历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题

一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数

()

f x 满足

2(3)(23)61

f x f x x +-=+,则

()f x = .

2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b

-= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ．

4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ⋅+⋅+⋅++⋅= .

６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ⊂，则k 的最小值为 . ７

.

设

函

数

()x

f x x

=

,则

2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ．

8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为

25

2

,则a = ．

9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121

()1

x f x x -=

+,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若

355()()f x f x =，则28()f x = .

二、计算与证明题(每小题10分，共50分)

１1.工件内圆弧半径测量问题.

为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒

123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺

水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当

10,4r mm h mm ==时，R 的值．

1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标.

参考答案:

1. 21x - ２． 12- 3． 2 4． 94

5. ()1!1n +-

6. 2

7. ()()()1

10211210

4n

n n x n x ⎧+>⎪⎪⎨+--⎪<⎪⎩ ８.

± 9. 43

45 10. 23

53x x

-- 11．22

R r r h

=+,60R mm =

12.

⎡⎣;偶函数;1

1,224k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦

()k Z ∈;1

1,

242

k k πππ+⎡⎤

+⎢⎥

⎣

⎦

()k Z ∈；周期为

2π

13. min 54d =

;5,4

M ⎛± ⎝⎭ 1４．略；反证法 1５. 2；3；232322n n --⨯+

20０8年交大冬令营数学试题参考答案200８.1.１

一.填空题

1.若21()21x x f x -=+，1()()g x f x -=,则3

()_______5

g =．2

2.函数2

18x y x +=

+的最大值为＿_＿___＿_＿＿.1

4

3.等差数列中,81353a a =，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为_＿__＿＿____.2０

4．复数||1z =,若存在负数a 使得2220z az a a -+-=,则

________a =

．

12

5．若1cos sin 2x x -=，则33cos sin ________x x -=．

1116

6.数列{}

n a 的通项公式为n a =，则这个数列的前99项

之和99_______S =．

910

7．2(1)(1)x x ++++……9899(1)(1)x x ++++中3x 的系数为________.4

100

C =3921225

8．数列{}n a 中,00a =,112a =-,26a =,334a =-，420a =,556

a =-,642a =,

77

8

a =-，872a =,此数列的通项公式为_______n a =.(1)

(1)

(1)

n

n

n n --+

9．甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%;甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%.若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为

__________．2

3

1０．若曲线221:0C x y -= 与 222:()1C x a y -+=错误!未定义书签。的图像有3个交点，则a = .1± 二.解答题

1．30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a ;把每行最高的人选出,这些人中最矮的设为b ． （1）a 是否有可能比b 高? (2)a 和b 是否可能相等？ 1．

解:()1不可能

① 若a 、b 为同一人，有a b =; ② 若a 、b 在同一行、列,则均有a b ≤;

③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例,记a 所