第二章时频分析与连续小波变换优秀课件

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小波变换入门.ppt

f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性

第二章-连续小波变换

2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1）一种积分变换。

（2）称()τ,a WT f 为小波变换系数。

小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1）小波基具有尺度和平移两个参数。

（2）函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。

由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。

从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。

CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。

随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。

STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。

二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。

低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。

举例说明。

信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。

与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。

这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。

若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。

连续小波变换

0 -0.2 -0.4
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2

第二章窗口Fourier 变换与连续小波变换2

2 2 R
证明：（课后练习）提示：利用傅立叶变换的乘积定理，将上式部化而言，WFT 在Fourier分析的基础上取得了本质的进步．用WFT 分析信号可在时-频窗这个局部范围内观察，时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度．是否可以选择某个窗函数，能使时-频窗面积充分小呢？ Heissenberg测不准原理表明，任何窗函数所相应的时-频窗面积都有A≧2 。这就是说，就时-频窗面积而言，Gauss窗函数已经是最好的结果了．时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上．低频信号的特点是，大的时间范围内幅值变化慢，其频率范围窄，于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄；高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频率范围宽，于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗宽． WFT 在窗函数确定后，其时频窗口宽度是不变的，无法自动适应信号频率的变化，小波变换可以解决这个问题。
§2 . 1 窗口Fourier 变换窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换，是Gabor在1946 年提出的，可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性和某些频率出现在哪些时段上。
定义2.1 设 g(x)满足: 0 R g ( x ) dx ,则称:
2
G f ( , b) f ( x) g ( x b)e ix dx
1 2
(式2-12)
当频窗平移a后，由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频窗中心和频窗半径：
[G ( a )] [G ( )] a
[ G ( a )] [ G ( )]
(式2-13) (式2-14)
由定义知，g (x)和G(ω)分别起着时窗和频窗的作用。在时频坐标系中，时窗一频窗共同作用而形成时频窗(如图).

信号的时频分析与小波分析PPT

(2) 离散小波变换函数dwt实现一维信号单级离散小波变换。小波名称以及DWT延拓模式都可以设定。
其调用格式为： [cA,cD] = dwt(x, 'wname') [cA,cD] = dwt(x, 'wname', 'mode', MODE) 返回变量cA：信号DWT对应的近似(Approximation)展开系数 cJ [k ] 返回变量cD：信号离散小波变换对应的细节(Detail)展开系数 d J [k] 调用参数x：表示信号序列，相当于 cJ1[k] 调用参数wname：表示小波名称，参见函数wfilters 调用参数MODE：表示信号DWT延拓模式。
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
8
实验六信号的时频分析与小波分析
(6) 函数wden实现一维信号的去噪，小波名称以及阈值都可以设定。调用格式为
[XD, CXD, LXD] = wden(x, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') [XD, CXD, LXD] = wden(C, L, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') 返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号；返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即

小波变换原理与应用PPT课件

用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。
傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。
傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足
，这就导致了小波分析。精选ppt
7
2.小波变换与傅里叶变换的比较
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标j，在不同时刻 k，小波系数也是不同的。
(0) (x)dx0
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10
3.小波变换的基本原理与性质
信号的信息表示
➢ 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）
➢ 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT
与信号的初始段进行比较； ➢ 通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度
下的小波与所对应的信号段的相似程度）； ➢ 改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个
步骤完成一次分析； ➢ 增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析； ➢ 循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
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A x ( t)2 x ( t), m ,n ( t) 2 B x ( t)2 A ,B R
m ,n
x(t) Cm,n m,n(t) nZ
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29
3.小波变换的基本原理与性质
正交小波变换与多分辨分析
多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这就是多分辨率分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间尺度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中， Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构造了不同形式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基函数的构造纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论。多分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定了框架。

小波变换理论与方法ppt课件

R
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2

小波变换简介PPT课件

[H,V,D] = detcoef2 ('all',C,S,N) returns the horizontal H, vertical V, and diagonal D detail coefficients at level N.
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数进行伸缩和平移后得到函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.

