人教新课标版数学高二B必修5课件 第三章 不等式

(1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]； (2)当Δ＝0时，a＝－1或2； 当a＝－1时，M＝{－1} [1,4]； 当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]． (3)当Δ>0时，a<－1或a>2. 设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1<x2，
那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1≤x2≤4
f1>0，且f4>0， ⇔
1≤a≤4，且Δ>0.
－a＋3>0， 18－7a>0， 即 1≤a≤4，
a<－1或a>2.
解得 2<a<178， ∴M⊆[1,4]时，a 的取值范围是－1，178.
跟踪训练1 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，
m)，则m＝____2____.
解析 因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，
例 1 设 不 等 式 x2 － 2ax ＋ a ＋ 2≤0 的 解 集 为 M ， 如 果 M⊆[1,4]，求实数a的取值范围． 解 M⊆[1,4]有两种情况： 其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0， 下面分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2， 则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
立．
f2>0， 2x2－2x－1<0，
所以
即
f－2>0. 2x2＋2x－3>0
1－ 2
3 1＋ <x< 2
3 ，
⇔
－1－ 7 －1＋ 7
x< 2 或x> 2 .
7－1 3＋1 所以 2 <x< 2 .
跟踪训练2 f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，则a的取值 范围是_(_－__4_,_0_] _． 解析 (1)当a＝0时，f(x)<0恒成立，故a＝0符合题意； (2)当a≠0时，由题意得：
解 ∵1x＋2y＝3，∴131x＋2y＝1.
∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×311x＋2y
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＝134＋yx＋4yx≥134＋2
yx·4yx＝43＋43＝83.
当且仅当yx＝4yx，即 y＝2x 时，取“＝”． 又∵1x＋2y＝3，∴x＝23，y＝43. ∴2x＋y 的最小值为83.
呈重点、现规律
跟踪训练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画 标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可 做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做 文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少 张？才能使得总用料面积最小． 解 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌 (x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
题型四 利用均值不等式求最值 利用均值不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺 一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取 到最值，可以考虑用函数的单调性求解．
例 4 设 f(x)＝x52＋0x1. (1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值； 解 当 x>0 时，有 x＋1x≥2， ∴f(x)＝x52＋0x1＝x＋501x≤25. 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立， 所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.
(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值； 解 ∵函数 y＝x＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正， ∴f(x)＝x＋501x在[2，＋∞)上是减函数，且 f(2)＝20. 所以f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.
跟踪训练 4 设 x，y 都是正数，且1x＋2y＝3，求 2x＋y 的最
小值．
(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通 过函数图象直观化．
例2 设不等式2x－1>p(x2－1)对满足|p|≤2的一切实数p的
取值都成立，求x的取值范围．
解 令f(p)＝2x－1－p(x2－1)＝(1－x2)p＋2x－1，p∈[－2,2]，
可 看 成 是 一 条 线 段 ， 且 使 f(p)>0 对 |p|≤2 的 一 切 实 数 恒 成
2.运用均值不等式求最值，把握三个条件 (1)“一正”——各项为正数； (2)“二定”——“和”或“积”为定值； (3)“三相等”——等号一定能取到.
3.一元二次不等式的求解方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数 的关系，共同确定出解集. (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配 方求解. 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两 边，小于取中间.
理网络·明结构
4.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题： (1)画二元一次不等式(组)所表示的平面区域的基本方法是 “直线定边界，特殊点定区域”. 对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为 正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当 B>0时，
①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域； ②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域. (2)解决线性规划问题的一般步骤是： ①作出可行域；②作出目标函数的等值线；③确定最优解.
内容 索引
01 理网络
明结构
探题型 提能力
02
03
04
理网络·明结构
探题型·提能力
题型一 “三个二次”之间的关系 对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题： ①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次 方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解， 也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二 次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，
m>1， 且 m>1⇒1＋m＝6a，
1·m＝a
m＝2， ⇒
a＝2.
题型二 恒成立问题 对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下 几种 (1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一 般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法： 若f(a)<g(x)恒成立，则f(a)<g(x)min. 若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.
2x＋y≥5， x＋2y≥4， 由题意可得x≥0，
y≥0，
x，y∈N.
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图． 在一族平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的 点且到原点距离最近的直线，过直线2x＋y＝5和 直线x＋2y＝4的交点(2,1)， ∴最优解为x＝2，y＝1. ∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用 料面积最小．
a<0 Δ＝a2＋4a<0
⇔a－<40<a<0
⇔－4<a<0，
综上所述：－4<a≤0.
题型三 简单的线性规划问题 关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、 参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共 同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间 根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，
x－4y≤－3 例 3 已知变量 x，y 满足3x＋5y≤25
x≥1
，求 z＝2x＋y 的
最大值和最小值．
解 如图，阴影部分为不等式组所表 示的可行域．
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z， 则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当 直线越往上移动时，对应在y轴上的截距越大，即z越大； 当直线越往下移动时，对应在y轴上的截距越小，即z越小． 作一组与l0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1， 即过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12； 当l移动到l2，即过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
1.不等式的性质 不等式的基本性质是进行有关证明，推理的基础，应记准 每条性质应用的条件，保证每一步推理都有根据，主要性 质及推论有： ①对称性：a>b⇔b<a； ②传递性：a>b，b>c⇔a>c；
③加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c； ④移项法则：a＋b>c⇔a>c－b； ⑤同向可加性：a>b，c>d⇔a＋c>b＋d； ⑥乘法法则：a>b，c>0⇔ac>bc或a>b，c<0⇔ac<bc； ⑦同向正数不等式可乘性：a>b>0，c>d>0⇔ac>bd； ⑧乘方法则：a>b>0，n∈N＋⇔an>bn； ⑨开方法则：a>b>0，n∈N＋⇔n a>n b.
x－a 如： (斜率)， x－a2＋y－b2(距离)等．
y－b
求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线 ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减 少)(b>0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函 数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为 ①作出可行域； ②作出直线l0：ax＋by＝0； ③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点； ④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值 或最大值．