第二章 线性系统的运动分析
[计算机软件及应用]2 线性系统运动分析
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1 0 2t e 0
1 1 2 1 0 2
1 (1 e 2t ) 2 e 2t
方法三
由于
s sI A 0 0 0 s 0 1 s 2 0
1 1 1
0 1 2
0 1 2
方法四：化eAt为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法) 利用凯莱-哈密尔顿定理，化为A的有限项，然后 通过求待定时间函数获得的方法。 必须指出，这种方法相当系统，而且计算过程简单。 设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特 内插公式，通过求解行列式 1 e
2.1 状态方程的齐次解 所谓系统的自由解,是指系统输入为零时,由初始 状态X(0)引起的自由运动.即零输入响应.
x(t ) Ax(t )
若
x(t 0 ) x 0
则
x(t ) (t; t 0 , x 0 ,0) e A(t t 0 ) , t t 0
x(0) x 0 若 则 x(t ) (t;0, x 0 ,0) e At , t 0 证明: 当 x(0) x 0 时,对矩阵方程进行拉氏变换,得
方法一：直接计算法(矩阵指数函数)
e
At
A2t 2 A3 t 3 I At 2! 3!
1 k k A t k 0 k!
(2.9)
可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说， 这个无穷级数都是收敛的。
方法二：对角线标准形与Jordan标准形法 1)若可将矩阵A变换为对角线标准形，
s sI A 0
( sI A)1
(t ) e At L1[(sI A) 1 ]
线性系统理论3线性系统的运动分析
THANKS
伯德图判据
通过观察系统开环伯德图（对数幅频特性和相频特性曲线）来判断系统的稳定性。若开环伯 德图在穿越频率处的相位裕度大于0，则系统是稳定的。
不稳定系统的分析与处理
不稳定原因分析
不稳定系统可能由于系统内部参数摄动、外部扰动或控 制器设计不当等原因导致。需要对系统进行详细分析， 找出不稳定的原因。
不稳定系统处理
线性微分方程
01
描述线性系统动态行为的数学工具，通过求解微分方程可以得
到系统的输出响应。
传递函数
02
在频域中描述线性系统输入输出关系的数学表达式，常用于控
制系统的分析和设计。
状态空间方程
03
描述线性系统状态变量和输入输出关系的数学方程组，适用于
多输入多输出系统和时变系统。
线性系统的建模方法
1 2
机理建模
运动方程的物理意义
描述系统运动状态
运动方程描述了线性系统的运动状态，包括位置、速度和 加速度等物理量。通过求解运动方程，可以得到这些物理 量的时域解和频域解。
预测系统响应
根据已知输入和初始条件，通过求解运动方程可以预测线 性系统的响应。这对于控制系统的设计和分析具有重要意 义。
分析系统稳定性
通过分析运动方程的解的性质，可以判断线性系统的稳定 性。例如，如果解是收敛的，则系统是稳定的；如果解是 发散的，则系统是不稳定的。
对求解结果进行可视化展示和数据分 析，研究电路系统的动态响应特性， 如谐振频率、阻尼振荡等。
建立模型
运动方程
求解方法
结果分析
根据电路元件的连接方式和电气特性， 建立电路系统的数学模型，如RLC串 联或并联电路。
采用解析法或数值法求解运动方程， 得到电路中各元件的电压、电流等电 气参数。
(完整word版)实验二-线性连续定常系统的运动分析
实验二 线性连续定常系统的运动分析一、实验目的1．掌握线性连续定常系统的状态转移矩阵的求法，学会用MATLAB 求解状态转移矩阵。
2．掌握线性连续定常系统的状态方程的求解方法，学会用MATLAB 求解线性连续定常系统的时间响应，并绘制相应的状态响应曲线和输出响应曲线。
二、实验原理1．线性连续定常系统状态转移矩阵的计算设线性连续定常系统的状态空间表达式为'=+⎧⎨=+⎩x Ax Buy Cx Du ，则其状态转移矩阵为()t t e =A Φ从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。
对于线性连续定常系统，其状态转移矩阵与其矩阵指数函数相同，可利用直接求解法、拉氏变换法、标准型法和待定系数法等方法对其进行求解。
（1）直接求解法220111()!2!!tk k k kk t e t t t t k k ∞====+++++∑A A I A A A Φ（2）拉氏变换法()11()t t e L s --⎡⎤==-⎣⎦A I A Φ（3）标准型法对系统矩阵A 进行线性非奇异变换，将其变换为对角线矩阵或约旦矩阵1-=A P AP ，其中P 为非奇异变换阵。
状态转移矩阵为1()t t t e e -==A A P P Φ，其中1-=A P AP若A 的特征值12,,,n λλλ两两互异，则A 为对角线矩阵，此时1110()0n t tt t e t e e e λλ--⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A P P P P Φ 若A 有n 重特征值i λ，则A 为约旦矩阵，此时1111(1)!()0i i i i i ttt n t t tte te t e n t e e te e λλλλλ---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A Q Q Q Q Φ （4）待定系数法根据凯莱－哈密顿（以下简称C-H ）定理，线性连续定常系统的状态转移矩阵为110110()()()()()n tj n j n j t ea t a t a t a t ---====+++∑A A I A A Φ其中，011(),(),,()n a t a t a t -为t 的标量函数，可按A 的特征值确定。
线性系统理论-郑大钟(第二版)
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性
动态系统的分类
从机制的角度 1.连续变量动态系C统 VDS 从特性的角度 1.线性系统
2.离散事件动态系D统 EDS
2.非线性系统
从作用时间 1.连续时间系统 连续系统按其参数 1.集中参数系:属 统有穷维系统 类型的角度 2.离散时间系统 的空间分布类型 2分 . 布参数系:属 统于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
