等比数列求和PPT课件
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等比数列求和公式PPT教学课件
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )yΒιβλιοθήκη y2yn(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
（2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时，Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
(1) (2)
(2) (1)得：1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得：
a1 2,q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3, S9 , S6成等差数列，
求证：a , a , a 成等差数列。 285
高一数学等比数列求和2(PPT)4-3
知识回顾
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
得到一种沸点为.℃的无色发烟液体，即四氯化锗（GeCl4）：无色液体，在湿空气中因水解而产生烟雾，易挥发，其熔点为-.℃，沸点为.℃，密度为.克/厘 米，溶于乙醇和乙醚，遇水发生水解。 [] Ge+Cl→△GeCl4 GeCl4+4HO→Ge(OH)4+4HCl 锗的所有四卤化物都能很容易地被水解，生成含水二氧化锗。 四氯化锗用于制备有机锗化合物。跟；整形美容网,整形美容,整形,美容,整容,说整容：/ ； 四卤化物相反的是，全部 四种已知的二卤化物，皆为聚合固体。另外已知的卤化物还包括GeCl及GenCln+。还有一种奇特的化合物GeCl，里面含有新戊烷结构的GeCl。 有机锗化合 物 温克勒于7年合成出第一种有机锗化合物（organogermanium compound），四氯化锗与二乙基锌反应生成四乙基锗（Ge(CH)4）。R4Ge型（其中R 为烃基）的有机锗烷，如四甲基锗（Ge(CH)4）及四乙基锗，是由最便宜的锗前驱物四氯化锗及甲基亲核剂反应而成。有机锗氢化物，如异丁基锗烷 （(CH)CHCHGeH）的危险性比较低，因此半导体工业会用液体的氢化物来取代气体的甲锗烷。有机锗化合物-羧乙基锗倍半氧烷（carboxyethylgermasesquioxane），于 7年被发现，曾经有一段时间被用作膳食补充剂，当时认为它可能对肿瘤有疗效。 [] 甲锗烷（GeH4）是一种结 构与甲烷相近的化合物。多锗烷（即与烷相似的锗化合物）的化学式为GenHn+，现时仍没有发现n大于五的多锗烷。相对于硅烷，锗烷的挥发性和活性都 较低。GeH4在液态氨中与碱金属反应后，会产生白色的MGeH晶体，当中含有GeH阴离子。含一、二、三个卤素原子的氢卤化锗，皆为无色的活性液体。 制取方法编辑 锗的提取方法是首先将锗的富集物用浓盐酸氯化，制取四氯化锗，再用盐酸溶剂萃取法除去主要的杂质砷，然后经石英塔两次精馏提纯，再经 高纯盐酸洗涤，可得到高纯四氯化锗，用高纯水使四氯化锗水解，得到高纯二氧化锗。一些杂质会进入水解母液，所以水解过程也是提纯过程。纯二氧化锗 经烘干煅烧，在还原炉的石英管内用氢气于-℃还原得到金属锗。半导体工业用的高纯锗（杂质少于/）可以用区域熔炼技术获得。 [] 4HCl+GeO→GeCl4+HO GeCl4+(n+)HO→GeO·nHO+4HCl GeO+H→Ge+HO 主要用途编辑 工业用途 锗 锗 锗具备多方面的特殊性质，在半导体、航 空航天测控、核物理探测、光纤通讯、红外光学、太阳能电池、化学催化
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
得到一种沸点为.℃的无色发烟液体，即四氯化锗（GeCl4）：无色液体，在湿空气中因水解而产生烟雾，易挥发，其熔点为-.℃，沸点为.℃，密度为.克/厘 米，溶于乙醇和乙醚，遇水发生水解。 [] Ge+Cl→△GeCl4 GeCl4+4HO→Ge(OH)4+4HCl 锗的所有四卤化物都能很容易地被水解，生成含水二氧化锗。 四氯化锗用于制备有机锗化合物。跟；整形美容网,整形美容,整形,美容,整容,说整容：/ ； 四卤化物相反的是，全部 四种已知的二卤化物，皆为聚合固体。另外已知的卤化物还包括GeCl及GenCln+。还有一种奇特的化合物GeCl，里面含有新戊烷结构的GeCl。 有机锗化合 物 温克勒于7年合成出第一种有机锗化合物（organogermanium compound），四氯化锗与二乙基锌反应生成四乙基锗（Ge(CH)4）。R4Ge型（其中R 为烃基）的有机锗烷，如四甲基锗（Ge(CH)4）及四乙基锗，是由最便宜的锗前驱物四氯化锗及甲基亲核剂反应而成。有机锗氢化物，如异丁基锗烷 （(CH)CHCHGeH）的危险性比较低，因此半导体工业会用液体的氢化物来取代气体的甲锗烷。有机锗化合物-羧乙基锗倍半氧烷（carboxyethylgermasesquioxane），于 7年被发现，曾经有一段时间被用作膳食补充剂，当时认为它可能对肿瘤有疗效。 [] 甲锗烷（GeH4）是一种结 构与甲烷相近的化合物。多锗烷（即与烷相似的锗化合物）的化学式为GenHn+，现时仍没有发现n大于五的多锗烷。相对于硅烷，锗烷的挥发性和活性都 较低。