绝对值指数对数三角不等式的解法
高三数学 指数、对数方程,任意角的三角函数,三角函数的定义域和值域 知识精讲
高三数学 指数、对数方程，任意角的三角函数，三角函数的定义域和值域 知识精讲一. 指数、对数方程1. 指数方程和对数方程主要有以下三种基本类型 （1）基本型a b f x b f x a ()()log =⇔=； log ()()a b f x b f x a =⇔=（2）同底型a a f x g x f x g x f x g x f x g x a a ()()()()log ()log ()()()=⇔==⇔=>；（3）换元型f a x ()=0或f x a (log )=0（以上各式均为a >0且a ≠1）如A a B a C x x()()20++=可设t a x =转化为At Bt C 20++=，求出t 再用基本型的解法求解。
2. 求解指对方程应注意以下几点：（1）复习本节内容时需再重温一下指数和对数的性质和运算法则，因为任何一个指数和对数方程经过运算和化简，都会化到下列二种类型： <1>两边同底的形式a a f x g x f x g x a ()()log ()log ()==，4，然后利用指数、对数函数的单调性，去掉指数、对数函数符号，化成一般的代数方程；<2>化成关于某个函数的一元二次方程：p aq a r f x f x ()()()()20++=和p f x q f x r a a (log ())log ()20++=，可以通过换元法把它们化成一元二次方程。
（2）对于含参数的对数方程，在求解时，先将原方程等价转化成某个混合组，并注意在等价转化的原则下化简。
（3）具体解一个含有参数的方程，可从四个方面下手：<1>直接求出其解，再把解代入到不等式中去，从而得到参数的取值X 围； <2>将所讨论的方程转化为一元二次方程的根的分布问题；<3>数形结合法，把含参数的部分移到另一边，在同一坐标系里画出等式两边函数的图像，方程有解转化成两个图像有交点的问题； <4>分离参数法，从方程中把参数分离出来变成a f x =()的形式，只须研究f(x)有关的性质，即可得方程的解的情况。
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
基本不等式题型20种
基本不等式题型20种不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在解决实际问题和推导数学推论中，不等式起着非常重要的作用。
本文将介绍20种常见的基本不等式题型。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型。
例如：解不等式3x+4>10。
解：首先将不等式转化为等式：3x+4=10；然后解方程：3x=6；得到解：x=2。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次函数的不等式形式。
例如：解不等式x^2-5x+6>0。
解：首先求出一元二次函数的根：(x-2)(x-3)>0；然后画出函数的图像或根据韦达定理判断函数的正负；得到解：x<2或x>3。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
例如：解不等式|2x-3|≥5。
解：将含有绝对值的不等式拆分为两个不等式：2x-3≥5或2x-3≤-5；然后求解这两个不等式得到：x≥4或x≤-1。
四、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。
例如：解不等式(3x-2)/(2x+1)≤1。
解：首先将不等式化简：3x-2≤2x+1；然后解方程：x≤3。
五、根式不等式根式不等式是含有根式的不等式。
例如：解不等式√(x-4)≥2。
解：将不等式平方得：x-4≥4；然后解方程：x≥8。
六、乘法不等式乘法不等式是含有乘法的不等式。
例如：解不等式2x(x-1)≤0。
解：将不等式化简：2x(x-1)≤0；然后求解这个不等式得到：0≤x≤1。
七、除法不等式除法不等式是含有除法的不等式。
例如：解不等式(3x+6)/(x+2)≤4。
解：首先将不等式转化为等式：(3x+6)/(x+2)=4；然后解方程：x=-5；由于分母不能为0，所以解为x<-2或x>-5。
八、加法不等式加法不等式是含有加法的不等式。
例如：解不等式x+2>5。
解：将不等式化简：x>3。
九、减法不等式减法不等式是含有减法的不等式。
例如：解不等式2x-5≥1。
绝对值的概念与计算
绝对值的概念与计算绝对值，又称绝对数，是数学中常用到的一个概念。
它用于表示一个数与零之间的距离，因此不考虑这个数的符号，只关注其大小。
绝对值常用符号“|x|”表示，x表示待求绝对值的数。
绝对值的计算方法简单易懂，在不同情况下有不同的计算方式。
下面将介绍几种常见的计算绝对值的方法。
1. 针对正数的绝对值计算：对于正数x，其绝对值等于它本身。
即 |x| = x。
例如，对于x=5，|5| = 5。
2. 针对负数的绝对值计算：对于负数x，其绝对值等于它去掉符号后的值。
即 |x| = -x。
例如，对于x=-4，|-4| = -(-4) = 4。
3. 针对零的绝对值计算：对于零，其绝对值为0。
即 |0| = 0。
绝对值具有以下几个基本性质：1. 非负性：绝对值永远不会是负数。
无论原数是正数、负数还是零，它的绝对值都是非负数。
2. 保持不等式：对于任意实数a和b，如果a大于等于b，那么它们的绝对值之间的关系也是相同的。
即如果a≥b，那么|a|≥|b|。
3. 乘法性质：对于任意实数a和b，乘积的绝对值等于绝对值的乘积。
即 |ab| = |a| |b|。
4. 三角不等式：对于任意实数a和b，绝对值的和不大于绝对值的和。
即|a + b| ≤ |a| + |b|。
通过对绝对值的计算和性质的理解，我们可以应用它们解决各种实际问题。
应用举例：例1：求解一个数的绝对值给定一个数x，求其绝对值。
解：根据绝对值的定义，可以得出：|x| = x（x≥0），|x| = -x（x<0）。
例如，求解x=-7的绝对值，首先判断x是负数，所以绝对值等于去掉符号后的值，即 |x| = -(-7) = 7。
例2：求解两数之差的绝对值给定两个数a和b，求其差的绝对值。
解：根据绝对值的定义和保持不等式性质，可以得出：|a-b| = |-(b-a)| = |b-a|。
例如，求解a=5和b=8的差的绝对值，可以计算得到 |5-8| = |-3| = 3。
不等式的取值范围与解集求解
不等式的取值范围与解集求解不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了数之间的大小关系。
在解不等式时，我们需要确定不等式的取值范围，并找出满足不等式条件的解集。
本文将介绍不等式的基本概念、解法以及一些常见的不等式类型。
一、不等式的基本概念不等式是由不等号连接的两个数或表达式所构成的关系式。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
例如，x > 3表示x大于3，x + 2 ≤ 5表示x + 2小于等于5。
二、不等式的解集与取值范围解不等式的过程就是确定不等式的取值范围，并找出满足不等式条件的数的集合，这个集合被称为解集。
解集可以用不等号表示，也可以用集合符号表示。
1. 不等式的解集表示解集可以用不等号表示，例如x > 3的解集可以表示为{x | x > 3}，读作“x的取值范围是大于3的数”。
解集也可以用集合符号表示，例如x > 3的解集可以表示为{x ∈ℝ | x > 3}，其中ℝ表示实数集。
2. 不等式的取值范围表示不等式的取值范围表示了满足不等式条件的数的范围。
例如x > 3的取值范围是大于3的数，可以表示为(3, +∞)，其中+∞表示正无穷大。
三、不等式的求解方法解不等式的方法与解方程类似，但在某些情况下需要注意一些特殊的性质。
下面介绍一些常见的不等式类型及其求解方法。
1. 一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0的不等式，其中a和b是已知实数，且a≠0。
解一元一次不等式的步骤如下：（1）将不等式转化为等式，得到ax + b = 0；（2）求得等式的解x0；（3）根据a的正负确定不等式的解集。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b和c是已知实数，且a≠0。
解一元二次不等式的步骤如下：（1）将不等式转化为等式，得到ax^2 + bx + c = 0；（2）求得等式的解集{x1, x2}；（3）根据a的正负和二次函数的凹凸性确定不等式的解集。
解不等式组,连不等式,绝对值及根式不等式
§151 解不等式组,连不等式,绝对值及根式不等式 一、解不等式组
数形结合“或”字型 书写格式整体观
二、解连不等式
通法:“截”成不等式组 特法:左右是常数时，可变形成高次不等式
三、解绝对值不等式
1.单绝对值号+右端常数型：公式法为宜 2.单绝对值号+右端变量型：数法形法要灵活 3.双绝对值号型：
①零点分段法 ②函数图象法 ③绝对值几何意义法
四、解根式不等式
1.数法： 2.形法：
不等式概述
概念 性质
应用
解不等式 求最值
证不等式
不等式的性质
(一) 作用：变形化简不等式 (二) 性质：多多益善十四条 文字背诵是关键
5
5
即 0x2
故解集为{x| 0 x 2 }
三、解绝对值不等式
2.单绝对值号+右端变量型：数法形法要灵活 练习4.单绝对值号+右端变量型：解不等式 |5x-6|<6–x
数法2： 6–x ≥ 0 因 -(6–x)＜5x-6＜6–x
x6
解得
0 x2 即 0x2 故解集为{x| 0 x 2 }
练习4.单绝对值号+右端变量型：解不等式 |5x-6|<6–x
法2：因 (x2-2x-2)(x2-2x-8)≤0 x2-2x-8≠0
解得 -2≤x≤1- 3. 或1 3 ≤x≤4
x≠2且x≠4
即 -2<x≤ 1- 3. 或 1 3 ≤x<4 故所求解集为{x| -2<x≤ 1- 3. 或 1 3 ≤x<4 }
不等式的基本性质及解法