复频率域描述即传递函数描述
g(s)u y( (s s) )snb n a 1 n s n 1 s1 n 1 b 1s a 1sb 0a 0 (2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征—— 状态方程和输出方程。
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不
线性系统
线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。
若表征系统的数学描述为L 系统模型
L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷
实验二线性系统分析
实验二线性系统分析一、实验目的通过实验，掌握线性系统的特性和分析方法，了解系统的幅频特性和相频特性。
二、实验原理1.线性系统线性系统是指遵循叠加原理和比例原理的系统，可以表示为y(t)=h(t)⊗x(t)，其中h(t)为系统的冲激响应，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号，⊗为线性卷积操作。
2.系统的频域特性系统的频域特性可以通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）来进行分析，DFT是将离散时间域信号变换到离散频域的方法。
3.系统的幅频特性系统的幅频特性描述了输出信号的幅度随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。
4.系统的相频特性系统的相频特性描述了输出信号的相位随频率变化的规律，可以通过对系统的单位冲激响应进行DFT来得到。
三、实验步骤1.准备工作：a.将信号发生器的频率设置为100Hz，幅度设置为5V。
b.将示波器的触发模式设置为自动，并调节水平位置使信号波形居中显示。
2.测量系统的幅频特性：a.将信号发生器的输出信号连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道1连接到线性系统的输入端口，将示波器的通道2连接到线性系统的输出端口。
b.调节示波器的时间基准使波形显示在适当的范围内。
c.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的波形。
d.在示波器中进行幅度测量，并记录下输入信号和输出信号的幅值。
e.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到幅频特性曲线。
f.绘制输入信号和输出信号的幅频特性曲线，并进行比较和分析。
3.测量系统的相频特性：a.调节信号发生器的频率和示波器的触发模式，观察输入信号和输出信号的相位差。
b.在示波器中进行相位测量，并记录下输入信号和输出信号的相位。
c.使用DFT算法对输入信号和输出信号进行频谱分析，得到相频特性曲线。
d.绘制输入信号和输出信号的相频特性曲线，并进行比较和分析。
线性系统状态空间分析和运动解
线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。
它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。
状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。
在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。
状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。
假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。
状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。
常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。
稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。
在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。
特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。
如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。
可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。
在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。
可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。
在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。
除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。
线性控制理论总复习(2012)
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
现代控制理论第2章 线性系统的运动
定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵
于是齐次状态方程的解为:
x(t ) e x(0) e x0
At At
(2 7)
另用拉氏变换法求解齐次微分方程:
x(t ) Ax(t ) sx(s) x(0) Ax(s)
x(s) (sI A) x(0)
1
拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:
2. 状态转移矩阵的计算。
a. 直接求取；
b. 拉普拉斯变换；
c. 化矩阵A为对角型或约当型；
d.化矩阵指数 e At
为A的有限项。
（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质
1 2 2 1 i i Φ(t ) e I At A t A t (2 9 1) 2! i!