GeH4在液态氨中与碱金属反应后，会产生白色的MGeH晶体，当中含有GeH阴离子。含一、二、三个卤素原子的氢卤化锗，皆为无色的活性液体。 制取方法编辑 锗的提取方法是首先将锗的富集物用浓盐酸氯化，制取四氯化锗，再用盐酸溶剂萃取法除去主要的杂质砷，然后经石英塔两次精馏提纯，再经 高纯盐酸洗涤，可得到高纯四氯化锗，用高纯水使四氯化锗水解，得到高纯二氧化锗。一些杂质会进入水解母液，所以水解过程也是提纯过程。纯二氧化锗 经烘干煅烧，在还原炉的石英管内用氢气于-℃还原得到金属锗。半导体工业用的高纯锗（杂质少于/）可以用区域熔炼技术获得。 [] 4HCl+GeO→GeCl4+HO GeCl4+(n+)HO→GeO·nHO+4HCl GeO+H→Ge+HO 主要用途编辑 工业用途 锗 锗 锗具备多方面的特殊性质，在半导体、航 空航天测控、核物理探测、光纤通讯、红外光学、太阳能电池、化学催化
等比数列的求和公式课件
+a99 ? 60
34
[例 4] 已知 f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且 a1，a2， a3，…，an 成等差数列(n 为正偶数)．又 f(1)＝n2，f(－1) ＝n，试比较 f(12)与 3 的大小．
请同学们考虑如何求出这个和？
32814 73701 = 103 2
S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 ? 2(1? 即2S64 ? 2 ? 22
2
?
? 22
23 ?
?
23
?
?
263
是?错26位3 )相.
? 2减64法. !
(2)
? 2S64 ? S64 ? (2 ? 2那2如么?果这213些0?0麦02粒粒4麦的? 粒总重质?为量24就603是克? ，264)
根据统计资料显示全世界小麦的年产量约为6亿吨就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦国王无论如何是不能实现发明者的要求的
1
知识回顾：
1.等比数列的定义：
an?1 an
?
q（常数）（ q ? 0, n ? N ? ）
2.通项公式：
a a q an ? a1 ?q n?1 ,
m? n
?g
m
n
3.等比数列的主要性质：
a1 1? q2n 1? q2
,
? S偶 ? a2 ? q. S奇 a1
等比数列前n项和的性质四：
如果?an ?为公比为q的等比数列，对? m、p ? N ?有：
Sm? p ? Sm ? qmSp
29
30
例:已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1, 其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数 列的公比和项数.
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
等比数列求和公式PPT教学课件(1)
拉余着强我一饮同三喝酒大。我白勉而强喝别了。三大杯就告别。
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
数学课件 等比数列求和
S30=1+2+22+23+...+229
天数
2+23+...+229) 2S … 1 30=2(1+2+2 2 3
①
30
2+23+...+229+230 2S =2+2 ② 30 每天借款数 1 2 3 … 30 （万元） (1－2)S30=1－230 ①-②得： 每天还息数 29 1－ 1 2230 2² … 2 （分） S30＝ ＝230－1 ＝1073741823（分） 1－2 ≈1074（万元）
∴一小时内获知此信息的总人数为 : 1×(1－320) 320－ 1 ＝ 1743392200 S20＝ ＝ 1－ 3 2
答：一小时时间可传遍1743392200人
思考：
1、探讨等比数列前n项和公式的多种推 导方法.
2、求和
① 2 3 n ② 1×2+2×2 +3×2 +...+n×2
hjk
2 3 n (1+2)+(2+2 )+(3+2 )+...+(n+2 )
不过有个条件，我要收30天利息：在这 30天中，第一天我借给你1万元，第二天 借给你2万元，以后每天都比前一天多 能否投资我 1万 元； 们的项目… 而你只需第一天还我1分钱，第二天还2分 钱，以后每天都是前一天的2倍。
在这30天中，第一天我借给你1万元，第二天 借给你2万元，以后每天都比前一天多1万元； 而你只需第一天还我1分钱，第二天还2分钱， 以后每天都是前一天的2倍。 (1+30)×30 =465 (万元 ) 借款总额 =1+2+3+...+30 = 2 还息总额 S30 =1+2+22+23+...+229
天数
2+23+...+229) 2S … 1 30=2(1+2+2 2 3
①
30
2+23+...+229+230 2S =2+2 ② 30 每天借款数 1 2 3 … 30 （万元） (1－2)S30=1－230 ①-②得： 每天还息数 29 1－ 1 2230 2² … 2 （分） S30＝ ＝230－1 ＝1073741823（分） 1－2 ≈1074（万元）
∴一小时内获知此信息的总人数为 : 1×(1－320) 320－ 1 ＝ 1743392200 S20＝ ＝ 1－ 3 2
答：一小时时间可传遍1743392200人
思考：
1、探讨等比数列前n项和公式的多种推 导方法.
