线，求ρ的值；(2)求过O，A，B三点的圆的极坐标方程．(O为极点)23.已知函数f(x)=|x|+a|x−1|(x∈R)．(1)若a=1，求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)<|x|+a−1有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：U={x∈N|x≤5}={0,1，2，3，4，5}，A={1,2}，则∁U A={0,3，5，4}，故选：D．先表示出集合U，然后直接利用补集的定义即可求解．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.【答案】D【解析】解：z=i−1+i =12−12i，即复数z在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限．故选：D．根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解．本题考查了复数的几何含义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：作出不等式组表示的可行域如图，由z=x−y，得y=x−z，数形结合可得直线y=x−z经过点(0,6)时取得最小值，且最小值为−6．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．4.【答案】A【解析】解：圆C 1的圆心为(1,a)，半径为2；圆C 2的圆心为(−2,−1)，半径为a ，则|C 1C 2|=√9+(a −1)2，因为两圆相交，所以|a −2|<√9+(a +1)2<a +2，解得a >3． 故选：A ．若两圆相交，则连心距与半径满足关系|r 1−r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2，代入数据求解． 本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：A ：由表中数据可知，降雨天数逐年增加，∴A 正确， B ：∵34+37+43+45+465=41，∴B 正确，C ：∵43−37>37−34，∴降雨天数的增加量在刚开始的三年内变大，∴C 错误，D ：∵s 2=(34−41)2+(37−41)2+(43−41)2+(45−41)2+(46−41)25=32，∴D 正确．故选：C ．观察表格可判断A ，求出平均数可判断B ，求出增加量可判断C ，求出方差可判断D ． 本题考查平均数，方差的计算公式，增加量的含义，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：联立{y =x y 2=2px ，解得x =2p ，y =2p ，所以点M(2p,2p)，因为M 到焦点F 的距离为10，所以2p −(−p2)=10，解得p =4.所以C 的方程为y 2=8x ． 故选：B ．求解M 的坐标，利用抛物线的定义，转化求解p ，即可得到抛物线方程．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，是基础题．7.【答案】C【解析】解：设底面半径为r ，则1r =28，即r =4cm ，则该圆锥的母线长l =√82+r 2=√64+16=4√5cm ，所以侧面积S =πrl =16√5πcm 2． 故选：C ．根据题意，由1r =28，求得底面半径，再结合母线长公式和侧面积公式，即可求解． 本题考查了圆锥侧面积的求解，需要学生熟练掌握掌握公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：多项式可化为1−(1+x)71−(1+x)=(x+1)7−1x，二项式(x +1)7的通项公式为：T r+1=C 7r x 7−r ，令7−r =4⇒r =3，含x 3项的系数为C 73=35．故选：C ．先化简所给的多项式，再利用二项展开式的通项公式，求得含x 3项的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：根据函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象， 可得A =1，34⋅2πω=14+12，∴ω=2π，周期为1．结合五点法作图可得−12×2π+φ=0，求得φ=π，故函数为y =sin(2πx +π)=−sin2πx ．除了原点外，函数y =sin2πx 在每一个周期上，它和直线y =x2021都有2个交点． 当x =2021时，函数y =sin2πx =0，x2021=1，故函数y =sin2πx 的图象和直线y =x 2021在区间(0,2021]上有2×2021=4042个交点．当x =−2021时，函数y =sin2πx =0，x2021=−1，故函数y =sin2πx 的图象和直线y =x2021在区间[−2021,0)上有2×2021=4042个交点． 则该函数图象与直线y =x2021的交点个数为4042+1+4042=8085， 故选：C ．由题意由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：定义在R 上的偶函数f(x)满足在(0,+∞)内单调递增， 所以f(x)满足在(−∞,0)内单调递减， 又f(3)=0，所以f(−3)=f(3)=0． 作出函数f(x)的草图如下：由f(x+2)+f(−x−2)x>0，得f(x+2)+f[−(x+2)]x>0，得2f(x+2)x>0，等价于{f(x +2)>0x >0或{f(x +2)<0x <0，即{x +2<−3或x +2>3x >0或{−3<x +2<3x <0，解得x >1或−5<x <0，即不等式f(x+2)+f(−x−2)x>0的解集为(−5,0)∪(1,+∞)．故选：D ．根据题意作出f(x)的大致图象，将已知不等式转化为2f(x+2)x>0，结合图象即可求解x的取值范围．本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，考查不等式的解法，考查数形结合思想与转化思想的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由双曲线方程可得，a=3，b=4，c=5，由双曲线定义可知，|PF1|=|PF2|+2a>|PF2|，∴△PF1F2不可能是正三角形，故A错误；设P(x0,y0)，则x029−y0216=1，即16x02−9y02=144，双曲线的渐近线方程为4x±3y=0，P到两渐近线的距离之积为：00√42+32⋅00√42+32=|16x02−9y02|25=14425为定值，故B正确；由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2，解得|PF2|=√41−3，|PF1|=√41+3，∴S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=16，故C错误；设P(x0,y0)，则sin∠PF1F2=|y0||PF1|，sin∠PF2F1=|y0||PF2|，在△PF1F2中，S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|⋅sin∠F1PF2=12|y0|⋅|F1F2|，故sin∠F1PF2=|y0|⋅|F1F2||PF1|⋅|PF2|，则sin∠F1PF2sin∠PF2F1−sin∠PF1F2=|y0|⋅|F1F2||PF1|⋅|PF2||y0||PF2|−|y0||PF1|=|F1F2||PF1|−|PF2|=2c2a=53，故D错误．故选：B．由双曲线定义判断A；设P(x0,y0)，由P在双曲线上，结合点到直线的距离公式判断B；由勾股定理列式求解|PF1|、|PF2|，代入三角形面积公式判断C；求解焦点三角形，结合双曲线定义判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，①当q=1时，a n=a1，S n=na1，b n=a1(1+2+3+⋅⋅⋅+n)−4n+8=a1n(n+1)2−4n+8，不可能为等比数列；②当q≠1，a n=a1q n−1，S n=a1(1−q n)1−q =a11−q−a11−qq n，b n=a1n1−q −a11−q×q(1−q n)1−q−4n−8=(a11−q−4)n−[8+a1q(1−q)2]+a1q n+1(1−q)2，若数列{b n}为等比数列，则必有{a11−q−4=08+a1q(1−q)2=0，解得q=2，a1=−4，∴a2=a1q=−4×2=−8．故选：D．设等比数列{a n}的公比为q，当q=1时，数列{b n}不可能为等比数列；当q≠1，a n=a1q n−1，S n=a11−q −a11−qq n，bn=(a11−q−4)n−[8+a1q(1−q)]+a1q n+1(1−q)，由数列{b n}为等比数列，列出方程组，求出q=2，a1=−4，由此能求出a2．本题考查等比数列的第二项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】2【解析】解：因为tanθ=√2，所以√2sin2θ1+cos2θ=2√2sinθcosθ2cos2θ=√2tanθ=2．故答案为：2．由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】−3【解析】解：∵|a⃗+2b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=5，∴a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=1，∴a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=25，两式作差，得a⃗⋅b⃗ =−3．故答案为：−3．先将两个等式平方，再作差，即可得解．本题考查平面向量的运算，遇模平方是解决本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】−80【解析】解：当n为奇数时，a n+2+a n=−2n；当n为偶数时，a n+2=a n；∴S20=(a1+a3+a5+a7+⋯+a17+a19)+(a2+a4+a6+a8+⋯+a18+a20)=−2×(1+5+9+13+17)+10=−80．故答案为：−80．对n分类讨论，分组求和即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】20π【解析】解：如图，设外接球的球心为O，设△ABC的外接圆圆心为O1，因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成角，即∠PBA=30°，所以tan∠PBA=PAAB =√33，又AB=2√3，所以PA=2，所以OO1=12PA=1，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R=ABsin∠ACB =2√3sin60°=4，解得R=2，则在Rt△OO1A中，OA=√12+22=√5，即三棱锥P−ABC的外接球半径为√5．则三棱锥P−ABC的外接球表面积为4π×(√5)2=20π．故答案为：20π．因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为直线PB与平面ABC所成角，即∠PBA=30°，求出PA的长度．设△ABC的外接圆圆心为O1，则球心O在过O1且垂直于平面ABC的直线上，结合图象，用勾股定理列式求解．本题考查三棱锥的外接球，考查直线与平面所成角，属于中档题．17.【答案】解：(1)由√3(a 2+c 2−b 2)=2bcsinA ，得√3a 2+c 2−b 22ac=bsinA a，得√3cosB =bsinA a，得√3acosB =bsinA ，由正弦定理得√3sinAcosB =sinBsinA ， 因为sinA ≠0， 所以√3cosB =sinB ， 所以tanB =√3，因为0<B <π，所以B =π3． (2)若△ABC 的面积是2√33， 则12acsinB =12×a ×2a ×√32=2√33，解得a =2√33， 所以c =4√33． 由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得b 2=(2√33)2+(4√33)2−2×2√33×4√33×12，所以b =2．【解析】(1)根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； (2)根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可．本题主要考查了余弦定理、正弦定理，同角的三角函数关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：连接BD ，∵△PAD 与△ABD 全等，△PAD 是等边三角形，则△ABD 为等边三角形，又O 是AD 的中点，△ABD 为等边三角形，∴OB ⊥AD ， 又OB ⊥PD ，PD ∩AD =D ，AD 、PD ⊂平面PAD ，∴OB ⊥平面PAD ，又OB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ； (2)解：连接PO ，∵△PAD 是等边三角形，O 是AD 的中点，∴PO ⊥AD ， 由(1)得PO ⊥OB ，OB ⊥AD ，∴PO 、AD 、OB 两两垂直， 建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,0，√3)，C(−2,√3,0)， 设平面ABP 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,1,1)；设平面BPC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3b +√3c =0，取b =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)． ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5×√2=√105， 则sin <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√1−(√105)2=√155．∴二面角A −PB −C 的正弦值为√155．【解析】(1)连接BD ，证明OB ⊥AD ，再由OB ⊥PD ，可得OB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)连接PO ，证明PO ⊥AD ，由(1)得PO ⊥OB ，OB ⊥AD ，则PO 、AD 、OB 两两垂直，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O −xyz ，分别求出平面ABP 的一个法向量与平面BPC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值，进一步求得二面角A −PB −C 的正弦值．本题考查平面与平垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)∵(0.005+m +0.02+0.04+0.02)×10=1，∴m =0.015．(2)由题意可得，随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 33C 63=120，P(X =1)=C 31C 32C 63=920 P(X =2)=C 32C 31C 63=920，P(X =3)=C 33C 30C 63=120，故随机变量X 的分布列为：∴E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．(3)设事件M={随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”}，∵样本人数200人，其中男居民共有80人，∴样本中女居民共有120人，由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较满意”的人数共有120×0.02×10= 24人，由频数分布表可知，男居民对物业服务“比较满意”的人数共有16人，∴随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”的概率P(M)=24+16200=15．