教学过程一、新课导入初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法.二、复习预习1.不等式的定义.2.不等式的基本性质.3.不等式的基本定理及推论.4.一元二次不等式解法.5.分式不等式解法.6.高次不等式解法.7.无理不等式解法.8.指对数不等式解法.三、知识讲解考点1 不等式的定义及比较大小1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：>baab⇔>-aa=bb-=⇔ab<ba<-⇔考点2 不等式的基本性质定理1如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性) 即：a>b⇒b<a；b<a⇒a>b定理2如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)即a>b，b>c⇒a>c定理3如果a>b，那么a+c>b+c．即a>b⇒a+c>b+c推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．推论1如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且考点3 一元二次不等式c bx ax ++2 >0(a ≠0)任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关:(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}.(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab ,x ∈R }； ②a <0时,其解集为∅.(3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为∅.类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集.考点4 绝对值不等式的解法不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集 1|x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为: .2|x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:.考点5 分式不等式解法(1))()(x g x f >0 f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ； (4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 考点6 高次不等式根轴法：奇穿偶不穿考点7 无理不等式⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 ⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型考点8 指对数不等式指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩四、例题精析考点1不等式的定义及比较大小例1 已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小.【规范解答】 由题意可知：（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1）＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1＝x 2∵x≠0 ∴x2＞0∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.例2 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．【规范解答】a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)＝(a-b)[(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a 3)]= - (a-b)2(3a 3+2ab+b 2)=- (a-b)20323322≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a (当且仅当d ＝b 时取等号) ∴a 4-b 4≥4a 3(a-b)【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法. 例3 已知x>y ，且y ≠0，比较yx 与1的大小． 【规范解答】yy x y x -=-1 ∵x>y ，∴x-y>0当y<0时，y y x -<0，即yx <1 当y>0时，y y x ->0，即y x 【总结与反思】变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论.考点2 不等式的基本性质例4 已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c 【规范解答】 ∵d c b a =∴dd c b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且db ＞1 ∴d b dc b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c.【总结与反思】此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧.例5 已知函数2()f x ax c =-, -4≤(1)f ≤-1, -1≤f (2)≤5, 求(3)f 的取值范围.【规范解答】∵ ⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a∴ )1(35)2(389)3(f f c a f -=-=∵ -4≤f (1)≤1, 故 )35)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f (1)又 -1≤f (2)≤5, 故 340)2(3838≤≤-f (2)把(1)和(2)的各边分别相加，得：-1≤)1(35)2(38f f -≤20所以，-1≤f (3)≤20【总结与反思】利用(1)f 与(2)f 设法表示 a 、c, 然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f , 最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围.考点3 一元二次不等式不等式的解法例6解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x .【规范解答】原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x 即R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1. 【总结与反思】结合二次函数图象求解，注意分类讨论.考点4 绝对值不等式的解法例7解不等式|2x +1|+|x -2|>4．【规范解答】|2x +1|+|x -2|>4⎪⎩⎪⎨⎧>--+--<⇔4)2()12(21x x x ⎩⎨⎧>-++>⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤≤-421224)2(12221x x x x x x 或或 ⇔x <-1或1<x ≤2或x >2⇔x <-1,或x >1.故原不等式组的解集是{x |x <-1或x >1}.【总结与反思】解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果.例8 解不等式|552+-x x |<1．【规范解答】原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②① 解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4}.故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}.【总结与反思】解不等式时,在本例中,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用特别要注意不等式是否带“=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集.考点5 分式及高次不等式的解法例9解不等式322322--+-x x x x ＜0 【规范解答】根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）. 由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}.【总结与反思】注意根轴法--奇穿偶不穿.考点6 无理不等式的解法例10解不等式0343>---x x .【规范解答】∵根式有意义∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x 又∵ 原不等式可化为343->-x x两边平方得：343->-x x解之：21>x ∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x . 【总结与反思】对于无理不等式，注意根式有意义的条件，然后平方再求解.考点7 指对数不等式的解法例11 解不等式31831>⋅+-+x x【规范解答】原不等式可化为：018329332>+⋅-⋅x x即 0)233)(93(>-⋅-x x解之 93>x 或33<x ∴x >2或32log 3<x ∴不等式的解集为{x |x >2或32log 3<x } 【总结与反思】解指数不等式，要结合指数函数的图像与性质综合处理.