学习张量必看,一个文档学会张量!!!!张量分析
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用
c ab
ba
c a b (eijk a jbk )ei
ci a jbk eijk a jbk e jki
37
符号ij 与erst
★
a b a b cos
c ab
★
★
a b a b sin
(a b) a (a b) b 0
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围
和 i 相同。
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j,
k, …表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标,
, , …均为二维指标，取值1, 2。
张量基本概念
拉丁指标
u=ui ei u1e1 u2e2 u3e3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi
张量入门
3
2 33
ii
2
2 ii ( 11 22 33 ) i 1
3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自源自标号的数 量确定张量的阶次。◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
3.求和约定
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 Ai j ， 就表示对一阶张量 Ai 的每一个分量对坐标参数
xj求导。
◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则
算子 i 作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：
★
关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii a a a
2 11 2 22
2
2
2 33
2
(aii ) (a11 a22 a33 )
【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
张量分析初学者必看
直角坐标系的 基矢量
ii 11 22 33 3 ik kj ij ij ij ii jj 3 ij jk kl il aik kj aij aij ij aii a11 a22 a33 ai ij a j ei e j ij
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij ak eier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
Wij W ji
有6个独立分量
有3个独立分量
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
九、对称化和反对称化
对称化：对已知张量的N个指标进行N!次不同的置 换, 并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。 其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放 在圆括弧内表示对称化运算。
Aij
1 2! ( Aij
eie jek
)(Brst ereset
)
Aijk eie jrmem Brst eksnenet e jrmeksn Aijk Brst eiemenet S Simnt e jrmeksn Aijk Brst
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
七、张量的缩并
在张量的不变性记法中, 将某两个基矢量点乘, 其结果是一个较原张量低二阶的新张量, 这种运 算称为缩并
§ A-1 指标符号 三 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
张量分析总结[范文]
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张量分析总结[范文]第一篇：张量分析总结[范文]中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 1 页一、知识总结张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
例：A11x1+A12x2+A13x3=B1A21x1+A22x2+A23x3=B2 A31x1+A32x2+A33x3=B3式(1.1)可简单的表示为下式：(1.1)Aijxj=Bi(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。
特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。
在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2 Kronecker符号定义δij为：δij=⎨⎧1,i=j0,i≠j⎩(1.3)δij的矩阵形式为：⎡100⎤⎥δij=⎢010⎢⎥⎢⎣001⎥⎦(1.4)可知δijδij=δii=δjj=3。
δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。
如：δijδjk=δikδijδjkδkl=δil(1.5)中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 2 页δij的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：⎧1,i,j,k为偶排列⎪lijk=⎨-1,i,j,k为奇排列⎪0,其余情况⎩(1.6)图1.1 i,j,k排列图lijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。
Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为ei，新坐标系的基矢为ei'。
第一章张量分析基础知识
第⼀章张量分析基础知识晶体物理性能南京⼤学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体⼈⼯培养技术的成熟，单晶体的各⽅⾯物理性能（如⼒、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作⽤的物理效应，在各尖端科学技术领域⾥，都得到了某些应⽤．特别是⽯英⼀类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电⼦技术中，⽐较早地在⼯业规模上进⾏⼤批⽣产和⼴泛应⽤．激光问世的四⼗多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应⽤中，已成单晶体应⽤中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之⼀，⽬的就是希望对晶体特别是光电技术中使⽤的晶体（包括基质晶体与⾮线性光学晶体）的有关物理性能及其应⽤⽅⾯的基本知识，有⼀个了解．对今后从事光电晶体的⽣长、检测和应⽤的⼯作，在分析问题、解决问题⽅⾯有所帮助，同时要在今后⼯作中不断从实践和理论两个⽅⾯扩⼤知识领域，有⼀个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个⽅⾯作深⼊全⾯的介绍，也将侧重于激光晶体有关的⼀些性能及其应⽤．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离⼦晶体为主要对象，以光电技术上应⽤为线索组织内容，共分为⼋章．