【解析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求m的值．(2)由题意可得，随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．(3)由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较满意”的人数共有120×0.02×10=24人，由频数分布表可知，男居民对物业服务“比较满意”的人数共有16人，样本人数为200人，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，以及频率分布直方图的应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意得{2b=21a+24b=1，解得{a=√2b=1，∴椭圆C的标准方程为x22+y2=1．(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线l的方程为y=kx+2，联立方程{x22+y2=1y=kx+2，消去y得：(1+2k2)x2+8kx+6=0，∴x1x2=61+2k2，x1+x2=−8k1+2k2，由△=(8k)2−4(1+2k2)×6>0，解得k2>32，∴S△MON=12×√k2+1|x2−x1|×√k2+1=|x2−x1|=√(x2+x1)2−4x1x2=√(8k1+2k2)2−241+2k2=2√2×√2k2−31+2k2，令t=√2k2−3，则k2=t2+32，t>0，∴S △MON =2√2t t +4=2√2t+4t，由t +4t≥2√t ⋅4t=4，当且仅当t =4t 即t =2时，等号成立，此时k =±√142，∴S △MON ≤2√24=√22， ∴△MON 的面积的最大值为√22．【解析】(1)根据题意列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，即可得到椭圆C 的标准方程．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =kx +2，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得x 1x 2=61+2k 2，x 1+x 2=−8k1+2k 2，再利用弦长公式和点到直线距离公式得到S △MON =2√2×√2k 2−31+2k 2，令t=√2k 2−3，则k 2=t 2+32，t >0，所以S △MON =2√2t+4t，利用基本不等式即可求出结果．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与方程的位置关系，考查了基本不等式的应用，是中档题．21.【答案】(1))f′(x)=1+ax =x+a x，函数的定义域为(0,+∞)，①当a ≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，没有减区间；②当a <0时，令f′(x)>0，得x >−a ，此时函数f(x)的增区间为(−a,+∞)，减区间为(0,−a)；(2)f(x)≤1a x 2+e ，可化为x +alnx ≤1a x 2+e ，若a <0，取x =e ea，x +alnx =e e a+alne e a=e e a+e >e >1a x 2+e ，不合题意，故a必为正数，不等式x +alnx ≤1a x 2+e ，化为1a x 2−x −alnx +e ≥0， 令g(x)=1a x 2−x −alnx +e ，有g′(x)=2a x −1−ax =2x 2−ax−a 2ax=(2x+a)(x−a)ax，由函数g(x)的定义域为(0,+)，令g′(x)>0有x >a ， 可得函数g(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞)，若g(x)≥0，必有g(x)min =g(a)=a −a −alna ≥0，得alna ≤e ， ①当0<a ≤1时，alna ≤0，可得alna ≤e ；②当a >1时，令ℎ(x)=xlnx(x ≥1)，有ℎ(x)=lnx +1>0，可得函数ℎ(x)单调递增，又由ℎ(e)=e，可得1<a≤e，由上知0<a≤e．【解析】(1))f(x)=x+alnx⇒f′(x)=x+ax，函数的定义域为(0,+∞)，分a≥0与a<0两类讨论，即可得到函数f(x)的单调情况；(2)f(x)≤1a x2+e，可化为x+alnx≤1ax2+e，依题意得a>0，于是有1ax2−x−alnx+e≥0，构造函数g(x)=1a x2−x−alnx+e，有g′(x)=(2x+a)(x−a)ax，若g(x)≥0，可得g(x)min=g(a)=a−a−alna≥0，得alna≤e，分0<a≤1与a>1两类讨论，可得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查逻辑思维与数学运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)因为A，B两点的极坐标分别为A(2,0)，B(2,3π2)，所以其直角坐标分别为A(2,0)，B(0,−2)，即直线AB的方程为y=x−2，因为C点的极坐标为C(ρ,π6)，所以其直角坐标为C(√32ρ,12ρ)，代入直线AB的方程，可得12ρ=√32ρ−2，解得ρ=2(√3+1)；(2)因为OA⊥OB，所以AB的中点(1,−1)即为圆心，半径r=√12+(−1)2=√2，所以圆的标准方程为(x−1)2+(y+1)2=2，即x2+y2−2x+2y=0，因为x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以圆的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ+2ρsinθ=0，即ρ=2cosθ−2sinθ．【解析】(1)直接利用点的坐标公式的应用求出三点共线的应用求出结果；(2)直接利用点的坐标求出圆的方程，进一步转换为极坐标方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三点共线的问题，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)=|x|+|x−1|≥|x−x+1|=1，当且仅当0≤x≤1时，上述等号成立，即f(x)的最小值为1；(2)不等式f(x)<|x|+a −1可化为a|x −1|<a −1(∗)， ①当a =0时，(∗)式为0<−1，无解， ②当a >0时，(∗)式可化为|x −1|<a−1a，只需a−1a>0即可，有a >1，③当a <0时，(∗)式可化为|x −1|>a−1a，显然有解，由上知实数a 的取值范围为(−∞,0)∪(1,+∞)．【解析】(1)由题意结合绝对值的几何意义即可求得答案；(2)对a 进行分类讨论，在对不等式f(x)<|x|+a −1进行分离常数得|x −1|<a−1a，结合|x −1|的范围即可求得答案．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立和有解问题，注意运用转化思想和数形结合，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
广西2021届高三数学模拟测试试题理含解析
广西2021届高三数学模拟测试试题理（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2+2i D．2﹣2i2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2b sin A cos B，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．64．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1 B．C．D．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14] B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42 B．﹣38 C．38 D．4210．函数f（x）＝ln|x|+cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为元．16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，双曲线的离心率为3，则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100] 男性顾客人数 4 6 10 30 50女性顾客人数 6 10 24 40 20 （1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和S n．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，平面CC1D1D⊥平面ABCD，BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C经过点P（2，）．（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若△AMN的面积的范围．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*，e n（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M，N是C1与C2的公共点，点P的直角坐标为（0，1），求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且正数a，b，c满足a2+b2+c2＝M，求a+2b+c的最大值．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2+2i D．2﹣2i解：∵z（1﹣i）＝1+3i，∴z＝＝＝＝﹣1+2i，故选：A．2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）解：∵A＝{x|﹣1＜x＜}，B＝{y|y＞﹣}，∴A∩B＝（﹣，），故选：D．3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2b sin A cos B，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．6解：因为3sin2B＝2b sin A cos B，可得6sin B cos B＝2b sin A cos B，因为B为锐角，所以6sin B＝2b sin A，由正弦定理可得6b＝2ab，所以a＝3．故选：C．4．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1 B．C．D．解：两个单位向量，满足|2﹣|＝，可得：＝5﹣4＝3，解得＝，所以|+|＝＝．故选：C．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/s B．5790m/s C．6219m/s D．6825m/s解：根据题意，v＝v0ln＝1000×ln500＝1000×＝1000×≈6219m/s，故选：C．6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减解：对于函数f（x）＝cos（2x+），夏然它的最小正周期为＝π，故A错误；当x∈[0，]，2x+π4∈[，]，f（x）在[0，]上的最大值为cos＝，故B正确；令x＝，求得f（x）＝0，不是最值，故C错误；当x∈[，]，2x+∈[，]，故f（x）在[，]上没有单调性，故D 错误，故选：B．7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由题意可知抛物线的焦点坐标（1，0），由抛物线定义可知当AP⊥x轴时，|PF|+|PA|取得最小值，最小值为：3﹣（﹣1）＝4．故选：D．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14] B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]解：执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，即当x∈（1，4]时，y＝log2x+3x，①当x∈（﹣2，1]时，y＝x2+2x﹣1，②解①可得y∈（3，14]；解②可得y∈[﹣2，2]；故输出的y的范围为：[﹣2，2]∪（3，14]．故选：A．9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42 B．﹣38 C．38 D．42解：令x＝1，则（2﹣1）（2+1）n＝243，即3n＝243，所以n＝5，则展开式中含x2的项为2x2﹣1×＝﹣38x2，所以x2的系数为﹣38，故选：B．10．函数f（x）＝ln|x|+cos x的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，函数f（x）＝ln|x|+cos x，其定义域为{x|x≠0}，则有f（﹣x）＝ln|x|+cos x＝f（x），则函数f（x）为偶函数，排除AB，在区间（0，）上，f（x）＝ln|x|+cos x＝lnx+cos x，lnx＜﹣2，则f（x）＜0，排除D，故选：C．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]解：如图，分别过P，B，C作底面O2的垂线交圆O2于P1，B1，C1，由题意知P1，B1，C1在半径为4，圆心为O2的圆上，且|PP1|＝|AO1|＝4，则|PO2|＝＝8，∴|PO2|＝|DO2|＝8，设∠P1O2D＝θ，则|DP1|2＝|DO2|2+|P1O2|2﹣2|DO2|•|P1O2|cosθ＝80﹣64cosθ，则|DP|2＝|DP1|2+|PP1|2＝128﹣64cosθ，则cos2∠PDQ2＝＝∈[]，则cos∠PDO2∈[]，∴DP与BC所成角的余弦值的取值范围是[]．故选：A．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）解：设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）＝g（x），即g（x）是偶函数，故关于x的方程g（x）＝0有4个不同的实数根等价于g（x）在（0，+∞）上有2个零点，当x＞0时，g（x）＝2lnx+x2﹣2x﹣+1，则g（x）＝0等价于a＝2xlnx+x3﹣2x2+x，令h（x）＝2xlnx+x3﹣2x2+x，则h′（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，令m（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，则m′（x）＝﹣4+2x≥2﹣4＝0，∴m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，又m（1）＝0，∴h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，即h（x）在x＝1处取得极小值h（1）＝﹣，当x→0时，h（x）→0，当x→+∞时，h （x）→+∞，∴h（x）的大致图象如下，∴当﹣＜a＜0时，关于x的方程h（x）＝a在区间（0，+∞）上有两个不同的实数根，即关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为12 ．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，4），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4+4＝12．故答案为：12．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为8π．解：圆柱的底面周长为2π，圆柱的底面半径为1，则底面直径为2，又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为2和2的矩形，如图：则圆柱的外接球的半径为r＝．