人教B版必修5第二章数列知识小结
人教B版高中数学 必修五 第二章 归纳与总结 课件 (共39张PPT)
1 又∵a1＝3， 1 ∴an＝ (n≥2)． 2n＋12n－1 1 a1＝3满足上式， 1 ∴an＝ (n∈N*)． 2n＋12n－1
6．辅助数列法 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈ N*)．求数列{an}的通项公式．
[解析]
∵an＋1＝3an＋2(n∈N*)，
2．需要注意的问题 (1)注意数列与函数的联系，通过相应的函数及其图象的 特征直观地去认识数列的性质． (2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它 们对比起来学习，以进一步认识它们之间的区别与联系．
专题一
数列的通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函 数的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类 型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的 前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据 数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：
4n＝1 ∴an＝ n－1 n≥2 2
.
4．累加法 已知{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n(n∈N*)， 求通项 an.
[解析] ∵an＋1－an＝3n(n∈N*)，
∴a2－a1＝3， a3－a2＝32， a4－a3＝33， …… an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∵a1，a3，a9成等比数列，∴a2 3＝a1a9， 即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d. ∵d≠0，∴a1＝d.①
2 ∵S5＝a5 ，
5×4 ∴5a1＋ d＝(a1＋4d)2.② 2 3 3 由①②得a1＝5，d＝5. 3 3 3 ∴an＝ ＋(n－1) ＝ n. 5 5 5
3．前n项和法 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，求 通项 an； (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2，求通项 an.
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_7
教学过程：
引课：考纲要求：1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式
3.了解等差数列与一次，二次函数的关系4.能在具体问题中识别等差数列，并应用
命题角度：1.等差数列的判定与证明2.等差数列的基本量计算3.等差数列性质的应用4.等差数列前n项和的最值问题
学生根据屏幕显示，分析自己的薄弱点，在本节课争取有所提升。
例4：已知数列{an}中，a1＝1且
(n∈N*)，则a10＝________。
作用：加强学生对定义的理解
小结：等差数列的证明，定义和等差中项法
等差数列的判定，通项公式和求和公式
作用：方便学生整理本节课内容
A．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB．
C. D.
2.数列 的前n项和为
则数列 的通项公式为___________________
例1定义的应用是我校学生的薄弱点，不会使用定义证明及判断，借此题进行巩固
例2根据前n项和的形式，判断等差数列
作用：对应考纲及命题角度1，定义的应用
例3：已知数列{an}满足a1＝1，an＝ (n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝ (n∈N*)。求证：数列{bn}为等差数列。
若三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A=
3.等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为____，公差为d,那么它的通项公式是_________________
4.等差数列的前n项和公式
其前n项和为_____
学生复习基本定义及公式
作用：夯实基础，为下面的计算作准备
例题：1.已知等差数列 ，则下面数列 一定是等差数列的是
作用：利用考纲和命题角度的对比，可以有效的进行复习，既有针对性又有时效性。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_22
数列复习《等差、等比数列的判断与证明》考情分析：学习目标：1．理解等差、等比数列的概念，并掌握等差、等比数列的判断与证明．2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差或等比的有关知识解决相应的问题．3．学会观察、掌握分析问题的能力，及化归的数学思想．重点：等差、等比数列的判断与证明.难点：等差、等比数列的证明及综合应用．方法：启发，讲评，练习相结合．学习过程：一、课前案二、课堂案2.检查：(1)在数列中，已知，其中，则______ ．(2)已知数列满足，，那么( )A. 32B.C. 16D.3.举例：(典例分析)例1数列满足，，．Ⅰ设，证明是等差数列；解题关键：例2 (2017课标全国Ⅰ,17)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3= -6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n，并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.解题关键：注意事项：4.变式：变式1. (2018课标全国Ⅰ,17)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n. 设b n=.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{b n}是不是等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.变式2.若正数a，b，c成公差不为零的等差数列，则第2页，共4页A. ， ， 成等差数列B. ， ， 成等比数列C. ， ， 成等差数列D. ， ， 成等比数列提问：若把题目改为“若正数a ，b ，c 成等比数列，则 ”，答案为5.总结：判断或证明一个数列是等差或等比数列的基本方法： （1）定义法：（2）中项公式法： 应注意的问题：证明数列{a n }为等差（等比）数列时,不能仅仅因为前三项满足中项公式，就判断该数列{a n }为等差（等比）数列，局部不能说明整体。
