多元统计分析——均值向量和协方差阵检验.ppt

（
2）两个总体方差
12
和
2 2
未知，但
2 1
=
2 2
=
2
用 sp 代替 ，构造检验统计量
t xy
sp
1 1 n1 n2
当 H0 成立时，t 服从自由度为 n1 n2 2 的 t 分布，即 t t(n1 n2 2) 。
检验规则为：
当| t | t /2 (n1 n2 2) 时，拒绝 H0 ；
其中:
x
1 n
n i 1
xi
为样本均值。
当假设成立时， ～N（0，1），否定域为| | /2 ， / 2 为 N (0,1) 的上 / 2 分位点。
n
（2）当 未知时，用 S 2 (xi x )2 /(n 1) 作为 2 的估计，用统计量 i 1
t x 0 n 来检验假设。 S
当假设成立时，t～t(n-1),否定域为 | t | tn1( / 2) ， tn1( / 2) 为 tn1 的上 / 2 分位点。
统计量
t x 0 n
S
等价于 t 2 n(x 0 )'(S 2 )1(x 0 )
当假设成立时，t2～F(1,n-1)（自由度为 1，n-1 的 F 分布），其否定域为 t 2 F1,n1( ) ，后者
为 F1,n1 的上 分位点。
基本性质：在一元统计中，
若统计量t ～t(n-1)分布，当假设为真 时，统计量t2～F1,n-1分布，其否定域 为 t2 F1,n-1（）
其否定域为 T02
2 p
(
)
，后者是
2 p
的上
分位点。
（2） 未知。这时 的无偏估计是 ˆ S /(n 1) ,
统计量
T 2 n( X 0 )'ˆ 1( X 0 ) n(n 1)( X 0 )' S 1( X 0 )
T ～ 2 （p,n-1）
T 2 与 F 分布的关系:
在 H 条件下 F n p T 2
当| t | t /2 (n1 n2 2) 时，接受 H0 。
3、两个p维正态总体均值的检验
（1）协方差相等的情况 考虑假设检验问题
H0 : 1 2 ， H1 : 1 2
设 x1, x2 , , xn 是 取 自 总 体 N p (1, ) 的 容 量 为 n 的 样 本 ， y1, y2 , , ym 是 取 自 总 体
编号 1
身高（cm） 78
胸围（cm） 60．6
上半壁围（cm） 16．5
2
76
58．1
12．5
3
92
63．2
14．5
4
81
59．0
14．0
5
81
60．8
15．5
6
84
59．5
14．0
这是假设检验问题： H0 ：μ = 0 ， H1 ：μ≠ 0
3.独立样本检验
• 即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者是否有 显著的差异。与单一样本T检验的原理相同，采用小概率 反证法。
• 例如：推断样本是否来自同一总体 情形一：有两个样本，其均值不等； （并不能断定它们不是来自同一总体） 情形二：有两个样本，其均值相等； （并不能据此断言它们是来自同样的总体）
——这就需要用到均值比较的方法
2.单一样本检验
• 已知某校大三学生的平均身高是163cm。 现从某院大三学生中随机抽取20个测量出 其身高。检验该院大三学生的身高与该校 大三学生的身高平均值是否相等。
• 建立一个原假设：H0：假设该院大三学生 的身高与该校大三学生的平均身高相等。
• 这属于单个变量的均值与已知常数的比较
1、一元情况的回顾 考虑假设检验问题
H0 : 0 ， H1 : 0
设 x1, x2 , , xn 是取自总体 N (, 2 ) 的一个样本，给定显著性水平 。
（1）当 已知时，用统计量 x 0 n
在多元统计中T2也具有类似的性质。
2、P 维单个正态总体均值向量的检验 考虑假设检验问题
H0 : 0 ， H1 : 0
设 x1, x2 , , xn 是取自总体 N p (, ) 的一个样本，给定显著性水平 。
（1） 已知。 当假设成立时，
T02 n(X 0)'
1( X
0
)
～
2 p
N p (2 , ) 的容量为 m 的样本， n p.m p ，给定显著性水平 。
类似于上节，用似然比法求得统计量
其中
T 2 nm (x y )S 1(x y ) n m
x
1 n
n i 1
xi
，y
1 m
m i 1
yi
S Ax Ay /(n m 2)
n
m
Ax (xi x )(xi x ) ， Ay ( yi y )( yi y )
i 1
i 1
当假设
H0
成立时，T
2
～
T2 p,
n
m
p1
，从而
n m p 1T 2 (n m 2)p
H0 : 1 2 ， H1 : 1 2
设 x1, x2,
,
xn1
是取自总体
N
(
1,
2 1
)
的容量为
n1
的样本，
y1,
y2 ,
, yn2 是 取 自 总 体
N
(
2
,
2 2
)
的容量为
n2
的样本，给定显著性水平
。
（1）
两个总体方差
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
和
2 2
已
知
构造检验统计量
u xy
12
2 2
n1 n2
当 H0 成立时，u N (0,1) 。检验规则为： 当| u | u /2 时，拒绝 H0 ； 当| u | u /2 时，接受 H0 。
第二章 均值向量和协方差
阵的检验
一、均值向量检验 1.均值比较的意义 2.单一样本检验 3.独立样本检验 4.方差分析：一元和多元
二、协方差阵检验
1.均值比较的意义
• 在抽样调查中，按随机原则从总体中抽取一定数 量的样本，然后根据样本的数量特征来推断总体 的数量特征。由于样本中个体的差异性，样本所 得到的样本统计量与总体参数之间是存在差异的。
0
(n 1) p
实例
对某地区农村的 6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如表
2.1 所示。根据以往资料，该地区城市 2 周岁男婴的这三个指标的均值 0 = (90, 58,16) ，
现欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。
某地区农村男婴的体格测量数据
• 首先假设：H0两个样本来自同一总体,u1=u2 • 独立样本t检验的前提： （１）两个样本相互独立 （２）两个样本来自正态总体 若违反这一假设，应采用非参数检验或变换变量使适应条件 （３）比较的两个样本有实际意义 如一个关于产品重量的样本和一个关于产价格的样本均值比
较无意义。
一元情况的回顾 考虑假设检验问题