着重于从宏观⾓度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作⽤过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应⽤，包括弹性与弹性波（第⼆章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第⼋章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、⽅便地描述这些物理性能必须使⽤张量来表⽰．因此，在第⼀章，我们介绍了关于张量分析基础知识⽅⾯的内容．由于⽔平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因⽽内容安排不妥、取舍不当、错误之处⼀定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第⼀章张量的基础知识§１．１标量、⽮量和⼆阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５⼆阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的⾜符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表⽰和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８⼆阶对称张量的⼏何表⽰和⼆阶张量的主轴………………………………………§１．９⼆阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第⼆章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原⼦间⼒…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应⼒……………………………………………………………………………………§２．４推⼴的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５⽴⽅晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因⼦的测量⽅法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３⾼频电场的介电极化（光的⾊散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离⼦晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的⼀般性质…………………………………………………………………§４．２常⽤铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热⼒学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电⽅程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应⽤实例――⽯英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲⾯……………………………………………………………§５．４晶体表⾯上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光⼲涉及其应⽤……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１⾮线性极化…………………………………………………………………………§６．２⾮线性极化系数……………………………………………………………………§６．３⾮线性介质中电磁场耦合⽅程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７⾓度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放⼤…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐⽅法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13⾮线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应⽤§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的⼏个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第⼋章声光效应及其应⽤§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作⽤产⽣的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作⽤的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在⼀些物理常数测量中的应⽤…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散⾓α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射⾯相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第⼀章张量分析基础知识以前学的课程中，有关⼒学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以⼀维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因⽅⾯是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的⼒学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，⽽晶体的各向异性却是⼀种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、⾮线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要⽅⾯。
学习张量必看,一个文档学会张量!!!!张量分析
26
张量基本概念
➢小结
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。
一般说，在一个用指标符号写出的方程中， 若有 k 个独立的自由指标，其取值范围是1～n， 则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项 中若同时出现 m 对取值范围为1～n 的哑指标，则 此项含相互迭加的 n m 个项。
张量基本概念
➢ 二阶张量
应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。
➢ 三阶张量
压电张量，等。
➢ 四阶张量
弹性张量，等。
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源
➢ 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量； ➢ 低阶张量的梯度； ➢ 低阶张量的并积； ➢ 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
➢应力张量
张量基本概念
ei ej eijkek
而对于左手系，有： ei ej eijkek
e3
e2
e3
e1
e1
e2
35