∴该圆柱的外接球的表面积为4π×（）2＝8π．故答案为：8π．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为210 元．解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为＝210元．故答案为：210．16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，双曲线的离心率为3，则的取值范围是（1，2] ．解：因为点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，所以•＝．则，又双曲线的离心率为3，所以b2＝8，a2＝1，所以c2＝9，所以＝＝1+，因为|PF2|≥c﹣a＝2，所以0＜≤1，故1＜≤2，则的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100] 男性顾客人数 4 6 10 30 50女性顾客人数 6 10 24 40 20 （1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：（1）由题意知，计算＝×（10×16×+34×+70×+70×）＝75.55，所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55．（2）根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男性顾客80 20 100女性顾客60 40 100 合计140 60 200 根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524，因为9.524＞6.635，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和S n．解：（1）由a1＝1，a n+1＝a n+n+1，可得n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）＝1+2+3+...+n＝n（n+1），即a n＝n（n+1），n∈N*；（2）由（1）可得+2n＝+2n＝2（﹣）+2n，所以S n＝2（1﹣+﹣+...+﹣）+（2+4+...+2n）＝2（1﹣）+＝+2n+1﹣2＝2n+1﹣．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，平面CC1D1D⊥平面ABCD，BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点E，连接DE、AC，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又因为BD⊥AD1，所以BD⊥平面D1AC，又因为D1C⊂平面D1AC，所以BD⊥D1C，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，E是AB中点，所以DE⊥DC，因为平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，所以DE⊥平面AA1C1C，又因为CD1⊂平面AA1C1C，所以DE⊥CD1，因为BD∩DE＝D，BD、DE⊂平面ABCD，所以CD1⊥平面ABCD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为＝，所以∠D1DC＝60°，于是D1C＝2，＝（0，2，2），＝（﹣，1，0），设平面BB1C1C的法向量为＝（x，y，z），，令y＝，＝（1，，﹣1），平面AA1B1B的法向量为＝（1，0，0），设二面角A1﹣BB1﹣C的大小为θ，|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝＝．所以二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C经过点P（2，）．（1）求C的方程；（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若△AMN的面积的范围．解：（1）将点P（2，）代入C的方程得，又e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝4，b＝2，∴椭圆C的方程为：．（2）由题意可设直线l的方程为：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x得：（3t2+4）y2+12ty﹣36＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A（﹣4，0），∴S△AMN＝＝3＝，令m＝，m≥1，则t2＝m2﹣1，∴S△AMN＝＝，∵m≥1，∴≥4，∴，∴△AMN的面积的范围为：（0，18]．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*，e n（n+1）＞（n!）2e．解：（1）∵x＞0，∴f（x）≥0等价于a≥，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）max＝g（e）＝，故实数a的取值范围是[，+∞）．（2）证明：由（1）可知﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，则x≥elnx＝lnx e，即e x≥x e，当且仅当x＝e时“＝”成立，取x＝1，2，3，•••n，则e1＞1e，e2＞2e，e3＞3e，••••，e n＞n e，将上述不等式相乘可得e1+2+3+•••+n＞（1×2×3ו••n）e＝（n!）e，即＞（n!）e，故e n（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M，N是C1与C2的公共点，点P的直角坐标为（0，1），求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得y＝2x2﹣1，由ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0，解得x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x+y﹣1＝0；（2）由（1）可得直线l的参数方程为，代入y＝2x2﹣1，得，设M、N对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣2，则t1，t2异号，∴＝＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且正数a，b，c满足a2+b2+c2＝M，求a+2b+c的最大值．解：（1）不等式f（x）≥8即为|2x﹣1|+|2x+3|≥8，当时，2x﹣1+2x+3﹣8≥0，解得；当时，﹣2x+1+2x+3﹣8≥0，不等式无解；当时，﹣2x+1﹣2x﹣3﹣8≥0，解得；综上，不等式的解集为；（2）∵|2x﹣1|+|2x+3|≥|2x﹣1﹣（2x+3）|＝4，当（2x﹣1）（2x+3）≤0时取等号，∴a2+b2+c2＝4，∴（a+2b+c）2≤（1+22+1）（a2+b2+c2）＝24，当且仅当时取等号，∴a+2b+2c的最大值为．。
广西省贵港市2021届新高考数学四月模拟试卷含解析
广西省贵港市2021届新高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.2．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．当1a =时，2()1f x x =+没有零点，所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项. 【详解】对于A 选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A 选项叙述正确.对于B 选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B 选项叙述正确. 对于C 选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C 选项叙述正确.对于D 选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 选项叙述错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.4．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．【答案】C 【解析】 【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.5．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C 【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.6．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】 【分析】 首先求出A B ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得.【详解】解：{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-，A B ∴子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 7．已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到函数()f x 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得ω的值，结合其对称轴，求得θ的值，进而求得()f x 解析式.根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得()g x 的单调递减区间. 【详解】解：已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=. 再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像. 令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.8．如图，在ABC ∆中，13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】23mAC AP AB =-变形为23AP mAC AB =+，由13AN AC =得3AC AN =，转化在ABN 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+， 又B P N ，，三点共线，2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ (O 为平面内任一点,t R ∈)9．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π B ．86πC ．433πD ．12π【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22 设球的半径为r ， 则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题． 10．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可.由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.11．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．34【答案】B 【解析】 【分析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可. 【详解】设乙,丙,丁分别领到x 元,y 元,z 元,记为(,,)x y z ,则基本事件有(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为310, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型. 12．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．-2B ．2C ．-12D ．12【答案】C 【解析】 【分析】设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得*2,,26k n k Z n N ππφπ=+-⋅∈∈，又03πφ<<，则可求出122n k -=，进而可得()12f π-.解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，所以,nT n N π*=∈，所以*2,T n nππω==∈N ，所以*2,n n ω=∈N ， 又112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,26k n k Z n N ππφπ∴=+-⋅∈∈，因为03πφ<<02263k n ππππ∴<+-⋅<，整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，122n k ∴-=，()2212266k k πππφπ∴=+-+⋅=，则2662n k ππππ⋅+=+263n k πππ∴=+ 所以()sin 212126sin 66f n n πππππ⎛⎫--- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎭ 1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省河池市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