小波变换课件

小波变换的基本思想是将信号分解成一系列的小波函数，每个小波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函数，能够适应不同的频率和时间尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信号在不同频率和时间尺度上的特性，提供更全面的信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性，具有灵活的时频窗口和多分辨率分析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换的离散化，通过对小波函数的离散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。

小波变换ppt课件

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自适应压缩
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小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪多尺度分析自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成小波函数的叠加，实现了信号的多尺度分析。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。

《小波分析概述》课件

小波变换在信号处理中发挥了重要作用，能够有效地分析信号的局部特征，如突变和奇异点，为信号处理提供了新的工具。
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函数空间表示为小波基的线性组合，从而能够更好地研究函数空间的性质和算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局部特性和可伸缩性，能够在时间和频率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声，实现平滑处理，提高图像的视觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以突出图像中的某些细节，增强图像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出图像中的边缘信息，有助于后续的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务相关的特征，为后续的图像识别提供依据。

时频信号分析 PPT课件

即 X (j) jsgn(-)µX(j)
由此可以得到Hilbert反变换的公式
x(t) 1 x$(t) 1 x$( ) d
πt
π t
设 x$(t) 为信号x(t)的Hilbert变换，定义
z(t) x(t) jx$(t)
为信号x(t)的解析信号。对实信号x(t)引入解析信号z(t)的理由：（1） x(t) ——实，X(j Ω) ——共轭对称，即
这样，我们无法从局部频率处 ( 0或1 2 ) 的 X (j) 来得到某一局部时刻 (t t0或t1 t t2 ) 的 x(t)，反过来也是如此的。这就是说，通过傅里叶变换建立起来时域——频率关系无“定位”功能。换句话说，时间信号x(t)某个局部的改变将传遍（影响）整个频率轴，相反也一样，X (j) 某个局部的变换也将传遍整个时间轴。
但是受实际上不确定原理的制约，时间分辨率和频率分辨率不能同时达到最好（即分辨间隔最小）。因此在实际信号分析中，应根据信号的特点及信号处理任务的需求选取不同的时间分辨率和频率分辨率。
时域突变信号——高的时域分辨率，降低频率分辨率要求
时域慢变信号——降低时间分辨率，高的频率分辨率一个“好”的方法，除了能够选择不同的时间分辨率和频率分辨率外，还应能适应信号特点自动调节时域的分辨率和频域的分辨率。
2、傅里叶变换对于非平稳信号的局限性
平稳信号工程上频率不随时间变化的信号（时
不变信号）
非平稳信号工程上频率随时间变化的信号（时
变信号）定义上有别与平稳随机信号——均值（一阶矩）和相关（二阶矩）函数不随时间变化。非平稳信号——频率随时间变换不合适 X ( j)
与时间无关
EX: 线性频率调制信号
X ( j） x(t)e jtdt

第2讲连续小波变换

现在用连续小波变换来处理同样的信号。 % 连续小波变换 figure % 用 db3 小波作母小波函数（如下图形），尺度 a 分别为 1, 1.2, 1.4, 1.6, …, 3. coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','plot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); figure % 连续小波变换的三维图形 coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','3Dplot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); 下方左图是右图的俯视图。
Ylabel('幅值'); Xlabel('时间'); title('原始信号'); y=fft(f,1024); % DFT 有 1024 个采样点 p=y.*conj(y)/1024; % 计算功率谱密度'); ff=1000*(0:511)/1024; % 计算各点对应的频率值 subplot(322);plot(ff,p(1:512)); Ylabel('功率谱密度'); Xlabel('频率'); title('信号功率谱图');
* *
是的 Fourier 变换的模平方的一阶矩和二阶中心矩。
2.1.5 定理乘积 2t 2 是一个不依赖于 a 和 b 的常数。证明：事实上， a , b 与有相同的 L2 范数：

信号的时频分析与小波分析

灵活性
计算效率
小波变换具有高度的灵活性，可以选择不同的小波基函数，以满足不同类型信号和不同应用场景的需求。
相对于傅里叶变换，小波变换的计算复杂度较低，使得在实时信号处理中更为高效。
缺点
选择合适的小波基
选择合适的小波基是进行小波分析的关键步骤，但选择过程具有一定的主观性和经验性，需要依据具体应用场景和信号特性进行判断。
小波变换可以用于特征提取和降维，为机器学习算法提供有效的特征表示。
模式识别
小波变换可以用于信号分类和模式识别，例如在声音、图像和文本识别等领域。
数据挖掘
小波变换可以用于数据挖掘和聚类分析，例如在时间序列数据、金融数据和社交网络分析等领域。
THANKS
感谢观看
时频分析通过将信号表示为时间和频率的联合函数，提供了一种同时观察信号在不同时间和频率下表现的方式。
短时傅里叶变换
短时傅里叶变换是一种常用的时频分析方法，通过使用滑动窗口函数对信号进行加窗处理，并对每个窗口内的信号进行傅里叶变换。
窗口函数的选择对短时傅里叶变换的性能有很大影响，常见的窗口函数包括高斯窗、汉明窗等。
小波变换的分类与应用
总结词
小波变换可以分为连续小波变换和小波离散变换两种类型，它们在信号处理、图像处理、语音识别等领域有蛇形广泛应用。
详细描述
连续小波变换能够对信号进行连续某种的时频分析，能够同时获得信号在时间域和频率域的信息。而小迷离变换则是基于离散傅里叶变换的一种改进，可以对信号进行快速变换分析。在应用方面，连续小矶碎变换摸摸可以应用于信号处理、图像处理、语音识别等领域某种。
小波分析在大数据时代的应用
信号处理
01
在通信、雷达、声呐等领域，小波分析用于信号降噪、压缩感

sjs2-第二章连续小波变换(6课时)