表明 (t ) 具有分段组合的性质。
④ Φ1 (t ) Φ(t ) , Φ1 (t ) Φ(t ) 证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有
Φt t Φt Φ t I Φ t t Φ t Φt I
Φ 1 (t ) Φ(t )
At
t0 0
x(t ) (t t0 )x(t0 )
x(t ) (t )x(0)
(2 10)
(2 9)
状态转移矩阵 (t )包含了系统自由运动的全部信息， 完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。
几点解释：
① 如果t为某给定常数T，那么零输入响应 x(t ) 就是状 态空间中由初始状态 x 0 经线性变换常数阵 (t ) 所致。
（一）齐次状态方程解的一般表达式
x(t ) A(t )x(t ),
x(t0 ) x0 ,
2
t t0
i
b 2t bi t
线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)
系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)
f
2
(
x,u,
e
2.线性系统的运动分析(第四讲)
第二章：线性系统的运动分析(第四讲)内容介绍：状态方程的解、离散系统的状态方程的解、离散化方法状态方程及其解一般P 个输入，m 个输出的线性定常系统x=Ax+Bu y=Cx (D=0时，称为严格的定常系统) 其中An×n 、Bn×p 、Cm×n 阵, 阵中各元素均为常数。
对此一般系统的分析，本质上为对状态空间表达式的分析。
如果已知x(t)、y(t)，则系统运动一目了然。
问题归结为：求解方程 x=Ax+Bu 。
事实上，求解 x=Ax+Bu 完全可利用现成程序。
（但作为专业课了解并掌握状态方程解的求法十分重要，一并介绍常用术语。
）一、齐次方程的解 （输入u=0时）x=Ax 当初值为 x(t)|t=0 = x 0 其解为 x(t)=0x e At ⋅ At e ---A 为n×n 阵，为特定的矩阵函数 事实上，可设其解为 +++++=k k t b t b t b b )t (x 2210则 ++++='-1212k k t kb t b b )t (x 代入方程有：)t b t b t b b (A t kb t b b k k k k +++++=++++-22101212比较有：01Ab b =02122b A Ab b == 02!212b Ab =0323213b A Ab b == 033!31b Ab =011b A )!k (kb k k -=0)!(1b Ak bkk=且t 0=0时x(0) =b 0)0(e )( !1!21e )0(]!1!21[ )0(!1)0(!21)0(x(0) !1!21 x(t)At 22At 222220200x t x t A k t A At I x t A k t A At I t x A k t x A t Ax t b A k t b A t Ab b k k k k k k k k k =+++++=+++++=+++++=+++++=则且（因为 输入u=0 为零输入响应） 引入记号 )(Ate t =Φ 则 )0()()(x t t x ⋅Φ=视 )(Atet =Φ为将x(0)转移到x(t)的变换称其为状态转移阵。
第二章线性系统的状态空间描述1
第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。
（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。
（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。
）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。
记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。
引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。
从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。
其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。
与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。
5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。
例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。
控制科学与工程研究生专业基础课程-2
)
§2 状态转移矩阵的求解
4）化矩阵A为约当标准型
若A为一个 m m 的约当块，其重复的特征值为 1
1 1
0
1 1
A
..
.
1
0
1 mm
(2-22)
§2 状态转移矩阵的求解
则
1 t
(m
1
1)
!
t
m1
e At e1t
1t
.
.
(m
1
2)
!
t
m1
...
.
..
.
整理有
X (s) (sI A)1 x(0)
(2-15)
取拉普拉斯反变换，可得齐次状态方程的解为
§2 状态转移矩阵的求解
x(t) L1 (sI A)1 x(0)
(2-16)
比较式(2-16)与式(2-6)，且根据定常微分方程组解的唯一性，有
(t) eAt L1（ SI A）-1
(2-17)
e(AB)t eAteBt
§2 状态转移矩阵的求解
2-1状态转移矩阵的求解方法
状态转移矩阵可以通过以下五种方法计算得到 1）直接级数展开法 根据矩阵指数的定义直接计算
(t) eAt I At 1 A2t2 …… 1 Aktk n 1 Aktk
2!
k!
K0 k !
例2-1
已知
A
0 2
1 3
k!