广西省河池市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x，y满足约束条件2211x yy xy kx+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数k的值为（）A．1 B．53C．2 D．73【答案】B【解析】【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示，22,111Bk k⎛⎫+⎪--⎝⎭，421,2121kCk k-⎛⎫⎪++⎝⎭，要使得z能取到最大值，则1k>，当12k<≤时，x在点B处取得最大值，即2221211k k⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，得53k=；当2k>时，z在点C 处取得最大值，即421222121kk k-⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，得76k=（舍去）.故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.2．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是()A ．16163π+B ．8163π+ C ．32833π+ D ．321633π+ 【答案】B【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为111V 44244223π=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯， 8163π=+. 故选B点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 3．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分不必要【答案】B【解析】【分析】由线面关系可知m n ⊥，不能确定n 与平面α的关系，若//n α一定可得m n ⊥，即可求出答案.【详解】 ,m m n α⊥⊥Q ,不能确定αn ⊂还是αn ⊄，//m n n α∴⊥¿，当//n α时，存在a α⊂，//,n a ，由,m m a α⊥⇒⊥又//,n a 可得m n ⊥，所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.4．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，L ，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =【答案】B【解析】【分析】【详解】 试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故26m =，12n =． 考点：程序框图、茎叶图．5．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x x „B ．{|112}<x x „C ．{|110}-<x x „D ．{|56}-<x x „【答案】C【解析】【分析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论.【详解】 因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟， 则*{|61}=-<A B x x „，所以*(*){|110}=-<B A B x x „.故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.6．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．4或14 D ．5或15【答案】C【解析】【分析】 先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF .【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±， 所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--；同理，当直线l的方程为314y x=-+.14AFBF=，综上，4AFBF=或14.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.8．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==； 第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+B ．836πC 323163πD ．16833π+ 【答案】B【解析】【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯=四棱锥体积为：2114333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：126V V V π=+=本题正确选项：B【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.10．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<【答案】D【解析】【分析】由题设中所给的定义，方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出a 的大致范围【详解】解：由题意方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，对于函数()g x lnx =，由于1()g x x'=， 1lnx x ∴=， 设1()h x lnx x=-，该函数在(0,)+∞为增函数， ()110h ∴=-<， ()122202h ln ln =-=->， ()h x ∴在(1,2)上有零点，故函数()g x lnx =的“新驻点”为a ，那么12a <<故选：D ．【点睛】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a 存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题..11．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．12．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,3e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,e -+∞【答案】D【解析】【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围.【详解】 ()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=， 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+. 要使在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立，即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省钦州市2021届新高考数学二模考试卷含解析
广西省钦州市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图知当11=i 时，循环终止，此时1lg110S =-<，即可得答案. 【详解】1i =，1S =.运行第一次，11lg1lg30,33S i =+=->=，不成立，运行第二次，131lg lg 1lg50,535S i =++=->=，不成立，运行第三次，1351lg lg lg 1lg70,7357S i =+++=->=，不成立，运行第四次，13571lg lg lg lg 1lg90,93579S i =++++=->=，不成立，运行第五次，135791lg lg lg lg lg 1lg110,11357911S i =+++++=-<=，成立，输出i 的值为11，结束. 故选：B. 【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.3．设m u r ，n r 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅>u r r”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．充分不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n ou r r =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n o ou r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，所以不成立，即可得答案. 【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=u r r m n ，则,0m n o u r r =，cos00m n m n m n ou r r u r r u r r ⋅==>，得证； 必要性：若0m n ⋅>u r r ，则),0,90m n o ou r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，故不成立；所以是充分不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.4．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log log 2<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.5．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A . 【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ）A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2}【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A ． 【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.7．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2 B．C ．4D ．8【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于2OA ==,OC =，所以OC OA >，所以原点到可行域上的点的最大距离为所以z的最大值为(28=.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 8．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】构造函数()()11ln1x F x f x x x +=-=+-，由101xx+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111lnln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭，所以()F x 为奇函数，而()12lnln 111x F x x x x x +⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以1011102111a a a a a ++>⎧⎪-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩.本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.9．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-【答案】A 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B I . 【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 10．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x--展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r r r T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，则2m =.本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.11．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =u u u v u u u v,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】设出A ，B 的坐标，利用导数求出过A ，B 的切线的斜率，结合0PA PB ⋅=u u u r u u u r，可得x 1x 2＝﹣1．再写出OA ，OB 所在直线的斜率，作积得答案． 【详解】解：设A （2114x x ，），B （2224x x ，），由抛物线C ：x 2＝1y ，得214y x =，则y′12x =． ∴112AP k x =，212PB k x =， 由0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，可得12114x x =-，即x 1x 2＝﹣1．又14OA x k =，24OB xk =，∴124116164OA OB x x k k -⋅===-． 故选：A ．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A 2(2,)a a ,B 2(2,)b b ,a b ¹,再求切线PA,PB 方程，求点P 坐标，再根据.0PA PB =u u u v u u u v得到1,ab =-最后求直线OA 与OB 的斜率之积.如果先设点P 的坐标，计算量就大一些.12．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴b a ==双曲线的渐近线方程为：x y x==, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省钦州市2021届新高考数学三模考试卷含解析
广西省钦州市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．3【答案】B 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果． 【详解】作出函数1,2()21,2,1ax f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，令()f x t =，由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3， 则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=故选B ． 【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 2．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【答案】D 【解析】 【分析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】样本1231,1,1,,1n x x x x ++++L 的平均数是10，方差为2，所以样本12322,22,22,,22n x x x x ++++L 的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=. 故选:D. 【点睛】样本123,,,,n x x x x L 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++L 的平均数为ax b +,方差为22a s .3．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 【答案】C 【解析】 【分析】()cos2f x x =，将2x 看成一个整体，结合cos y x =的对称性即可得到答案.【详解】由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cos x 的性质，是一道容易题.4．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-， 所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限 故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.5．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{|N x y ==若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合M 的表示，求解函数y =的定义域化简集合N 的表示，根据M N M ⋂=可以得到集合M 、N 之间的关系，结合数轴进行求解即可.【详解】{}{}2|320|12M x x x x x =-+≤=≤≤，{{}||N x y x x a ===≥.因为M N M ⋂=，所以有M N ⊆，因此有1a ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.6．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．