高等代数北京大学第三版北京大学精品课程

第一学期第一次课

第一章 代数学的经典课题

§1 若干准备知识

1.1.1 代数系统的概念

一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义

定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有

K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。

例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。

命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是

K a

a

K a a ∈=

∈-=10，

。 进而∈∀m Z 0>,

K m ∈+⋯⋯++=111。

最后，∈∀n m ,Z 0>，

K n m ∈，K n

m

n m ∈-=-0。这就证明了Q ⊆K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念

定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ⋂；把

A 和

B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后

剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。

定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为

).

(,

:a f a B A f →

如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。

若,'A a a ∈≠∀都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈∀都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号

1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ，我们使用如下记号：

∑==+++n

i i n a a a a 1

21 ,

∏==n

i i n a a a a 1

21 .

当然也可以写成

∑≤≤=

+++n

i i

n a

a a a 121......,

∏≤≤=

n

i i

n a

a a a 121.......

2. 求和号的性质. 容易证明，

∑∑===n i n

i i i a a 1

1

λλ

∑∑∑===+=+n

i n i n

i i i i i

b a b a

1

1

1

)(

∑∑∑∑=====n i m j n

i ij m

j ij

a a

111

1

事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

nm

n n m

m a a a a a a a a a (2)

1

2222111211

分别先按行和列求和，再求总和即可。 第一学期第二次课

§2一元高次代数方程的基础知识

1.2.1高等代数基本定理及其等价命题

1. 高等代数基本定理

设K 为数域。以][x K 表示系数在K 上的以x 为变元的一元多项式的全体。如果

)0(],[......)(0110≠∈+++=-a x K a x a x a x f n n n ，则称n 为)(x f 的次数，记为)(deg x f 。

定理（高等代数基本定理） C ][x 的任一元素在C 中必有零点。

命题 设)10(,......)(01

10≥≠+++=-n a a x

a x a x f n n n ，是C 上一个n 次多项式，a 是一个复数。则存在C

上首项系数为0a 的1-n 次多项式)(x q ，使得

)())(()(a f a x x q x f +-=

证明 对n 作数学归纳法。

推论 0x 为)(x f 的零点，当且仅当)(0x x -为)(x f 的因式（其中1)(deg ≥x f ）。

命题（高等代数基本定理的等价命题） 设n n n a x

a x a x f +++=-......)(1

10 )10(0≥≠n a ，为C 上的n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n 个复数n a a a ,......,,21，使

))......()(()(210n x x x a x f ααα---=

证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n 作数学归纳法。 2．高等代数基本定理的另一种表述方式

定义 设K 是一个数域，x 是一个未知量，则等式

0 (11)

10=++++--n n n n a x a x

a x a （1） （其中0,,......,,010≠∈a K a a a n ）称为数域K 上的一个n 次代数方程；如果以K x ∈=α带入（1）式后使它变成等式，则称α为方程（1）在K 中的一个根。

定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K 上的)1(≥n 次代数方程在复数域C 内必有一个根。 命题 n 次代数方程在复数域C 内有且恰有n 个根（可以重复）。

命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C 上两个n 次、m 次多项式

)0(......)(10≠+++=n n n a x a x a a x f ， )0(......)(10≠+++=m m

m b x b x b b x g ，

如果存在整整数l ,n l m l ≥≥,,及1+l 个不同的复数121,,......,,+l l ββββ，使得

)1,......,2,1()

()(+==l i g f i i ββ，

则)()(x g x f =。

1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性

设1

01()n n n f x a x a x a -=++

+，其中0,0i a K a ∈≠。设()0f x =的复根为12,,

,n ααα（可能有重复），则

121

011212

1

()()()()()().

n

i n i n n n n f x x x x x a x x αααααααααα=-=-=---=-++

+++∏

所以

)()1(2110

1

n a a ααα+++-= ； ∑≤≤≤-=n

i i i i a a 21210202

)1(αα；