(完整版)几种复合函数定义域的求法
关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义为：f(g(x))，其中g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
定义域是指函数能够接受的数值范围。
换而言之，对于给定的函数，定义域是使其有意义的输入值的集合。
要确定复合函数的定义域，需要考虑两个方面：内层函数和外层函数。
首先，我们需要确定内层函数的定义域，然后根据内层函数的结果来确定外层函数的定义域。
内层函数的定义域确定方法如下：1.若内层函数是一个常数函数，定义域为实数集合，即：(-∞,∞)。
2.若内层函数是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
3.若内层函数是一个分式函数，需要注意分母不能为零。
因此，需要将分母不等于零的解集作为内层函数的定义域。
4.若内层函数是一个平方根函数，需要考虑平方根中的值不能为负数，因此需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为内层函数的定义域。
确定内层函数的定义域后，我们需要将内层函数的结果作为外层函数的输入来确定外层函数的定义域。
具体方法如下：1.若外层函数是一个常数函数，定义域与内层函数的定义域相同。
2.若外层函数是一个多项式函数，其定义域与内层函数的定义域相同。
3.若外层函数是一个分式函数，需要将分母不等于零的解集作为外层函数的定义域。
4.若外层函数是一个平方根函数，需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为外层函数的定义域。
需要注意的是，在求解复合函数的定义域时，需要保证两个函数都有定义，并且内层函数的结果必须属于外层函数的定义域。
举个例子来说明复合函数的定义域的求解方法：考虑函数f(x)=√(3-2x)+1和g(x)=x^2-4x+3，我们需要确定复合函数f(g(x))的定义域。
首先，我们需要确定g(x)=x^2-4x+3的定义域。
由于这是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
接下来，我们将g(x)的结果带入f(x)中来确定复合函数f(g(x))的定义域。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法方法一：直接根据函数的定义进行求解。
这是最基本的一种方法，即根据函数的定义来求解定义域。
例如，对于一个多项式函数f(x)，定义为f(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们可以直接根据定义域的限制条件来求解。
由于多项式函数的定义域是全体实数，因此该函数的定义域为(-\infty, +\infty)。
方法二：挑选一些特殊的数进行验证。
这是一种常用的方法，即通过挑选一些特殊的数进行验证，看它们是否在函数的定义域内。
例如，对于一个有理函数g(x)，定义为g(x) = \frac{1}{x}，我们可以挑选x的一些特殊值进行验证。
首先，x不能为0，否则分母为零，函数无定义。
另外，由于有理函数对应的分母不能为零，因此定义域为(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)。
方法三：求解不等式得到定义域的范围。
对于一些复杂的函数，可以通过求解不等式来得到定义域的范围。
例如，对于一个开方函数h(x)，定义为h(x) = \sqrt{x^2 - 4x}，我们可以通过求解不等式x^2 - 4x \geq 0来确定定义域的范围。
首先，将不等式化简为(x-2)(x-2) \geq 0，得到x \leq 2或x \geq 2，因此定义域为(-\infty, 2] \cup [2, +\infty)。
方法四：分段定义域的求解。
对于一些函数是在不同区间有不同定义域的情况，可以采用分段定义域的求解方法。
例如，对于一个分段函数j(x)，定义为j(x) = \begin{cases}2, & \text{if } x\leq 0\\\sqrt{x}, & \text{if } x > 0\end{cases}这个函数在x\leq 0时有定义，且在x > 0时也有定义。
因此定义域为(-\infty, 0] \cup (0, +\infty)。
方法五：利用基本函数的定义域性质进行推导。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数定义域的常见求法
一、复合函数的概念如果y 是u 的函数的函数，，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数复合函数，，u 叫做中叫做中间变量。
间变量。
间变量。
注意：复合函注意：复合函数并不是一数并不是一数并不是一类新的函数类新的函数类新的函数，它只是，它只是，它只是反映某些函反映某些函反映某些函数在结构方数在结构方数在结构方面的某种面的某种面的某种特点，因此特点，因此特点，因此，，根据复合函数根据复合函数结构，将它结构，将它结构，将它折成几个简折成几个简折成几个简单的函数单的函数单的函数时，应从外时，应从外时，应从外到里一层一到里一层一到里一层一层地拆，层地拆，层地拆，注意不要漏注意不要漏注意不要漏层。
层。
另外，在研究另外，在研究有关复合函有关复合函有关复合函数的问题时数的问题时数的问题时，要注意，要注意，要注意复合函数的复合函数的复合函数的存在条件，存在条件，存在条件，即当且仅当即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交的定义域的交集非空时，集非空时，集非空时，它们的复合它们的复合它们的复合函数才有函数才有函数才有意义，否则意义，否则意义，否则这样的复合这样的复合这样的复合函数不存函数不存函数不存在。
在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数两个函数复合而成复合而成复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
的定义域。
复合函数定义域的求法
复合函数定义域的求法一、复合函数的定义如果函数)(u f y =的定义域为A ，函数)(x g u =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，我们称函数)]([x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数，其中叫做中间变量，叫做内函数，叫做外函数。
二、复合函数的定义域复合函数)]([x g f y =的定义域是指解析式中的x 取值范围A ，而不是)(x g 的取值范围C ；但)(x g 的值域C 则是)(u f y =的定义域A 的子集。
三、复合函数的定义域的类型及其解法1. 已知函)(x f y =的定义域，求函数)]([x g f y =的定义域 其实质就是由)(x g 的取值范围求出自变量x 的取值范围。
【例1】已知函数)(x f y =的定义域为[0 1],求函数)2(+=x f y 的定义域。
解：∵ 函数)(x f y =的定义域为[0 1]∴ 在函数)2(+=x f y 中，令 120≤+≤x解得： 12-≤≤-x∴函数)2(+=x f y 的定义域为[-2 -1]2. 已知函数)]([x g f 的定义域，求函数)(x f 的定义域；其实质就是由x 的取值范围，求出)(x g 的取值范围。
【例2】已知函数)2(+x f 的定义域为[0 1]，求函数)(x f 的定义域。
解：∵函数)2(+x f 的定义域为[0 1] ，即 10≤≤x ∴ 322≤+≤x即函数)(x f 的定义域为[2 3]3. 已知函数)]([x g f 的定义域，求函数)]([x h f 的定义域；其实质就是先由x的取值范围求出)(x g 的取值范围，再根据)(x g 与)(x h 的取值范围相同，求出x 的取值范围。
【例3】已知函数)12(-x f 的定义域为[0 1]，求函数)13(-x f 的定义域。
解：∵ 函数)12(-x f 的定义域为[0 1] ，即 10≤≤x∴ 1121≤-≤-x令 1131≤-≤-x 解得 320≤≤x ∴函数)13(-x f 的定义域为[032]。
复合函数定义域三种形式解法
先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过）【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围；【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围；【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。
讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值范围。
【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。
解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域.解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，关于抽象复合函数定义域的求法说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。
原因是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。
【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的x。
(完整版)求复合函数定义域的题型与思路
求复合函数定义域的题型与思路一. 已知f x ()的定义域，求f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以g x D ()，解得x E ，E 为f g x ()的定义域。
例1.设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变所以01ln x 解得x e ()1，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()11，则函数f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()11，知x 1即f 的作用范围为x R x |1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()且1即f f x ()中x 应满足x f x 11()即x x 1111解得x x 12且故函数f f x ()的定义域为x R x x |12且二. 已知f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设f g x ()的定义域为D ，即x D ，由此得g x E ()，所以f 的作用范围为E，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32的定义域为x 12，，则函数f x ()的定义域为_________。
解析：f x ()32的定义域为12，，即x 12，由此得3215x ，所以f 的作用范围为15，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x 15，即函数f x ()的定义域为15，例4. 已知f x xx ()lg 22248，则函数f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 22248，知xx 2280解得x 244f 的作用范围为()4，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ()4，即f x ()的定义域为()4，三. 已知f g x ()的定义域，求f h x ()的定义域思路：设f g x ()的定义域为D ，即x D ，由此得g x E ()，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()，解得x F ，F 为f h x ()的定义域。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数的定义域是指使得复合函数有意义的所有可能的输入值的集合。
若已知两个函数f(x)和g(x)，要求它们的复合函数f(g(x))的定义域，可以采用以下三种形式的解法。
解法一：通过视觉法确定定义域这种方法适用于简单的函数组合，可以通过观察得到定义域的范围。
例如，如果已知f(x)=√x，g(x)=2x，则f(g(x))=f(2x)=√(2x)。
根据平方根函数的定义域为非负实数，可以确定复合函数的定义域为所有使得2x≥0的实数，即x≥0。
因此，定义域为[0,+∞)。
解法二：通过函数图像确定定义域这种方法适用于已知函数的图像，并且函数图像比较简单的情况。
例如，如果已知f(x)=1/x，g(x)=x+2，则f(g(x))=f(x+2)=1/(x+2)。
根据1/x函数的图像，可以确定其定义域为除了x=0之外的所有实数。
将所有使得x+2≠0的实数作为复合函数的输入，即x≠-2、因此，定义域为R-{-2}，其中R表示实数集合。
解法三：通过函数定义式确定定义域这种方法适用于通过分析函数定义式来确定定义域的复杂情况。
例如，如果已知f(x)=√(4-x)和g(x)=(x-1)/(x-5)，则f(g(x))=√(4-g(x))=√(4-(x-1)/(x-5))。
为了使得复合函数有意义，需要满足两个条件：1）分母不能为0；2）被开方的表达式必须大于等于0。
首先，对于分母不能为0的条件，需要排除使得x-5=0的值，即x≠5、然后，考虑被开方的表达式必须大于等于0的条件，即4-(x-1)/(x-5)≥0。
通过解不等式可以确定这个条件的范围。
将分式转化为通分形式，得到(4(x-5)-(x-1))/(x-5)≥0。
化简不等式，得到(3x-9)/(x-5)≥0。
根据不等式的性质，需要分析函数在各个区间上的正负性来确定不等式的解集。
当x<5时，分子分母同号，即(3x-9)/(x-5)>0，解为(-∞,5)；当x>5时，分子分母异号，即(3x-9)/(x-5)<0，解为(5,+∞)；当x=5时，分子为0，则这个点需要额外讨论。
高一函数重难点突破(复习知识)
高一函数重难点突破一、 求复合函数的定义域的四种题型 1.已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2.已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x ∈[-1,2], 求函数f(x)的定义域3.已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2x)的定义域4.已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<， 此时函数()x h 的定义域为{x|a+m }*注* 定义域指的是自变量x 的取值范围；同一个对应关系f 作用下（）的范围一样；定义域写成集合的形式，区间也是集合的一种表示方法二、 求函数解析式的六种题型1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f2.配凑法或换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。
[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 （1） 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式（2） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f3.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
三种类型复合函数定义域的求法
三种类型复合函数定义域的求法在数学中，函数是一种映射关系，它将一个或多个元素从一个集合映射到另一个集合。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数。
当我们考虑复合函数的定义时，我们需要考虑两个问题：各个函数的定义域，以及这些函数的组合会产生什么变化。
在本文中，我们将讨论三种类型的复合函数定义域的求法。
类型一：两个函数定义域的交集当我们考虑复合函数的定义域时，最常见的情况是两个函数的定义域求交集。
对于给定的两个函数f(x)和g(x)，我们需要找到一个定义域，使得两个函数在这个定义域内都有定义。
假设f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，那么复合函数h(x)的定义域为A∩B。
也就是说，只有当x属于A且x属于B时，h(x)才有定义。
例如，假设f(x)=√x，g(x)=x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的定义域。
首先，f(x)=√x在实数范围内有定义，也就是A=[0,∞)。
其次，g(x)=x+1在整个实数范围内有定义，也就是B=(-∞,∞)。
然后，我们求出这两个定义域的交集。
A∩B=[0,∞)∩(-∞,∞)=[0,∞)因此，复合函数h(x)=f(g(x))的定义域为[0,∞)。
类型二：两个函数定义域的并集除了求两个函数定义域的交集之外，我们也经常需要求两个函数定义域的并集。
这种情况通常出现在我们需要考虑复合函数的反函数时。
假设f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，那么复合函数h(x)的定义域为A∪B。
也就是说，只要x属于A或x属于B，h(x)就有定义。
例如，假设f(x) = √x，g(x) = ln(x)，求复合函数h(x) = f(g(x))的定义域。
首先，f(x) = √x在实数范围内有定义，也就是 A = [0,∞)。
其次，g(x) = ln(x)在(0,∞)范围内有定义，也就是B = (0,∞)。
然后，我们求出这两个定义域的并集。
A∪B=[0,∞)∪(0,∞)=(0,∞)因此，复合函数h(x)=f(g(x))的定义域为(0,∞)。
复合函数求定义域
复合函数求定义域
复合函数求定义域是指用复合函数来确定一个函数的定义域。
复合函数是把两个或更多的函数链接起来，形成一个新的函数的方法，它通常用来描述特定系统的行为。
在数学中，复合函数可以把一对函数合并成一个函数，它的参数是原函数中的自变量，而它的值则由原函数的结果决定。
复合函数的求定义域的步骤如下：
（1）首先，明确所要求的复合函数，即将两个函数f(x)和g(x)合并为h(x)=f(g(x))，其中f(x)和g(x)是一对函数。
（2）求出g(x)的定义域，定义域为[a,b]。
（3）根据g(x)的定义域，计算f(x)的定义域，即[f(a),f(b)]。
（4）最后，得出复合函数h(x)的定义域为
[f(a),f(b)]。
例如，已知f(x)=sin(x)，g(x)=2x，则复合函数
h(x)=f(g(x))=sin(2x)，g(x)的定义域为[-π/2,π/2]，f(x)的定义域为[-1,1]，因此复合函数h(x)的定义域为[-1,1]。
复合函数求定义域是复合函数的一个重要应用，它不仅适用于一对函数，还可以推广到任意多对函数。
例如，已知f1(x)=sin(x)，f2(x)=cos(x)，f3(x)=tan(x)，则复合函数h(x)=f1(f2(f3(x)))=sin(cos(tan(x)))，其定义域可以求得为[-1,1]。
复合函数求定义域的运用广泛，它不仅能够帮助我们更好地理解复合函数的特性，而且也能够帮助我们求解复杂的函数，使其定义域得到精确的描述。
专题1： 复合函数定义域的求法
( 2)当 K ≠ 0时 : ∆ < 0, 解得 : 0 < k <
综上 (1), ( 2)知, 当0 ≤ k <
y=
3 时 4
3 4
kx + 7 的定义域是一切实数 2 kx + 4 kx + 3
练习: 若函数
y=
ax − ax + 1
2
的定义域是R 的定义域是R，
( )
[−
2,
2]
题型(二):已知f g ( x ) 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知 f ( 2 x − 1)的定义域 ( − 1, 5], 求 f ( x )的定义域
解： 由题意知:
−1 < x ≤ 5
∴ −3 < 2 x − 1 ≤ 9
∴ f ( x )的定义域为
题型三： 已知函数的定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ域，求含参数的取值范围
kx + 7 例3 : 当k为何值时,函数y = 2 的定义域是一切实数 kx + 4kx + 3
解:
由y = kx + 7 的定义域为一切实数 2 kx + 4 kx + 3 , 可知
分母 kx 2 + 4 kx + 3 ≠ 0 对 x ∈ R 恒成立
布置作业： 1.已知函数f ( x)的定义域是[−2,2]，求y = f
( x )的定义域
2.已知 函数 f ( 2x + 1)的定义域是[0, 2], 求f (1 − 3x)的定义域
江西省示范高中——鄱阳一中 鄱阳一中 江西省示范高中 2011级数学课件 2011级数学课件
复合函数定义域的常见求法 [new] [原创]
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复合函数定义域的常见求法 [new] [原创]
定义域是指函数所有可以取值的集合，若给定函数是复合函数，也就是函数的表达式
包含多个函数，那么求这个复合函数的定义域有以下几种常见的求法：
1. 确定最底层函数的定义域：在复合函数中，一般最底层的函数是基础函数，其他
函数均通过对它的运算或变形得出。
因此，首先要分析函数的表达式，明确最底层的函数，然后求出它的定义域，也就是最终的定义域。
2. 排除无效域：在求最终定义域时，要排除后面由函数运算或变形所产生的无效域。
只有当这些域在最终定义域中时，才能算作有效域。
3. 根据运算规律求出定义域：在求复合函数定义域过程中，要熟知运算规律，如正
反乘除、开方、求幂等，这将有助于准确推求出函数的定义域。
4. 根据函数性质求出定义域：有的复合函数会有一些特殊的性质，如绝对值函数、
三角函数等，这些性质可以帮助我们快速求出函数的定义域。
5. 数值试探的求法：有的复合函数定义域比较复杂，可以用数值试探的方法来求出
定义域，其原理是利用反证法对定义域挨个进行试探。
在求复合函数定义域时，应注意条件限制，结合以上常见求法，灵活运用即可求出准
确的定义域。
(完整版)关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法若)(u f y =,又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空,则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种类型。
一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或 即23-<≤-x 或10≤<x 。
故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围,因此我们可以直接将复合函数中x x 22+看成一个整体x ，即由30≤<x 可得3202≤+<x x ，解出x 的范围即可。
二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
例2 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-,求函数()x f 的定义域解 21≤≤-x ， 5231≤-≤-∴x ,故函数()x f 的定义域为[]5,1-【评注】由()x f 23-的定义域为[]2,1-得21≤≤-x ,有的同学会误将此x 的范围当作()x f 的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将x 23-令成一个整体t ,即x t 23-=，先解出()t f 的定义域，即为()x f 的定义域。
复合函数求定义域的几种题型
复合函数求定义域的几种题型解：由题意知：解：由题意知：解：由题意知：练习：解：由题意知：202≤≤x }2321{)12(:≤≤-x x x f 的定义域是故():(),[()]f x f g x 题型一已知的定义域求的定义域1.()[0,2],(21)f x f x -例若的定义域是求的定义域2120≤-≤x 2321≤≤∴x []2:()0,2,()f x f x 练习若的定义域是求的定义域22≤≤-∴x ()]2,2[:2-的定义域是故x f ():,()f g x f x ⎡⎤⎣⎦题型(二)已知的定义域求的定义域():21(1,5],()f x f x --例2已知的定义域求的定义域51≤<-x 9123≤-<-∴x ](9,3)(-∴的定义域为x f ](的定义域求的定义域已知)52(,5,1)12(x f x f ---51≤<-x 9123≤-<-∴x 9523≤-<-∴x 157<≤-∴x ())1,57[52--∴的定义域是x f题型三： 已知函数的定义域，求含参数的取值范围解：(1)当K=0时, 3≠0成立练习: 若函数 的定义域是R ，求实数a 的取值范围。
解：∵定义域是R ，当 时，显然适合题意，当 时，综上知：实数a 的取值范围为布置作业：的定义域是一切实数3472+++=kx kx kx y 时当知综上430,)2(),1(<≤k 27:,43kx k y kx kx +=++例3当为何值时函数的定义域是一切实数恒成立对分母可知的定义域为一切实数由R x kx kx kx kx kx y ∈≠+++++=034,34722430:,0:0)2(<<<∆≠k K 解得时当12+-=ax ax y 恒成立，012≥+-∴ax ax 0=a 0≠a ⎩⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>4001402a a a a 04a ≤≤1.()[2,2]f x y f-=已知函数的定义域是，求的定义域()2. 21[0,2],(13)f x f x +-已知函数的定义域是求的定义域。
几种复合函数定义域的求法
几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。
例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。