6.练习：已知数列{}n a ，其前n 项和为2n 37S n n(n N )22*=+∈. Ⅰ 求数列 的通项公式，并证明数列 是等差数列Ⅱ 如果数列 满足n 2n log b a =，试证明数列{b n }是等比数列，并求其前n 项和 ．三、巩固案 7.迁移：(1)已知数列 满足 ， ，则 _____．(2)已知正项数列{}n a 满足2211n 6n n n+a a a a +=-，若12a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =(3)已知 的前n 项和为 ，且满足，则数列 的通项公式是______ ．(4)（2016课标全国Ⅱ，17）已知数列的前n项和，其中．Ⅰ证明是等比数列，并求其通项公式；Ⅱ若，求．第4页，共4页。
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求数列通项公式n a 探究学案教学目标1.知识与技能：掌握并能熟练应用()()⎩⎨⎧∈≥-==+-N n n S S n S a n n n ,2111求数列通项公式。
2.过程与方法：通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的前提、 形式，使学生形成解决数列通项公式的通法3.情感态度与价值观：感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别一、温故知新1.数列 与 关系:2.等比数列：3.等差数列：二、例题讲解题型一、已知给出S n 与n 的关系,求例1、在数列{}n a 中，它的前n 项和为n S ，且12+-=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式。
题型二、给出n a 与n S 的关系，求n a例2、（1）若数列{}n a 的前n 项和n S =3n a -1，（+∈N n ），求该数列的通项n a ；随堂练习、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，,2，111+==n n a S a 求该数列的通项n a ；思考1．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，)且2(021+-∈≥=+N n n S S a n n n ，211=a ，求n a 。
思考2. 已知数列 ,)2(54,8,11-121≥=+==+n S S S a a n n n 求数列的通项公式n a 。
三．小结一类：二类：四、巩固与练习1.设数列的前n 项和，则的值为( )A.15B.16C.49D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n 32⋅3.{}n a 的前n 项和为n S ，)1(12≥+=n n S n ，则=n a4．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a 5.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是6.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S 7．数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2(1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T .8．在数列{}n a 中，11=a ，它的前项和为n S ，且)2,(21≥∈=*-n N n S a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
必修五第二章数列归纳总结
必修五第二章数列归纳总结一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．3. an 与Sn 的关系设Sn ＝a1＋a2＋a3＋…＋an,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这样的数列叫做等差数列．2. 等差中项如果三数a 、A.b 成等差数列, 则A 叫做a 和b 的等差中项, ∴A ＝ .3. (1)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .推导方法: 累加法an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2)前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 推导方法: 倒序相加法.4. 用函数观点认识等差数列(1)an ＝nd ＋(a1－d)是n 的一次函数.(2)Sn ＝ n2＋(a1－ )n, 是关于n 的常数项为零的二次函数．5. 等差数列的判定方法(1)定义法: an ＋1－an ＝d(常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)中项公式法: 2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法: an ＝kn ＋b(k, b 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列.(5){a n }是等差数列⇔{S n n}是等差数列 6. 等差数列的性质(1)下标和与项的和的关系在等差数列中, 若p ＋q ＝m ＋n, 则有ap ＋aq ＝am ＋an ；若2m ＝p ＋q, 则有2am ＝ap ＋aq, (p, q, m, n ∈N*).(2)任意两项的关系在等差数列{an}中, m 、n ∈N*, 则am －an ＝(m －n)d 或am ＝an ＋(m －n)d 或 ＝d.(3)在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an, an ＋m, an ＋2m, …为等差数列, 公差为md.