13先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.7． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【详解】对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.8．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意， 若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > .所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件.9．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥β D ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误； 对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.10．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．1i +C ．1i -+D ．12i +【答案】B 【解析】 【分析】转化()(1)11i z i +-=-，为111iz i--=+，利用复数的除法化简，即得解 【详解】复数z 满足：()(1)11i z i +-=-所以()211112i i z i i ---===-+ 1z i ⇒=-1z i ∴=+故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 11．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=u u u r u u u r（ ）． A ．3- B ．6-C ．4D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC V 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=- 则3DC = 则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B 【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目. 12．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可． 【详解】 由题意得，∵，∴．故选C ． 【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省南宁市2021届新高考数学三模试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 2．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264B ．264C ．624D ．622【答案】A 【解析】 【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】由图象可知A ＝1，∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22Tπω==. ∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1，∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3434sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.3．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102x g x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102x g x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-.故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.4．ABC V 是边长为23的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．53B ．33C ．6 D ．36【答案】D 【解析】 【分析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到3PO OC ==，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积. 【详解】如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心，当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点，必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为3623PO PA AM ⋅== 1131313623323343424P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯=V . 故选：D. 【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.5．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()U M N ⋂=ð（ ） A ．{}|2x x > B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥【答案】A 【解析】 【分析】先求出U M ð，再与集合N 求交集. 【详解】由已知，{|1}U M x x =≥ð，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．31log 5+ B ．6C ．4D ．5【答案】D 【解析】【分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【详解】由题意313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 7．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >【答案】C 【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表：KS是否继续循环故退出循环的条件应为k>5? 本题选择C 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．8．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 9．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．2【答案】C 【解析】需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()cos 2pBF πα=-，()tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =， 所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()cos 2cos 2MF pBF παπα==--，()()()tan tan sin 2sin 2sin 2CF CH p AF ααπαπαπα===---，所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AFBF αααπαα-====--.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 10．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可. 【详解】由图象知51=1244T -=， 所以2T =，22πωπ==， 又图象过点3(,1)4-，所以31sin()4πϕ-=+， 故ϕ可取34π， 所以3()sin()4f x x ππ=+ 令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈，解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦故选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及x ∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f （x ）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可. 【详解】由f （x+2）＝f （x ），得f （x ）是周期函数且周期为2，先作出f （x ）在x ∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移， 并结合f （x ）是偶函数作出f （x ）在R 上的图象如下，选项A ，130sincos 16226ππ<=<=<， 所以66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 错误； 选项B ，因为334ππ＜＜，所以203312sin cos -＜＜＜， 所以f （sin3）＜f （﹣cos3），即f （sin3）＜f （cos3），选项B 正确； 选项C ，434144sin,1033233cos sin cos ππππ==->->->， 所以4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 选项C 错误；选项D ，(2020)(0)(1)(2019)f f f f =<=，选项D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.12．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省南宁市2021届新高考数学四模考试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．2．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种【答案】C 【解析】 【分析】分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.3．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】 【分析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，21tan 2b aPAF a c ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.4．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =u u u r u u u r ，若BE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】B 【解析】 【分析】选取向量AB u u u r ，AC u u u r 为基底，由向量线性运算，求出BE u u u r，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 5．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>， 又由0.512c =>，所以c b a >>. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c . 【详解】因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又因为31382412422<=<=<，所以a b <，又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A ．12- B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值. 【详解】 依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI 指数值，判断选项中的命题是否正确. 【详解】对于A ，由图可知20天的AQI 指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误.对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.10．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 11．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 【详解】∵()2cos221cos2cos22121x xx x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数， ∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M,N 两点,若||MN =,则MNF V 的面积为( )A B ．38C ．8D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由C M C N ''==，MN =C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积． 【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，由于C M C N ''=，MN =C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为，代入抛物线方程得22p =p =，∴4F ，1132248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省南宁市2021届新高考数学五模考试卷含解析
广西省南宁市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.3．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）A ．6B ．9C ．D ．【答案】B 【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为212p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 4．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ．本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．6．设()f x =()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【详解】由题意知sinn θ=，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++，∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3. 【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.7．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BC．D【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bcy x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bcb a a kc a b-==-=-，222b a∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 8．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T?（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．9．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．10．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos 222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题. 12．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1） B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的求法直接求出结果. 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)A B =-+∞U ， 故选C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省崇左市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析
