二次函数与abc关系

10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( D )
A.a＞0 B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4
D.a＜9/4且a≠0
11. 某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管向 外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面 与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面40/3米，则水流落地点B离墙 的距离OB是 ( B) A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 ①抛物线顶点M（1,40/3) 与y轴交点A(0.10)
A、2个
C、4个
B、3个
D、5个
y
-1 o
1
x
练习
10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③ 4a+2b+c ＞ 0；④（a+c）2＜b2，其中正确的个 数是 （ B ）
A、4个
C、2个
B、3个
D、1个
y
o
x=1 因为a+b+c>0所以b>-a-c两边同时平方
x
8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图 象是图中的（ ） C y y
o
x （A） y y （B）
练习
o
x
o
x （C）
o （D）
x
练习
9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a； ③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的 个数是 （ C ）
练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b<0, c>0, o x △>0.
练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b>0, c=0, o x △>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图Βιβλιοθήκη Baidu示，试确定a、 b、c、△的符号：
例:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛
a b c 10 abc 4 4a 2b c 7
待定系数法
解得，a 2, b 3, c 5
-1
a <0,b >0,c >0
3.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )
4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y＜0时，对应的x取值范围 是 -3＜x＜1 .
-3
１
.-3
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示，下列结论： ① a+b+c＜0，②a-b+c＞0； ③ abc＞0；④b=2a 中正确个数为 (A ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 当x= 1时,y=a+b+c a <0,b <0,c>0 当x=-1时,y=a-b+c x=- b/2a=-1
2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条 件是什么？
a ＜ 0 2 b 4ac＜ 0
的值永远是负值的条件是什么？
x
变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0） 你知道吗？不论x取何值时，函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非 正数的条件是什么？
知识点三：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 a+b+c>0 点在x轴上方 a+b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a+b+c=0 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c>0 点在x轴上方 a-b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a-b+c=0
由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过
（0，-3），∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2， -7）
已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,
设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点 a-b+c=0 ∴ c=1 4a+2b+c=-7 a=-1 b=-2 c=1
x
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
A、abc＞0 B、b2-4ac＞0 C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x y
-b\2a<1,b>-2a,2a+b>0
1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则 16 m= . 2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上 0 则b= ________ 3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线 -4 x=2则b= ________
y=-x2-2x+1
例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经 过点C（2，8） （1）求该抛物线的解析式 （2）求该抛物线的顶点坐标 由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点， 得 解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c a=2 4a-2b+c=0 b=2 解这个方程组得， a+b+c=0 C=-4 4a+2b+c=8 所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4 (2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2 所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）
例：如图，已知二次函数 y ax 4x c 的图像经过点 A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其 中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称， 求m的值及点Q 到x轴的距离．
2
y
－1 O A －1
B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1
y
o
1
x
二、典型例题分析
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c， 且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A ) A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac＜0 D. b2-4ac≤0 2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点M（b,c/a)在 (D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为 A(x1,0),B(x2,0);
那么AB=|x1-x2|= |a|
C y
x2 o
x1
x
知识点二：
二次函数 y=ax² +bx+c 的符 号问题
知识点一：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
a>0 a<0 由抛物线与y轴的交点位置确定 （2）C的符号： c>0 与y轴的正半轴相交 与y轴的负半轴相交 经过坐标原点 c<0 c=0
开口向上 开口向下
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 a、b同号 a、b异号 b=0
3
x
－9
图13
B
解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得 1 a ( 1) 2 4 ( 1) c, 解得 a 1,
2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1) 求证 : 不论 m 为何值时 , 函数的图像与 x 轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时 ,函数图像过原点 ,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点； 2 2 若函数图像的顶点在第四象限 ,求 (1)(3) (m 1) 4 2(m 1) (m 3)m ,的取值 范围 . 无论m为何值时， 0.
6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 (C ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)
7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列a、b、 c间的关系判断正确的是 ( ) D A.ab < 0 B.bc < 0 C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 a <0,b <0,c <0
y a<0, b<0, c>0, o x △>0.
练习
4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b=0, c>0, o x △=0.
练习
5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b=0, c=0, o x △=0.
练习
6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a<0, b>0, c<0, o x △<0.
练习
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，则点M（
b ，a）在 c
（ D ）
y
A、第一象限
C、第三象限
B、第二象限
D、第四象限
a<0,
b>0, c>0,
o
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，下列结论中：①abc＞0； ②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ）
y
A 、 2个
C 、 4个
4错
B 、 3个
D 、 5个
-1 o 1 x
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如 图所示，下列结论中下正确的是（ D） A、abc＞0
8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图，则不等式bx+a>0的 解为 (D ) A.x > a/b B.x > -a/b C.x < a/b D.x < -a/b
a <0,b <0
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示， 那么下列判断不正确的有( D ) A.abc＞0 B. b2-4ac＞0 C.2a+b＞0 D.4a-2b+c＜0 X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0 当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
抛物线与x轴总有交点，且当＝0时，即m＝3时， 抛物线与x轴只有一个交点. (2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件 的特点选择合适的方法来求解 一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点 式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴 两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称 轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条 件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后 组成三元一次方程组来求解。
所求的二次函数是 y 2x 2 3x 5
例：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式
（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3) 已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k ∵顶点是（1，2） ∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3 （2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3） 已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)
O
②求得抛物线解析式;
③求出抛物线与x轴的交点;
三、综合应用 能力提升
1、(青海省)如图所示，已知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)， B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作 直线，求此直线的解析式； (3)求△ABC的面积. (1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3
1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴 上方的条件是什么？ a＞ 0 b2-4ac＜0 x
变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远是正值的条件是什么？
你知道吗？不论x取何值时，函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非负 数的条件是什么？ a>0,b2-4ac≤0
知识点二：