等差数列的依次n项的和也构成一个等差数列, 即Sn, S2n－Sn, S3n－S2n, ……为等差数列, 公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列, 下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列.(4)设等差数列{an}的公差为d, 那么d>0⇔{an}是递增数列；d<0⇔{an}是递减数列；d＝0⇔{an}是常数数列.(5)①数列{λan＋b}仍为等差数列, 公差为λd.若{bn}, {an}都是等差数列, 则{an±bn}仍为等差数列, {λ1an＋λ2bn}(λ1, λ2为常数)也是等差数列.②项数为n的等差数列中, n为奇数时, 设m＝ , 则S奇－S偶＝am, ＝ , Sn＝na 中＝nam.n为偶数时, S偶－S奇＝ d.③若{an}与{bn}为等差数列, 且前n项和分别为Sn与S′n, 则＝ .④等差数列{an}中, 若an＝m, am＝n(m≠n), 则am＋n＝0.⑤若数列{an}的前p项和为Sp＝q, 前q项和为Sq＝p(p≠q), 则Sp＋q＝－(p＋q).⑥若数列{an}的前n项和为Sn, Sp＝Sq(p≠q), 则Sp＋q＝0.三、等比数列1. 等比数列的定义一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列．2. 等比中项如果三个数a、G、b成等比数列, 那么G叫做a和b的等比中项, 即G2＝ab.3. 等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(n∈N*).推导方法: 累乘法: ·……·＝qn－1.4. 等比数列的前n项和当q＝1时, Sn＝na1,当q≠1时. Sn＝＝.推导方法: 乘公比、错位相减法.5. 等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数, n∈N*, an≠0)⇔{an}是等比数列.(2)an＝cqn－1(c, q均是不为0的常数, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)an＋12＝an·an＋2(an≠0, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)Sn＝A·qn－A(A.q为常数且A≠0, q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．6. 等比数列的主要性质(1)下标和与项的积的关系在等比数列{an}中, 若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q, 则am·an＝ap·aq.特别地, 若2m＝p＋q, 则ap·aq＝am2；a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)任意两项的关系若{an}为等比数列, 则＝qm－n或am＝an·qm－n(m、n∈N*).(3)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.例如: {an}是等比数列, 则①a1, a3, a5, …, a2n－1；②a1＋a2, a2＋a3, a3＋a4, …；③a1a2, a2a3, a3a4, …；④a1＋a2, a3＋a4, a5＋a6……均成等比数列．(4)等比数列{a n}的单调性当, 或时, {an}为递增数列；当或时, {an}为递减数列.(5)①{an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0).②{an}、{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{ }仍是等比数列.③若{an}是等比数列, 则{an2}、{ }(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列.④非零常数列既是等差数列, 也是等比数列.⑤若{an}是等差数列, 则{ban}是等比数列.若{an}是正项等比数列, 则{lgan}是等差数列．误区警示1. 数列与数集应予区别, 数列中的数排列有序, 数集中的元素无序；数列中的数可重复出现, 数集中的元素互异.2. 并不是每一个数列都有通项公式, 给出前n项时, 写出的通项公式可以不止一个.3．已知{an}的前n项和Sn求an时,用an＝求解应注意分类讨论.an＝Sn－Sn－1是在n≥2条件下求出的, 应检验a1是否适合. 如果适合, 则合写在一块, 如果不适合, 则分段表示. 千万注意用an＝Sn－Sn－1判断数列{an}是否为等差(或等比)数列时, 不要忘记验证a1是否满足.如: Sn＝n2＋n时, {an}是等差数列.Sn＝n2＋n＋1时, {an}不是等差数列.Sn＝2n－1时, {an}是等比数列.Sn＝2n＋1时, {an}不是等比数列.4. 在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时, 不要忽视n是整数的条件及含0项的情形.如: 在等差数列{an}中, 已知a1＝20, 前n项和为Sn, 且如S10＝S15, 求当n取何值时, Sn有最大值, 并求出它的最大值．取最大值的应为S12和S13.5. G是a、b的等比中项 G＝.6. 在应用等比数列的前n项和公式时, 一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论.7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零, 项与公比的符号有着密切的联系, 解题时应特别注意．。
(推荐)人教版高一数学必修5-第二章数列总结