广西省崇左市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )A ．5B ．15C ．10D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12s S ab C =，求出ABC 面积的最大值. 【详解】ABC 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，整理得22212c a b ab =+-，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 44C C C π=∈=. D 是AB 的中点，且1CD =，()()222,2CD CA CB CDCA CB ∴=+∴=+，即22242CD CA CB CA CB =++，即222211542cos 2222b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=， 85ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立.ABC ∴的面积118sin 225S ab C =≤⨯所以ABC 故选：A . 【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 2．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是A ．)+∞B ．)+∞C ．⎤⎦D ．⎤⎦【答案】B 【解析】 【分析】由模长公式求解即可. 【详解】22222()242a tb a tb a a bt t b t t +=+=+⋅+=++≥当1t =-时取等号，所以本题答案为B. 【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.3．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率e ==，所以e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题. 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ． 方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 5．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D．【答案】A 【解析】 【分析】由()()f a f b =推导出1b a =，且01a <<，将所求代数式变形为2244244222a b a b a b a b+-+=-++，利用基本不等式求得2a b +的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值. 【详解】函数()ln f x x =满足()()f a f b =，()()22ln ln a b ∴=，即()()ln ln ln ln 0a b a b -+=，0a b <<，ln ln a b ∴<，ln ln 0a b ∴+=，即()ln 01ab ab =⇒=，21ab a ∴=>，则01a <<，由基本不等式得122a b a a +=+≥=12a =时，等号成立.()()()()222224428442442222222a b ab a b ab a b a b a b a b a b+--+-+-+===-++++，由于函数42x y x=-在区间)⎡+∞⎣上为增函数，所以，当222a b +=时，224442a b a b +-+取得最小值220222-=.故选：A. 【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.6．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序框图运行分析即得解. 【详解】2111,0;2,0226k S k S ====+=+； 21113,6334k S ==+=+；21134,44410k S ==+=+.所以①处应填写“3?k ” 故选：B 【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】 【分析】 由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域.【详解】50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 因此，函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.8．已知m 为一条直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m ααβ∥∥，则m β∥ B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥ D ．若,m ααβ⊥∥，则m β⊥【答案】D 【解析】A. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂，故A 错误；B. 若,m αβα⊥⊥，则//m β或m β⊂故B 错误；C. 若//,m ααβ⊥，则//m β或m β⊂，或m 与β相交；D. 若,//m ααβ⊥，则m β⊥，正确. 故选D.9． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【详解】对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.10．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选B ．11．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 12．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =，即可得出1a ≤-，从而求出结果．【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥，且A B R =，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-． 故选：D ． 【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西省北海市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析
广西省北海市2021届新高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．98【答案】C【解析】【分析】 由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.【详解】由题意运行程序可得：4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=；4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=；4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=；4i <不成立，此时输出34s =.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.2．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34- 【答案】C【解析】【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=,所以将已知式子中的向量用AD AB AC ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案【详解】由BD xAB yAC =+，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅，即412y =，所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.3．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】【分析】 根据题意可将1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln x f x x=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥． 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥． 故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．4．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】【分析】 由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.5．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2] 【答案】D【解析】【分析】 由()0f x ax a -+恒成立，等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.【详解】 因为2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨->⎩由()(1)f x a x -恒成立，分别作出|()|y f x =及(1)y a x =-的图象，由图知，当0a <时，不符合题意，只须考虑0a 的情形，当(1)y a x =-与()(1)y f x x =图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此时21(1)|2x a x '==-=，故02a .【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．） A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 【答案】B【解析】 试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-= 故选B ．考点：正态分布7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>【答案】D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0，22)，1(2O ，12，0)，(0E ，0，2)，1(1B ，1，2)， 111(,,2)22OB =，112(,,)22OE =--， 1122(,,)22OF =-，12(1,1,)EB =，2(1,0,)EF =， 设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-， 同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．8．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ）A ．3B ．3或7C ．5D ．5或8 【答案】B【解析】【分析】 根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】 函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3.故选：B.【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题9．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =【答案】D【解析】【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项，故选：D ．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．10．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A ．()ln f x x x =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =- 【答案】B【解析】【分析】奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可.【详解】A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x x x x f x f x e e e e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0x x f x e e -=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=， 满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.11．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．2-B ．2C ．43-D ．43【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的性质求出点P 坐标和焦点F 坐标，进而求出点M 的坐标，代入斜率公式即可求解.【详解】设点P 的坐标为()000,,0x y y >，由题意知，焦点()1,0F ,准线方程:1l x =-， 所以015PM x =+=，解得04x =，把点P ()04,y 代入抛物线方程可得，04y =±，因为00y >，所以04y =，所以点M 坐标为()1,4-，代入斜率公式可得，40211MF k -==---. 故选：A【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.12．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值.【详解】 根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立．继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =，由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年广西南宁三中高考数学二模试卷(文科)(附答案详解)