这种代换遵循同一函数的原则。
例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。
复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。
即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。
例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。
复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。
f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。
设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。
对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。
对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数是由两个或多个函数组成的一个新函数。
在定义复合函数的时候，需要确定合成函数的定义域以保证合成函数的存在和可行性。
一、基本定义域的合成考虑两个函数f和g，其中g的定义域包含f的值域，即对于任意x属于f的定义域，存在一个数y，使得f(x)=y且y属于g的定义域。
例如，考虑f(x) = x^2和g(x) = sin(x)，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为[-1,1]。
显然，f的值域为非负实数集R+，并且R+在g的定义域[-1,1]内。
因此，f和g的合成函数h(x) = g(f(x))的定义域为实数集R。
二、交集的合成当两个函数的定义域没有包含关系时，可以考虑它们的交集作为合成函数的定义域。
也就是说，要找到两个函数的共同定义域，才能进行合成。
例如，考虑f(x)=√(4-x^2)和g(x)=1/x，其中f的定义域为[-2,2]，g的定义域为(-∞,0)U(0,+∞)。
显然f和g的共同定义域为(0,2]U[-2,0]，即f和g的交集为[-2,2]。
因此，f和g的合成函数h(x)=g(f(x))的定义域为[-2,2]。
三、条件限制的合成有时候，函数之间的合成有些条件限制。
在这种情况下，复合函数的定义域需要根据这些条件来确定。
例如，考虑f(x)=x+2和g(x)=√x，其中f的定义域为实数集R，g的定义域为非负实数集[0,+∞)。
但是，根据g的定义域的条件，对于g(f(x))来说，只有f(x)>=0时，g(f(x))才有定义。
因此，f(x)>=0，即x>=-2、所以，复合函数g(f(x))的定义域为[-2,+∞)。
综上所述，复合函数的定义域有三种形式的解法：基本定义域的合成、交集的合成和条件限制的合成。
具体的解法需要根据函数的定义域和值域来确定，以确保复合函数的存在和可行性。
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配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式
换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2
＋x,函数f(x)的解析式：
复合函数的定义域
复合函数的定义
一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，
22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+
问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f
复合函数的定义域求法
.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域；
解：由题意得
35x -<≤
3325x ∴-<-≤
137x -<≤ 1733
x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤
- ⎥⎝⎦
. 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域
.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域
解:由题意得
23x ∴-≤≤
639x ∴-≤≤
42311x ∴-≤+≤
所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-
若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；
已知函数2
(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．
已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得
()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x
即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x
故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1
已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．
函数定义域是，则的定义域
已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的
定义域
解: ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤m
b x m a m b x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<- 要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20a b m -≤
<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+
若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．
设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，q 求y=f ()31()31-++x f x 定义域。