人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2. (2)等差数列 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d .A ＝a ＋b 2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m . S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q＝a 11－q n 1－q q ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…； 2．定义法等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式．3．前n 项和法(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n. 4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n. 5．累乘法已知数列{a n }，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．7．倒数法已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N *)．求通项a n . 专题二 数列的前n 项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )． 2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1n ＋k)； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (3)1n ＋1＋n ＝n ＋1－n 等．3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n .附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义公式1．2．1．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则），则3．，，成等差数列4. 3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_23
数列复习课
一、教学目的
1.系统掌握等差数列，等比数列的有关概念，公式以及相关性质
2.了解并掌握数列的通项公式与前n项和之间的关系
3.数列前n项和的求解
二、知识要点
1.等差数列的定义，通项公式，等差数列的等差中项及性质，等差
数列的前n项和公式及性质
2.等比数列的定义，通项公式，等比数列的等比中项及性质，等比
数列的前n项和公式及性质
三、方法总结
1、数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想，数形结合的思想
2、等差等比数列中，知三求二体现了方程组的思想，整体思想，有时用到换元
3、求等比数列前n项和时体现了分类讨论的思想
四、复习具体知识（采用提问的方式，由学生自己回顾总结）
1、等差数列
定义：
通项公式：
前n项和公式：
等差中项：
等差数列的性质：前n项和性质：2、等比数列
定义：
通项公式：
前n项和公式：等比中项：
等比数列的性质：前n项和性质：3、已知，求
4、数列求和方法公式法
倒序相加法
错位相减法
拆项法
裂项相消法
5、例题讲解。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_20
数列求通项公式
授课班级：高二（1）班授课教师：
三维目标
一、知识与技能
1．复习求通项公式的方法；
2．能灵活地运用相关的知识解题。
二、过程与方法
复习课，通过一些典型的例题，组织学生讨论探索，借助现代技术，采用思考、归纳等方法，加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．三、情感态度与价值观
培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
教学重点：求通项公式的方法的复习
教学难点：求通项公式的方法的综合运用
学情分析：学生经过前面的学习，已经掌握了数列题目中求通项公式的常见方法，但之前没有进行总结，通过这节课，帮助学生形成数列求通项公式完整的知识体系，使学生对数列相关知识的认知更上一个层次。
教学过程：。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_17
数列章末复习一、考纲要求1.了解等差数列与一次函数的关系．2.理解等差数列的概念．3.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.二、要点梳理1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差____ ，那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an }的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .3.等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：an =am+ ，（n，m∈N+）.（2）若{an }为等差数列，且p+q=m+n，（p，q，m，n∈N+），则 .（3）若{an}是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m，…（k，m∈N+）是公差为的等差数列.（4）若{an }，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是 .5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an }的公差为d，其前n项和Sn=或Sn= .6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn= .数列{an }是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的，即Sn= .7.在等差数列{an }中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最值；若a1＜0,d＞0,则Sn存在最值.8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质（1）若{an}是等差数列，则也成数列，其首项与{a n}首项相同，公差是{a n}公差的 .（2）Sm ，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成数列.（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质①若项数为2n，则S偶-S奇= ______②若项数为2n-1，则S偶=________， S奇=__________，S=_________, S奇-S偶= ____（4）两个等差数列{an }、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为:= .三、典例分析例1：等差数列的前项和为.已知，.（1）求通项；（2）若=242，求.变式训练1：《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．点评：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_48
数列的求和及其应用教学建议1.值得注意的是,教学中防止直接给出等差数列的前n项和公式,马上就进行训练的教法,这违背了新课标的教学理念,应当留出足够的时间,引导学生自己归纳和探索.2.本节的重点是等差数列的前n项和公式及其应用,难点是获得推导等差数列的前n项和公式的思路.3.(1)对等差数列前n项和公式的考查是本课时的热点.(2)本课时内容常与方程、函数、不等式结合命题.(3)多以选择题和解答题的形式考查.4.等差数列前n项和是高考考查的重点内容,近年来高考更加注重等差数列前n项和的函数特性和本质特征.学习中要特别关注单调数列、周期数列等与函数相关的知识,要学会用函数的眼光来看待数列问题.备选习题1.已知数列{a n}是公差为d的等差数列,S n是其前n项和,且有S9<S8=S7,则下列说法不正确的是( )A.S9<S10B.d<0C.S7与S8均为S n的最大值D.a8=0解析:由于S9<S8=S7,则S9-S8=a9<0,S8-S7=a8=0,所以d=a9-a8<0,所以S7与S8均为S n的最大值,S9-S10=-a10>0,则S9>S10,所以选项A不正确.答案:A2.在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2?这些数的和是多少?分析:这些数按大小排列后组成等差数列,转化为求等差数列的前n项和.解:将这些数按从小到大排列,设第n个数为a n,则{a n}是等差数列,a1=2,d=3,则a n=2+(n-1)×3=3n-1.令3n-1<100,解得n<.又n∈N*,∴n的最大值为33,即有33个数被3除余2,这些数的和是S33=33×2+×3=1650.。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_6
求数列通项公式n a 探究学案教学目标1.知识与技能：掌握并能熟练应用()()⎩⎨⎧∈≥-==+-N n n S S n S a n n n ,2111求数列通项公式。
2.过程与方法：通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的前提、 形式，使学生形成解决数列通项公式的通法3.情感态度与价值观：感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别一、温故知新1.数列 与 关系:2.等比数列：3.等差数列：二、例题讲解题型一、已知给出S n 与n 的关系,求例1、在数列{}n a 中，它的前n 项和为n S ，且12+-=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式。
题型二、给出n a 与n S 的关系，求n a例2、（1）若数列{}n a 的前n 项和n S =3n a -1，（+∈N n ），求该数列的通项n a ；随堂练习、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，,2，111+==n n a S a 求该数列的通项n a ；思考1．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，)且2(021+-∈≥=+N n n S S a n n n ，211=a ，求n a 。
思考2. 已知数列 ,)2(54,8,11-121≥=+==+n S S S a a n n n 求数列的通项公式n a 。
三．小结一类：二类：四、巩固与练习1.设数列的前n 项和，则的值为( )A.15B.16C.49D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n 32⋅3.{}n a 的前n 项和为n S ，)1(12≥+=n n S n ，则=n a4．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a 5.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是6.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S 7．数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2(1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T .8．在数列{}n a 中，11=a ，它的前项和为n S ，且)2,(21≥∈=*-n N n S a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_33
练习1：.已知数列 满足 ，求数列的通项公式.
问题2.已知数列 满足 ，求数列的通项公式.
变式2.已知数列 满足 ，求数列的通项公式.
小结：类型2
迭乘法:型如 ,只要 是可求的,就可由等式 以 代入,得到n-1个等式，再将其累乘而求出 .
思考题
1.在数列 中, .求数列 的通项公式.
2.已知数列 满足 ,求 .
三．课堂小结：求数列通项公式的方法
四.布置作业
在数列 中，已知a1=2,an+1=3an+2,求 的通项公式.
练习2:在数列 中,已知 , ,求数列的通项公式.
问题3.已知数列 满足 ，求数列的通项公式.
小结：类型3
构造法:根据已知条件构造一个新数列,使得新数列是等差或等比数列.
型如 (p,q为常数),可利用待定系数法构造新数列 ,易知 ,则数列 为等比数列,利用公式求其通项公式,再求 的通项公式.
练习3：已知数列 满足 ，求数列的通项公式.
课题
数列通项公式的求法
——几种简单递推数列的通项公式的求法
时间
教学目的
1.知识与技能：会根据递推公式的特征，运用累加，迭乘，构造新数列的方法求数列的通项公式.
2.过程与方法：通过引导学生分析、研究问题，制定解决问题的策略，选择解决问题的方法.
3.情感、态度与价值观：通过解决问题，培养学生主动探索，勇于发现的求知精神，养成细心观察，认真分析，善于总结的良好思维习惯.
课型
新授课
教学方法
问题链导学式
重
点
与
难
点
重点:数列通项公式的求法
难点：非特殊数列求通项公式的方法
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_10
一、复习等差数列性质（5分钟）
二、等差数列的前n 项和
等差数列的前n 项和（15分钟）
（等差数列的前n 项和的求法在前几节已经介绍，本节课重点强调形式特征．）
1、问题：
等差数列的前n 项和公式
（1）两个公式： 2
1212)(2)(n m n n n na a a n a a n S +-==+=+= d n n na S n 2)1(1-+
= （2）前n 项和公式的形式和系数特征：
几个问题：
①如果一个数列的前n 项和公式为bn an S n +=2
（其中b a ,是常数），这个数列一定是等差数列吗？ ②等差数列的前n 项和公式bn an S n +=2的系数是什么意义，与通项公式b n a a n '+'=的系数之间有什么关系？（写出两个公式中的一个，能否根据系数很快写出另一个）
③一个数列的前n 项和公式为c bn an S n ++=2（其中c b a ,,是常数），这个数列一定是等差数列吗？这个数列有什么特征？
（多作几个通项公式与前n 项和公式之间的转换练习，让学生熟悉其形式特征．）
二、习题（20分钟）
三、小结
1、等差数列的前n 项和的求法和公式；
2、等差数列前n 项和公式的形式特征；
3、n S 与n a 的关系，注意、首项的验证．
掌握等差数列的求和方法并掌握前n 项和公式的形式和系数特征．
能够熟练地写出一个等差数列的前项和公式，并能根据前n 项和公式了解数列的参数 培养学生的观察与归纳的能力。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_24
第3课时 数列的通项公式综合问题[自主梳理]常见的数列通项公式的求法有以下几种： (1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝{ S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法； 形如：已知a 1，且a n ＋1a n ＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法．(5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．探究一 累加法与累乘法求通项[典例1] 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . [解析] ∵a 2－a 1＝3×1＋2， a 3－a 2＝3×2＋2， a 4－a 3＝3×3＋2， ……a n －a n －1＝3×(n －1)＋2， 以上各项相加，得a n －a 1＝3[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋2(n －1) ＝3·(n －1)·n 2＋2n －2＝3n 2＋n 2－2， ∴a n ＝3n 2＋n 2.对于由形如a n ＋1－a n ＝f (n )型的递推公式求通项公式．(1)当f (n )＝d 为常数时，为等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)当f (n )为n 的函数时，用叠加法． 方法如下：由a n ＋1－a n ＝f (n )，得 当n ≥2时，a n －a n －1＝f (n －1)， a n －1－a n －2＝f (n －2)， …a 3－a 2＝f (2)， a 2－a 1＝f (1)．把以上(n －1)个等式叠加，得a n －a 1＝f (n －1)＋f (n －2)＋…＋f (2)＋f (1)，∴a n ＝a 1＋∑n －1k ＝1f (k )．为了书写方便，也可以用横式来写： ∵当n ≥2时，a n －a n －1＝f (n －1)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝f (n －1)＋f (n －2)＋…＋f (2)＋f (1)＋a 1.(3)已知a 1＝a ，a n ＋1－a n ＝f (n )，其中f (n )可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数等，求通项a n .①若f (n )是关于n 的一次函数，叠加后可转化为等差数列求和； ②若f (n )是关于n 的二次函数，叠加后可分组求和；③若f (n )是关于n 的指数函数，叠加后可转化为等比数列求和； ④若f (n )是关于n 的分式函数，叠加后可裂项求和．1．已知数列{a n }满足：a 1＝12，且a n －a n －1＝12n (n ≥2)． (1)求a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项a n . 解析：(1)a 2＝34，a 3＝78，a 4＝1516.(2)a 2－a 1＝122，a 3－a 2＝123，a 4－a 3＝124，…，a n －a n －1＝12n ， 以上等式相加得a n －a 1＝122＋123＋…＋12n ，则 a n ＝12＋122＋123＋…＋12n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .[典例2] 数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n .[解析] ∵a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，∴令n 依次取n －1，n －2，…，2,1，可得a n ＝n n ＋1a n －1，a n －1＝n －1n a n －2，…，a 3＝34a 2，a 2＝23a 1，将以上n －1个等式左右两边分别相乘得 a n a n －1…a 3a 2＝n n ＋1·n －1n …34·23a n －1a n －2…a 2a 1， ∴a n ＝2n ＋1a 1.∵a 1＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．形如a n ＋1a n＝f (n )，可用累乘法．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n a n ，且a 1＝1，求a n . 解析：∵a n ＋1a n＝2n，∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝22，a 4a 3＝23，…，a n a n －1＝2n －1，将上述各式相乘，可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝2×22×23×…×2n －1， ∴a n ＝21＋2＋3＋…＋n －1＝2n (n －1)2.