2021年广西南宁三中高考数学二模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. (2021·甘肃省·模拟题)已知集合A ={x|−2<x ≤1}，B ={−2,−1,0，1}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0，1}B. {−1,0，1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}2. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)设复数z =i−31+i ，则z 的共轭复数z −=( )A. −1+2iB. 1+2iC. −1−2iD. 1−2i3. (2021·广东省佛山市·单元测试)设命题p ：∀x >1，x >lnx ；则¬p 为( )A. ∃x 0>1，x 0>lnx 0B. ∃x 0≤1，x 0≤lnx 0C. ∃x 0>1，x 0≤lnx 0D. ∀x >1，x ≤lnx4. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,3)，则a⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=( )A. 0B. 1C. −1D. 25. (2021·江西省·模拟题)某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为( )A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π6. (2021·浙江省·模拟题)设变量x 、y 满足约束条件{y ≤42x −3y ≤−22x +y ≥6，则目标函数z =x +y 的最小值是( )A. 1B. 3C. 4D. 57. (2021·陕西省西安市·模拟题)函数f(x)=cosx−x 2e x的图象大致为( )A. B.C. D.8.(2021·宁夏回族自治区银川市·模拟题)在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a5+a7=160，则a1=()A. 0B. 1C. 2D. 49.(2020·黑龙江省哈尔滨市·单元测试)已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2,1)，则过P点最短弦所在的直线方程是()A. x−y+1=0B. x+y−3=0C. x+y+3=0D. x=210.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是()A. n≥6B. n≥8C. n>10D. n≥1011.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为√32，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为(1,1)，则直线l的斜率为()A. −14B. −34C. −12D. 112.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知直线l是曲线f(x)=x4−2x3在点(1,f(1))处的切线，点P(m,n)是直线l上位于第一象限的一点，则m+2nm⋅n的最小值为()A. 4B. 9C. 25D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·体验省·单元测试)已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是．14.(2021·福建省厦门市·模拟题)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，则)=______ ．f(π615.(2021·甘肃省金昌市·模拟题)在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，，则阴影区域的面从该正方形区域内任取一点，若该点落在阴影区域内的概率为49积为______ ．16.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=2，M为棱BC的中点，动点P满足∠APD=∠CPM，则点P的轨迹与长方体的侧面DCC1D1的交线长等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·安徽省·单元测试)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC．(1)求A；(2)从下列条件中：①a=√3；②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．18.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如表．附表及公式：其中n=a+b+c+d，K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；(2)规定成绩在80分以上为优秀，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．优秀非优秀合计男生女生合计19.(2021·江西省萍乡市·模拟题)在如图所示的空间几何体中，两等边三角形△ACD与△ABC互相垂直，AC=BE=4，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE//平面ABC；(2)求点B到平面ADE的距离．20.(2021·河南省平顶山市·单元测试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，离心率e=12，短轴长为2√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积．21.(2021·安徽省·模拟题)已知函数f(x)=kx2+2x−lnx．(1)当k=1时，求在x=1处的切线方程；(2)若f(x)在定义域上存在极大值，求实数k的取值范围．22.(2014·山西省临汾市·模拟题)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是{x=√3cosαy=sinα(α是参数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin(θ+π4)=4√2(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．23.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当a=2，b=1时，解不等式f(x)≥9；(2)若f(x)的最小值为2，求1a+1+12b的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−2<x≤1}，B={−2,−1,0，1}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：B．进行交集的运算即可．本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z=(i−3)(1−i)2=−2+4i2=−1+2i，∴z−=−1−2i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【知识点】全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定【解析】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．∴￢p：∃x0>1，x0≤lnx0故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：由已知条件可得a⃗2=1+1=2，a⃗⋅b⃗ =1×(−1)−1×3=−4，因此，a⃗⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2×2−4=0．利用向量的数量积的运算法则，求解即可． 本题考查向量的数量积的求法，是基础题．5.【答案】D【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体； 故V =34×43⋅π⋅13=π． 故选：D ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】C【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −3y =−22x +y =6，解得A(2,2)，化z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2+2=4， 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．【知识点】函数图象的作法 【解析】解：f(−x)=cos(−x)−(−x)2e −x=cosx−x 2e −x≠f(x)，即f(x)不为偶函数，其图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ；当x =0时，f(x)=1e >0，故排除D ， 故选项B 符合函数f(x)， 故选：B ．先判断函数的奇偶性，再根据函数的零点和函数值的特点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值的特点是解题的关键，属于基础题．8.【答案】C【知识点】等比数列的通项公式 【解析】解：在等比数列{a n }中， ∵a 1+a 3=10，a 5+a 7=160， ∴{a 1+a 1q 2=10a 1q 4+a 1q 6=160， 解得q 2=4，a 1=2． 故选：C ．利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解：如图：圆心坐标D(1,0)，要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，=1，此时DP的斜率k=1−02−1则弦BC的斜率k=−1，则此时对应的方程为y−1=−1(x−2)，即x+y−3=0，故选B．根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆的位置关系确定最短弦满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】D【知识点】程序框图【解析】解：由程序框图，其执行结果如下：1、S=0，n=0：n=2，S=2，执行循环体；2、S=2，n=2：n=4，S=6，执行循环体；3、S=6，n=4：n=6，S=12，执行循环体；4、S=12，n=6：n=8，S=20，执行循环体；5、S=20，n=8：n=10，S=30，跳出循环体，输出S=30；∴框内条件应为n≥10．故选：D．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，根据已知即可得解判断框内本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．11.【答案】A【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标为(x1+x22,y1+y22)，由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，将A，B的坐标的代入椭圆的方程：{x12a2+y12b2=1x22 a2+y22b2=1，作差可得x12−x22a2+y12−y22b2=0，所以y1−y2x1−x2=−b2a2⋅x1+x2y1+y2=−b2a2，又因为离心率e=ca =√32，所以1−b2a2=34，所以−b2a2=−14，即直线AB的斜率为−14，故选：A．设A，B的坐标，代入椭圆的方程，作差可得直线AB的斜率的表达式，再由椭圆的离心率可得a，b的关系，进而求出直线AB的斜率．本题考查椭圆的性质及点差法求直线的斜率，属于基础题．12.【答案】B【知识点】导数的几何意义【解析】解：f(x)=x4−2x3的导数为f′(x)=4x3−6x2，可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为4−6=−2，切点为(1,−1)，切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为2x+y=1，则2m+n=1(m,n>0)，所以m+2nm⋅n =(2m+n)(1n+2m)=5+2mn+2nm≥5+2×2=9，当且仅当m=n=13时，取得等号．则m+2nm⋅n的最小值为9．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，由乘“1”法和基本不等式，可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．13.【答案】2【知识点】平均数、中位数、众数【解析】【分析】本题考查平均数的定义的运用，属于基础题．运用平均数的定义，解方程可得a的值．【解答】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．14.【答案】12【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，∴φ=π2，f(x)=cos2x，则f(π6)=cosπ3=12，故答案为：12．由题意利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，可得f(π6)的值．本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．15.【答案】16【知识点】几何概型【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：S 6×6=49，解得：S =16． 故答案为：16．由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．16.【答案】2π3【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征 【解析】解：如下图所示：当P 在面DCC 1D 1内时，AD ⊥面DCC 1D 1，CM ⊥面DCC 1D 1；又∠APD =∠MPC ，在Rt △PDA 与Rt △PCM 中，∵AD =6，则MC =3，∴tan∠APD =ADPD=tan∠MPC =MCPC，则6PD =3PC ，即PD =2PC.在平面DCC 1D 1中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则D(−3,0)，C(3,0)，设P(x,y)，由PD =2PC ，得√(x +3)2+y 2=2√(x −3)2+y 2， 整理得：x 2−10x +y 2+9=0，即(x −5)2+y 2=16． ∴点P 的轨迹是以F(5,0)为圆心，半径为4的圆． 设圆F 与面DCC 1D 1的交点为E 、M ， 作EK 垂直x 轴于点K ，则sin∠EFK =EK EF=24=12；∴∠EFK =π6；故点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线为劣弧ME ⏜，所以劣弧ME ⏜的长为π6×4=2π3．由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面DCC1D1内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面DCC1D1的交线，进而求得交线长．本题考查棱柱的结构特征、圆的方程、弧长问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．17.【答案】解：(1)因为(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC，由正弦定理得(b−a)(b+a)=(b−c)c，即b2+c2−a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =12,A∈(0,π)，所以A=π3．