例12 解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a【规范解答】原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有:221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x 当0<a <1时有: 2234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或 ∴当a >1时不等式的解集为221<<x ； 当0<a <1时不等式的解集为42<<x .【总结与反思】因为底数的不确定，所以要注意分类讨论.课程小结1.研究了如何比较两个实数的大小,在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小，作商法是判断商值与1的大小关系.2.不等式的性质定理及其推论: 理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法.3.掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.4.一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定)；三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集.形如|c bx ax ++2|<m 及|c bx ax ++2|>m (m >0)的不等式的解法,关键是去掉绝对值符号使其转化为一元二次不等式(组),借助数轴的直观作用,达到解题目的.5.要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.6.解指对数不等式：注意数形结合思想方法的运用.。
高中6个基本不等式的公式
高中6个基本不等式的公式高中6个基本不等式的公式总的来说，高中数学中的6个基本不等式公式是：(一)、二次不等式：ax²+bx+c>0；(二)、三角不等式：sinα+cosα>1；(三)、平方和不等式：a²+b²>2ab；(四)、指数不等式：an>bn；(五)、对数不等式：lnA<lnB；(六)、比较不等式：a>b。
一、二次不等式所谓的二次不等式，指的是形如ax²+bx+c>0的不等式结构，它是十分重要的，用来描述我们一类由双曲线组成的函数。
双曲线函数是一类非线性函数，受到各种外部因素的作用不会改变函数的存在形式，尽管其具体的参数可能会发生变化。
二、三角不等式三角不等式是一类与三角学相关的不等式，它们非常重要，有助于我们正确推理出三角形的其他特征。
其中最为重要的是sinα+cosα>1，这个不等式说明了在三角形内，任意一个角的正弦值是小于它的余弦值的，而它们的和则要大于1.三、平方和不等式平方和不等式有助于我们正确推断出空间里的形状的特性，它的形式如a²+b²>2ab，它推断了如果有两个边的长度为a和b，其和的平方要大于两者的乘积，也就是说任何一个正方形都有其两条边之和要大于两边乘积的特性。
四、指数不等式指数不等式是一类非常重要的数学不等式，它们由an>bn构成，例如4²>2³，这种不等式用来推断出当前指数的大小的变化，即指数不等式可以用来推断出更大的数值要比较小的数值大。
五、对数不等式对数不等式是由lnA<lnB构成的一类逆函数，即任何一个大于0的数值，当它们取反数之后所得到的值都是小于0的，但是它们仍然可以用来推断出比较大小的特性。
六、比较不等式比较不等式是一类用来推断出大小的不等式，它们最为重要的形式就是a>b，它们能够用来快速准确的推断出大数比小数大的情况，不需要拆分细节就可以迅速的把握出其大小之间的差异。
数学证明中常用的绝对值不等式和三角不等式
数学证明中常用的绝对值不等式和三角不等式数学是一门严谨而又深奥的学科，它的证明过程常常需要借助各种数学工具和定理。
在数学证明中，绝对值不等式和三角不等式是常用的工具之一。
它们在解决各种数学问题中起着重要的作用，下面我们来探讨一下它们的应用和证明过程。
一、绝对值不等式的应用绝对值不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来描述数的大小关系。
在解决各种问题中，我们经常需要对数的绝对值进行估计，而绝对值不等式就提供了一种有效的方法。
例如，在求解一元二次方程的实数解时，我们常常需要对方程的根进行估计。
通过利用绝对值不等式，我们可以得到方程根的上界和下界，从而确定方程的解的范围。
另外，在求解不等式问题中，绝对值不等式也经常被使用。
例如，当我们需要求解形如|2x-3|<5的不等式时，我们可以利用绝对值不等式将其转化为两个简单的不等式，从而得到解的范围。
绝对值不等式的证明过程通常是通过分情况讨论来完成的。
我们可以将绝对值的定义进行展开，然后根据数的正负情况进行讨论，最终得到不等式的证明。
二、三角不等式的应用三角不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来描述三角函数之间的大小关系。
在解决各种几何和三角问题中，三角不等式也起着重要的作用。
例如，在求解三角形边长关系问题时，我们常常需要利用三角不等式来判断给定的边长是否构成一个三角形。
根据三角不等式的定义，对于任意三角形的三边a、b、c，有|a-b|<c< a+b。
如果给定的边长满足这个不等式，那么就可以构成一个三角形。
另外，在解决三角函数的性质问题时，三角不等式也经常被使用。
例如，当我们需要证明sin x < x < tan x时，可以利用三角不等式将其转化为sin x < x < tan x的形式，从而得到性质的证明。
三角不等式的证明过程通常是通过应用三角函数的性质和三角恒等式来完成的。
我们可以利用三角函数的周期性和单调性来推导出不等式的成立。
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法知识要点：不等式与等式有许多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪⎩⎪()()()0002、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。
3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。
不等式的性质可分为：1）、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩00这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的大小，转化为恒等变形问题的依据。
2）、基本性质：（1）对称性a b b a >⇔<这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,)这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。
当然若进行等价转化还会有许多变式。
（2）传递性a b b c a c >>⇒>,这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。
（3）移项法则a b a c b c >⇔+>+如：x x +>⇔>-321，相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。
3、运算性质：（1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+,（2）减法运算：统一成加法运算a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,,（3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算a b c d a b d c a d b c>>>>⇒>>>>⇒>>0001100,,（由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>⇒>>0110）（5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,)（6）开方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,)4、函数的单调性： （1）a b a b >⇒>33 （y x =-∞+∞3在上是增函数(,)）（2）a b a b >⇒>22 （y x =-∞+∞2在上是增函数(,)） 诸如此类：a b a b y x >>⇒<=+∞00121212log log (log (,)在上是减函数)已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。
(完整版)基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
解不等式组,连不等式,绝对值及根式不等式
ii：向量式
a •b | a | | b |
14 排序不等式
已知 a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn
若 c1 , c2 , c3 , …, cn 是 b1 , b2 , b3 , …, bn 的任意一个排列,
四、解根式不等式
1.数法： 2.形法：
不等式概述
概念 性质
应用
解不等式 求最值
证不等式
不等式的性质
(一) 作用：变形化简不等式 (二) 性质：多多益善十四条 文字背诵是关键
1.基本性质 2.运算性质 3.重要的不等式
1.基本性质
①大小的定义
如果a-b是正数，那么a＞b； a b a b 0 ；
法2：因 (x2-2x-2)(x2-2x-8)≤0 x2-2x-8≠0
解得 -2≤x≤1- 3. 或1 3 ≤x≤4
x≠2且x≠4
即 -2<x≤ 1- 3. 或 1 3 ≤x<4 故所求解集为{x| -2<x≤ 1- 3. 或 1 3 ≤x<4 }
三、解绝对值不等式
1.单绝对值号+右端常数型： 2.单绝对值号+右端变量型： 3.双绝对值号型：
