中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且

∠ABC+∠ADC=180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形．

（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．

【答案】(1)见解析；（2）18°.

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；

（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出

OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．

【详解】

（1）证明：∵AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，

∴∠FDC=36°，

∵DF⊥AC，

∴∠DCO=90°﹣36°=54°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OC=OD，

∴∠ODC=54°

∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

2．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；

（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；

（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．

【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【解析】

【分析】

（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=1

2

BC，GH∥BC，GH=

1

2

BC，推出

EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；

（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出

S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出

S△PGH=1

2

S△AEF=S△APF，即可得出结果．

【详解】

（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，

∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝1

2BC，GH∥BC，GH＝

1

2

BC，

∴EF∥GH，EF＝GH，

∴四边形EGHF是平行四边形，

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴EF⊥AP，

∵EG∥AP，

∴EF⊥EG，

∴平行四边形EGHF是矩形；

（2）∵PE是△APB的中线，

∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，

∵AP是△AEF的中线，

∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，

∴S△APF＝S△BPE，

∵PF是△APC的中线，

∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，

∴S△APF＝S△CPF，

∴S△CPF＝S△BPE，

∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，

∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，

∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，

∵GH＝EF，

∴S△PGH＝1

S△AEF＝S△APF，

2

综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．

3．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．

(1)试猜想AE与GC有怎样的关系(直接写出结论即可)；

(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)中，若E是BC的中点，且BC＝2，则C，F两点间的距离为．

【答案】(1) AE＝CG，AE⊥GC；(2)成立，证明见解析；2．

【解析】

【分析】

（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．

（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°﹣∠6，即∠7+∠CEH＝90°，由此得证．

（3）如图3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，则四边形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．想办法求出CH，HF，再利用勾股定理即可解决问题．