§1 自由运动
则齐次方程的解可表示为
x(t) eAt x(0)
(2-7)
若初始时刻 t0 0 ，对应的初始状态为 x(t0 )，则齐次方程
的解可表示为
x(t) eAtt0x(t0 )
现代控制理论 第2章 线性系统的运动分析修改
+
= (sI A)1
e At = L1 (sI A)1
故可得：
e At = L1[( sI A)1]
5
2.2 状态转移矩阵
一、状态转移矩阵的含义
已知：线性定常系统的齐次状态方程： x= Ax
满足初始状态x(t) |t=0 = x(0)的解是：x(t) = eAt x(0) 满足初始状态 x(t) |t=t0 = x(t0 ) 的解是： x(t) = e A(tt0 ) x(t0 )
11
(3).若 A 为约旦矩阵
12
第三章 状态方程的解
（4）若A为具有约当块的矩阵
A
=
A1
O
Aj
其中：A1, A2,L L Aj 为约当块
则有：
e A1t
0
e At
=
e A2t O
eAjt
13
第三章 状态方程的解
(5)若 A为
则有：
A = -
e At
=
e t
cost sin t
两边取拉氏变换得： sX (s) x(0) = AX (s) 整理得： X (s) = (sI A)1 x(0)
（2=4）
拉氏反变换得： x(t) = L1[( sI A)1]x(0) （2=5）
e At
=
I
+
At
+
A2 2!
t2
+
仿标量系统得： L e At
=
1 s
+
A s2
+
A2 s3
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
说明3：状态转移矩阵的物理意义：
第二章-线性系统理论-2.7最优控制
信息科学与技术学院自控教研室
二、研究最优控制的前提条件
在研究确定性系统的最优控制时，前提条件是： 1.给出受控系统的动态描述，即状态方程 对连续时问系统 对离散时间系统
2.7 最优控制
（6）
2.明确控制作用域 在工程实际问题中，控制矢量 意大。即 上式的点 往往不能在 空间中任意取值，
而必须受到某些物理限制，例如，系统中的控制电压，控制功率不能取得任 要满足某些约束条件，这时，在 的集合，记作： 空间中，把所有满足
信息科学与技术学院自控教研室
2.7 最优控制
3 无限时间状态调节器问题 对于无限时间状态调节器，这里要强调以下几点： 1)适用于线性定常系统，且要求系统完全能控，而在有限时间状态调节 器中则不强调这一点。 2)在性能泛函中，由于 去了意义，即 3)与有限时间状态调节器一样，最优控制也是全状态的线性反馈，结构 图也与前面的相同。但是，这里的P 是n×n 维的实对称常矩阵，是黎卡捉矩 阵代数方程的解。因此，构成的是一个线性定常闭环系统。 4)闭环系统是渐近稳定的，即系统矩阵 的特征值均具 信息科学与技术学院自控教研室 ，而使终端泛函 失
1
P(t ) 是下列黎卡提代数微分方程的解：
PA AT P PBQ2 BT P C T Q1C 0 g [ PBQ2 BT AT ]1 C T Q1 z
最优轨线满足： x (t ) [ A BQ 1BT P]x BQ 1BT g 2 2 信息科学与技术学院自控教研室
2.7 最优控制
相应的始端集为：
此时，
则称为可变始端。
和终端状态 都是给
4．明确终端条件 类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 定的。 自由端则是在给定 则是指 情况下，
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章
t0 , t 上为时间
为存在且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一。 x (t )
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
从数学的观点上看，上述条件可能显得过强而可减弱 为如下3个条件： （1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t )在时间区间 t0 , t 上为 绝对可积，即有：
t aij (t ) dt , i, j 1, 2,, n
性质9 e 的相似变换 如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换 矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章 线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章 线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