2、求和
① 2 3 n ② 1×2+2×2 +3×2 +...+n×2
hjk
2 3 n (1+2)+(2+2 )+(3+2 )+...+(n+2 )
不过有个条件，我要收30天利息：在这 30天中，第一天我借给你1万元，第二天 借给你2万元，以后每天都比前一天多 能否投资我 1万 元； 们的项目… 而你只需第一天还我1分钱，第二天还2分 钱，以后每天都是前一天的2倍。
在这30天中，第一天我借给你1万元，第二天 借给你2万元，以后每天都比前一天多1万元； 而你只需第一天还我1分钱，第二天还2分钱， 以后每天都是前一天的2倍。 (1+30)×30 =465 (万元 ) 借款总额 =1+2+3+...+30 = 2 还息总额 S30 =1+2+22+23+...+229
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等比数列中，S3 7 , S6 63 ，求an。
2 2
李仲全
第六章 数列
等比数列的前n项和 公式的推导和应用
知识回顾：
（1）等比数列定义：
an q ( n 2, q 0) an 1
n1 a a q （2）等比数列通项公式： n 1 (a1 , q 0)
（3）等差数列的前n项和公式的推导方法： 倒序相加法
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨· 班· 达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说： 陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
64
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
深化对公式的认识和理解：
等比数列的前n项和公 式 S
当q 1时，
n
当q 1时，
Sn na1.
a1 an q 1 q
a1 (1 q n ) Sn 1 q
(1) a1 , an , q, S n 和各已知 a1 , n, q, Sn 三个可求第四个。
a 2 a1q a3 a 2q a 4 a 3q an an 1q
观察上式你能想出如何表示前n项和吗？
公式的推导
a 2 a3 a 4 ...... an q(a1 a 2 a3 ...... an 1)
即
Sn a1 q( Sn an)
1 1 1 1 求数列1 2 , 2 4 , 3 8 , 4 16 , 的前n项的和.
反思
分组求和
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和 1 1 1 （ 1 ) (2 2 ) (n n )(n N x 0） x x x
归纳总结、内化知识
小 结
当q 1时，
(2)注意求和公式是q ，不要和通项公 式中的q n 1混淆。
n
(3)注意q是否等于1，如果不确定，就要 分q 1和q 1两种情况讨论。
例1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…的前n项和公式并求 出数列的前8项的和。
3 因为a 1 1 ，q 3，所以等比数列的前 解： 1 n项和公式为：
第1格： 第2格： 第3格： 第4格： ……
1 2
22
2
3
第63格： 2 62 第64格：
2 3 62 63
2
63
1 2 2 2 2 2 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？
诱发探究 设等比数列an的公比为q，由等比数列的概念
知 an 1
qa n ，所以有
1 [1 (3) n ] 1 (3) n Sn 1 (3) 4
故
8 1 （ 3 ） S8 1640 4
课堂练习 1．求等比数列中，
1 （1）已知 a1 4 , q ，求S10。 2 （2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
Sn qSn a1 qan
把上面（n-1）个式子的左右两边相加，得
na1 q 1 n n a ( 1 q ) 1 Sn当 a 1 ( 1 q ) q 1时， S n q 11 q 1 q q 1 时，S n na1 当
（错位相减法） 公式证明
Sn a1 a1q a1q a1q
2
n1
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q a1q
2
n1
a1q
n
两式相减，得
a1(1 q ) Sn (q 1) 1 q
n
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 2 2 2 2 ?
2 3 62 63
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
64 2S64 2 2 2 2 2
2 3 63
S64 2 1 ＝18,446,744,073,709,551,615
1、等比数列前n项和：
a1 an q Sn 1 q
a1 (1 q n ) Sn 1 q
Sn na1. 当q 1时，
2、注意选择适当的公式，必要是分情况讨论。 3、学会建立等比数列的数学模型，来解决实际问题。
作业布置: 必做： 课本P17-18 选做：
练习6.3.3 1.2题
解 : （ 1） （ 2）
1 10 4[1 ( ) ] a1 (1 q10 ) 1023 2 S10 1 1 q 128 1 2
a1 ak q 1 243 3 Sk 364 1 q 1 3
拓展训练 、深化认识
1 1 1 1 1 S 1 2 3 4 (n n ) 解: n 2 4 8 16 2 1 1 1 1 (1 ) (2 ) (3 ) (n n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 (1 2 3 n) ( n ) 2 4 8 2 1 1 n n(n 1) 2 [1 ( 2 ) ] n 2 n 1 1 n 1 2 2 2 1 2