正余弦定理的综合应用及答案精编版
(完整版)正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
课时作业3应用举例时间：45分钟满分：100分课堂训练1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．103海里B．106海里C．52海里D．56海里【答案】 D【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝45°，由正弦定理得：BC＝AB·sin Asin C＝10×sin60°sin45°＝5 6.2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A ．502mB ．503mC ．252m D.2522m【答案】 A【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A.3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m.【答案】 521【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，设电视塔高度为h m，则OA＝33h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝(32＋h2－2×33h×h×(－32)3h)解得h＝521.4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．【解析】 在△ABC 中，BC ＝30，∠B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即：30sin15°＝AC sin30° ∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，∴A 到BC 的距离为d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【答案】 B【解析】 如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，∴∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】 C【解析】 S △＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12 ＝150(m 2)，∴购买这种草皮需要150a 元，故选C.3．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．102 D ．10 3【答案】 C【解析】 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．在△ABB ′中，∠B ′＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m. 由正弦定理，得BB ′＝AB sin45°sin30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船以226km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为( )A ．66 kmB ．132 kmC ．96 kmD ．33 km【答案】 A【解析】 如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°， AB ＝226×32＝336， 由正弦定理336sin120°＝SBsin45°， ∴SB ＝66(km)．5．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米 B ．106米 C.1063米 D ．202米【答案】 A【解析】 设树干底部为O ，折断点为P ，树尖着地处为M ，如图，△OPM 中，∠P ＝180°－∠M －∠O ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得PO sin M ＝MO sin P ，∴PO ＝MO sin M sin P ＝20×sin45°sin60°＝2063.6．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507min B.157h C ．21.5min D ．2.15h【答案】 A 【解析】如图，设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知： PQ 2＝BP 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－12) ＝28x2－20x＋100.当x＝－b2a ＝514时，s2最小，此时x＝514h＝1507min.7．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为() A．215km B．6kmC．221km D．8km【答案】 B【解析】如图，∵|OA→|＝2，|OB→|＝4，∠AOB＝120°，∴∠A＝60°，|OC→|＝22＋42－2×2×4cos60°＝2 3.经过3h，该船的航程为23×3＝6(km)．8．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为()A ．75°B ．60°C ．50°D ．45° 【答案】 C【解析】 如图，作CE ⊥平面ABD 于点E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE ＝40°，延长DE 交直线AB 于点F ，连接CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大．在△CFD 中，CF sin40°＝DF sin (140°－α).∴DF ＝CF ·sin (140°－α)sin40°. ∵CF 为定值，∴当α＝50°时，DF 最大． 二、填空题(每小题10分，共20分)9．如图在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，又测得山顶P 的仰角为γ，则山高为________．【答案】 a sin α·sin (γ－β)sin (γ－α)m 【解析】 在△P AB 中，已知∠BAP ＝α－β，∠APB ＝γ－α，AB ＝a ，由正弦定理可得P A ＝a sin (γ－β)sin (γ－α)， 在Rt △P AQ 中，PQ ＝P A sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α). 10．一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后，再向右转105°爬行20cm ，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x ＝________.【答案】 203 6【解析】 如图△ABC 中，∠A ＝45°＋15°＝60°，∠B ＝45°＋30°＝75°，∠ACB ＝45°，由正弦定理知 x sin ∠ACB＝20sin A ，∴x ＝203 6. 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .【分析】 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD .因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．【解析】 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．答：山高CD 为2 186 m.12．如图，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距O 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M 处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM 所成的角．【分析】 根据题意画出示意图如图所示．在△MON 中，利用余弦定理得到速度v 关于时间t 的函数关系式，然后利用二次函数求最值．【解析】 如图所示，设快艇从M 处以v 千米/小时的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇．在△MON 中，MO ＝500，ON ＝100t ，MN ＝v t ，设∠MON ＝α，由题意得sin α＝35，则cos α＝45.由余弦定理，得MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos α，即v 2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100t ×45. v 2＝5002×1t 2－2×500×80×1t ＋1002＝(500×1t －80)2＋3 600. 当1t ＝80500，即t ＝254时，v 2min ＝3 600.即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶，此时MN ＝60×254＝375，MQ 是M 到ON 的距离，且MQ ＝300.设∠MNO ＝β，则sin β＝300375＝45.所以可得α＋β＝90°，即MN 与OM 所成的角为90°.。
完整版正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )课时作业3应用举例时间：45分钟 满分：100分1. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成 60°勺视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，贝J B 、C 间的距离是 ()A . 10^3海里 C . 5迈海里【答案】 D【解析】 如图，/A = 60° /B = 75° 贝JZC = 45 °, 由正弦定理得:BCAB si nA 10x sin60 BC= sinC = sin452. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C ,测出AC 的距离为50m , / ACB = 45° / CAB = 105°B . 10/6海里 D . 5^6海里课堂训练—30 =150 ° ZCBO = 45 ° AB=35 ,【答案】 A【解析】 因为ZACB = 45° ZCAB = 105°所以ZABC = 30°根 据正弦定理可知'sin%=sin 監，即爲=馬，解得AB=5072m ,选 A.3. 从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°从电视 塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45° A , B 间距离是35m ,【答案】 如图所示，塔高为0C ,贝JZOAC = 60° 从OB = 180°A . 5Oj2m C . 25 辺m则此电视塔的高度是m.【解析】A设电视塔高度为hm,则OA=^h, OB= h,在△KOB中由余弦定理可得AB2= OA2+ OB2—2OA OB cos/AOB,即352=（誓h）2 + h2—2x¥hx hx （—乎）解得h= 5佰.4.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45° °如果此船不改变航向，继续向南航行, 有无触礁的危险?【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可.【解析】 在△ABC 中，BC= 30,ZB= 30°,ZACB= 135°,•••zBAC = 15「「亠亠5 BC AC 卄30 AC 由正弦疋理snB ,即：sin15匸sin30/.AC = 60COS15 =°0cos(45 — 30 )=60(cos45 coS30 斗 sin45 sin30 ) = 15(V 6+V 2),•••A 到 BC 的距离为 d = ACsin45 = 15&3 + 1)〜40.98 海里 >38 海 里，所以继续向南航行，没有触礁危险.课后作业、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）A .北偏东10°B .北偏西10°C .南偏东10°D .南偏西10°如图所示，/ ECA = 40° ZFCB = 60°, ZACB = 180°—40 -60 = 80 :180 ° — 80••AC= BC ,.・.ZA=/ABC = ------ 2 --- = 50°,.・.ZABG= 180 —Z CBH-ZCBA = 180°— 120°— 50°= 10°.故选 B.2. 某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这【答案】 C1 1 1【解析】 $△= 2^ 20X 30X sin150 =十 20X 30X=150(m 2),•••购买这种草皮需要150a 元，故选C.【答案】【解析】 EGCH种草皮需要A . 450a 元C . 150a 元3. 有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的 前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30。
(完整版)正余弦定理综合习题及答案
正余弦定理综合1.（2014天津）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14bca ，2sin 3sin BC ，则cos A 的值为_______.2.（2014广东）.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba. 3.已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 。
5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。
（仰角为直线AP与平面ABC 所成角）7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( )A.33B.36C.63D.668.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B = （I ）求角C 的大小；（II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.9、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．10、(2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．11、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．12、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．正余弦定理综合答案1、解：142、23、A4、5、B6 7、D8、解：（I ）由题意得，1cos 21cos 2sin 222222A B A B ++-=-，112cos 22cos 222A AB B -=-， sin(2)sin(2)66A B ππ-=-，由a b ≠得，A B ≠，又()0,A B π+∈，得2266A B πππ-+-=，即23A B π+=，所以3C π=；（II ）由c =4sin 5A =，sin sin a c A C =得85a =， 由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=，所以ABC ∆的面积为118sin 225S ac B ==． 9、解 (1)由余弦定理知： cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.10、解 (1)由题设并由正弦定理，得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2， 由题设知p >0，所以62<p < 2. 11、 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3， ∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ， 即2sin B cos A ＝2sin A cos A ， ∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．12\解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ． 又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ． ∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。
(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。
C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
正弦定理和余弦定理综合应用
BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.
第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (精讲)(含答案解析)
第05讲正弦定理和余弦定理的应用(精讲）-1第05讲正弦定理和余弦定理的应用（精讲）1、基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.2、仰角与俯角在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角3、方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0360θ≤≤ .4、方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α，例：（1）北偏东α：（2）南偏西α：5、坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即tan h i lθ==（2022·河南安阳·高一阶段练习）1．公园内有一棵树，A ，B 是与树根处O 点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为P .如图，观测得75OAB ∠=︒，60OBA ∠=︒，60OAP ∠=︒，10AB =米，则该树的高度OP 大约为（）A ．21米B ．18米C ．15米D ．10米（2022·新疆·乌市八中高一期中）2．现只有一把长为2m 的尺子，为了求得某小区草坪边缘,A B 两点的距离AB （AB 大于2m ），在草坪坛边缘找到点C 与D ，已知090ACD ∠=，且tan ADB ∠=-，测得1.2m AC =，0.9m CD =，1m BD =，则AB =（）A ．m3B C ．m 2D ．m 2（2022·全国·高一专题练习）3．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ．则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0（2022·江苏·高一课时练习）4．如图，在救灾现场，搜救人员从A 处出发沿正北方向行进x 米达到B 处，探测到一个生命迹象，然后从B 处沿南偏东75︒行进30米到达C 处，探测到另一个生命迹象，如果C 处恰好在A 处的北偏东60︒方向上，那么x =（）A ．102米B ．103米C ．10米D ．106米（2022·重庆八中高一期中）5．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h .将地球看作是一个球心为O ，半径为r 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为α，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（）A ．cos cos()r h r βαβ+=+B ．cos cos()h r βαβ=+C ．sin sin()r h r βαβ+=+D ．sin sin()h r βαβ=+高频考点一：解三角形应用举例角度1：测量距离问题例题1．（2022·广东·信宜市第二中学高一阶段练习）6．如图，一轮船从A 点沿北偏东70 的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10 的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C （）A．北偏东60；B．北偏东30 ；C．北偏东40；D．北偏东20 ；例题2．（2022·全国·高三专题练习）7．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为（）．A．m B．m C．m D．m例题3．（2022·福建龙岩·高一期中）8．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为5km，8km，灯塔A在观察站C的北偏东70 方向上，灯塔B在观察站C的南偏东50 方向上，则灯塔A与B的距离为______km．例题4．（2022·广东·广州市第六十五中学高一期中）9．如图，为了测量,B C两点间的距离，选取同一平面上,A D两点，已知90∠= ，ADC∠= ，2A60AB=，BD=DC=BC的长为________．例题5．（2022·江苏·高一课时练习）10．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.角度2：测量高度问题例题1．（2022·江西师大附中三模（理））11．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15︒和60︒，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30︒，则小明估算滕王阁的高度为（）（精确到1m）A．42m B．45m C．51m D．57m例题2．（2022·山东菏泽·高一期中）12．2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB 与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点，P 点的仰角分别为75°和30°（其中B ，M ，Q 三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为（）（ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）A ．58B ．60C ．66D ．68例题3．（2022·四川成都·高一期中）13．如图，AE 是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取C ，D 两点，使C ，D ，E 三点在同一条直线上，在C ，D 两点测得顶点A 的仰角分别为37α=︒，67β=︒，且C ，D 两点之间的距离为20米，则烟囱AE 的高度为_________米．（用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：sin 670.92cos 670.39,sin 370.60cos370.80︒≈︒≈︒≈︒≈，， 1.73≈）例题4．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）14．厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔A 塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°.则A 塔的高度约为______米.（精确到个位）参考数据：sin 40.07︒≈，sin 33.10.55︒≈，sin 63.70.90︒≈，sin 79.20.98︒≈.角度3：测量角度问题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）15．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40 ，灯塔B 在观察站南偏东60 ，则灯塔A 在灯塔B 的（）A ．北偏东10B ．北偏西10C ．南偏东10D ．南偏西10 例题2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））16．位于灯塔A 处正西方向相距()5n mile 的B 处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A 处北偏东45°相距mile 的C 处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（）A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°例题3．（2022·江苏南通·高一期末）17．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬2326'︒）在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：tan 340.67︒≈，tan 56 1.49︒≈）A ．2326'︒B ．3234'︒C ．34︒D ．56︒题型归类练（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）18．如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距）A ．16海里/小时B ．15海里/小时C ．/小时D ．海里/小时（2022·河北保定·高一阶段练习）19．如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A 处开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现乙同学踢着足球在点C 处正以自己速度的12向A 做匀速直线运动，已知3cos 5BAC ∠=，3m AB =，7m AC =.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC 上离A 处____________m 的点.（2022·福建省宁化第一中学高一阶段练习）20．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，三明市以此为契机，加快推进“5G ＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为；基站A ，B 在江的北岸，测得75ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，则A ，B 两个基站的距离为______．（2022·江苏·高一课时练习）21．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°，C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°，从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =500m ，则山高MN =______m .（2022·全国·高三专题练习）22．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为π3的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点E ，F ，且AE AF ==若要求观景台D 与两接送点所成角EDF ∠与BAC ∠互补且观景台D 在EF 的右侧，并在观景台D 与接送点E ，F 之间建造两条观光线路DE 与DF ，则观光线路之和最长是_________________（千米）.（2022·广东梅州·高一阶段练习）23．如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 和D ．现测得75BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 为（）米．A ．B ．C ．D ．（2022·全国·高三专题练习（理））24．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米（2022·湖南·高一阶段练习）25．如图，无人机在离地面高300m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15 、山脚C 处的俯角为45 ，已知60MCN ∠= ，则山的高度MN 为___m ．（2022·广西南宁·一模（理））26．2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D 是垂直下落于点C ，某时刻地面上点A B 、观测点观测到点D 的仰角分别为4575︒︒、，若A B 、间距离为10千米（其中向量CA 与CB同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离||CD 约为___________ 1.732≈）.（2022·河南安阳·高一阶段练习）27．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A 处测得15PAC ∠=︒，沿土坡向坡顶前进25m 后到达D 处，测得45PDC ∠=︒．已知旗杆10m,CP PB AB =⊥，土坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ=（）A1B 1C ．54-D （2022·江苏·高一课时练习）28．当太阳光线与水平面的倾斜角为60 时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α=________．（2022·全国·高一专题练习）29．如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m ，宽0.8m ，高2.5m ，房门的宽为1.2m ，高为2.2m ．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（tan30.960.6︒≈，sin48.590.75︒≈ 2.92≈）（2022·全国·高三专题练习）30．甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A 时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60︒方向的点P 处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B ，测得乙船P 在其南偏东30︒方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．参考答案：1．A【分析】在OAB 中利用正弦定理求出OA ，再在直角AOP 中即可求出.【详解】在OAB 中，180756045AOB ∠=︒-︒-︒=︒，则由正弦定理可得sin sin OA AB OBAAOB=∠∠3222=，解得OA =在直角AOP中，tan 6021OP OA =⋅︒=米.故选：A.2．C【分析】先由勾股定理求得AD ，再由余弦定理可求AB .【详解】因为090, 1.2m,0.9m ACD AC CD ∠===，所以 1.5m AD ==.因为tan ADB ∠=-1cos 3ADB ∠=-，所以2AB m ==.故选：C 3．A【分析】根据正余弦定理解三角形即可.【详解】对于①，利用内角和定理先求出C A B π=--，再利用正弦定理sin sin b cB C=解出c ；对于②，直接利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C A B π=--，再利用正弦定理sin sin a cA C=解出c ．故选：A.4．D【分析】根据三角形正弦定理即可求解结果．【详解】依题意得18045C A B =︒--=︒，由正弦定理得sin 60sin 45BC AB=︒︒22=，x =故选：D5．A【分析】由题意，画出示意图，在三角形OAB 中利用正弦定理即求解.【详解】解：如图所示，2B παβ∠=--，由正弦定理可得sin sin OA OBB OAB=∠，即sin sin 22rr hππαββ+=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得cos()cos r r hαββ+=+，故选：A.6．C【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.【详解】由题意得：1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，10AB BC ==，故30BAC ∠=︒，所以从A 到C 的航向为北偏东703040︒-︒=︒，由余弦定理得：2222212cos 10102003002AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =故选：C 7．D【分析】根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可.【详解】由三角形内角和定理可知：18030BAC ACB ABC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得:501sin sin 22AB BC AB ACB BAC =⇒⇒=∠∠故选：D 8．7【分析】首先画出方位图，得到60ACB ∠=︒，再利用余弦定理求解即可【详解】根据题意作出如图的方位图，则5,8AC BC ==180705060ACB ∠=︒-︒-︒=︒在△ABC 中，由余弦定理，有：22212cos 602564258492AB AC BC AC BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=所以7AB =故答案为：79．【分析】在ABD △中利用正弦定理可求得sin ADB ∠，即cos BDC ∠；在BDC 中，利用余弦定理可求得结果.【详解】在ABD △中，由正弦定理得：sin sin 4AB A ADB BD ⋅∠== ，90ADC ∠=o Q ，cos BDC ∴∠=，在BDC 中，由余弦定理得：2222cos 244848BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯=，BD ∴=故答案为：10．)1001+【分析】依题意画出图象，即可得到60,75,45A B C === ，200AB =，再利用正弦定理计算可得；【详解】解：如图，设震源在C 处，则200AB km =，则由题意可得60,75,45A B C === ，根据正弦定理可得200sin45sin75AC=，又()4s c in 232162cos o 752sin 4530sin 45304523s 0sin 22+=++=⨯+=⨯= 所以()200200sin75100314sin452622AC =+⨯==+，所以震源在A 地正东()10031km +处.故答案为：()10031+11．D【分析】在ACM △中求得30ACM ︒∠=，由正弦定理得sin 2sin sin15CAM ABCM AM ACM ︒∠=⋅=∠，再在Rt CDM 中6sin 60ABCD CM ︒=，计算即可.【详解】由题意得，在Rt ABM 中，sin15ABAM ︒=，在ACM △中，301545CAM ︒︒︒∠=+=，1801560105AMC ︒︒︒︒∠=--=，所以30ACM ︒∠=，由正弦定理sin sin AM CMACM CAM=∠∠，得sin 2sin sin15CAM ABCM AM ACM ︒∠=⋅=∠，又232162sin15sin(4530)22224︒︒︒=-=⨯-⨯=，在Rt CDM 中，6126sin 6036123572sin156224ABCD CM ︒===+≈-⨯.故选：D.12．B【分析】在PMQ 中，求得PM ，在PAM △中，利用正弦定理求得AM ，然后在ABM 中，由sin AB AM AMB =⋅∠求解.【详解】解：如图所示：由题意得：75,30,75,60,45AMB PMQ AMP APM PAM ∠=∠=∠=∠=∠= ，在PMQ 中，50.8sin PQPM PMQ==∠，在PAM △中，由正弦定理得sin sin AM PMAPM pAM=∠∠，所以25.4AM =⨯，在ABM 中，sin 25.460AB AM AMB =⋅∠=⨯，故选：B 13．22【分析】先在ACD 中，利用正弦定理求得AD ，再在DAE 中，由sin AE AD β=求解.【详解】在ACD 中，由正弦定理得()sin sin CD ADβαα=-，即20sin 30sin 37AD=，所以20sin 37sin 30AD =，在DAE 中，20sin 37sin sin 6740sin 37sin 67400.600.9222sin 30AE AD β==⨯=≈⨯⨯≈（米）.故答案为：22.14．303【分析】由题意画出图，可知112.3,63.7ABC BAC ∠=︒∠=︒，所以4ACB ∠=︒，再在ABC 中利用正弦定理可得BC 的值，在BCD △中利用正弦定理可求得CD 的值【详解】解：如图，设塔高CD ，42AB =，26.3,22.3,10.8CAE CBF FBD ∠=︒∠=︒∠=︒,所以112.3,63.7ABC BAC ∠=︒∠=︒，所以4ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠，即42sin 4sin 63.7BC =︒︒，因为sin 40.07︒≈，sin 63.70.90︒≈，所以解得540BC =，在BCD △中，9010.879.2BDC ︒︒︒∠=-=，22.310.833.1CBD ︒︒︒∠=+=，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，即540sin 79.2sin 33.1CD =︒︒，解得303CD ≈,故答案为：30315．B【分析】作出灯塔A ，B 的相对位置图，分别求出ACB ∠，CAB ∠，CBA ∠的值即可求解.【详解】灯塔A ，B 的相对位置如图所示，由已知得80ACB ∠= ，50CAB CBA Ð=Ð=o ，则605010a =-=o o o ，即北偏西10 ．故选：B.16．B【分析】根据已知条件作出图形，找出要求的角为BCD ∠，运用解三角形的知识进行求解.【详解】依题意，过点C 作CD BA ⊥的延长线交于点D ，如图，则5AB =，AC =45ACD ∠= ，在Rt ADC 中，5AD DC ==，在Rt BDC 中，BD =5DC =，tan BDBCD DC ∴∠==又π0,2BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭π3BCD ∴∠=，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.故选：B.17．B【分析】由题意有2tan 0.672.98α=≈，可得MAN ∠，从而可得β【详解】由图1可得2tan 0.672.98α=≈，又tan 340.67︒≈，所以34α=︒，所以903456MAN ∠=︒-︒=︒，所以5623263234β''=︒-︒=︒，该地的纬度约为北纬3234'︒，故选：B ．18．A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由图可知BS =，753045ASB ∠=︒-︒=︒，则sin 45sin 30AB =︒︒，得8AB =，所以该船的航行速度为1162AB ÷=（海里/小时）．故选：A 19．5【分析】甲同学最快拦截乙同学的地点是点D ，CD x =，则2BD x =，7AD x =-，进而在ABD △中结合余弦定理求解即可.【详解】解：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D ，CD x =，则2BD x =，7AD x =-所以，在ABD △中，2223cos 25AB AD BD A AB AD +-==⋅，整理可得()()21552164158220x x x x +-=+-=，解得2x =或8215x =-（舍去）.、故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC 上离A 处5m 的点.故答案为：5.20．【分析】结合余弦定理、正弦定理，先求得,AD BD ，然后求得AB .【详解】在三角形ACD中，30,ADC DAC AC CD ∠=∠=︒==由余弦定理得30km AD ==，在三角形BCD 中，45,30,1207545ADB ADC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒-︒=︒，所以60CBD ∠=︒，由正弦定理得sin 60sin 45CD BD=︒︒，2BD ==在三角形ABD中，由余弦定理得10AB =.故答案为：21．750【分析】利用直角三角形求出AC ，再由正弦定理求出AM ，然后利用直角三角形求出MN【详解】在Rt ABC 中，45,500CAB BC m ∠=︒=，所以AC =，在AMC 中，75,60MAC MCA ∠=︒∠=︒，则45AMC ∠=︒，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM =︒︒，所以2AM =，在Rt MNA △中，,60AM MAN =∠=︒，所以sin 60750MN AM m =︒=，故答案为：75022．4【分析】求出EF AE AF ===，23EDF π∠=，在DEF 中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：在AEF △中，因为AE AF ==π3EAF ∠=，所以EF AE AF ===又EDF ∠与BAC ∠互补，所以23EDF π∠=，在DEF 中，由余弦定理得：2222cos EF AE AF AE AF EDF =+-⋅⋅∠，即2212AE AF AE AF ++⋅=，即()212AE AF AE AF +-⋅=，因为()214AE AF AE AF ⋅≤+，所以()()()2221124AE AF AE AF AE AF AE AF +-⋅=≥+-+，所以4AE AF +≤，当且仅当2AE AF ==时，取等号，所以观光线路之和最长是4.故答案为：423．A【分析】在BCD △中，由正弦定理求出BC ，进而在ABC 中求得答案即可.【详解】由题意，在BCD △中，180754560BDC ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知50sin60sin453BC BC=⇒=︒︒.在ABC中，易知,60AB BC ACB⊥∠=︒，于是tan603AB BC=⨯︒==故选：A.24．D【分析】根据已知条件，利用CDG与ABG、EFH△与ABH相似即可求出AB的值．【详解】解：根据题意，CDG ABG∽△△，EFH ABH∽，所以22,1643AB ABBD BD==++，解得63AB=．故选：D.25．450【分析】由直角三角形求得AC，再在△AMC中，由正弦定理求得MC，然后在直角三角形中求得MN．【详解】∵//AD BC，∴45ACB DAC∠=∠=，∵AC==，又180465705MCA∠-=-=，154560MAC∠=+=，∴45AMC∠= ，在△AMC中，由正弦定理得MC==，∴sin60450mMN MC MCN=∠== ．故答案为：450．26．14【分析】利用正弦定理求得AC，由此求得CD.【详解】在三角形ABC中，45,18075105,30A ABC ACB∠=︒∠=︒-︒=︒∠=︒，由正弦定理得sin30sin105AB AC=︒︒，()20sin10520sin6045AC=⨯︒=⨯︒+︒()20sin60cos45cos60sin455=⨯︒︒+︒︒=，所以551422CD AC=⨯=⨯≈千米.故答案为：1427．D【分析】先在ADP △中由正弦定理可得AP ，然后表示出PB 、AB ，利用三角函数同角关系表示出tan θ，化简可得.【详解】在ADP △中，由正弦定理可得sin135sin 30AD AP ︒==︒在Rt ABP 中，易知15),15)AB PB θθ=+︒=+︒，则sin tancos θθθ==整理可得cos sin1522θ=︒=⨯故选：D28．30【分析】作出示意图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x ，依据正弦定理可得()2sin 60sin 120x a °=-o ，再根据正弦函数性质求解即可.【详解】作出示意图如下如，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x ，依据正弦定理可得()2sin 60sin 120x a °=-o ，所以()sin 120x a =-o ，因为0120120a <-<o o o ，所以要使x 最大，只需()sin 1201a -=o ，即120=90a -o o ，所以30α= 时，影子最长．答案为：30 .29．17.63︒.【分析】根据题意，只需 2.2EF ≤，结合已知条件，求得CAB ∠，以及CAF ∠的最大值，即可求得θ的最大值.【详解】根据题意，要顺利通过房门，只需 2.2EF ≤，又sin sin sin EF AC CAF CAF CAF =⨯∠=∠=∠，故sin 0.75CAF ∠≤≈，则48.59CAF ∠≤︒又 1.5tan 0.62.5AD CAB AB ∠===，则30.96CAB ∠≈，又CAF CAB θ∠=+∠，故17.63CAF CAB θ=∠-∠≤︒.故衣柜的倾斜度要在17.63︒以下，才能顺利通过房门.故答案为：17.63︒.30．（1）点B 与点P 之间的距离为（2）8.【分析】（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.【详解】（1）两船的位置图如下：由图可得，120,30PAB APB ∠=︒∠=︒，所以400.520AB AP ==⨯=所以由余弦定理可得PB ===所以点B 与点P 之间的距离为（2）如图，BC 的方向为水流的方向，BD 的方向为船头的方向，BP 的方向为实际行进的方向，其中4,60BD BC CBP BPD =∠=∠=︒在BPD △中，由正弦定理可得sin sin PD BD PBD BPD =∠∠所以1sin sin 428PD PBD BPD BD ∠=∠=⋅=即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为8。
正弦定理余弦定理综合应用_解三角形经典例题（老师）
222cos 2b c a A bc +-= 222c o s 2a c b B ac +-= 222c o s 2a b c C ab +-=二、方法归纳(1) (1)已知两角已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b cA B C ==，可求出角C ，再求b 、c .(2) (2)已知两边已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 22=b 22+c 22-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C .(3) (3)已知三边已知三边a 、b 、c，由余弦定理可求出角A 、B 、C .(4) (4)已知两边已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a bA B =，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a bA B =求B 时，可能出一解，两解或无解的情况时，可能出一解，两解或无解的情况a =b sinA 有一解有一解 b >a >b sinA 有两解有两解 a ≥b 有一解有一解 a >b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形 【例1】在ABC D 中，若5b =，4B pÐ=,1sin 3A =，则a = .523一、知识梳理1．内角和定理：在ABC D 中，A B C ++=p ；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -面积公式:111sin sin sin 222ABCSab Cbc Aac BD ===在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所各边和它的所对角对角的正弦的比相等. 形式一：RCc Bb Aa2sin sin sin ===(解三角形的重要工具) 形式二：ïîïíì===CR c B R b AR a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四：sin ,sin ,sin 222abc A B C RRR ===3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2222cos a b c bc A =+- 2222c o s b c a c a B =+- 2222cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二：sinA=b B a sin =245sin 3°=23, 则A 为6060°或°或120120°°.①当A=60A=60°时，°时，°时，C=180C=180C=180°°-(A+B)=75-(A+B)=75°°,c=B Cb sin sin =°°45sin 75sin 2=°°+°45sin )3045sin(2=226+.②当A=120A=120°时，°时，°时，C=180C=180C=180°°-(A+B)=15-(A+B)=15°°,c=B C b sin sin =°°45sin 15sin 2=°°-°45sin )3045sin(2=226-. 故在△故在△ABC ABC 中，中，A=60A=60A=60°°,C=75,C=75°°,c=226+或A=120A=120°°,C=15,C=15°°, c =226-. 【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA 只有2x p=一解。
高中数学必修二 6 4 2 正余弦定理(精练)(含答案)
6.4.2 正余弦定理（精练）【题组一 余弦定理】1．（2020·福建宁德市·高一期末）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，b =3B π=，则边c 的长为______．【答案】4【解析】因为2a =，b =3B π=，所以2222222cos 222cos3b ac ac B c c π=+-∴=+-⋅⋅⋅，228004c c c c ∴--=>∴=故答案为：42．（2020·上海高一课时练习）在ABC中，若a b c ===，则A =________.【答案】60°【解析】由余弦定理的推论得2222221cos 22b c aA bc +-+-===， 0180A <<，60A ∴=.故答案为：60°3．（2020·长春市第二实验中学高一期中）在ABC 中，若::5:7:8a b c =，则B 的大小是_______. 【答案】3π【解析】::5:7:8a b c =设5a k =，7b k =，8c k =，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==；3B π∴∠=．故答案为：3π． 3．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）在ABC 中，内角、、A B C 对应的边分别为ab c 、、，若120,2Ab =︒=，1c =，则边长a 为（ ）A B C D ．2【答案】A【解析】在ABC 中， 120,2A b =︒=，1c =，所以22212cos 4122172a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴= A.4．（2020·安徽高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b =，c =4A π=，则a =（ ）A ．5 BC ．29D【答案】B【解析】由余弦定理得a ===.故选：B 5．（2020·吉林长春市）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，::3:2:4a b c =，则cos C 。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =o ，30C =o ，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C=Q ， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===oo∴ 180()105B A C =-+=o o ， 又sin sin b c B C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯====⨯=o o o 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆===o 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin 23c B C b ===o ， （方法一）∵0180C <<o o ， ∴30C =o 或150C =o ，当150C =o 时，210180B C +=>o o ，（舍去）；当30C =o 时，90A =o ，∴222a b c =+=．（方法二）∵b c >，60B =o ， ∴C B <，∴60C <o 即C 为锐角， ∴30C =o ，90A =o ∴222a b c =+=．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
正弦定理和余弦定理的应用Word版含答案
正弦定理和余弦定理的应用【课前回顾】测量中的有关几个术语(2)南偏西α：【课前快练】1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°.可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：选A 由题意知∠CAB ＝180°－∠ABC －∠BCA ＝30°， 由正弦定理得AB sin ∠BCA ＝BCsin ∠CAB，所以AB ＝BC ·sin ∠BCAsin ∠CAB＝50×2212＝502(m)．2.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，由余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)或x ＝40.故电视塔的高度为40 m.3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的________方向上．解析：如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案：北偏西15°考点一 测量高度问题求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．【典型例题】(2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m.[思维路径](结论)求CD →放在△ACD 中求解→在Rt △ACD 中知∠DAC →(关键点)需再知AC →在△ACM 中，易知两角与一边，用正弦定理可解得．解析：在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC 32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，∴DC ＝6006×33＝600 2. 答案：600 2【针对训练】(2018·大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝( )A ．(202＋1)mB ．(203＋1)mC ．20 2 mD ．(402＋1) m解析：选A 如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ， 则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝202， 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1 (m)．考点二 测量距离问题1．测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．2．求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 角度(一) 两点都不可到达1.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.解析：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km)． 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， 由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km. 答案：64角度(二) 两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 7角度(三) 两点间可视但有一点不可到达3.如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB ＝90°，∠PAQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.解析：由已知，得∠QAB ＝∠PAB －∠PAQ ＝30°.又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ . 又PB 为公共边，∴△PAB ≌△PQB ，∴PQ ＝PA . 在Rt △PAB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 答案：900【针对训练】1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 由余弦定理可得： AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ×CB ×cos 120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700. ∴AC ＝107(km)．2．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )A ．15 2 kmB ．30 2 kmC ．45 2 kmD ．60 2 km 解析：选B 作出示意图如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°，∴∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°. 在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BM sin 30°， 解得BM ＝30 2.考点三 测量角度问题1．注意解决测量角度问题的3事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．2．掌握解三角形应用题的4步骤【典型例题】游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________．解析：依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ， 所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.答案：513【针对训练】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°， 所以sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. 【课后演练】1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．3.如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D 的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，A ，B 的距离是84 m ，则塔高CD 为( )A ．24 mB ．12 5 mC ．127 mD ．36 m解析：选C 设塔高CD ＝x m ， 则AD ＝x m ，DB ＝3x m.又由题意得∠ADB ＝90°＋60°＝150°， 在△ABD 中，利用余弦定理，得 842＝x 2＋(3x )2－23·x 2cos 150°， 解得x ＝127(负值舍去)，故塔高为127 m.4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°， 解得BC ＝102(海里)．6.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：选A 在△ACD 中，由余弦定理得： cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230.在△ABC 中，由余弦定理得： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝89－AC 280.因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0， 即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC ＝7.7．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A， 所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)． 答案：5 68.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile 的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min 后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB ，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(n mile/min)．答案：639.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：3 210．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． 答案：100 611．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．5 kmB ．10 kmC ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C 作出示意图(如图)，点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°，即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km.12．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A ．50 m,100 mB ．40 m,90 mC ．40 m,50 mD ．30 m,40 m解析：选B 设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝H 120，tan α2＝h 120， 根据三角函数的倍角公式有H 120＝2×h 1201－⎝⎛⎭⎫h 1202.① 因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为π2－β， 由tan β＝H 60，tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝h 60， 得H 60＝60h .② 联立①②解得H ＝90，h ＝40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5 mB ．507 mC ．5011 mD ．5019 m解析：选B 设该扇形的半径为r ，连接CO .由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，由余弦定理得，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2， 解得r ＝507.14.(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，即50sin 30°＝BDsin 15°，所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)．在△BCD中，由正弦定理得CD∠DBC＝BDsin∠BCD，即25sin 45°＝25(6－2)sin∠BCD，解得sin∠BCD＝3－1.所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝3－1.答案：3－115.(2018·福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为______m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos 45°＝100 2.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.616.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4，根据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝2 6.故AC的长为2 6 n mile.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝4×3226＝22，所以∠CAB＝45°.17.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100 3.连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝5 5.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 5 m.18.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x. 同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x . 因为cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，所以3x ＋325x＝25x ，解得x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得 sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131， 所以PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421(km)． 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421 km.。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
2022数学集训32正弦定理余弦定理的综合应用理含解析
课后限时集训（三十二）正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：40分钟一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B［如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B．］2．在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为（)A．错误!m B．错误!mC．错误!m D．错误!mA［如图,由已知可得∠BAC＝30°,∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°,又AB＝200 m，∴AC＝错误!m。
在△ACD中,由正弦定理，得错误!＝错误!，即DC＝AC·sin 30°sin 120°＝错误!（m)．]3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C 处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(）A．62海里B．6错误!海里C．8错误!海里D．8错误!海里A[由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°,∴∠ACB＝110°－65°＝45°,∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°。
又AB＝24×0。
5＝12，在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!,即错误!＝错误!，∴BC＝6错误!，故选A．］4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．－错误!C[因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当a＝b时等号成立,故选C．]5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b，c，已知(a＋b－c)（a＋b＋c）＝3ab，且c＝4,则△ABC面积的最大值为（)A．8错误!B．4错误!C．2错误!D．错误!B［由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝错误!＝错误!＝错误!。
华师一附中2024届高三 《正余弦定理的综合应用》 答案
参考答案：1．C【分析】A 、B 由三角形面积公式及余弦定理判断；C 由A 、B 分析sin 2cos c b A A bc+=+，结合辅助角公式、正弦函数性质即可确定目标式最大值；D 根据C 的分析，结合基本不等式可得sin 2cos 2A A +≥，应用同角三角函数关系及三角形内角性质求得40sin 5A <≤，根据A 的结论即可求目标式最大值.【详解】△ABC 的面积为21sin 22a S bc A ==，则2sin a bc A =，A 错误；由222cos 2b c a A bc+-=且2sin a A bc =，则22222tan a A b c a =+-，B 错误；由22222sin cos 22b c a b c bc AA bc bc+-+-==，则2cos sin b c A A c b =+-，所以sin 2cos 5sin()b cA A A c bϕ+=+=+且tan 2ϕ=，故b c c b +的最大值为5，C 正确；由C 分析知：sin 2cos 2c b A A bc+=+≥，当且仅当b c =时取等号，则sin 2cos 2A A +≥，故2cos 2sin A A ≥-，即224cos 44sin sin A A A ≥-+，即25sin 4sin 0A A -≤，解得40sin 5A ≤≤，又sin 0A >，所以40sin 5A <≤，而2sin a A bc=，故2a bc 的最大值为45，D 错误.故选：C ．2．C【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出,A B 关系后求解【详解】在ABC 中，1sin()sin ,sin 2A CB S ac B +==，故题干条件可化为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，故2cos c a B a =+，又由正弦定理化简得：sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+，整理得sin()sin B A A -=，故B A A -=或B A A -=π-（舍去），得2B A=ABC 为锐角三角形，故02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<，故3tan 13A <<因为120A =o ，所以60B C +=︒，在Rt △ABD 中，tan AD AB B =，即3tan c B=，因为1209030CAD ∠=︒-︒=︒，由正弦定理可得：sin sin AC ADADC C=∠，即(sin ∠，【详解】【详解】.。
高考数学题型全归纳：正余弦定理的应用知识归纳（含答案）
高考数学题型全归纳：正余弦定理的应用知识归纳（含答案）正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识点归纳：1．正弦定理：形式一：R 2Csin c B sin b A sin a ===；形式二：R 2a A sin ＝；R 2b B sin ＝；R 2c C sin ＝；（角到边的转换）形式三：A sin R 2a ?=，B sin R 2b ?=，C sin R 2c ?=；（边到角的转换）形式四：B sin ac 2 1A sin bc 21C sin ab 21S ===；（求三角形的面积）解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
若给出A ,b a ，那么解的个数为：无解（A sin b a <）；一解（A sin b a A sin b a ≥=或者）；两解（b a A sin b <<）；2．余弦定理：形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3、角平分线定理：DCAD BC AB = ；其中BD 为角B 的角平分线。
规律方法总结：1、要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解。
2、两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式。
3、记住一些结论：1,,,sin 2A B C A B C S ab C π++==均为正角；等。
4、余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ?= 。
正弦、余弦定理及其应用(附答案)