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质
解一元二次不等式
1.图象(标根)法：
2.公式(口诀)法：
口诀1：大于号要两头 口诀2：一正二方三大头
解分式不等式
1.“左右”去分母法
小于号要中间 无根大全小为空
2.“上下”去分母法
§151 解不等式组,连不等式,绝对值及根式不等式 一、解不等式组
高中数学：常见不等式解法
辅导讲义一、教学目标常见不等式解法1、了解常考的不等式。
2、了解一元一次不等式、绝对值不等式、一元二次不等式.3、了解指数不等式、对数不等式、三角不等式等形式，并掌握其解法。
二、上课内容1、复习上节课知识。
2、梳理不等式解法知识点。
3、学习不等式解法。
4、课堂小结。
三、课后作业见课后作业四、家长签名（本人确认：孩子已经完成“课后作业”）_________________常见不等式解法解不等式必备知识点总结：1. 解一元一次不等式（组）的题目时，当x 的系数为负数时，要改变原不等式的符号；当x 的系数含有参数时，要分系数大于0、等于0、小于0来讨论.；）（时，当；或时，当a x a a a x a x a x a a x ≤<≤<-⇒>≤<-≤<≥>⇒>≥>)()0()(||)()()0()(||.2当时，0≤a 直接用“任何式子的绝对值不小于0”来解更好. 3. ,0,0,||⎩⎨⎧<-≥=x x x x x 是解与绝对值有关的题目时，讨论去绝对值的基础.4. 绝对值的几何意义：的距离离表示数轴上一点m x m x ||-.如：的距离离表示数轴上一点的距离；离表示数轴上一点2|2|1|1|-+-x x x x .5. 解形如ax 2+b x +c>0（或≥0）以及ax 2+b x +c<0（或≤0）类型的一元二次不等式时（其中a ,b,c 为常数，且a >0.），当对应方程有根时，用“大于在两边，小于在中间”的原理，或利用图象直接写出不等式的解集.当没有根时，最好利用图象直接写出不等式的解集，此时，结果只有两种：空集和一切实数.6. 在解含有参数的不等式时，当对应的方程易因式分解求出两根时，先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以x 2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a 值作为讨论的依据. 求出的参数a 把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.7. 解高次不等式常用数轴表根法(又称零点分段法)，规律是“奇穿偶不穿”.8. 解与指（对）数函数有关的（不）等式的题型的基本思路是：把常数化成同底的指（对数形式.把常数化成同底的指（对）数形式时用公式：N=log N a a （用这个公式可以把任意常数化成同底的对数形式），解与对数有关的不等式时，需要注意真数一定要考虑到大于0.由的次方形式）常数化成用这个公式可以把任意a N a Nb N a N a ba (log log =⇒=⇔=.一、与解一元一次不等式（组）有关的题型总结（一） 形如c b ax >+（或≥c ）以及c b ax <+（或≤c ）类型的一元一次不等式（其中c b a ,,为常数，且a ≠0），或者与其有关的不等式组的解法 例1.解下列关于x 的不等式：(1) 2x+3>5； (2) - 12 x+4≤7；(3) ；）（）（⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>-**237121*)1(325x x x x (4) a x －23 > 13 .练习. 解下列关于x 的不等式：.3241912136)3(5341)2(523)1(<-⎩⎨⎧<--≥+-≤->+-x ax x x x x ）（；；；二、与解绝对值不等式有关的题型总结（一）形如c b ax >+||(或≥c ）以及c b ax <+||(或≤c ）类型的绝对值不等式（其中a ,b,c 为常数，且a ≠0），或者能变为这种类型的不等式的题型是解绝对值不等式的基础题。
高三数学不等式知识点
高三数学不等式知识点高三数学不等式知识点11.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0)的`形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.高三数学不等式知识点21、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。
高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。
学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。
良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
高一数学必修一知识点梳理
高一数学必修一知识点梳理1. 集合与函数- 集合的基本概念：元素、集合、子集、真子集、并集、交集、补集。
- 集合的表示方法：列举法和描述法。
- 集合的基本运算：并集、交集、补集、差集。
- 函数的定义：函数的概念、定义域、值域、函数的表示方法。
- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。
- 函数的图像：函数图像的绘制方法、图像的基本特征。
2. 指数与对数- 指数幂的定义：a^n（a>0，n为整数）。
- 指数幂的运算法则：指数的乘法法则、指数的除法法则、指数的幂的乘方。
- 对数的定义：对数的概念、对数的运算法则。
- 对数的换底公式：换底公式的应用。
- 对数函数的性质：对数函数的单调性、值域。
3. 三角函数- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切的定义。
- 三角函数的基本关系：三角函数的基本恒等式。
- 三角函数的图像与性质：正弦函数、余弦函数的图像和性质。
- 三角恒等变换：和差公式、倍角公式、半角公式。
4. 平面向量- 向量的基本概念：向量的定义、向量的表示方法。
- 向量的运算：向量的加法、减法、数乘。
- 向量的坐标表示：向量的坐标运算。
- 向量的数量积：数量积的定义、运算法则、几何意义。
- 向量的向量积：向量积的定义、运算法则、几何意义。
5. 不等式- 不等式的基本性质：不等式的性质、不等式的传递性、不等式的可加性。
- 不等式的解法：一元一次不等式、一元二次不等式的解法。
- 绝对值不等式：绝对值不等式的定义、解法。
- 基本不等式：算术平均数-几何平均数不等式、柯西不等式。
6. 复数- 复数的概念：复数的定义、复数的表示方法。
- 复数的运算：复数的加法、减法、乘法、除法。
- 复数的模和辐角：复数的模、辐角的定义、运算。
- 复数的代数形式：复数的代数表示、复数的乘除运算。
7. 空间几何- 空间直线与平面：直线与平面的位置关系、直线与平面的方程。
- 空间向量：空间向量的定义、运算、坐标表示。
- 空间向量的应用：空间向量在几何问题中的应用、空间向量在立体几何中的应用。
6 不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明、绝对值不等式知识点
不等式一、不等式的性质1、比较两个数大小的依据0a b a b >⇔-> 0a b a b =⇔-= 0a b a b <⇔-< 2、性质定理1 （反身性）若a b >，则b a <；若a b <，则b a >。
（对称性） 定理2 （传递性）若a b >，且b c >，则a c >。
定理3 （可加性）若a b >，则a c b c +>+。
（加法法则） 移项法则 a b c a c b +>⇔>-。
（移项要变号）推论（同向可加性） 若a b >，b c >，则a c b d +>+。
同向不等式两边对应相加所得不等式与原不等式同向。
定理4 （可乘性）（乘法法则）若a b >，0c >，则a c b c >；若a b >，0c <，则a c b c <。
推论1（同向同正可积性）若0a b >>，0c d >>，则ac bd >。
两边都是正的同向不等式对应相乘所得不等式与原不等式同向。
推论2（同向同正可幂性）若0a b >>，则0nna b >> （n N +∈）。
定理5 （可开方性）若0a b >>0>> （n N +∈）。
定理6 （可倒性）若0a b >>，则110a b<<； 若0a b <<，则110a b>>。
（a b >，110ab a b >⇒<。
）含有绝对值不等式的性质： （1）a b a b a b -≤±≤+a b a b +≤+：,a b 异号是取"">；,a b 同号或0a =或0b =时取""=。
a b a b -≤+：,a b 同号是取"">；,a b 异号或0a =或0b =时取""=。
绝对值三角不等式课件
在应用绝对值三角不等式求函数最值时，需要注意处理函数定义域内的特殊情况 ，以及根据函数的性质选择合适的放缩方法。
在数列求和中的应用
总结词
绝对值总是非负的，即对于任何实数x，都有|x| ≥ 0。
详细描述
绝对值表示一个数值不考虑正负的大小，因此无论x是正数、负数还是零，其绝 对值都是非负的。这是绝对值的基本性质之一，也是理解绝对值三角不等式的基 础。
绝对值的传递性
总结词
如果a ≥ b且b ≥ c，那么a ≥ c。
详细描述
绝对值的传递性是指，如果一个数a大于或等于另一个数b，而这个数b又大于或等于数c，那么这个数a必然大于 或等于数c。这个性质在数学中非常重要，也是绝对值三角不等式推导的基础。
绝对值三角不等式在数列求和问题中也有着重要的应用。例 如，在求解数列的项的和或前n项和时，可以利用绝对值三角 不等式对数列进行放缩，从而得到数列的和的上下界。
在应用绝对值三角不等式求数列和时，需要注意处理数列的 项的正负交替出现的情况，以及根据数列的性质选择合适的 放缩方法。
05
绝对值三角不等式的变式
绝对值三角不等式的几何意义
几何解释
绝对值三角不等式表示在数轴上 任意两点A和B的距离之和，等于 它们到原点O的距离之和，即 |OA|+|OB|=|AB|。
应用举例