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
ab(ajej)(bkek)ajbk(ej ek)
ajbk jk ajbj akbk
3. 矢量的叉积(或称矢量积) ：
a b ( a j e j ) ( b k e k ) a j b k ( e j e k ) ( e i j k a j b k ) e i
d=ab
c
h
b
a
39
符号ij 与erst
ei ej ij
(1)
ab(eijkajbk)ei (2)
利用(1)和(2)式有
[a,b,c]abc=(amem)(eijkbjckei) eijkambjck m i eijkaibjck
张量分析课件-1.6 张量的基本概念
T ij βki βl jT kl
T
i j
Tij βik β ljTkl
j k j l T β β i i l T k
β β T
l j
i k
k l
同一坐标系内，张量的逆变、协变、混变分量之间 满足指标升降关系。m 阶张量可以有 nm 种分量的集合。 n 维空间中 m 个矢量分量进行并乘运算所得到 nm 个数的集合可构成 m 阶张量。例如：
t Tijk βir β s β j k Trst
T
ij k
β β β T
t k
i r
j s
rs t
t r T i jk βri β s β T j k st
1.6.2.1 张量的实体表示法（并矢表示法）
j i T T ij gi g j Tij g i g j T i j gi g j T i g gj k i j k T T ijk gi g j gk Tijk g i g j g k T ij g g g T g g g k i j jk i
基张量（基矢量的并矢）线性无关。
在张量的实体表示法中，分量指标的排列顺序和相配 基矢量的排列顺序是一一对应的，不能随意更换。例如
T T gi g j T g j gi T gi g j T g j gi
ij ji ji ij
1.6.3
度量张量
G g ij gi g j gij g i g j δ ij gi g j δi j g iT
st i
T
ij
β β T rs
r i s j rs s j r s s r
张量基础知识分解
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率 张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定 律可表示为
J E
11 12 13 21 22 23 31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分
量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量
的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换
时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变换的规律。
二、矢量分量的变换 设有一矢量p,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3, 在新坐标系中的分量为p1*,p2*,p3*,由于是同一个 矢量p,故有
p p1e1 p 2e2 p 3e3 p * 1e * 1 p * 2e * 2 p * 3e * 3
点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、
电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描 述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
或表示成分量形式
Ji ijEj （i 1, 2 , 3 )
j 1
3
矩阵形式
J 1 11 12 13 J 2 21 22 23 J 3 31 32 33
《张量基础知识》课件
提供数学工具
详细描述
弹性力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和 计算弹性材料的应力和变形，如弹性波传播、材料稳定 性等。
04
张量在机器学习中的应用
深度学习中的张量
深度学习中的张量用于表示多维 数据，如图像、语音和文本等。
张量可以高效地存储和计算大规 模数据，支持自动微分和反向传 播算法，使得深度学习模型能够
总结词
描述微观粒子的自旋和角动量
详细描述
量子力学中的张量也用于描述微观粒子的自旋和角动量等 性质，这些性质在量子力学中非常重要，是理解微观粒子 行为的关键。
总结词
提供数学工具
详细描述
量子力学中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述和计 算微观粒子的状态和相互作用，如量子纠缠、量子门操作 等。
弹性力学中的张量
张量的分类
根据不同的分类标准，可以将张量分为多种类型。
根据张量的阶数，可以分为零阶张量（即标量）、一阶张量（即向量）、二阶张量（即矩阵）等。根据张量的变数个数，可 以分为纯量张量、二阶张量、三阶张量等。根据张量的对称性，可以分为对称张量、反对称张量、正交张量等。根据张量的 具体应用领域，可以分为物理张量、工程张量、医学张量等。
总结词
提供数学工具
详细描述
广义相对论中的张量提供了丰富的数学工具，用于描述 和计算引力场中的物理现象，如光线传播、星体运动等 。
量子力学中的张量
总结词
描述微观粒子的状态和相互作用
详细描述
在量子力学中，张量被用来描述微观粒子的状态和相互作 用，如狄拉克符号中的矩阵和向量等。这些张量提供了描 述微观粒子波函数的数学工具。
快速训练和优化。
张量在深度学习中还用于实现各 种复杂的神经网络结构，如卷积 神经网络、循环神经网络和注意
【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间-50页精选文档
（2）∵ x y z ( x 1 y 1 ) z 1 , , ( x n y n ) z n
( x 1 y 1 z 1 , ,x n y n z n )
x ( y z ) ( x 1 ( y 1 z 1 ) , , ( x n ( y n z n ))
( x 1 y 1 z 1 , ,x n y n z n )
∴ x + (y + z )= ( x + y )+ z = x + y + z （4）∵ o(0, ,0)V0 x o (x 1 0 , x n 0 )(x1, ,xn)
∴ xox
（5）∵ ()x ()(x 1 , ,xn) (()x 1 , ,()xn)
∴
(x 1 , ,xn) (x 1 ), ,)xn)
第一章 线性空间
若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。
则加法法则将F中的任意两个元素 a, bF ; c F
+ (a, b)c
abc
乘法法则将F中的任意两个元素 a, bF ; c F
× (a, b)c
abc
显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元
素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：
所有以x点为起点的矢量按：
u x yu x z(y 1 x 1 , ,y n x n ) (z 1 x 1 , ,z n x n )
(y 1 ( x 1 ) (z 1 x 1 ) ,,(y n x n ) (z n x n ))
u xy (y1x1, ,ynxn) ((y1x1) ,,(ynxn)) F
a, b,xF
（6） (a b ) x a x b x
a, b,xF
第1章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
g1 1
gi xi g2 ix1 sin x2 jx1 cos x2
g2 r
曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸
※三维球坐标系
(x, y, z) (x1, x2, x3)
(r, , ) (x1, x2 , x3 )
x3
r
gr g
g
x2
r x1i x2 j x3k xigi x1
新、老坐标之间的变换和逆变换： xi = xi xi'
gidxi gi' dx i'
dxi
=
xi xi'
dx i '
dx i
i'
i'
→
gi
i i'
dx
i'
g i
'
dx
i'
再由：
gidxi
g i
'
dx
i
'
→
gi'
i i'
gi
dxi'
=
xi' xi
dxi
i i
'
dx
i
→
gidxi
gi'
i i
'
dx
定义式（实体形式，几何表达）：
u v u v cos
v cos
张量分析与应用
张量分析与应用张量分析是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
张量在物理学中具有向量和矩阵所没有的更高维度的特性，能够更好地描述物质在空间中的运动和变形。
本文将介绍张量的基本概念、性质和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用。
一、张量的基本概念张量是一个多维数组，其元素在坐标系中按照多维坐标进行索引。
在数学上，张量可以表示为一个多维矩阵，其元素用一个或多个下标进行标记。
例如，二阶张量可以表示为一个矩阵，三阶张量可以表示为一个立体矩阵。
张量的阶数取决于其所在空间的维度，通常用字母T进行表示。
二、张量的性质1. 张量的坐标变换规律：张量的坐标变换是其重要性质之一。
当坐标系发生变换时，张量的分量也会相应发生变化，但其物理性质不变。
这使得张量成为描述物体运动和形变的有力工具。
2. 张量的对称性：张量的对称性是其另一个重要性质。
对称张量在坐标变换时具有特殊的变换规律，可以简化计算，提高效率。
例如，应力张量和应变张量在固体力学中具有重要应用。
三、张量在物理学中的应用1. 应力张量：在固体力学中，应力张量描述了物体内部受力情况，并对物体的变形产生影响。
应力张量的各向同性、各向异性等性质在材料研究和工程设计中具有重要意义。
2. 电磁场张量：在电磁学中，电磁场可以用张量形式表示，统一了电场和磁场的描述。
电磁场张量的不变性在相对论中有着重要的物理意义。
四、张量在工程学中的应用1. 应变张量：在工程力学中，应变张量描述了物体的变形情况，对结构强度和稳定性具有重要意义。
工程师通过对应变张量的分析，可以有效设计和优化结构。
2. 热传导张量：在热传导领域，热传导张量描述了物体内部的热传导性能。
研究热传导张量可以帮助工程师设计更高效的散热系统。
五、张量在计算机科学中的应用1. 神经网络中的张量：在深度学习领域，张量被广泛应用于神经网络的表示和计算。
神经网络中的权重和输入输出都可以表示为张量，通过张量运算可以实现各种复杂的模型。
张量分析第二讲精品PPT课件
爱因斯坦求和约定
Sa 1x1a2x2anxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定 Saixi ajxj
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2
维
求和指
标与所用 的字母无
关
指标重
复只能一 次
指标范
围
33
Aij xi y j
i1 j1
双重求和
Aij xi yj A11x1y1A12x1y2 A13x1y3
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同
置换符号与克罗尼克尔记号
1 若i, j,k1,2,3,2,3,1,3,1,2 eijkeijk1 若i, j,k3,2,1,2,1,3,1,3,2
0 若有两个或三个等指
j i
1 0
当i j 当i j
ijaj i1a1i2a2i3a3ai imAmj i1A1j i2A2j i3A3j Aij
i
i
1 1
2 2
3 3
3
k
i
j
k
j i
j
i
i
j
i i
j j
3
j
i
k j
l k
l i
• 2. 张量相关的概念
P•g1(P1g1P2g2)•g1P1 P•g2(P1g1P2g2)•g2P2 P•g1(P1g1P2g2)•g1P1 P•g2(P1g1P2g2)•g2P2
gi gijgj
g i
gijg j
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
(最新整理)张量基础知识
2021/7/26
30
二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a Tjl kl
T* ijk
aila jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
Tij akialjTk*l
Tijk
ali
amj
ank
T* lmn
Tijkl
ami
anj
aok
a
pl
T* mnop
2021/7/26
xi' x i' j j
2021/7/26
27
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
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28
于是得到最终的矢量变换法则如下
P*P A 1PA
a11 a21 a31
P1* P2* P3* P1 P2 P3a12 a22 a32
a13 a23 a33
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
2021/7/26
4
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f (f1, f2, f3)。
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19
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： ajixi bj
张量分解学习
In
◦ 性质：
X m a n b X m a n1 b X n b m a, m n
13
矩阵的Kronecker乘积
◦ A I ×J , B K ×L ，则
a11B a12 B a B a B 21 22 AB aI 1B aI 2 B
19
CP分解的张量形式
◦ 将一个张量表示成有限个秩一张量之和，比如一个三阶张 量可以分解为
X A, B, C a r b r cr
r 1
R
X
a1
c1
b1
a2
c2
b2
aR
cR
bR
三阶张量的CP分解
20
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
34
Tucker分解
◦ Tucker分解是一种高阶的主成分分析，它将一个张量表示 成一个核心（core）张量沿每一个mode乘上一个矩阵。 对于三阶张量 X I ×J ×K 来说，其Tucker分解为
A a1 a2 aR
X(1) A C B
T T
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X(2) B C A X(3) C B A
T
21
CP分解的切片形式
◦ 三阶张量的CP分解有时按（正面）切片写成如下形式：
Xk AD( k )BT
◦ 性质：A B C A B C A B C
16
矩阵的Hadamard乘积
◦ A I ×J , B I ×J ，则
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引 言
广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示
主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.