(2)选择①a=√3.由正弦定理bsinB =csinC=asinA=2，即△ABC周长l=2sinB+2sinC+√3=2sinB+2sin(2π3−B)+√3=3sinB+√3cosB+√3=2√3sin(B+π6)+√3，∵B∈(0,2π3)∴π6<B+π6<5π6,12<sin(B+π6)≤1，即△ABC周长的取值范围(2√3,3√3],选择②S△ABC=√3.，得S△ABC=12bcsinA=√34bc=√3，得bc=4．由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，即△ABC周长l=a+b+c=√(b+c)2−12+b+c，∵b+c≥2√bc=4，当且仅当b=c=2时等号成立．∴l=a+b+c≥√42−12+4=6，即△ABC周长的取值范围[6,+∞)．【知识点】正弦定理及变形、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、三角形面积公式、利用余弦定理解决范围与最值问题、由基本不等式求最值或取值范围、利用正弦定理解决范围与最值问题、利用余弦定理解三角形【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理得cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值．(2)选择①a =√3.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC 周长l =2√3sin(B +π6)+√3，可求B +π6的范围，根据正弦函数的性质可求△ABC 周长的取值范围；选择②利用三角形的面积公式可得bc =4，由余弦定理得a 2=(b +c)2−12，根据基本不等式可求b +c ≥2√bc =4，即可得解△ABC 周长的取值范围．18.【答案】(1)男生的平均分x −1=45×3+55×9+65×18+75×15+85×6+95×960=71.5，女生的平均分x −2=45×6+55×4+65×5+75×10+85×13+95×240=71.5，从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关；(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：计算可得K 2=100×(15×25−15×45)230×70×60×40≈1.786<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．【知识点】独立性检验【解析】(1)利用平均数的计算公式求解即可；(2)由题中的信息，补全2×2列联表，由公式计算K 2的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案．本题考查了特征数的求解以及独立性检验的应用，解题的关键是掌握平均数的计算公式以及独立性检验的方法，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取AC 中点O ，连接BO ，DO ，由题知，BO 为∠ABC 的平分线，BO⊥AC，DO⊥AC，设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，连接EF，则EF⊥平面ABC．∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，DO⊥AC，∴DO⊥平面ABC，∴DO//EF，……………………………………………………………(2分)∵BE和平面ABC所成的角为60°，即∠EBF=60°，∴EF=2√3，又DO=2√3，∴四边形EFOD为平行四边形，∴DE//BO，…………………………………(5分)BO⊆平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE//平面ABC.……………………………………(6分) (2)解：设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2……………………………(8分)1 3⋅12⋅AD⋅DE⋅d=13⋅12⋅ED⋅DO⋅2……………………………(10分)解得d=√3.………………………………(12分)【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)取AC中点O，连接BO，DO，证明BO⊥AC，DO⊥AC，连接EF，说明EF⊥平面ABC.推出DO⊥AC，利用BE和平面ABC所成的角为60°，证明DE//BO，推出DE//平面ABC．(2)设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2，求解距离即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，等体积法的应用，点、线、面距离的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得{ca =122b=2√3，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由B1(0,√3)，F2(1,0)，知B1F2的斜率为−√3，因为MN ⊥B 1F 2，故MN 的斜率为√33，则直线l 的方程为y =√33(x −1)，即x =√3y +1，联立{x 24+y 23=1x =√3y +1，得13y 2+6√3y −9=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6√313，y 1y 2=−913，则△F 1MN 的面积为S =c ⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2413， 则△F 1MN 的周长L =4a =8， 即S =12LR ，得内切圆R =2S L=613，所以△F 1MN 的内切圆面积为πR 2=36169π.【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】(1)由离心率e =12，短轴长为2√3，列方程组，解得a ，b ，进而可得椭圆的方程．(2)由题可知B 1F 2的斜率为−√3，又MN ⊥B 1F 2，得MN 的斜率为√33，写出直线l 的方程，联立椭圆的额方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，进而可得△F 1MN 的周长L =4a =8，则内切圆R =2S L，进而可得△F 1MN 的内切圆面积．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)k =1时，f(x)=x 2+2x −lnx ，f′(x)=2x +2−1x ，因为f(1)=3，f′(1)=3，故f(x)在x =1处的切线方程为y −3=3(x −1)，即y =3x ； (2)f′(x)=2kx +2−1x =2kx 2+2x−1x，x >0，设g(x)=2kx 2+2x −1，①当k =0时，g(x)=0可得x =12，易得，当0<x <12时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >12时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)有极小值，没有极大值；②当k >0时，△=4+8k >0，由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当x >√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)有极小值，没有极大值； ③当k <0时，△=4+8k ，当k ≤−12时，△=4+8k ≤0，f′(x)≤0，f(x)单调递减，没有极大值， 当−12<k <0时，△=4+8k >0， 由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，或x =−√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当√1+2k−12k<x <−√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，当x >−√1+2k−12k，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x =−√1+2k−12k取得极大值，综上−12<k <0．【知识点】导数的几何意义、利用导数研究函数的极值【解析】(1)把k =1代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； (2)先对函数求导，结合导数与单调性的关系讨论k 的范围，确定函数单调性，进而确定极值的存在情况，可求．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．22.【答案】解：(1)由曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα，可得{√3=cosαy =sinα，两式两边平方相加得：(√3)2+y 2=1，即曲线C 1的普通方程为：x 23+y 2=1．由曲线C 2：ρsin(θ+π4)=4√2得：√22ρ(sinθ+cosθ)=4√2，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x +y −8=0， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x +y −8=0．(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin(α+π3)=1时，d 的最小值为3√2，此时点P 的坐标为(32,12)．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求得椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P 的坐标．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =2，b =1时，f(x)=|x −2|+|x +1|≥9，所以{x ≤−1−2x +1≥9或{−1<x ≤23≥9或{x >22x −1≥9，(3分)解得：x ≤−4或x ≥5，故解集为(−∞,−4]∪[5,+∞)；(5分)(2)由a >0，b >0，所以f(x)=|x −a|+|x +b|≥|x +b −x +a|=|a +b|=a +b ， 当且仅当(x −a)(x +b)≤0，即−b ≤x ≤a 时，等号成立． 若f(x)的最小值为2，则a +b =2，所以(a +1)+b =3，(7分)1a +1+12b =13(1a +1+12b )((a +1)+b)=13(32+b a +1+a +12b )≥13(32+2√12)=13(32+√2)=12+√23当且仅当ba+1=a+12b，即a =5−3√2，b =3√2−3时，等号成立．(9分)所以1a+1+12b 的最小值为12+√23.(10分)【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式 【解析】(1)去掉绝对值，转化求解不等式的解集即可． (2)由推出a +b =2，利用基本不等式转化求解最值即可．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
广西玉林市、柳州市2021届高三第二次模拟考试文科数学试题及答案
2021届高三第二次模拟考试文科数学(考试时间120分钟满分150分)注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。
答题前请仔细阅读答题卡。
上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3.做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案。
第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x∈N|2x－7≤0}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝A.{x|0<x≤3}B.{0，1，2，3}C.{x|－1≤x≤72} D.{1，2，3}2.复数z＝2i13i-(i为虚数单位)的虚部是A.－35i B.15i C.15D.－353.已知向量a＝(m，1)，b＝(4，m－3)，则m＝4是a//b的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件4.已知偶函数g(x)在(0，＋∞)，上是减函数，若a＝g(－log2)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响”，得到了如下样本数据：附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n＝a＋b＋c＋d。
根据表中的数据，下列说法中正确的是6.函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为A.－1 D.－27.若571sin cos1212tanππα-=，则tanα＝C.－4D.－38.等差数列{a n}的前n项和为S n，当首项a1和公差d变化时，a3＋a8＋a10是一个定值，则下列选项中为定值的是78 13 159.已知函数y ＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x 的最大整数。
执行如图程序框图，则输出的S 值为10.已知点P 是边长为2的正三角形ABC 所在平面上一点，满足()PC PA PB ⋅+＝0，则PB 的最小值是A.2B.12D.211.圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1上一动点M ，抛物线y 2＝8x 上一动点N(x 0，y 0)，则x 0＋|MN|的最小值为112.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，下列结论中正确的个数是①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B 1D 1//平面EFG ；③异面直线EF 与BD 1；④四面体ACB 1D 1的体积等于33a 。
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第 1 页 共 13 页 2021年广西高考数学模拟试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟。
请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝ ( )
A ．{－1,0}
B ．{0,1}
C ．{－2，－1,0,1}
D ．{－1,0,1,2} 2．已知非零向量a ，b 满足
a =2
b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
3．若0tan >α，则 （ ）
A ．0sin >α
B ．0cos >α
C ．02sin >α
D ．02cos >α
4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2
n x ≥”的否定形式是 （ ）.
A.*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <
B.*x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <
C.*x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <
D.*x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <
7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )。