常微分方程讲义

故对应齐次方程通解为
p ( x ) dx 或 y ce
y c( x 1) n x 1dx n ce c( x 1)
n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c( x)(x 1)n 为原方程的通解 , 代入得
dc ( x) ( x 1) n nc ( x)( x 1) n 1 nc ( x)( x 1) n 1 e x ( x 1) n dx
3
0
变量还原
注意：n 0时, y(x) 0也为方程的解。
例4 求方程
的通解.
dy y x dx 2 x 2 y
2
2 令 z y , 代入方程得 解: 这是Bernoulli 方程, n 1, dz 1 z x2 dx x
解以上线性方程得
z e

2
1 dx x
( x e
~ 1 x (4 ln x 2 c) 2x ~ x x 3 ln x 4 c x 3 2 ~ 将初始条件 y(1) 1代入后得 c 3 2 3
~ 1 3 2 x ( (4 x 1) 3 dx c) x
故所给初值问题的通解为
3 4
3 3 x y x ln x x 2 2
即
dx 2 x y dy y
p ( y ) dy
它是以x为未知函数wk.baidu.com, y为自变量的线性方程 ，
故其通解为
x e
e
p ( y ) dy
( Q( y)e

dy c)
~
2 dy y
( ( y )e

2 dy y
dy c)
~
y 2 ( ln y c), c为任意常数。
得通解为:
I (t ) ce
R t L
E R
I (t ) ce
由初始条件 I (0) 0得,
R t L
E R
E c R
故当开关K合上后,电路中电流强度为
E I (t ) (1 e R
R t L
)
作业
(1)
(将常数c变为x的待定函数 c( x),使它为 (1)的解)
p ( x ) dx 令y c( x)e 为(1)的解, 则
p ( x )dx dy dc ( x) p ( x )dx e c ( x ) p ( x )e dx dx p ( x )dx dc ( x) Q ( x )e 代入(1)得 dx
~
例3 求初值问题 dy 3 y 4 x 2 1, dx x
的解. 解: 先求原方程的通解
y (1) 1
y e
p ( x ) dx
( Q( x)e
2
p ( x ) dx
dx c)
~
e

3 dx x
( (4 x 1)e


3 dx x
dx c)
~
~ 1 x 3 ( (4 x 2 1) 3 dx c) x
通解,这里为n常数
dy n x n y e ( x 1) 解: 将方程改写为 dx x 1 dy n 首先,求齐次方程 y 的通解 dx x 1 dy n dy n y 分离变量得 y x 1 dx 从 dx x 1
两边积分得
ln y n ln x 1 c1
2


1 dx x
1 3 dx c) cx 2 x
2
将z y 代入得所给方程的通解 为:
1 3 y cx x 2
二 线性微分方程的应用举例
例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电 路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数, 试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
~ dc ( x ) x x c( x) e c 积分得 e 即 dx ~ ~ n x y ( x 1 ) ( e c), c 为任意常数 故通解为
dy y 例2 求方程 2 通解. dx 2 x y
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2 x y 2 dy y
积分得
c( x) Q( x)e
p ( x ) dx
p ( x )dx
dx c
~
~
30 故(1)的通解为
ye
( Q( x)e
p ( x ) dx
dx c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
二 伯努利( Bernoulli )方程
形如
dy p( x) y Q( x) y n dx
0
。 的方程,称为伯努利方程. 这里P( x),Q( x)为x的连续函数
解法:
1
引入变量变换 zy
1n
, 方程变为
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx 20 求以上线性方程的通解
一阶线性微分方程 dy a ( x ) b( x ) y c ( x ) 0 dx
一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法
10 解对应的齐次方程
dy p( x) y dx (2)
得对应齐次方程解 p( x) y ce dx , c为任意常数
2
0
常数变易法求解
dy P( x) y Q( x) dx
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E. dt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y ( 2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
若Q( x) 0, 则(1)称为一阶非齐线性方程