a b=ak bk = a1b1 a2b2 a3b3
希腊指标
u=u e u1e1 u2e2
a b=a b = a1b1 a2b2
张量基本概念
二阶张量
应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。
三阶张量
压电张量，等。
四阶张量
弹性张量，等。
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源
张量基本概念
标 量（零阶张量）
例如：质量，温度
质量密度
应变能密度
等等。
其值与坐标系选取无关。
张量基本概念
矢 量（一阶张量）
例如：位移，速度，
x3=z u3e3 u
加速度，力，
e3=k
p
u2e2
u1e1
法向矢量,
e1=i e2=j x2=y
等等。
x1=x
1 ei e j 0
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
i j i j
张量基本概念
矢 量（一阶张量）
x3=z u3e3 u
矢量u在笛卡尔坐标系中分解为
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
e3=k
3
p
u2e2
u1e1
其中u1, u2, u3 是u的三个分量，
e1, e2, e3是单位基矢量。
x1=x
e1=i
e2=j
u e
i 1 3 i 1
3
i i
=ui ei
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =aibi
张量基本概念
由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：
a b = b a = aibi
由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交 换。例如：
a b= a j bj ambm
c ab
ba
c a b (eijk a jbk )ei
ci a jbk eijk a jbk e jki
37
符号ij 与erst
★
a b a b cos
c ab
★
★
a b a b sin
(a b) a (a b) b 0
u
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1 3
分量记法：
ui
Appendix A.1
张量基本概念
指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围
和 i 相同。
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j,
k, …表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标,
, , …均为二维指标，取值1, 2。
张量基本概念
拉丁指标
u=ui ei u1e1 u2e2 u3e3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi
i 1
3
Appendix A.1
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两 次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求 和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。
u u1e1 u2 e2 u3e3
aibi ai ci
两边消去ai导得
bi ci
26
张量基本概念
小结
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中， 若有 k 个独立的自由指标，其取值范围是1～n， 则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项 中若同时出现 m 对取值范围为1～n 的哑指标，则 此项含相互迭加的 n m 个项。
张量基本概念
采用指标符号后，线性变换表示为
x1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
32
符号ij 与erst
特性
1. 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，
其余的元素都是0 2. 对其任何两个指标都是反对称的，即
27
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
Appendix A
28
符号ij 与erst
ij 符号 (Kronecker delta)
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，
erst的值不变
erst estr etrs
33
符号ij 与erst
常用实例 1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。 它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为1，即ei ej＝1 (当i＝j时) 不同基矢量互相正交，即ei ej＝0 (当i≠j时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式：
分量记法：
ij
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
ij n j i1n1 i 2n2 i 3n3 Ti
11n1 12n2 13n3 T1
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
高等复合材料力学
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
陈玉丽
航空科学与工程学院
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
x2=y
张量基本概念
矢 量（一阶张量）
x3=z u3e3 u
既有大小又有方向性的物理量;
其分量与坐标系选取有关，满
足坐标转换关系；
e3=k
p
u2e2
u1e1
遵从相应的矢量运算规则。
x1=x
e1=i
e2=j
x2=y
张量基本概念
矢 量(可推广至张量)的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
3. 矢量的叉积(或称矢量积) ：
a b (a j e j ) (bk ek ) a jbk (e j ek ) (eijk a jbk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
36
符号ij 与erst
★ 叉积的几何意义是“面元 矢量”，其大小等于由矢 量 a 和 b 构成的平行四边 形面积，方向沿该面元的 法线方向。
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而 自动消失。
30
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
31
符号ij 与erst
erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
1 或 erst r s s t t r 2
ei ej＝ ij
34
符号ij 与erst
当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
ei e j eijk ek
e3
e3 e2
e1
e1
e2
35
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk