例谈方程思想与勾股定理的有效结合

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《勾股定理的应用-用方程思想解决问题》课例课件

学会应用勾股定理计算直角三角形中的边长关系。
将勾股定理应用到实际问题中，通过构建方程解决问题
学会将勾股定理应用到各种实际问题中，并通过构建方程来解决问题。
实际问题的解决过程
了解解决实际问题的一般思路和步骤。
解决实际问题的思路
1
通过读题确定问题、目标和限制条件
仔细阅读问题，明确问题的具体要求和限制条件。
2
转化问题为数学模型，选用适当的变量和未知数
将问题转化为数学模型，选择适当的变量和未知数进行建模。
3
根据问题条件列出方程组
根据问题条件，将问，得到问题的解
解决方程组，求解未知数的值，得到问题的解。
5
对答案进行检验，回答问题
对求得的解进行检验，确保其符合问题的限制条件，并回答问题。
总结
1 勾股定理可以应用于实际问题中
勾股定理不仅是抽象理论，还可以帮助解决各种实际问题。
2 方程思想是解决实际问题的关键
通过构建方程，可以将实际问题转化为数学问题，更好地解决问题。
3 解决实际问题需要综合运用各种知识点
解决实际问题不仅仅依靠勾股定理，还需要结合其他相关知识点。
案例分析
案例1 ：热身练习，求证勾股定理
通过一道简单的热身练习，帮助学生理解和证明勾股定理。
案例2 ：航空器问题，求飞行高度和地面距离
通过航空器的例子，引导学生将勾股定理应用于求解飞行高度和地面距离。
案例3 ：立方体问题，求体积和对角线长度
以立方体为背景，教学生如何使用勾股定理解决求解体积和对角线长度的问题。
勾股定理的应用-用方程思想解决问题
本课例将以勾股定理为基础，通过方程思想解决各种实际问题，旨在帮助学生深入了解勾股定理的应用。

数学勾股定理论文

数学勾股定理论文勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理.下面店铺给你分享数学勾股定理论文，欢迎阅读。

数学勾股定理论文篇一数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁.灵活运用数学思想，能够有效地提高分析问题和解决问题的能力，增强应用数学知识的意识.在《勾股定理》这一章中，蕴含着许多重要的数学思想，现举例介绍如下.一、方程思想在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.二、化归思想化归思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题变换形式，变化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决.例3如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm.点B 与点C的距离为5cm，一只蜗牛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需爬行的最短路程是多少?分析：由于蜗牛是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体展开成平面图形.根据两点之间线段最短，蜗牛爬行的较短路程有两种可能，如图4、图5所示.利用勾股定理容易求出两种图中AB的长度，比较后即可求得蜗牛爬行的最短路程是25cm.说明：这里通过长方体的展开图，把立体图形转化为平面图形，把求蜗牛爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题.例4如图6，是一块四边形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的长(精确到0.1m，≈1.732).(2004年天津市中考题)分析：图中无直角三角形，怎么办?联想到含30O角的直角三角形，因而延长AD、BC交于点E，则∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.说明：本题充分利用已知图形的特点，通过构造新图形，将四边形问题巧妙地转化成了直角三角形问题.三、数形结合思想数形结合，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的.例5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高?(2005年福建省龙岩市中考题)分析：依题意画出示意图7，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m. 设BD = (m)，则树高AD = ( +10)m.因为AC + AB = BD + DC，所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + ( + 10)2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即树高15m.说明：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系.利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决.四、分类讨论思想在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法.例6 一直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边的长为______.分析：此题中已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论，答案是5cm或cm.例7“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积. (2003年黑龙江省中考题)分析：由于题目中没有明确告诉我们△ABC的形状，故需分两种情况讨论.在图8中，S△ABC=10 (20 + 15)米2;在图9中，S△ABC= 10(2015)米2.说明：此类问题由于题目中没有图形，常需分类讨论，解答时极易因考虑不周而导致漏解，希望同学们用心体会.五、整体思想对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目.例8已知一个直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为______.分析：设这个直角三角形的两条直角边长为，斜边为，则= 3013 = 17，于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面积S == 30cm2.说明：我们要求的是面积，即，不一定要分别求出和的值，只要从整体上求出即可.例9 如图10所示，在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省温州市中考题)分析：根据已知条件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余关系易证∠ACB =∠CED，这样可得△ABC ≌ △CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.说明：本题不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.数学勾股定理论文篇二数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.它能使人领悟到数学的真谛，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用.日本数学教育家米山国藏认为，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用.灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，事半功倍.下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明.一、分类思想例1.(2013年贵州黔西南州)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )点评：本题的易错点是受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，犯了考虑问题不全面的错误.二、方程思想例2.(2013年山东济南)如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m分析：观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8m处，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为未知数，进而运用勾股定理列方程求解.解：如图2，设旗杆的高度为x，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得(x-2)2+82=x2.解得x=17m，即旗杆的高度为17m，答案选D.三、整体思想例3.(2013年江苏扬州)矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为____________.分析：设矩形的两邻边长分别为a、b(a>b)，则依据题意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子.解：设矩形的两邻边长分别为a、b (a>b)，则a-b=2.五、数形结合思想例5.(2013年湖南张家界)如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10，0)、(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________.分析：易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆;也可以点D为圆心，OD为半径作圆.解：由C(10，0)可知OD=5.(1)以点O为圆心，OD为半径作圆交边六、构造思想例6.同例3分析：根据已知条件，联想到证明勾股定理的弦图，本例便有如下巧妙解法.数学勾股定理论文篇三正确的数学思想是成功解题的关键所在.在运用勾股定理解题时，若能正确把握数学思想，则可使思路开阔，方法简便快捷.下面列举在应用勾股定理时经常用到的数学思想，供同学们参考.一、方程思想◆例1如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且点C落到E点，则CD等于( ).A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm分析：由题意可知，ΔACD 和ΔAED关于直线AD对称，因而有ΔACD ≌ΔAED .进一步则有AE=AC=6cm，CD=ED，DE⊥AB.设CD=ED=xcm，则在ΔDEB中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.又因在ΔABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故选B.二、转化思想◆例2如图2，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm.现有一小虫从A出发，沿长方体表面爬行，到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米?分析：求几何体表面最短距离问题，通常可将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.对于此题，可将该长方体的右表面翻折至前表面，使A、C两点共面，连结AC，线段AC的长度即为最短路程(如图3).由勾股定理可知AC2=32+42=52，即小虫所走的最短路程为5cm.三、分类讨论思想◆例3在ΔABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长.分析：三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分两种情况来考虑.当BC边上的高AD在ΔABC的内部时，如图4，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，得BD=9;CD2=AC2-AD2，得CD=16，则BC=BD+CD=9+16=25;当BC上的高AD在ΔABC的外部时，如图5，同样由勾股定理可求得CD=16，BD=9，这时，BC=CD-BD=16- 9=7，故BC的长为25或7.四、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想.这里不再举例，请同学们在平时的练习中仔细体会.。

勾股定理与数学思想方法

勾股定理与数学思想方法勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

因此，勾股定理体现了数形结合的思想。

除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思想求解的题目随处可见。

例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。

将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。

图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。

已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。

请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。

图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。

∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。

CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。

所以这种铁球的直径为20cm 。

2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。

在这里充分体现了分类讨论的思想。

巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题

巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。

今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。

本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。

关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。

方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。

利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。

三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。

折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。

例析方程思想在勾股定理中的应用

例析方程思想在勾股定理中的应用数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用。

方程思想在勾股定理这部分知识中有着广泛的应用，下面举例说明：一、直接利用勾股定理列方程：例1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

解析：设旗杆的高度AC 为x 米，那么绳子的长度AB 为(1+x )米，根据题意得到△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，根据勾股定理得到：()22215+=+x x ，解得x ＝12。

答：旗杆的高度为12米。

【总结】在实际问题中，通常直接利用勾股定理建立相等关系列出方程。

二、两次利用勾股定理列方程：例2：在锐角∆A BC 中，AB=15，AC=13，BC=14， A Ｄ⊥BC 垂足为D ，计算DA 的长度。

解析：设DB ＝x ，CD ＝x -14，在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝；2215x -在Rt ∆ACD 中，∠ADC ＝90°，根据勾股定理得:AD 2＝AC 2—CD 2,即AD 2＝()；221413x -- ∴2215x -＝()；221413x -- 解得9=x在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝，＝－＝222221291515x - ∴（负值舍去）。

＝12DA答：DA 的长度的长度为12。

【总结】如果题目中有三角形的高线时，可以在两个三角形中分别运用勾股定理表示同一个量，从而建立相等关系列方程求解。

三、利用等积性建立方程：例3：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，，，68==BC AC CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长度。

解析：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得：222BC AC AB +=，∵S ∆ABC CD AB BC AC ⨯⨯=⨯⨯2121＝ ∴CD AB BC AC ⨯=⨯∴CD 1068=⨯101003664682222==+=+=+=BC AC AB∴8.4CD答：CD的长度的长度为4.8。