第二章连续小波变换13小波母函数（及小波函数）特点：,0)(∫∞∞−=dt t ψ语言描述为：（1）小波具有“小”，具有时、频域紧支集，包络衰减快;（2）小波具有“波动性”，正负交替，与水平轴上下围成的面积相等，直流分量为零；（3）小波具有带通滤波器特性，ψ(t )可理解为一个带通滤波器的冲激响应。

（小波的Fourier 变换是带通）,0)0(ˆ=ψ示。

图2-3ω∆2ω∆2/ω∆ωt 0ω02ω2/0ω)(ˆωψa )(ˆωψa )(ˆωψa19母小波可以是实函数，也可以是复函数。

•具有带通特性，即在频域，围绕着中心频率是有限支撑的也将反映在窗口中心频率处的局部性质，从而实现所期望的频率定位功能。

)(ˆ,ωψb a )(ˆ,ωψb aMorlet小波ψ (t ) = e− t 2 / 2 iω0teˆ (ω ) = 2π e− (ω −ω0 ) ψ2/2(a)小波母函数;(b)Fourier变换Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。

g (t ) =(σ π )211/ 4e−t2 2σ 2σ = 1,η = 5Gabor 小波 Morlet小波21ψ ( t ) = g ( t ) eiηtMorlet小波morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support Effective support=[-4 4], SymmetryM orlet W avelet 1 0.8 12 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 2 -0.8 -1 -5 0 -5 6 10 14 FFT of M orlet W avelet84-4-3-2-1012345-4-3-2-1012345Morlet小波是一种复数小波，时频均具有很好的局部性。

专题讲座——小波变换PPT课件

第10页/共79页
部分小波波形
第11页/共79页
小波基函数
将小波母函数（t)进行伸缩和平移，
令伸缩因子（称尺度因子）为a,平移因子为，则：
a（ , t)
a12(t
),a0,R
a
则称a（ , t)是依赖参数a,的小波基函数。
将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换
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小波分析
• 小波变换通过平移母小波(mother wavelet) 可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。
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CWT的变换过程图示
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CWT小结
• 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，
度量的是信号细节，表示频率w 比较高；相
反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的
是信号的粗糙程度，表示频率w 比较低。
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离散小波变换
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离散小波变换定义
任意L2(R)空间中的x(t)的DWT为：
__________
Wx ( j, k) R x(t) j,k (t) dt其中Biblioteka j（ ,k t) 1 2j
(
t 2
j
k)
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量t的。
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短时傅里叶变换STFT
确定信号局部频率特性的比较简单的方法是在时刻ґ附近对信号加窗，然后计算傅里叶变换。

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对小波变换频域窗口的分析：
宽的时间窗口则有利于对信号低频特性的分析。
Gaobor变换的缺点在于其时频“窗若口”的ˆ 的宽时度域不随中频心率在的变化而变化* ,。时域半径为
对小波变换时域窗口的分析：
ˆ , 则 ( a 0 )：
宽的时间窗口则有利于对信号低频特性的分析。
由 ˆ a e 对“容许性”条件的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
2 a a a 对小波变换时频窗－口的分－析：
2
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
Gaobor变换的缺点在于其时频“ 窗口 ”的宽度不随频率的变化而变化。
对“容许性”条件的分析：
1 (e ( t b ) d ) ( a b f ˆ ()ˆ( a)g ( t)dd at d 对小波变换频域窗口的分析：
ib
2
___ __ __ __ __ __
2 对小波变换时域窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分－析：－
a
对“容许性”条件的分析：
1 a e i tˆ(a)a 2 f ˆ()_ ˆ(a _)_ g _ ( t_ ) _ d _ __ a _ d _ _d t_ 2－－
小波重构定理的证明：
c1 －－ [W (f)b (,a) l i0(m _ _ g_,__ b,_ a_ __ )_d a __ 2_d _ a__b c1－－ [W(f)b(,a)b,ada2adb
t
小波变换的重构定理：
令是一个基小波，了它一定个义连续小波 W(变 f )换 (b,a),则：
－
[W(
－
f
)(b,a)W ___(_g__)_(b____,_a__)_da_2adbc