二. 状态方程解的存在性和惟一性条件
当所选的状态变量不同时，所得状态方程不同，故状 态方程不是唯一的。对任意的初始状态，只有当线性系统 的状态方程的解存在且唯一时，对系统的分析才有意义。 从数学上看，这就要求状态方程中的系数矩阵和输入作用 满足一定的假设，它们是保证状态方程的解存在且唯一所
上式表明，条件（2）和（3）还可进一步合并为要求
B(t)u(t)的各元在时间区间上绝对可积。 对于连续时间线性定常系统，系数矩阵A和B为常数矩 阵且各元为有限值，条件（1）和（2）自然满足，存在惟
一性条件只归结为条件（3）。 在本章随后各节的讨论中，总是假定系统满足上述存 在性和惟一性的条件，并在这一前提下分析系统状态运动 的演化规律。
At e 性质7 积的关系式
d At e Ae At eAt A dt
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全响应： (t , t 0 , x 0 , u) (t , t 0 , x 0 ,0) (t , t 0 ,0, u)
多变量线性系统 线性系统的运动分析 4
2.2 状态转移矩阵及其性质 2.2.1 线性齐次方程的解空间
A(t ), B(t )的每个元素均是 t的分段连续函数 x(t 0 ), u(), 状态方程均有唯一解
多变量线性系统 线性系统的运动分析 10
(4)对于与A可交换的n阶方阵有 e ( A F ) t e At e Ft e Ft e At d At (5) e Ae At e At A dt (6)(e At ) m e A( mt ) , m 0,1,2, (7)如果A PFP1 , 则e At PeFt P 1 (8)e At L1 ( sI A) 1
多变量线性系统
1 2 2
2
n
2
1 n 1 2 n 1 n
n 1
1
e 1t 2 t e n t e
14
线性系统的运动分析
2.4.2 线性定常系统的响应
定理：线性定常系统的状态 转移矩阵为
2.5.2 脉冲响应矩阵的定义与系统的输出响应
定义：考虑有r个输入端和m个输出端的线性定常系 统，有g ij (t ) 表示第j个输入端输入作用为 (t )时第i个输出端的脉冲响应， 则 g11 (t ) g12 (t ) g1r (t ) g (t ) g (t ) g (t ) 22 2r G (t ) 21 g ( t ) g ( t ) g ( t ) m2 mr m1 称为系统的脉冲响应矩 阵。 G (t ) 0 ，t u j u j (t k ) (t t k )t , j 1,2, , r
t
h(t )u ( ) d (t ) 0 t t
单位脉冲函数 当u (t ) (t ), 有
y (t ) h(t ) g (t )
h(t )为单位脉冲输入的响应 ， h(t )称为单位脉冲响应函数 。
多变量线性系统 线性系统的运动分析 16
p n , 则 e 2 t e J 2t e nt P 1 J 2 J l P 1 e J l t P 1
1 ( p 1)! 1 ( p 2 )!
一般 A PdiagJ 1
p2
A Pdiag1 有
2 n P 1
多变量线性系统
线性系统的运动分析
7
2.3 线性时变系统的运动分析 2.3.1 时变线性系统的零输入响应
定理：设线性系统满足解的 存在唯一性条件，记 (t , t 0 )为
其状态转移矩阵，则零 输入响应为
(t , t 0 , x 0 ,0) (t , t 0 )x 0
2.3.2 时变线性系统的零初始状态响应
B (t )的所有元均为t的实值连续函数， u(t )的元连续实函数。
引理：
x 0 ，线性系统有解且唯一 的充要条件为：
1、A(t )所有元aij (t )绝对可积
t
t0
aij (t ) dt , i, j 1,2, , n (t ) dt , i 1,2, , n, k 1,2, , r (t ) dt , k 1,2, , r
定理：设线性系统满足解的 存在唯一性条件，记 (t , t 0 )为
其状态转移矩阵，则零 初始状态响应为
(t , t 0 ,0, u) (t , ) B( )u( )d
t0
多变量线性系统 线性系统的运动分析 8
t
2.3.3 时变线性系统的整体响应
根据线性系统的叠加原 理，线性系统由初始状 态和控制 输入u(t )所引起的整体状态响应 为 (t , t 0 , x 0 , u) (t , t 0 , x 0 ,0) (t , t 0 ,0, u) (t , t 0 )x 0 (t , ) B( )u( )d
线性系统的状态方程：
分析系统的运动的目的 ：从数学模型出发，定 量地和精确地给出系统
运动的变化规律，以便 对系统的实际运动过程 作出估计。
系统的运动：是系统对初始状态和 输入作用的响应。 运动的形态：主要由系统的结构和 参数所决定。 状态方程的解 x(t ) : 给出了系统运动形态对 系统的结构和参数的依 赖关系。
(t , ) e A(t ) 系统的状态响应为
(t , t 0 , x 0 , u) e
A ( t t 0 )
x 0 e A(t ) Bu( )d
t0
t
系统的输出响应为 (t , t 0 , x 0 , u) Ce A(t t0 ) x 0 C e A(t ) Bu( )d Du
(t , t 0 ) (t ) 1 (t 0 ) , t t 0 称为系统的转移阵。
多变量线性系统
线性系统的运动分析
6
2.2.3 状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵 (t , t 0 )的性质： (1)自反性：t , 有 (t , t ) I n (2)反身性：t , t 0，有 1 (t , t 0 ) (t 0 , t ) (3)传递性：t 0 , t1 , t 2 , 有 (t 2 , t 0 ) (t 2 , t1 ) (t1 , t 0 ) 状态转移矩阵的唯一性 ：若齐次方程满足解的 存在唯一性， 则状态转移矩阵 (t , t 0 )与基本解阵的选取无关 ，且由矩阵 微分方程唯一确定 (t , t 0 ) A(t ) (t , t 0 ), (t 0 , t 0 ) I n
k
任意的输入可表示为 输出为
y (t ) G (t t k )u(t k ) t
k
t 0, 和式用积分表示
y (t ) G (t )u( ) d
零输入响应 (t , t 0 , x 0 ,0) :
状态方程 状态方程 A(t )x x x(t 0 ) x 0 , t [t 0 , t ] 的解 t [t 0 , t ]的解
零状态响应 (t , t 0 ,0, u) :
A(t )x B(t )u x x(t 0 ) 0,
At 求矩阵指数函数 e 的方法：
方法1 ：直接法 e
At
L ( sI A)
1
1
求n阶矩阵的逆，计算量大
多变量线性系统 线性系统的运动分析 11
方法2： Levirrier法
( sI A)
1
Adj( sI A) D( s )
D( s ) s n a n 1 s n 1 a1 s a 0 Adj( sI A) Rn 1 s n 1 Rn 2 s n 2 R1 s R0 Rn 0, a n 1 算法： Rn k Rn k 1 A a n k 1 I tr ( Rn k A) , k 1,2, , n a n k k
1 2 2!
t t
0
t p 1 t p 2 t e 1
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线性系统的运动分析
方法4：利用Cayley Hmilton定理
根据Cayley Ham ilton 定理，e At可表示为 e At 0 (t ) I 1 (t ) A n 1 (t ) An 1 设Ａ为n阶方阵，且有互异特征 值i , 则 0 (t ) 1 1 (t ) 1 1 2 n 1 (t ) 1 n
多变量线性系统 线性系统的运动分析 5
基本解阵的性质： (t ) A(t ) (t ),且对某个t , (t )非 (1)若 (t )满足 0 0 奇异， (t )则必为齐次方程的基本 解阵。 (2)t , 基本解阵 (t )都是非奇异的。
定义：令 (t )为齐次方程的基本解阵 ，则
2.1 运动分析的含义
2.2 状态转移矩阵及其性质
2.3 线性时变系统的运动分析 2.4 线性定常系统的运动分析
2.5 脉冲响应矩阵
多变量线性系统
线性系统的运动分析
1
2.1 运动分析的含义 2.1.1 问题的提出及其解的存在唯一性
A (t )x B(t )u x 或 Ax Bu x x(t 0 ) x 0 , t [t 0 , t ] (2.1.1) (2.1.2) x(0) x 0 , t 0
A(t )x的所有解的集合 定理：齐次方程x 组成实数域上的 n维矢量空间（解空间） 。
2.2.2 状态转移矩阵的定义 定义： 设 i (t ), i 1,2,, n是其次方程的一组线性
独立的解，则 (t ) 1 (t ) 2 (t ) n (t ) 称为齐次方程的基本解 阵。
多变量线性系统 线性系统的运动分析 12
方法3：约当分解法
A的特征值互异 令 P p1 e At Pdiag e 1t e At Pdiag e J1t 1 t 0 1 Jt e 0 0
多变量线性系统
i j , 线性系统 线性系统的运动分析 15
t
2.5 脉冲响应矩阵 2.5.1 单变量情形的回顾
Y ( s ) G ( s )U ( s ) 拉氏反变换 令 有 y (t )
t
0
g (t )u ( ) d t t
g (t ), h(t ) 0, y (t )