学习张量必看,一个文档学会张量!!!!张量分析
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c ab
ba
c a b (eijk a jbk )ei
ci a jbk eijk a jbk e jki
37
符号ij 与erst
★
a b a b cos
c ab
★
★
a b a b sin
(a b) a (a b) b 0
利用爱因斯坦求和约定,写成:
xi aij x j
其中 j 是哑指标,i 是自由指标。
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次,但不得
在同项内出现两次,若在同项内出现两次则是哑指
标。例: 若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
张量基本概念
Appendix A
引 言
广义相对论(1915)、理论物理 连续介质力学(固体力学、流体力学) 现代力学的大部分文献都采用张量表示
主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等,张量分析,清华大学出版社,2003.
31
符号ij 与erst
erst 符号 (排列符号或置换符号,Eddington)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
1 或 erst r s s t t r 2
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
d s2 d xi d xi 可简写成:
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分:
df
f d xi xi
24来自百度文库
张量基本概念
★ 可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来 表示多重求和。
例如:
3. 矢量的叉积(或称矢量积) :
a b (a j e j ) (bk ek ) a jbk (e j ek ) (eijk a jbk )ei
如果没有特殊说明,我们一般默认为右手系。
36
符号ij 与erst
★ 叉积的几何意义是“面元 矢量”,其大小等于由矢 量 a 和 b 构成的平行四边 形面积,方向沿该面元的 法线方向。
x2=y
张量基本概念
矢 量(一阶张量)
x3=z u3e3 u
既有大小又有方向性的物理量;
其分量与坐标系选取有关,满
足坐标转换关系;
e3=k
p
u2e2
u1e1
遵从相应的矢量运算规则。
x1=x
e1=i
e2=j
x2=y
张量基本概念
矢 量(可推广至张量)的三种记法:
实体记法:
分解式记法:
3 3
aij xi x j aij xi x j
i 1 j 1
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和, 一般应加求和号。如:
a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c3 aibi ci
i 1
3
25
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
但若ai可以任意取值等式始终成立,则可以通过取特 殊值使得上式成立。
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
32
符号ij 与erst
特性
1. 共有27个元素,其中三个元素为1,三个元素为-1,
其余的元素都是0 2. 对其任何两个指标都是反对称的,即
张量基本概念
采用指标符号后,线性变换表示为
x1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
分量记法:
ij
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
ij n j i1n1 i 2n2 i 3n3 Ti
11n1 12n2 13n3 T1
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次),
erst的值不变
erst estr etrs
33
符号ij 与erst
常用实例 1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。 它具有如下重要性质: 每个基矢量的模为1,即ei ej=1 (当i=j时) 不同基矢量互相正交,即ei ej=0 (当i≠j时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式:
定义(笛卡尔坐标系)
1 ij 0 (i = j ) (i j )
(i, j=1, 2, …, n)
特性 1. 对称性,由定义可知指标 i 和 j 是对称的,即
ij ji
29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0 22 23 0 1 0 21 31 32 33 0 0 1
3. 换标符号,具有换标作用。例如:
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即:如果符号 的两个指标中,有一个和同项中其它 因子的指标相重,则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标,而 自动消失。
30
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi
i 1
3
Appendix A.1
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
如果在表达式的某项中,某指标重复地出现两 次,则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求 和。该重复的指标称为哑指标,简称哑标。
u u1e1 u2 e2 u3e3
ba
38
符号ij 与erst
★ 三个矢量a, b, c的混合积是一个标量,其定义为:
[a, b, c] = a b c a (b c)
i j i j
张量基本概念
矢 量(一阶张量)
x3=z u3e3 u
矢量u在笛卡尔坐标系中分解为
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
e3=k
3
p
u2e2
u1e1
其中u1, u2, u3 是u的三个分量,
e1, e2, e3是单位基矢量。
x1=x
e1=i
e2=j
张量基本概念
标 量(零阶张量)
例如:质量,温度
质量密度
应变能密度
等等。
其值与坐标系选取无关。
张量基本概念
矢 量(一阶张量)
例如:位移,速度,
x3=z u3e3 u
加速度,力,
e3=k
p
u2e2
u1e1
法向矢量,
e1=i e2=j x2=y
等等。
x1=x
1 ei e j 0
27
目 录
引言
张量的基本概念,爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律,张量方程 张量代数,商法则 常用特殊张量,主方向与主分量 张量函数及其微积分
Appendix A
28
符号ij 与erst
ij 符号 (Kronecker delta)
★ 自由指标表示:若轮流取该指标范围内的任何值, 关系式将始终成立。
例如:表达式
xi aij x j
在自由指标 i 取1,2,3时该式始终成立,即有
x1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j x2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
aibi ai ci
两边消去ai导得
bi ci
26
张量基本概念
小结
通过哑指标可把许多项缩写成一项,通过自 由指标又把许多方程缩写成一个方程。 一般说,在一个用指标符号写出的方程中, 若有 k 个独立的自由指标,其取值范围是1~n, 则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项 中若同时出现 m 对取值范围为1~n 的哑指标,则 此项含相互迭加的 n m 个项。
u
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1 3
分量记法:
ui
Appendix A.1
张量基本概念
指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标(x, y, z)可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为:
高等复合材料力学
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
陈玉丽
航空科学与工程学院
1
目 录
引言
张量的基本概念,爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律,张量方程 张量代数,商法则 常用特殊张量,主方向与主分量 张量函数及其微积分
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次,且取值范围
和 i 相同。
张量基本概念
约定:
如果不标明取值范围,则拉丁指标 i, j,
k, …表示三维指标,取值1, 2, 3;希腊指标,
, , …均为二维指标,取值1, 2。
张量基本概念
拉丁指标
u=ui ei u1e1 u2e2 u3e3
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名,独立取值的自由指 标应防止重名。
ji , j fi 0
★ 自由指标必须整体换名,即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字。
ji , j fi 0
i 换成k
jk , j fk 0
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如,三维 空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
a b=ak bk = a1b1 a2b2 a3b3
希腊指标
u=u e u1e1 u2e2
a b=a b = a1b1 a2b2
张量基本概念
二阶张量
应变 ,应力,速度梯度,变形梯度,等。
三阶张量
压电张量,等。
四阶张量
弹性张量,等。
张量基本概念
二阶(或高阶)张量的来源
u e
i 1 3 i 1
3
i i
=ui ei
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =aibi
张量基本概念
由于aibi=biai,即矢量点积的顺序可以交换:
a b = b a = aibi
由于哑标 i 仅表示要遍历求和,故可成对地任意交 换。例如:
a b= a j bj ambm
ei ej= ij
34
符号ij 与erst
当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时,有
ei e j eijk ek
而对于左手系,有:
ei e j eijk ek
e3
e3 e2
e1
e1
e2
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符号ij 与erst
2. 矢量的点积:
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
描述一些复杂的物理量需要二阶(或高阶)张量;
低阶张量的梯度; 低阶张量的并积; 更高阶张量的缩并,等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法:
实体记法:
分解式记法:
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3