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傅里叶变换的快速算法：FFT
1965年库利和图基提出FFT算法
FFT不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算DFS 的一种快速算法.
FFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程中的应用.
二、联合时频分析联合时频分析引入的动机：
具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见：语音/音频信号颜色变化的光线雷达信号地震信号
CFS: 连续时间傅里叶级数
适用信号:连续时间周期信号变换公式:
x(t)
akejk0t
a ejk(2/T)t k
k
k
ak
1 TT
x(t)ejk0td
t1 TT
x(t)ejk(2/T)td
t
DTFT：离散时间傅里叶变换
适用信号:离散时间信号变换公式:
x(n)212X(ej)ejnd
第二章时频分析与连续小波变换
时频联姻(Time Meets Frequency)
傅里叶分析回顾联合时频分析的基本原理短时傅里叶分析:STFT 连续小波变换:CWT 时频分析的应用
瞬时频率基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测本章小结
一、傅里叶分析回顾
概述定义性质实现
傅里叶分析概述
X(ej) x(n)ejn n
DFS：离散时间傅里叶级数
适用信号:离散时间周期信号变换公式:
x[n]
akejk0n
aejk(2/N)n k
k N
k N
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
Nn N
Nn N
四种傅里叶变换的关系:
连续时间傅立叶级数 C F S
傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体奇异性。
傅里叶变换的衰减性与信号的全局正则性之间的关系：
定理：如果信号f (t)的傅里叶变换fˆ()满足：
fˆ() (1 p)d ，
则:f (t)是有界的，并且f (t)具有p阶导数。
推论:如果存在常数K及
0使得：fˆ()
1
K
p1
，
则:f (t)具有p阶导数。
傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分”。 ▪ 它是一个全局的分析。 ▪ 它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTI
系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统-利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域相乘运算。 ▪ 傅里叶分析数字实现时常常采用FFT进行快速实现。
傅里叶变换(分析)的定义
离散时间傅立叶变换 D T F T
x(t) X( j)
X( jt) 2x()
连续、非周连期续、非周期
x(n)X(ej)
离散、非周连期续、周
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
时频原子基本概念
时频原子
具有时频局部化特性的基本信号分析单元
短时傅里叶时频原子
(t)gu,(t)g(tu)eit
小波时频原子
(t)u,s(t)1stsu
特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；
短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；
小波原子是通过平移和伸缩得到的。
线性时频变换
Tf () f ,
为了分析信号中时变的频率结构，需要引入一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和小波变换就是其中的代表。
短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用了不同的时频原子
不同时频原子具有不同的时频特性。
时频原子
时频原子的基本概念线性时频变换的定义时频原子的时频局部化描述
Heisenberg测不准原理时频原子的时频结构-Heisenberg-box 时频能量密度
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
f 1 ( t ) f 2 ( t ) F
1 2
fˆ1 * fˆ 2 ( )
f ( t t 0 ) F f e j t 0
e j t 0 f ( t ) F fˆ 0
x(t) Ak
连续、周离期散、非周期
离散时间傅立叶级数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离散、周期离散、周期
Ak
1 T
X(
j

2
T
k)
x(n) D T FX T(ej) X(ejt) C F Sx(k)
Ak
1 N
j 2 k
X(e N )
连续时间傅立叶变换 C T F T
f ( t ) F s fˆ s
s
f ( p ) ( t ) F ( j ) p fˆ
傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的“局部变化”规律
从频率分析角度看：傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。
从信号奇异性分析角度看:
傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性信息：
不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点上的奇异性（局部的变化）…..然而,小波变换可以做到这一点。
……
1946年,Dennis Gabor(1971年 Nobel奖获得者) :
“迄今为止，通信理论的基础一直是信号分析的两种方法组成的：一种将信号号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数（Fourier分析）。这两种方法都是理想化的……。然而，我们每一天的经历－特别是我们的听觉－却一直是用时间和频率来描述的。”
•根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义： •CTFT: 连续时间傅里叶变换 •CFS: 连续时间傅里叶级数 •DTFT：离散时间傅里叶变换 •DFS：离散时间傅里叶级数
CTFT:连续时间傅里叶变换
适用信号:连续时间信号变换公式:
X(j) x(t)ejtdt
x(t)21
X(j)ejtd
f
(t)*(t)dt..................(1)
1
2
fˆ()ˆ*()d........(2)
：参数集
线性时频变换的时频局部化
如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u周围,根据(1)式,则 Tf仅( )与信号f(t)在该邻域的值有关。
如果时频原子在频率上是集中于某个频率点周围,根据(2)式,则仅Tf与( )信号f(t)的频谱在该邻域的值有关。