在解决实际问题时，如测量、定 位、计算距离等问题，可以利用 绝对值三角不等式来求解。
02
绝对值三角不等式的性质
Chapter
绝对值的非负性
绝对值的可加性
总结词
对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
绝对值的概念和计算
绝对值的概念和计算绝对值，也称绝对数，是数学中常见的概念之一。
它表示一个数与零之间的距离，不考虑方向。
在数学运算和问题求解中，绝对值发挥着重要的作用。
本文将介绍绝对值的概念，并详细说明如何进行绝对值的计算。
一、绝对值的概念绝对值的定义如下：对于任意实数x，如果x大于等于零，那么它的绝对值等于x本身；如果x小于零，那么它的绝对值等于-x。
绝对值在数轴上表示的是一个数与零之间的距离，距离始终为正值。
例如，对于x=-5，它的绝对值为5，因为-5与零的距离为5。
而对于x=3，它的绝对值为3，因为3与零的距离也为3。
二、绝对值的计算规则1. 绝对值的运算规则：- 如果x大于等于零，那么|x|等于x本身；- 如果x小于零，那么|x|等于-x。
绝对值的计算规则可简化为：去掉负号，保留正号。
2. 绝对值的性质：- 非负性：绝对值始终是非负数，即绝对值大于等于零。
- 等于零性：当且仅当x等于零时，|x|等于0。
- 三角不等式：对于任意实数x和y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。
三、绝对值的应用1. 距离的计算：在几何学中，绝对值可用于计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则两点之间的距离d可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)例如，点A(3, 4)和点B(6, 8)之间的距离为：d = √((6 - 3)² + (8 - 4)²) = √(9 + 16) = √25 = 52. 绝对值函数：绝对值也可看作是一个函数。
绝对值函数是一个分段函数，在x小于零时输出-x，在x大于等于零时输出x。
绝对值函数常用于解决与数的正负相关的问题，如数轴上点到原点的距离等。
四、绝对值的计算实例下面通过一些实例来进一步说明绝对值的计算方法：1. 计算|2|：由绝对值定义可知，2大于等于零，所以|2|等于2。
2. 计算|-5|：由绝对值定义可知，-5小于零，所以|-5|等于-(-5)，即5。
专题二十 证明不等式之指数对数三角放缩问题解析版
专题二十证明不等式之指数对数三角放缩问题1．已知函数f（x）＝ae x+2x﹣1．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意的a≥1，当x＞0时，f（x）≥（x+ae）x．【分析】（1）由f（x）＝ae x+2x﹣1，得f′（x）＝ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）＝，利用导数求其最小值得证．【解答】（1）解：由f（x）＝ae x+2x﹣1，得f′（x）＝ae x+2．①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（﹣），由f′（x）＜0，解得x＞ln（﹣），故f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递增，在（ln（﹣），+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递增，在（ln（﹣），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）＝，则g′（x）＝．当a≥1时，ae x﹣x﹣1≥e x﹣x﹣1．令h（x）＝e x﹣x﹣1，则当x＞0时，h′（x）＝e x﹣1＞0．∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）＝0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＝1时，g′（x）＝0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）＝0．即，故f（x）≥（x+ae）x．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．2．（1）求函数f（x）＝的单调区间；（2）证明：在x＞且x≠1时，不等式恒成立．【分析】（1）f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠1}，对f（x）求导，分析导数的正负，进而可得f（x）的单调性．（2）在0＜x＜1时，有lnx＜x﹣1，推出，分两种情况①，②在x＞1证明即可．【解答】解：（1）的定义域为{x|x＞0且x≠1}，求导得：＝，令h（x）＝xlnx﹣x+1，（x＞0）h′（x）＝lnx+x•﹣1＝lnx，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）min＞h（1）＝0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1），（1，+∞）上单调递增．（2）证明：在0＜x＜1时，有lnx＜x﹣1，则，①在时，有，因此成立．②在x＞1时，设，则，令，＝在x＞1时，h'（x）＞0，∴h（x）＞h（1）＞0，∴g'（x）＞0，∴，因此成立，由上述①②讨论可知在且x≠1时，恒成立．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．3．已知函数f（x）＝e x．（1）讨论函数g（x）＝f（ax）﹣x﹣a的单调性；（2）证明：f（x）+lnx+．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证明，令a＝1，得到e x≥x+1，当x+1＞0时，得ln（x+1）≤x（x＞﹣1），用x﹣1代替x可得lnx≤x﹣1（x＞0），根据不等式的性质证明即可．【解答】（1）解：g（x）＝f（ax）﹣x﹣a＝e ax﹣x﹣a，g'（x）＝ae ax﹣1，①若a≤0时，g'（x）＜0，g（x）在R上单调递减；②若a＞0时，当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；综上，若a≤0时，g（x）在R上单调递减；若a＞0时，g（x）在上单调递减；在上单调递增；（2）证明：要证，只需证，由（1）可知当a＝1时，e x﹣x﹣1≥0，即e x≥x+1，当x+1＞0时，上式两边取以e为底的对数，可得ln（x+1）≤x（x＞﹣1），用x﹣1代替x可得lnx≤x﹣1（x＞0），又可得，所以，＝，即原不等式成立．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．4．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣cos x，其中a∈R．（1）求证：当a≤﹣1时，f（x）无极值点；（2）若函数g（x）＝f（x）+ln（x+1），是否存在a，使得g（x）在x＝0处取得极小值？并说明理由．【分析】（1）求导，由a≤﹣1，可知导函数大于零恒成立，由此即可得出f（x）无极值点；（2）先必要性探路可知a＝2，再证明当a＝2时，x＝0是函数g（x）的极小值点，即证明其充分性，由此即可得出结论．【解答】（1）证明：f′（x）＝e x﹣a+sin x，显然e x＞0，﹣1≤sin x≤1，当a≤﹣1时，e x﹣a+sin x＞0﹣a﹣1≥0，即f′（x）＞0，∴函数f（x）在其定义域上为增函数，故f（x）无极值点；（2）解：g（x）＝e x﹣ax﹣cos x+ln（x+1），，显然x＝0是g（x）的极小值点的必要条件为g′（0）＝2﹣a＝0，即a＝2，此时，显然当时，，当时，，故，令，则，故m（x）是减函数，故当x＜0时，m（x）＞m（0）＝1，即，令，则，当﹣1＜x＜0时，，故h（x）在（﹣1，0）单调递增，故当﹣1＜x＜0时，h（x）＜h（0）＝0，即，故当时，，因此，当a＝2时，x＝0是g（x）的极小值点，即充分性也成立．综上，存在a＝2，使得g（x）在x＝0处取得极小值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．5．已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1，函数g（x）＝ax﹣1﹣blnx（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）证明：当x≥0时，f（x）≤3x+1．（3）证明：当x＞﹣1时，f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．【分析】（1）求出g（x）的定义域，导函数，对参数a、b分类讨论得到答案．（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（3x+1），求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证．（3）法一：由（1）可知x≥1+lnx，可得（x+1）2e sin x≥1+ln[（x+1）2e sin x]，即（x+1）2e sin x≥2ln（x+1）+sin x+1又（x2+2x+2）e sin x＞（x+1）2e sin x即可得证；法二：构造同构函数，结合不等式e x≥x+1即可解决．【解答】解：（1）g（x）的定义域为（0，+∞），，当a＞0，b＜0时，g'（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0，b＞0时，令g'（x）＞0，得，令g'（x）＜0，得，则g（x）在上单调递减，在上单调递增；当a＜0，b＞0时，g'（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＜0，b＜0时，令g'（x）＞0，得，令g'（x）＜0，得，则g（x）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（3x+1），则．∵x≥0，∴，cos x∈[﹣1，1]，则h'（x）≤0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递减，∴h（x）＝f（x）﹣（3x+1）≤h（0）＝0，即f（x）≤3x+1．（3）证明：方法一：当a＝b＝1时，g（x）＝x﹣1﹣lnx．由（1）知，g（x）min＝g（1）＝0，∴g（x）＝x﹣1﹣lnx≥0，即x≥1+lnx．当x＞﹣1时，（x+1）2＞0，（x+1）2e sin x＞0，则（x+1）2e sin x≥1+ln[（x+1）2e sin x]，即（x+1）2e sin x≥2ln（x+1）+sin x+1，又（x2+2x+2）e sin x＞（x+1）2e sin x，∴（x2+2x+2）e sin x＞2ln（x+1）+sin x+1，即f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．方法二：当x＞﹣1时，要证f（x）＜（x2+2x+2）e sin x，只需证（x+1）2e sin x﹣[2ln（x+1）+sin x]﹣1+e sin x＞0即证，令F（x）＝e x﹣x﹣1，易证F（x）⩾0，故，所以当x＞﹣1时，f（x）＜（x2+2x+2）e sin x．【点评】本题考查利用导数研究含参函数的单调和利用导数证明不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．6．已知函数在x＝0处取得极值．（1）求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当0＜m≤e，x∈（1，+∞）时，xe x﹣2﹣m（x﹣1）lnx＞0．【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件可求a及单调区间；（2）结合（1）的结论可得e x﹣2≥x﹣1，然后对不等式进行合理的放缩，构造函数，结合导数可证．【解答】解：（1），由题意可得，f′（0）＝1﹣a＝0，故a＝1，f（x）＝，，由f′（x）＞0可得x＜0，故函数单调递增区间（﹣∞，0），由f′（x）＜0可得x＞0，故函数单调递减区间（0，+∞），（2）证明：由（1）可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减，故f（x）≤f（0）＝1，即≤1，故e x≥x+1，∴e x﹣2≥x﹣1当且仅当x＝2时取等号，∵x＞0，∴xe x﹣2≥x（x﹣1），∴xe x﹣2﹣m（x﹣1）lnx≥x（x﹣1）﹣m（x﹣1）lnx＝（x﹣1）（x﹣mlnx），∵x＞1，lnx＞0，因为0＜m≤e，所以x﹣mlnx≥x﹣elnx，令g（x）＝x﹣elnx，则，由g′（x）＞0可得，x＞e，故g（x）在（e，+∞）上单调递增，由g′（x）＜0可得，x＜e，故g（x）在（﹣∞，e）上单调递减，所以g（x）≥g（e）＝0，即x﹣elnx≥0在x＝e处取得等号，∴xe x﹣2﹣m（x﹣1）lnx≥（x﹣1）（x﹣mlnx）≥（x﹣1）（x﹣elnx）≥0，由于取等条件不同，所以xe x﹣2﹣m（x﹣1）lnx＞0．【点评】本题主要考查了函数极值存在条件的应用及利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．7．设函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y＝x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．【分析】（1），设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0＝f'（x0）（x ﹣x0），又切线为y＝x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x0，a．（2）令，所以，可得其单调性．g（x）min＝g（x）极小值＝g（1）＝2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a＝2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．【解答】（1）解：，设切点为（x0，y0），则切线为y﹣y0＝f'（x0）（x﹣x0），即，又切线为y＝x﹣1，所以，消a，得，设，易得g（x）为减函数，且g（1）＝0，所以x0＝1，a＝1（2）证明：令，所以，当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增；当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减；所以g（x）min＝g（x）极小值＝g（1）＝2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a＝2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）＝0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以，①因为1＜x＜2，所以，所以，即，②①+②得：，故当1＜x＜2时，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣x﹣ax2．（Ⅰ）当a＝0时，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x＞0，证明（e x﹣1）ln（x+1）＞x2．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于x的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，证出结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据不等式f（x）≥0恒成立，分2a≤1和2a＞1两种情况求出a的范围；（Ⅲ）要证（e x﹣1）ln（x+1）＞x2，只需证ln（x+1）＞成立，然后构造函数F（x）＝ln（x+1）﹣，证明F（x）＞0即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，f（x）＝e x﹣1﹣x，f′（x）＝e x﹣1…（1分）当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0…（2分）故在单调递减，在单调递增，f（x）min＝f（0）＝0，∴f（x）≥0…（3分）（Ⅱ）f'（x）＝e x﹣1﹣2ax，令h（x）＝e x﹣1﹣2ax，则h'（x）＝e x﹣2a．1）当2a≤1时，在[0，+∞）上，h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）≥h（0），即f'（x）≥f'（0）＝0，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∴f（x）≥f（0）＝0，∴时满足条件；…（5分）2）当2a＞1时，令h'（x）＝0，解得x＝ln2a，当x∈[0，ln2a）上，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴x∈（0，ln2a）时，有h（x）＜h（0）＝0，即f'（x）＜f'（0）＝0，∴f（x）在区间（0，ln2a）为减函数，∴f（x）＜f（0）＝0，不合题意…（7分）综上得实数a的取值范围为…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当a＝时，x＞0，e x＞1+x+，即e x﹣1＞x+，欲证不等式（e x﹣1）ln（x+1）＞x2，只需证ln（x+1）＞…（10分）设F（x）＝ln（x+1）﹣，则F′（x）＝，∵x＞0时，F′（x）＞0恒成立，且F（0）＝0，∴F（x）＞0恒成立．所以原不等式得证…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想以及不等式的证明，是一道综合题．9．已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，求f （x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）证明：当x＞1时，e x lnx＞x．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a＝1，进而得到f（x）的导数，设g（x）＝e x﹣x﹣1，求出导数和单调区间，可得最小值，进而得到f（x）的单调区间；（2）方法一、函数f（x）有两个极值点，即为h（x）＝ae x﹣x﹣1有两个零点，求出h （x）的导数，对a讨论，求出h（x）的单调区间和最值，解不等式即可得到所求a的范围；方法二、函数f（x）有两个极值点，即为f′（x）＝ae x﹣x﹣1＝0有两个不等的实根，即有a＝有两个不等实根．令h（x）＝，求出导数和单调区间，极值和最值，结合x＞0，x≤0，h（x）的变化情况，即可得到所求a的范围；（3）由（1）可得x＞1时，e x＞x+1＞0，lnx＞0，即有e x lnx＞（x+1）lnx，设φ（x）＝（x+1）lnx﹣x+，求出导数和单调区间，可得φ（x）＞φ（1）＝0，由不等式的传递性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）＝ae x﹣x2﹣x的导数f′（x）＝ae x﹣x﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为ae﹣2，由切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，可得（ae﹣2）•（﹣）＝﹣1，解得a＝1，即f（x）＝e x﹣x2﹣x的导数f′（x）＝e x﹣x﹣1，令g（x）＝e x﹣x﹣1，g′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）≥g（0）＝0，即有f′（x）≥0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）解法一、由f′（x）＝ae x﹣x﹣1，函数f（x）有两个极值点，即为h（x）＝ae x﹣x﹣1有两个零点，h′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）不可能有两个零点；当a＞0时，令h′（x）＝0，可得x＝﹣lna，当x＞﹣lna时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＜﹣lna时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得x＝﹣lna处h（x）有极小值也为最小值，若函数h（x）有两个零点，则h（﹣lna）＜0，即lna＜0，即有0＜a＜1；解法二、由f′（x）＝ae x﹣x﹣1，函数f（x）有两个极值点，即为f′（x）＝ae x﹣x﹣1＝0有两个不等的实根，即有a＝有两个不等实根．令h（x）＝，h′（x）＝，当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＜0时，h′（x）＞0，h（x）递增．h（x）在x＝0处取得最大值1，当x＞0时，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，当x≤0时，h（0）＝1，h（﹣2）＝﹣e2＜0，结合h（x）在（﹣∞，0）递增，可得h（x）在（﹣∞，0）只有一个零点；故0＜a＜1．（3）证明：由（1）可得x＞1时，e x＞x+1＞0，lnx＞0，即有e x lnx＞（x+1）lnx，设φ（x）＝（x+1）lnx﹣x+，φ′（x）＝lnx+﹣1﹣＝lnx+（1﹣）＞0（x ＞1），所以φ（x）在（1，+∞）递增，即有φ（x）＞φ（1）＝0，即（x+1）lnx＞x﹣，故当x＞1时，e x lnx＞x．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及不等式的证明，注意运用分类讨论和参数分离法，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．10．已知函数f（x）＝e x，g（x）＝．（1）设函数F（x）＝f（x）+g（x），试讨论函数F（x）零点的个数；（2）若a＝﹣2，x＞0，求证：f（x）•g（x）＞+．【分析】（1）判断F（x）的单调性，计算F（x）的极值，得出F（x）的零点个数；（2）根据＜，即可证明e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4，得出结论．【解答】解：（1）函数F（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，e x＞0，＞0，所以．∴即F（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，，令h（x）＝e x（x﹣a）+1，则h'（x）＝e x（x﹣a+1），h'（a﹣1）＝0，∴当x∈（﹣∞，a﹣1）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴h（x）在区间（﹣∞，a）上的最小值为h（a﹣1）＝1﹣e a﹣1．显然，当a＝1时，h（a﹣1）＝0，所以x＝a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜1时，h（a﹣1）＝1﹣e a﹣1＞0，所以F（x）没有零点；当a＞1时，h（a﹣1）＝1﹣e a﹣1＜0，所以F（x）有两个零点．（2）若a＝﹣2，x＞0，要证f（x）g（x）＞+，即要证e x＞（x+2）+x2﹣4，∵＜＝，下证e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4．设M（x）＝e x﹣（x+2）（+1）﹣x2+4＝e x﹣x2﹣2x+2，则M'（x）＝e x﹣2x﹣2，令φ（x）＝e x﹣2x﹣2，则φ′（x）＝e x﹣2，∴φ（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∵φ（1）＝e﹣4＜0，φ（2）＝e2﹣6＞0，∴M'（x）在（0，+∞）上只有一个零点x0（1＜x0＜2），即﹣2x0﹣2＝0，∴M（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴M（x）≥﹣x02﹣2x0+2＝4﹣x02＞0，∴e x＞（x+2）（+1）+x2﹣4，又＞，∴e x＞（x+2）+x2﹣4，∴f（x）•g（x）＞+．【点评】本题考查了函数的单调性与最值计算，属于中档题．11．已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．（2）证明：e x+（lnx﹣1）sin x＞0．【分析】（1）f（x）的最大值问题，需要借助导数，对比极值与端点值确定，而由最值也可确定出未知量a（2）借助第一问，先证0＜x＜π，e x+（lnx﹣1）sin x＞0；再证x≥π，可得≥1﹣lnx，结合（1）的结论，即可得证．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）f′（x）＝﹣＝，∵f（x）有最小值，而f（x）无端点值，∴f（x）必定在x＝a处取得极小值，也是最小值，∴f（a）＝lna+1﹣1＝0，∴a＝1；（2）先证0＜x＜π，e x+（lnx﹣1）sin x＞0，即证＞1﹣lnx，由≥1﹣lnx，即证＞即为xe x＞sin x，即xe x﹣sin x＞0，可令h（x）＝xe x﹣sin x，h′（x）＝（x+1）e x﹣cos x＞0，可得h（x）在（0，π）递增，即有h（x）＞h（0）＝0，可得0＜x＜π，e x+（lnx﹣1）sin x＞0；再证x≥π，可得≥1﹣lnx，即x≥1﹣ln，即x≥1+lnx，即e x≥e1+lnx，可得e x≥ex，又ex≥e（1+lnx），即有e x+（lnx﹣1）sin x≥e（1+lnx）+（lnx﹣1）sin x＝（e+sin x）lnx+（e﹣sin x）＞0，综上可得，e x+（lnx﹣1）sin x＞0．【点评】本题考查的是函数最值问题，需要借助导数确定极值，然后与段端值对比确定出最值的一个逆用．第二问的也是一个常见形式，需熟记．12．已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣bx2，g（x）＝（bx2﹣1）e x+x+a（a，b∈R，e为自然对数的底数），且f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣x+ln2．（1）求实数a，b的值；（2）若x≥0，求证：f（x）≤g（x）【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，解方程可得a，b的值；（2）令F（x）＝g（x）﹣f（x），求得导数F′（x），再设h（x）＝F′（x），求得导数，判断单调性，即可得到F（x）≥F（0）＝0，从而证得g（x）≥f（x）．【解答】解：（1）函数f（x）＝ln（x+a）﹣bx2，导数为f′（x）＝﹣2bx，可得f（x）在x＝1处的斜率为﹣2b＝﹣，由f（1）＝ln（1+a）﹣b＝ln2﹣，解得a＝1，b＝；（2）证明：令F（x）＝g（x）﹣f（x）＝（x2﹣1）e x+2x+1﹣ln（x+1）+x2（x≥0），则F′（x）＝（x+x2﹣1）e x+2﹣+x，设h（x）＝（x+x2﹣1）e x+2﹣+x，可得h′（x）＝（2x+x2）e x+1+在x≥0恒成立，可得h（x）在x≥0递增，可得h（x）≥h（0）＝0，即有F′（x）≥0，可得F（x）在x≥0递增，F（x）≥F（0）＝0，即有f（x）≤g（x）．【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用：求切线的斜率，考查不等式的证明，注意运用构造法，是一道综合题．13．已知函数f（x）＝1﹣lnx+a2x2﹣ax（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＝0且x∈（0，1），求证：＜1．【分析】解法一：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求出导函数，通过①若a＝0时，②若a＞0时，③若a＜0时，判断导函数的符号，求解函数的单调区间．（2）若a＝0且x∈（0，1），欲证，只需证x（1﹣lnx）＜（1+x﹣x3）e x．设函数g（x）＝x（1﹣lnx）（x∈（0，1）），利用导函数判断单调性求解函数的最值，构造新函数，转化求解即可．解法二：（1）同解法一．（2）若a＝0且x∈（0，1），欲证，只需证x（1﹣lnx）＜（1+x﹣x3）e x．设函数g（x）＝x（1﹣lnx）（x∈（0，1）），则g'（x）＝﹣lnx．分析转化证明即可．解法三：（1）同解法一．（2）若a＝0且x∈（0，1），欲证，只需证，由于1﹣lnx＞0，e x＞e0＝1，只需证明lnx﹣x2+＞0，令g（x）＝lnx﹣x2+（x∈（0，1）），利用函数的导数，转化证明即可．【解答】解：解法一：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，①若a＝0时，则f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；②若a＞0时，当时，f'（x）＝0；当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．故在上，f（x）单调递减；在上，f（x）单调递增；③若a＜0时，当时，f'（x）＝0；当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．