勾股定理的方程思想总结

勾股定理的方程思想总结勾股定理是数学中的一条重要定理，由中国古代数学家所发现和证明。

它为解决直角三角形中的问题提供了重要的数学工具，也是数学推理中的一种经典的思想方法。

在这1000字的总结中，我将详细介绍勾股定理的方程思想，包括其背景、推导过程和应用领域。

首先，我们来介绍一下勾股定理的背景。

在古代，古希腊的毕达哥拉斯学派和古中国的《周髀算经》中都有类似的关于直角三角形的边长的关系。

然而，勾股定理最早的证明是由中国古代的《周髀算经》所给出的，可以追溯到约公元前500年左右。

根据《周髀算经》中的记载，古代算术家商高在解题时发现了直角三角形中三边的关系，并用文字形式进行了描述。

这一发现被后来的数学家所发扬光大，成为了后来的勾股定理。

接下来，我们探讨一下勾股定理的推导过程。

勾股定理的推导思想可以用几何和代数方法进行证明。

首先，我们以直角三角形的三个边为对象进行分析。

假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。

为了证明这个定理，我们可以使用几何方法进行推导。

具体步骤如下：1. 通过画图，我们可以得到一个直角三角形，其中直角边a和b构成直角，斜边c位于直角边的对面。

2. 将直角边a和b延长，分别延长到直角边b的竖直延长线和直角边a的水平延长线上。

3. 直角边a和b所延长后的部分构成一个正方形和一个长方形。

4. 根据几何性质，我们可以得到正方形的边长为a+b，长方形的边长为a和b。

5. 正方形的面积可以表示为边长的平方，即(a+b)²。

长方形的面积可以表示为a*b。

6. 根据几何性质，正方形的面积可以等于两个长方形面积之和。

7. 将上述两个公式相等，我们可以得到(a+b)² = a² + b²。

8. 展开上述式子后，我们可以得到一个等式 a² + 2ab + b² = a² + b²。

勾股定理的各类题型

勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法：方法1：方法2：方法3：二：方程思想和勾股定理结合的题目1.2016春宜春期末一旗杆在其的B处折断;量得AC=5米;则旗杆原来的高度为A．米B．2米C．10米D．米考点勾股定理的应用．分析可设AB=x;则BC=2x;进而在△ABC中;利用勾股定理求解x的值即可．解答解：由题意可得;AC2=BC2﹣AB2;即2x2﹣x2=52;解得x=;所以旗杆原来的高度为3x=5;故选D．点评能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．2.2016春防城区期中如图;在△ABC中;∠B=40°;EF∥AB;∠1=50°;CE=3;EF比CF大1;则EF的长为A．5 B．6 C．3 D．4考点勾股定理；平行线的性质．分析由平行线的性质得出∠A=∠1=50°;得出∠C=90°;设CF=x;则EF=x+1;根据勾股定理得出方程;解方程求出x;即可得出EF的长．解答解：∵EF∥AB;∴∠A=∠1=50°;∴∠A+∠B=50°+40°=90°;∴∠C=90°;设CF=x;则EF=x+1;根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2;即32+x2=x+12;解得：x=4;∴EF=4+1=5;故选：A．点评本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质;并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．3.2015春蚌埠期中已知;如图长方形ABCD中;AB=3cm;AD=9cm;将此长方形折叠;使点B 与D重合;折痕为EF;则BE的长为A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点翻折变换折叠问题．分析根据折叠的性质可得BE=ED;设AE=x;表示出BE=9﹣x;然后在Rt△ABE中;利用勾股定理列式计算即可得解．解答解：∵长方形折叠点B与点D重合;∴BE=ED;设AE=x;则ED=9﹣x;BE=9﹣x;在Rt△ABE中;AB2+AE2=BE2;即32+x2=9﹣x2;解得x=4;∴AE的长是4;∴BE=9﹣4=5;故选C．点评本题考查了翻折变换的性质;勾股定理的应用;根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键．4.2008秋奎文区校级期末在我国古代数学着作九章算术中记载了一个有趣的问题;这个问题的意思是：有一个水池;水面是一个边长为10尺的正方形;在水池正中央有一根新生的芦苇;它高出水面1尺;如图所示;如果把这根芦苇垂直拉向岸边;它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少芦苇长为多少考点勾股定理的应用．分析找到题中的直角三角形;设水深为x尺;根据勾股定理解答．解答解；设水深为x尺;则芦苇长为x+1尺;根据勾股定理得：;解得：x=12尺;芦苇的长度=x+1=12+1=13尺;答：水池深12尺;芦苇长13尺．点评此题是一道古代问题;体现了我们的祖先对勾股定理的理解;也体现了我国古代数学的辉煌成就．三：勾股定理应用：求最短距离问题1.2014秋环翠区期中如图;长方体的底面边长为1cm和3cm;高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B;那么所用细线最短需要A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm考点平面展开-最短路径问题．分析要求所用细线的最短距离;需将长方体的侧面展开;进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答解：将长方体展开;连接A、B′;则AA′=1+3+1+3=8cm;A′B′=6cm;根据两点之间线段最短;AB′==10cm．故选C．点评本题考查了平面展开﹣最短路径问题;本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”;用勾股定理解决．2.2016春繁昌县期末如图;是一长、宽都是3cm;高BC=9cm的长方体纸箱;BC上有一点P;PC=BC;一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm考点平面展开-最短路径问题．分析将图形展开;可得到安排AP较短的展法两种;通过计算;得到较短的即可．解答解：1如图1;AD=3cm;DP=3+6=9cm;在Rt△ADP中;AP==3cm；2如图2;AC=6cm;CP=3+3=6cm;Rt△ADP中;AP==6cm．综上;蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm．故选A．点评本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题;熟悉平面展开图是解题的关键．3.2016 大悟县二模如图;小红想用一条彩带缠绕易拉罐;正好从A点绕到正上方B点共四圈;已知易拉罐底面周长是12cm;高是20cm;那么所需彩带最短的是A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm考点平面展开-最短路径问题．分析要求彩带的长;需将圆柱的侧面展开;进而根据“两点之间线段最短”得出结果;在求线段长时;借助于勾股定理．解答解：由图可知;彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处;将易拉罐表面切开展开呈长方形;则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长;∵易拉罐底面周长是12cm;高是20cm;∴x2=12×42+202;所以彩带最短是52cm．故选D点评本题考查了平面展开﹣最短路径问题;圆柱的侧面展开图是一个矩形;此矩形的长等于圆柱底面周长;高等于圆柱的高;本题就是把圆柱的侧面展开成矩形;“化曲面为平面”;用勾股定理解决．4.2016 游仙区模拟长方体敞口玻璃罐;长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm;在罐内点E处有一小块饼干碎末;此时一只蚂蚁正好在罐外壁;在长方形ABCD中心的正上方2cm处;则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．A．7 B．C．24 D．考点平面展开-最短路径问题．分析做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内;在平面内线段最短;根据勾股定理即可计算．解答解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过;蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：H ′E===7;②若蚂蚁从平面ABCD 和平面BCEH 经过;则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H ′E==故选B ．点评考查了平面展开﹣最短路径问题;此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点;然后把立体的长方体放到一个平面内;求出最短的线段．5.2015秋宜兴市校级期中如图;一圆柱高8cm;底面半径为cm;一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食;要爬行的最短路程是 10 cm ．考点平面展开-最短路径问题．分析此题最直接的解法;就是将圆柱展开;然后利用两点之间线段最短解答．解答解：底面圆周长为2πr;底面半圆弧长为πr;即半圆弧长为：×2π×=6cm;展开得：∵BC=8cm;AC=6cm;根据勾股定理得：AB==10cm ．故答案为：10．点评此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短;解题的关键是根据题意画出展开图;表示出各线段的长度．四：网格问题简单1、在边长为1的小正方形组成的网格中;△ABC 的三个顶点均在格点上;则△ABC 中BC 边上的高为答案：设△ABC 中BC 边上的高为h ．∵AB^ 2 =5;AC^ 2 =20;BC^ 2 =25;∴BC^ 2 =AB^ 2 +AC ^2 ;∴∠A=90°;S △ABC =21 AB ⨯AC= 21BC ⨯h;即525⨯ =5h ．解得;h=2．故答案是：2．2. 如图;方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形;我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图一中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．1求图一中四边形ABCD 的面积；2在图二方格纸中画一个格点三角形EFG;使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．图一图二答案：解：1方法一：S＝12×6×4＝12方法二：S＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝122只要画出一种即可3、如图;在由边长为1的小正方形组成的网格中;△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求完成下列各题：1画AD∥BCD为格点;连接CD；2试判断△ABC的形状请说明理由；答案：1图象如图所示；2由图象可知AB2=12+22=5;AC2=22+42=20;BC2=32+42=25;∴BC2=AB2+AC2;△ABC是直角三角形..4、如图;是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场;一只鸽子落在点A处;•它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食;则鸽子至少需要走多远的路程答案：AB=5cm;BC=13cm．•所以其最短路程为18cm难题5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格;它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形;这样的三角形称为单位正三角形..1直接写出单位正三角形的高与面积..2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少3求出图中线段AC的长可作辅助线..答案1单位正三角形的高为;面积是..2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形;因此其面积..3过A作AK⊥BC于点K如图所示;则在Rt△ACK中;;;故五：方位角问题1、如图所示;在一次夏令营活动中;小明从营地A点出发;沿北偏东60°方向走了3500m到达B点;然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点．1求A、C两点之间的距离；2确定目的地C在营地A的什么方向2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险;没有了水;需要寻找水源．为了不致于走散;他们用两部对话机联系;已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发;他以6千米/时的速度向东行走;1小时后乙出发;他以5千米/时的速度向北行进;上午10：00;甲、乙二人相距多远还能保持联系吗答案：如图;甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时;走了12千米;即OA=12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时;走了5千米;即OB=5．在Rt△OAB中;AB2=122十52=169;∴AB=13;因此;上午10：00时;甲、乙两人相距13千米．∵15＞13;∴甲、乙两人还能保持联系．答：上午10：00甲、乙两人相距13千米;两人还能保持联系．3、如图;甲乙两船从港口A同时出发;甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行;乙船向南偏东50°航行;3小时后;甲船到达C岛;乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里;问乙船的航速是多少答案：从两船航行的方向看;北偏东40度和南偏东50度的夹角为90AC⊥AB甲船速度每小时16海里;所以AC=16×3=48海里AB2=BC2-AC2=3600-2304=1296AB=36所以乙船速度为每小时：36÷3=12海里4、如图;北海海面上;一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练;突然接基地命令;要该舰前往C岛;接送一病危渔民到基地医院救治;已知C岛在A的北偏东600方向;且在B北偏西450方向;军舰从B处出发;平均每小时走20海里;需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院精确到0.1小时;参考数据：73.13≈;41.12≈解：作CD⊥AB于D;根据题意;得∠CAB=30°;∠CBD=45°不妨设CD=x海里;则BD=x海里;AD=2x海里;AC=x海里; BC=2x海里;∴3x+x=40∴x=203 -20海里∴AC+BC=）（）（203202203202-+-=206+403 -202 -40=）（2-2-22620+≈49.98海里 49.98÷20=2.499≈2.5小时答：需要大约2.5小时才能把患病渔民送到基地医院..。

勾股定理应用专题一方程思想

预习作业1、已知：如图，在Rt △ABC 中，BC=3，AB+AC=9，求AC,BC 的长。

2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AC=8，AB:BC=5:3，求AB,BC 的长。

3、已知：如图，在Rt △ABC 中，AC=4，∠A=30°，求AB,BC 的长。

4、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AB=2，求AC,BC 的长。

B C ABC ABC A BC A勾股定理应用专题之一：方程思想例1：某同学为了测量学校旗杆的高度，她采用了下面的方法：她发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当她把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗？练习：1、池中长着一根芦苇，芦苇露出水面1米，一阵风芦苇的顶端恰好到达水面，这时它偏离原来位置有5米，问水有多深？芦苇多长？2、有一根高为16米的电线杆在点A处断裂，电线杆的顶部C落到离电线杆底部B点8米远的地方，求电线杆的断裂处A离地面的距离。

3、在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？1、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB=26，AC:BC=12:5，求AC,BC 的长。

2、有一根高为25米的电线杆在距离地面12米处断裂，电线杆的顶部落到地面上，求电线杆的的顶端离电线杆底部的距离。

B CA1、在数轴上画出表示5，222、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点为格点，在图中画出下列线段：10522，，3、如图，数轴上A 点表示的数是_________________.4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（）（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16 （Ｄ）55。

勾股定理与数学思想方法

勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

因此，勾股定理体现了数形结合的思想。

将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。

图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。

已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。

请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。

图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。

∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。

所以这种铁球的直径为20cm 。

2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。

在这里充分体现了分类讨论的思想。

2020-2021学年人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用

人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用一．专题解读：在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．二．典型习题.1. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( )A.125B.245C.135D.752．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52C.83 D ．53. 如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD ＝52，则△ABC 的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．1254.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB ＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 km C．200 km D．180 km5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝3，则BD＝( )A. 5B.19 C．3 2 D.8336.如图，在△ABC中，AB＝41，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为．7. 如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝．8.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为．9.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为．11.求下列直角三角形中未知的边长．12. 一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)13. 如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．14. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.人教版八年级下册数学微专题：方程思想在勾股定理中的应用一．专题解读：在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．二．典型习题.1. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( D )A.125B.245C.135D.752．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( C )A.53B.52C.83 D ．53. 如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知AC ＝CD ＝5，AD ＝6，BD ＝52，则△ABC 的面积是( A )A．18 B．36 C．72 D．1254.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB ＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( C )A．250 km B．240 km C．200 km D．180 km5. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝3，则BD＝( B )A. 5B.19 C．3 2 D.8336.如图，在△ABC中，AB＝41，BC＝8，AC＝5，则△ABC的面积为16．7. 如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB＝6．8.如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为25．9.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，4)和(3，0)，点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，点C的坐标为(0，118 )．11.求下列直角三角形中未知的边长．解：如图1，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2x.∵AB2＝AC2＋BC2，∴(2x)2＝x2＋32.∴x＝3或－3(负值舍去)．∴AC＝3，AB＝2 3.如图2，设AC＝x，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴BC＝AC＝x.∵AB2＝AC2＋BC2，∴x2＋x2＝(32)2.∴x＝3或－3(负值舍去)．∴AC＝BC＝3.12. 一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)解：设AB＝x尺，根据题意，得∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺，∴BC＝(10－x)尺．∵AC2＋AB2＝BC2，∴32＋x2＝(10－x)2，解得x＝411 20 .答：折断处离地面41120尺．13. 如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.14. 如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝AB2＋BC2＝32＋22＝13.∵在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，∴CE＝CD2＋DE2＝62＋42＝52＝213.(2)证明：∵AC＝13，CE＝52，AE＝65，∴AE2＝AC2＋CE2.∴∠ACE＝90°.。

数学“灵魂”,解题“钥匙”--例谈勾股定理的应用

（作者单位：河南省郑州市第七十六中学）
分析：三角形花圃可能是锐角三角形或钝角三
Ｃ
Ｃ
合。通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体。例５：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。如图，据气象观测，距沿海某城市Ａ的正南方向２２０千米Ｂ处有一台风中心，其中心最大风力为１２级，每远离台风中心２Ｏ千米，风力就会减弱一级，
该台风中心现正以１５千米／时的速度沿北偏东３０ｏ方向往ｃ移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响。
ＣＡ
分析：沿几何体表面最短距离的问题通常都是将几何体表面展开，求展开图中两点之间的最短距离，但一定要注意展开图中点的相应位置。
例４：（２００５宿迁）一个边意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略。运长分别为４、８的长方形纸片ＢＣＤ折叠，使Ｃ点与点重Ａ用整体思想解题，能使不少复杂的问题简单化，抽象Ａ的问题具体化。合，则折痕Ｅ肭长是（）例１：已知直角三角形的周长８，斜边上的中线长Ａ．、／了Ｂ．２、／了Ｂ为１，求直角三角形的面积。
３．分类思想
分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结，作出结论的思想方法。其实质是化整为零，各个击破的转化策略。

例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透

少，点Ｄ应如何选址？
１ｋｍ在公路上的费用为５忌，考虑选址在Ｄ时，总物流费用为Ｙ一３ｋＢＤ１＋５ｋＤ１Ｃ一（３ＢＤ１＋５Ｄ１Ｃ）忌，而
解：如图１所示，建立平面直角坐标系，设动点Ｐ（ｘ，），且点Ｐ到两定点Ａ、Ｃ的距离比值为３：５，所
长．
Ｃ
要爆破，已知点Ｃ与公路上的停靠站Ａ的距离为３００米，与公路上的另一停靠站Ｂ的距离为４００米，且ＣＡ上ＣＢ，如图２所示．为了安全起
图２
解：设ＣＥ：ｃｍ，。． ‘ ＡＣ一４ｃｍ，
图１
经整理化简得动点Ｐ（ｚ，）的轨迹方程：２ｘ２＋２ｙ。＋４５一４５０ —０，令一０，得ｚ４－５（舍正值），即得点Ｄ（一１５，０），则ＤＡ一１ｌ５，ＤＣ＝２５．所以点Ｄ位于线段ＡＢ上距离Ａ点１５ｋｍ处．
１９
Ｅ．啪ｉｌ：ｚｘｃｋｌｋ＠１６３・ｃ。Ｉ｛ｌ
数学・教学经纬
分析：如图３，本题关键是要求对此要分三种情况：、
点ｃ到直线ＡＢ的距离ＣＤ，等积思想就是求ＣＤ的思维方法．解：如图３，作ＣＤＪ＿ＡＢ，垂足为点Ｄ，在Ｒｔ △ＡＢＣ中，ＡＣ＝３００，ＢＣ
（ＥｌＤ１＋ＤＣ）５足 ≥（ＣＤ＋ＤＥ）５ｋ一５ｋＣＥ，当且仅当点

勾股定理及方程思想的综合应用

典型问题分析与解决策略
典型问题一
已知直角三角形两条直角边，求斜边。
解决策略
直接应用勾股定理，建立方程并求解。
典型问题二
已知直角三角形一条直角边和斜边，求另一条直角边。
解决策略
验证三边是否满足勾股定理条件。
典型问题三
判断一个三角形是否为直角三角形。
解决策略
通过勾股定理建立方程，并化简求解。
XX
PART 02
方程思想在勾股定理中应用
REPORTING
方程建模与求解过程
勾股定理描述
求解过程
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$。
通过代入已知数值，解三角形两条边时，可建立方程求解第三边。例如，已知直角边 $a$和$b$，求斜边$c$，则方程为 $a^2 + b^2 = c^2$。
• 方程思想在复杂问题中的应用：对于更复杂的数学问题，如多元函数、微分方程等，方程思想仍然具有重要的应用价值。通过建立适当的方程或方程组，可以将复杂问题转化为相对简单的求解问题。
• 勾股定理与方程思想的跨学科应用：除了在数学领域中的应用外，勾股定理和方程思想还可以在其他学科中找到广泛的应用。例如，在物理学中，勾股定理可以用于计算物体的位移、速度等；在化学中，方程思想可以用于解决化学反应中的平衡问题；在经济学中，方程思想可以用于分析市场供需关系等。因此，掌握勾股定理和方程思想对于提高跨学科解决问题的能力具有重要意义。
结合勾股定理和方程思想，可以建立化学反应中物质质量、物质的量和反应速率等物理量之间的关系式，进而进行化学计算。
经济问题中价格、数量和总收入关系分析
价格与数量关系

利用勾股定理构建方程解题

利用勾股定理构建方程解题我们都知道，在直角三角形的计算中，已知两条边，要求第三边时，用勾股定理直接代入计算即可．但如果只知道其中的一条边要求另两条边呢？此时，未知的两条边之间一定存在某种数量关系，我们只要抓住这个数量关系，设出一个未知数，便可以表示出两条未知的边；这时候再利用勾股定理列方程即能解决问题．这里通过下面的例子来说明勾股定理联手方程，在很多情况下是非常给力的．一、解决实际问题例1 如图1，两只猴子都从竖直的木杆上距地面5米的D 处出发，一只向下爬到B 处再走向池塘C ，另一只向上爬到杆顶A 处直接跳向池塘C ，已知它们所经过的路程相同，且BC ＝15m ，求木杆AB 的高度．分析本题既然是求直角三角形的边长，就可以考虑用勾股定理，但因为AC 和AB 两边未知，所以用勾股定理直接计算行不通．好在“它们所经过的路程相同”，就可以设AD ＝x ，再用含x 的代数式表示出AC ，最后利用勾股定理就可列出方程．解设AD ＝x ，则AC ＝20－x ，由勾股定理，得()()22220515x x -=++ 解得x ＝2．所以木杆高度AB 为7米，例2 一口井直径为1米，一根竹竿垂直伸入井底，竹竿高出井口13米，如图2所示若把竹竿斜伸入井底，竹竿刚好与井口持平，那么井深多少米？竹竿长为多少米？分析本题要抓住“竹竽无论是垂直插入还是斜插长度不变”这一关系，就能设出井深x 米，竹竿长为(x ＋13)米．解设井深x 米，则竹竿长为(x ＋13)米．列出方程，有 22113x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 解得x ＝43答：井深43米，竹竿长为53米．二、解决折叠问题例3 如图3，折叠长方形的一边AD ，使D 点落在边BC 上的点F 处，折痕为AE ，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求CE 的长．评注本题有两个难点，一是折叠三角形之间对应边的转化；二是在Rt △CEF 中用勾股定理时必须用方程思想．例4 如图4，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，将边AD 沿折痕AE 翻折，使D 点落在对角线AC 上的点F 处，求CE 的长．解∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，DC＝6，AD＝8．根据题意，AF＝8，CF＝2．在△CEF中，设CE＝x，则EF＝DE＝6－x．故(6－x)2＋22＝x2．解之得x＝103．评注本题有两个关键，一是将BC转化为AD再转化为AF，从而求得CF；二是找到“边EF与CE的和为6”这个关系，三、解决圆的计算问题例5 如图5，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，且CD＝4，DB＝8，求⊙O的半径．分析本题要求半径，但在Rt△CDO中，CD、CO、DO三边里只知道CD的长．若设CO＝R，则BO也等于R，那DO就可以用含R的代数式表示，列方程也就不难了．解连结CO，设CO＝R，则DO＝8－R．在Rt△CDO中，(8－R)2＋42＝R2，解之得R＝5．勾股定理是数学中的一个重要定理，方程思想是数学中的一种重要思想，当它们联手后，我们能感受到双剑合璧，出手不凡的效果，所以我们在平时的教学和技巧过程中，要注重掌握这方面的思想和技巧．。

例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透

例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透作者：曾祥华来源：《中学教学参考·理科版》2014年第01期数学思想方法是人们对数学知识内容本质的认识，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的向导.勾股定理是数学中的一个重要定理，因此在教学过程中要注意渗透以下五种思想，从而提高学生的解题能力.一、方程思想方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.在勾股定理教学中，教师要注重培养学生方程思想，让学生学会设直角三角形的一边为x，再用x的代数式表示其他边，然后根据“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解决问题.【例1】如图1，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的长.解：设CE=xcm，∵AC=4cm，∴AE=AC-CE=（4-x）cm，通过以上设计的例题教学，一方面增强了学生探究的兴趣，另一方面也训练了学生如何将实际问题转化为数学问题，即建模的能力.如此设计例题教学符合建构主义学习观，符合高中阶段学生的思维特征，能促进学生创造性思维能力的培养，让例题教学的质量更高.四、化归思想化归思想是指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法.教育家波利亚曾经说过：“解数学题转化是关键，就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种转化方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.”因此，教师在教学过程中要注意渗透转化思想，从而提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.【例4】如图4，一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（）.连接EF，在Rt△EBF中，根据勾股定理得BE2+BF2=EF2.∵∠DCE=45°，∴∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，∴△CDE≌△CFE，∴DE=EF，∴DE2=AD2+BE2.勾股定理这章蕴含了多种数学思想，而数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是数学教学的灵魂.因此，教师在勾股定理教学中要注意数学思想的渗透，让学生掌握这些基本的数学思想方法，从而提高他们的解题能力.。

例谈方程思想与勾股定理的有效结合

摘要：我们都知道，在直角三角形的计算中，如果已知两条边，要求第三边时，用勾股定理直接代入计算即可见效，但如果只知其
中的一条边去求另两条边呢？笔者发现，此时那未知的两条边之间一定存在某种数量关系，我们只要抓住这个数量关系，只需设出一
明确知道ＣＤ的长，若设ＣＯ＝Ｒ，则ＢＯ也等于Ｒ，那ＤＯ就可以用含Ｒ的代数式表示，列方程也就不难了。解：连接ＣＯ，设ＣＯ＝Ｒ，则ＤＯ＝８一Ｒ
在ＲｔＡＣＤＯ中，（８一Ｒ）＋４＝Ｒ
解得：Ｒ＝５
图３
在 △ＣＥＦ中，设ＣＥ＝，贝０ＥＦ＝ＤＥ＝６一
（６一）＋２＝
数
学教
古
这一关系，就能设出井深米，竹竿长为（＋ ÷ ）米。
解得：：１０
说明：本题有两个关键：一是将ＢＣ转化为ＡＤ再转化为ＡＦ，从而求得，二是找到“ 边三、在圆的计算中与ＣＥ的和为６ ” 这个关系。
的技能、思想。
又‘ ． ‘ ＡＢ＝８ｃｍ
ＢＦ：：６
．
．
ＣＦ … １０６４ｅｍ
Ｌ３，２
就可以设ＡＤ＝，再用含的代数式表示出ＡＣ，最后利用勾股定
解：设ＡＤ＝，贝０ＡＣ＝２０一，由勾股定理，得：（２０一）＝（＋５）十ｌ５

勾股定理与方程思想

2.思想方法：
（1）方程思想（2）数形结合思想
（3）转化思想（4）建模思想
注意：
在总结本节课学习了哪些知识时，教师可以引导学生总结，比如说，“如果题目中出现了... ...，那么我们就考虑......”.
的结论.
（三）总结
1.本节课学习了哪些知识？ 2.本节课涉及了哪些思想方法？
1.本节课学习了哪些知识？
（1）解决与勾股定理有关的实际问题时，先要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再设未知数，找出各边的数量关
系，最后根据勾股定理求解；（2）如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常数），在这个三角形中利用勾股定理求解. “斜化直”
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求△ABC的面积. C
A
B
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16， AC=14，BC=6，求△ABC的面积.
C
小结：
A D B
1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直
角三角形;
2. “斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.
AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD
的长.
C
D
6
B
A
E6
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在
同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，
AB=4，求DE的长.
C'
A
E
D
B
C
【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解？

专题1 方程思想在勾股定理中的应用(老师版)

专题1.1方程思想在勾股定理中的应用【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，求AE的长．解题思路：设AE＝AC＝x，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，可列方程为．【答案】x2+82＝（x+4）2．【解答】解：设AE＝AC＝x，∵∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，故答案为：x2+82＝（x+4）2．【变式1】（2021秋•亭湖区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是．【答案】【解答】解：连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AE＝，故答案为：．【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，BD为角平分线，求BD的长．【答案】BD=3【解答】解：过D作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，在△EBD和△CBD中，，∴△EBD≌△CBD（AAS），∴BE＝BC＝6，∴AE＝10﹣6＝4．设DC＝ED＝x．∵AC＝8，∴AD＝8﹣x，在Rt△AED中，根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD＝3，∴BD＝＝＝3．【例2】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．【答案】AD=12【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵△ADB与△ACD均为直角三角形，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得x＝9，∴BD＝9，∴AD＝＝＝12．【变式1】（2021秋•象山县期中）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．（1）求BD的长．（2）求△ABC的面积．【答案】（1）BD的长是（2）84【解答】解：（1）设BD＝x，则CD＝15﹣x．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，由勾股定理得到：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2．解得x＝．即BD的长是；（2）由（1）知，BD＝．Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，即AD2＝142﹣（）2＝（）2，∴AD＝，∴S＝BC•AD＝×15×＝84．△ABC【变式2】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．【答案】8【解答】解：延长CB，作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，设AD＝x，BD＝y，在直角△ADB中，AB2＝x2+y2，在直角△ADC中，AC2＝x2+（y+BC）2，解方程得y＝6，x＝8，即AD＝8，∵AD即BC边上的高，∴BC边上的高为8．答：BC边上的高为8．【例3】（2021春•黄冈月考）如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求（1）AE的长．（2）折痕EF的长．【答案】（1）AE＝5（2）EF=2．【解答】解：（1）∵将长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，∴AE＝CE，∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AE＝8﹣AE，∵∠B＝90°，∴AB2+BE2＝AE2，即42+（8﹣AE）2＝AE2，∴AE＝5；（2）解：过点F作FG⊥BC于G∵EF是直角梯形AECD的折痕∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF．又∵AD∥BC∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF．在Rt△ABE中，设BE＝x，AB＝4，AE＝CE＝8﹣x．x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．在Rt△FEG中，EG＝BG﹣BE＝AF﹣BE＝AE﹣BE＝5﹣3＝2，FG＝4，∴EF＝＝2．【变式1】（2019春•河池期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝．【答案】3【解答】解：设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，∵△ABC为直角三角形，AB＝6，BC＝8，∴根据勾股定理得：AC＝＝10，设BD＝x，由折叠可知：DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，可得：CE＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，则BD＝3．故答案为：3．【变式2】（2019春•鄂城区期末）如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，则EF与AF的比值为（）A．4B．C．2D．【答案】B【解答】解：连接AC交EF于点O，连接FC，由折叠得：AF＝FC，EF垂直平分AC，设AF＝x，则DF＝16﹣x在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2+CD2＝FC2，即：（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∴OA＝CO＝，在Rt△FOC中，OF＝，EF＝2OF＝，∴，故选：B．【例4】（2021秋•宣化区期末）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【答案】12m【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴x2+52＝（x+1）2解得x＝12∴AB＝12∴旗杆的高12m．【变式1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【答案】芦苇长13尺，水深12尺【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺，水深12尺．【变式2】（2016秋•东台市期中）如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？【答案】树高为7.5米．【解答】解：设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，在直角△ACD中，AD为斜边，则CD2+AC2＝AD2，即（5+x）2+102＝（15﹣x）2解得x＝2.5，故树高CD＝BC+BD＝5米+2.5米＝7.5米，答：树高为7.5米．1.（2019秋•襄汾县校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝5，即点D到AB的距离为5，故选：C．2．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺【答案】C【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+82＝（x+2）2，解得：x＝15，所以x+2＝17．即：这个芦苇的高度是17尺．故选：C．3．（2020秋•槐荫区期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．104寸B．101寸C．52寸D．50.5寸【答案】B【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：B．4．（2021秋•晋中期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B 重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2【答案】A【解答】解：设AE＝x，由折叠可知：ED＝BE＝9﹣x，∵在Rt△ABE中，32+x2＝（9﹣x）2∴x＝4，∴S＝AE•AB＝×3×4＝6（cm2）△ABE故选：A．5．（2020秋•越城区期中）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC 于D，过点D作DE垂直AB于点E，（1）求BC的长；（2）求AE的长；（3）求BD的长【答案】（1）BC=6（2）AE=4（3）BD=3【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6；（2）∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4；（3）设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，所以，CD＝DE＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝3．6．（2019秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．【答案】（1）PB＝PC（2）AB＝10【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BH，CM为△ABC的高，∴∠BMC＝∠CHB＝90°．∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．∴∠BCM＝∠CBH．∴PB＝PC．（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，∴PC＝5．∵PH＝3，∠CHB＝90°，∴CH＝4．设AB＝x，则AH＝x﹣4．在Rt△ABH中，∵AH2+BH2＝AB2，∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2．∴x＝10．即AB＝10．7．（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．【答案】CB为3米【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．8．（2021秋•法库县期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．【答案】（1）△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°（2）AC的长为千米【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解这个方程，得x＝，答：原来的路线AC的长为千米．9．（2021秋•济阳区期末）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．【答案】8米【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，根据勾股定理可得：x2+62＝（x+2）2，解得，x＝8．答：旗杆的高度为8米．10.（2021秋•江阴市期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD ＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．【答案】14.5尺【解答】解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度为14.5尺．。

专题2.勾股定理与方程思想

专题（2）勾股定理--与方程思想一．【知识要点】1.在直角三角形中，边长具有数量关系，可以设未知数表示边长，再利用勾股定理列方程。

2.在两个直角三角形中以公共边建立方程二．【经典例题】类型1 根据直角三角形边长的数量关系利用勾股定理列方程1.填空：（1）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

（2）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝．第2题图第3题图3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是．2求4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝10 AB的长．5.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．练习：1.在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，102.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平线刚好相齐，则河水的深度为( ).A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是．第3题图第4题图4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝3，AB＝5，则CE的长为．5.如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面的距离BD=0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1=2.4米，距地面的距离CB1=1.4米，求秋千AB的长．6.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，正好梯脚与梯顶移动距离相等，求下滑距离.类型2 利用“双勾股”列方程1.如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD的长.2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=3,BD=4,求AD 的长.3．如图，在长方形ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB ＝12，DF ＝2FC ，则BC 的长是 .练习：1.如图在△ABC 中，BC=4，AC=13，AB=15，求S △ABC .2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ．（1）若AC ＝3，BC ＝4，求AD 的长；（2）若AD ＝2，DB ＝8，求AC ，BC 的长；3.如图所示，已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（）A ．9B ．25C ．36D ．454.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AE ＝AC ，求CE 的长。