书航教育正弦、余弦定理及其应用正弦、余弦定理及其应用一、选择题（共12小题）1、线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小．（）A、B、1C、D、22、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题：①•＞0，则△ABC为钝角三角形．②若b=csinB，则C=45°．③若a2=b2+c2﹣bc，则A=60°．④若已知E为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足，设，则λ=2，其中正确命题的个数是（）A、1B、2C、3D、43、△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的外接圆半径为（）A、B、C、2D、4、在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A、B、C、（0，2）D、5、△ABC，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积为：（）A、B、C、D、6、在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A、x＞2B、x＜2C、D、7、已知△ABC的三个角分别为A，B，C，满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则sinA的值为（）A、B、C、D、8、已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值为（）A、2B、C、2D、49、在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A、B、C、D、10、下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A、①②④B、②④C、②③D、③④11、北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A、（米/秒）B、（米/秒）C、（米/秒）D、（米/秒）12、有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为（）A、300mB、400m二、填空题（共12小题）13、在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA﹣sinB）•x在R上是增函数；②若a2﹣b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值为；④若cosA=cosB，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中正确命题的序号是_________．14、设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于_________．15、在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．16、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，向量=，若，且，则角A，B的大小分别是_________．17、如图，在海岸上A、C两地分别测得小岛B在A地的北偏西α方向，在C地的北偏西﹣α方向，且，则C与B的距离是_________km．18、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：6，则=_________．19、已知△ABC的面积为S，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若4S=a2+b2﹣c2，那么C=_________．20、在△ABC中，已知a2+b2﹣ab﹣c2=0，且，则A=21、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若A=60°，b、c分别是方程x2﹣7x+11=0的两个根，则a等于_________．22、如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．23、有一广告气球，直径为6 m，如图所示，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角θ=2°，若θ的弧度数很小时，可取si nθ=θ，由此可估计该气球的高BC约为_________．24、将边长为1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最大值是_________．三、解答题（共6小题）25、（2008•湖南）已知△ABC的外接圆的半径为，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又向量，，且，（I）求角C；（II）求三角形ABC的面积S的最大值．26、（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．27、（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．28、（2009•山东）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．29、（2007•浙江）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sin B=sin C（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．30、（2005•湖北）在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．答案与评分标准一、选择题（共12小题）1、线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小．（）A、B、1C、D、2考点：函数模型的选择与应用；余弦定理。
题型08 正、余弦定理综合应用(解析版)
秒杀高考数学题型之正、余弦定理综合应用【秒杀题型一】：面积、周长、边的计算。
『秒杀策略』：秒杀公式：配方：()A bc bc c b A bc c b a cos 22cos 22222--+=-+=。
1.(2012年新课标全国卷17)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos sin 0a C C b c --=。
（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积为3，求b 、c 。
【解析】：（1）两边为一次：由正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+C C A sin )sin(++= C A C C A sin cos sin cos sin ++=，得21)6sin(=-πA ，3π=A 。
（2）1sin 42S bc A bc ==⇔=，2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=。
解得：2b c ==。
2.(2016年新课标全国卷I17)a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ；（2）若c ABC △的面积为2，求ABC ∆的周长。
【解析】：（1）两边为一次：由正弦定理得()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =,()2cosCsin sinC A+B =，2sin CcosC sin C =，得1cos C 2=,C 3π=。
（2）由323sin 21==C ab S 得6=ab ，由余弦定理得ab b a ab b a 3)(7222-+=-+=，5=+b a ， ABC ∆的周长为75+。
3.(2017年新课标全国卷II17)a 、b 、c 为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，已知()2sin 8sin 2BC A =+。
（1）求cos B（2）若6a c +=,ABC ∆面积为2,求.b 【解析】：（1）法一：依题得：21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-，两边平方，∵22sin cos 1B B +=，∴2216(1cos )cos 1B B -+=，∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，∴15cos 17B =。
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正余弦定理的综合应用及答案精编版
正余弦定理的综合应用
1.【河北省唐山一中2018届二练】在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的大小；（2）若 的面积为 ，求 的值．
2.【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在 中，点 在 边上，且 ， ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系.
6【解析】（Ⅰ）∵ ， ， ，在△ABC中，由正弦定理 ，
∴ ，又 ，所以 ，则C为锐角，所以 ，
则 ，
所以
7【解析】（I）由已知 即
△ 中， ，
故
（Ⅱ）由（I） 因此
由已知 故 的最小值为 1.
8【解析】（1） ， ，
即 ，则 ， ．
又在 中， ．
则 ，解得 ， 或 ，
当 时， ，则 ， 均为钝角，与
8.【河北衡水中学2017届上学期一调，17】（本小题满分12分）
在 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的值．
正余弦定理的综合应用答案
1【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得 ，再根据正弦定理得 ，即 （2）由 的面积为 ，得 ，再根据余弦定理得 ，解得 ，因此结合正弦定理得
所以 的面积为 .
4【解析】（Ⅰ）由已知得 ，
即有 因为 ，∴ ．
又 ，∴ ．又 ，∴ ，∴
（Ⅱ）由余弦定理，有 ．因为 ，有
又 ，于是有 ，即有
5【解析】（1）由已知 ，得 ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 ，又 ，故 ；
（2）由（1）知 ，由正弦定理，得 ，
所以 或 （舍去）从而 ，所以 的面积为 ．
（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的面积．
6.【福建省南平市2018届第一次质检】在 中, 分别为角 的对边，且 .
（1）若 ，求 及 ；
（2）若 在线段 上，且 ，求 的长.
7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， ，且 ．
（1）求角 ；（2）求边长 的最小值．
3.【海南省2018届二模】已知在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
4.【湖北 省天门等三市2018届联考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若 ，求 的取值范围．
5.【 山东省淄博市2018届高三3月模拟】在 中，角 对边分别为 ，已知 ．
2.【解析】（Ⅰ）如图所示， ，
故 ，
设 ，则 ， .
在 中，由余弦定理
,
即 ，解得 ， .
（Ⅱ）在 中，由 ，得 ，故
，在 中，由正弦定理
，即 ，
故 ，由 ，得 ，
.
3.【解析】（1）由 及正弦定理得，
，
即 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 .
（2）由（1）知 ，又 ，易求得 ，
在 中，由正弦定理得Байду номын сангаас，所以 .