故在上，f（x）单调递减；在上，f（x）单调递增．（2）若a＝0且x∈（0，1），欲证，只需证，即证x（1﹣lnx）＜（1+x﹣x3）e x．设函数g（x）＝x（1﹣lnx）（x∈（0，1）），则g'（x）＝﹣lnx．当x∈（0，1）时，g'（x）＞0．故函数g（x）在（0，1）上单调递增．所以g（x）＜g（1）＝1．设函数h（x）＝（1+x﹣x3）e x，则h'（x）＝（2+x﹣3x2﹣x3）e x．设函数p（x）＝2+x﹣3x2﹣x3，则p'（x）＝1﹣6x﹣3x2．当x∈（0，1）时，p'（0）•p'（1）＝﹣8＜0，故存在x0∈（0，1），使得p'（x0）＝0，从而函数p（x）在（0，x0）上单调递增；在（x0，1）上单调递减．当x∈（0，x0）时，p（x0）＞p（0）＝2，当x∈（x0，1）时，p（x0）•p（1）＜﹣4＜0故存在x1∈（0，1），使得h'（x1）＝0，即当x∈（0，x1）时，p（x）＞0，当x∈（x1，1）时，p（x）＜0从而函数h（x）在（0，x1）上单调递增；在（x1，1）上单调递减．因为h（0）＝1，h（1）＝e，故当x∈（0，1）时，h（x）＞h（0）＝1所以x（1﹣lnx）＜（1+x﹣x3）e x，x∈（0，1），即．解法二：（1）同解法一．（2）若a＝0且x∈（0，1），欲证，只需证，即证x（1﹣lnx）＜（1+x﹣x3）e x．设函数g（x）＝x（1﹣lnx）（x∈（0，1）），则g'（x）＝﹣lnx．当x∈（0，1）时，g'（x）＞0．故函数g（x）在（0，1）上单调递增．所以g（x）＜g（1）＝1．设函数h（x）＝（1+x﹣x3）e x，x∈（0，1），因为x∈（0，1），所以x＞x3，所以1+x﹣x3＞1，又1＜e x＜e，所以h（x）＞1，所以g（x）＜1＜h（x），即原不等式成立．解法三：（1）同解法一．（2）若a＝0且x∈（0，1），欲证，只需证，由于1﹣lnx＞0，e x＞e0＝1，则只需证明，只需证明lnx﹣x2+＞0，令g（x）＝lnx﹣x2+（x∈（0，1）），则，则函数g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）＞g（1）＝0，所以成立，即原不等式成立．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，是难题．14．已知函数．（1）当x＞1时，不等式f（x）＞m成立，求整数m的最大值；（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）（2）证明：当x＞1时，f（x）＜g（x）．【分析】（1）＝，令h（x）＝lnx﹣﹣1，则，因为x＞1，所以＞0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，又h（2）＜0，h（3）＜0，h（4）＞0，所以h（x）在（3，4）上存在唯一的零点，设为x0∈（3，4），且当1＜x＜x0时，h（x）＜0；当x＞x0时，h（x）＞0，所以当1＜x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时，f′（x）＞0；所以f（x）在（1，+∞）上有最小值f（x0），且x0满足h（x0）＝lnx0﹣﹣1＝0，即lnx0＝，所以f（x0）＝＝＝x0，所以m＜f（x0）＝x0，又x0∈（3，4），则可得整数m的最大值．（2）欲证明f（x）＜g（x）⇐⇐⇐因为x＞1，所以lnx＞0且x﹣1＞0，则⇔x2﹣1＜lnx•e x，不妨令p（x）＝lnx•e x﹣x2+1，则p′（x）＝e x（lnx+）﹣2x，令q（x）＝lnx+，则q′（x）＞0，故q（x）在（1，+∞）单调递增，则q（x）＞q（1）＝1，又e x＞1，所以，又令r（x）＝e x﹣2x，则r′（x）＝e x﹣2，当x＞1时，r′（x）＝e x﹣2＞e﹣2＞0，则r（x）在（1，+∞）单调递增，所以r（x）＞r （1）＞0，所以p′（x）＞e x﹣2＞0，所以p（x）在（1，+∞）上单调递增，所以p（x）＝lnx•e x﹣x2+1＞p（1）＝0；所以x2﹣1＜lnx•e x；所以，即可得出结论．【解答】解：由题可知，f（x）＝，则＝，令h（x）＝lnx﹣﹣1，则，因为x＞1，所以＞0，又h（2）＝ln2﹣＜0，h（3）＝ln3﹣＜0，h（4）＝2ln2﹣＞0，所以h（x）在（3，4）上存在唯一的零点，设为x0∈（3，4），且当1＜x＜x0时，h（x）＜0；当x＞x0时，h（x）＞0，所以当1＜x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时，f′（x）＞0；所以f（x）在（1，+∞）上有最小值f（x0），且x0满足h（x0）＝lnx0﹣﹣1＝0，即lnx0＝，所以f（x0）＝＝＝x0，所以m＜f（x0）＝x0，又x0∈（3，4），则整数m的最大值为3．（2）当x＞1时，欲证明f（x）＜g（x），即证，因为x＞1，所以lnx＞0且x﹣1＞0，则⇔x2﹣1＜lnx•e x，不妨令p（x）＝lnx•e x﹣x2+1，则p′（x）＝e x（lnx+）﹣2x，令q（x）＝lnx+，则q′（x）＝＝＞0，故q（x）在（1，+∞）单调递增，则q（x）＞q（1）＝1，又e x＞1，所以，又令r（x）＝e x﹣2x，则r′（x）＝e x﹣2，当x＞1时，r′（x）＝e x﹣2＞e﹣2＞0，则r（x）在（1，+∞）单调递增，所以r（x）＞r（1）＝e﹣2＞0，所以p′（x）＞e x﹣2＞0，所以p（x）＝lnx•e x﹣x2+1＞p（1）＝0；所以x2﹣1＜lnx•e x，所以，即当x＞1时，f（x）＜g（x）．【点评】本题考查导数的综合运用，属于难题．15．已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求导可知时f（x）单减，时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，利用导数容易得证．【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2cos x，令f′（x）＝0，得，故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为，当x＞π时，，∴f（x）的最小值为；（2）要证x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，g′（x）＝2（1+x﹣2sin x）e2x+（1﹣2cos x）e2x＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，x＞0，则h′（x）＝1﹣cos x≥0，即h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x，∴3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2（sin x+cos x）＝，∴g′（x）＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x＞0，即g（x）是（0，+∞）上的增函数，g（x）＞g（0）＝1，故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题．16．已知f（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1，g（x）＝cos2x+2x2﹣1．（1）证明：x≥0时，f（x）≥0；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）证明：x≥0时，xe x+sin2x≥2sin x+sin2x．【分析】（1）求导f′（x）＝e x﹣x﹣1，令φ（x）＝f′（x），利用导数求出φ（x）的单调性，可得φ（x）≥0，则f（x）单调递增，即可证得结论；（2）对g（x）求导，令h（x）＝g′（x），由导数与单调性的关系可得h（x）的单调性，由h（x）＜0，h（x）＞0，可得g（x）单调区间；（3）要证xe x+sin2x≥2sin x+sin2x，即证xe x≥sin x（2﹣cos x）+sin2x．对x＞π，0＜x＜π两种情况分别证得不等式成立即可．【解答】解：（1）f′（x）＝e x﹣x﹣1，令φ（x）＝f′（x），则φ′（x）＝e x﹣1，因为x≥0，所以φ′（x）＝e x﹣1≥0，所以φ（x）在[0，+∞）单调递增，所以φ（x）≥φ（0）＝0，所以f（x）在[0，+∞）单调递增，则f（x）≥f（0）＝0．（2）g′（x）＝﹣2sin2x+4x，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝﹣4cos2x+4≥0，所以h（x）在R上单调递增，又h（0）＝0，所以x＜0时，h（x）＜h（0）＝0，函数g（x）单调递减；x＞0时，h（x）＞h（0）＝0，函数g（x）单调递增．所以，g（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．（3）证明：要证xe x+sin2x≥2sin x+sin2x，即证xe x≥sin x（2﹣cos x）+sin2x．①当x＞π时，xe x≥πeπ＞4，而sin x（2﹣cos x）+sin2x＜4，所以不等式成立．②当0＜x＜π时，sin x＞0，由（2）知：x≥0时，cos2x≥1﹣2x2，所以cos x≥1﹣2＝1﹣，2﹣cos x≤1+，所以只需证xe x≥sin x（1+）+sin2x．令p（x）＝sin x﹣x（x≥0），则p′（x）＝cos x﹣1≤0，所以p（x）在（0，+∞）单调递减，所以p（x）≤p（0）＝0，即sin x≤x．故只需证xe x≥x（1+）+x2，即证：e x≥1++x．由（1）知，上述不等式成立．综上，当x≥0时，xe x+sin2x≥2sin x+sin2x．【点评】本题主要考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调区间等知识，考查运算求解能力，是中档题．。