探究二 利用构造新数列求通项公式[典例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1(n ≥2)，a n ＝12a n －1＋1(n ∈N *)，求a n .[解析] 法一：由a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，得a n －2＝12(a n －1－2)． 令b n ＝a n －2，则b n －1＝a n －1－2， ∴有b n ＝12b n －1(n ≥2)，∴{b n }为以a 1－2＝－1为首项，以12为公比的等比数列，∴b n ＝－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴a n ＝2－12n －1. 法二：利用累乘法： 由a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)， ∴a n －2＝12(a n －1－2)，令b n ＝a n －2，则b n －1＝a n －1－2，∴b n ＝12b n －1，∴b n ＝12b n －1＝12·12b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123b n －3＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1b 1＝－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， ∴a n ＝2－12n －1.利用数列的递推公式，构造一个新的数列(等差或等比数列)．由新数列的通项公式求得原数列的通项公式．常见的有：(1)形如a n ＋1＝a n pa n ＋1，取倒数构造{1a n }成等差数列．(2)形如a n ＋1＝pa n ＋q ，构造{a n ＋m }为等比数列．(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q n 两边同除q n ＋1后转化为(2)种形式去构造．3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，∴1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列． ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1.。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_60
数列复习小结教学目的：知识与技能：1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系。
3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 。
过程与方法：通过对数列知识的复习，培养学生的观察能力和抽象概括能力．并且提升高考解答数列题的应答技巧。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
教学重点数列及其有关概念，通项公式及前n 项和公式其应用教学难点数列的通项公式及前n 项和公式及方法总结和应用授课类型：二轮复习课课时安排：3课时教学过程：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识精要：1、数列[数列的通项公式] ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn [数列的前n 项和] n n a a a a S ++++= 3212、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
[等差数列的判定方法]1． 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_5
数列知识点梳理一、 通项公式的求法1.运用等差数列和等比数列通项公式等差：1(1)n a a n d =+- 等比：11n n a a q -=2.运用n S 与n a 的关系当1n =时，11a S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-即：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 特别要注意验证1a 的值是否满足若给出类似前n 项和的等式，也要用上面的方法：“脚码缩1，相减”例.设数列{}n a 满足21*123333,3n n n a a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈,求数列{}n a 的通项公式； 答案：13n na = 3.叠乘，叠加法若已知数列的递推公式为1()n n a a f n +-=可采用叠加法； 若已知数列的递推公式为1()n na f n a +=则采用叠乘法。
注意：当脚码缩小1时，一定要写准n 的取值范围（以上2,3两点都要注意此问题）4.猜想(只能在选择填空中用)二、 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-()n m a a n m d =+-等差数列n a An B =+（一次型），0A >时为增数列, 0A <时为减数列, 0A =时为常数列. 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和1()2n n a a n S +=（对称性） 21(1)2n n n S na d An Bn -=+=+（常数项为零的二次型）性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=;（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列；（3）若三个数成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若{}n a ，{}n b 是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= 且{}n n a b +仍为等差数列；（5）当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇（8） {S n n}仍为等差数列. 三、等比数列的定义与性质 定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -= n m n m a a q -= 等比数列通项公式n n a Aq =（指数型）（其中1a A q=） 当1q =时为常数列；当0q <时为摆动数列；当01q <<时，若10a >为减数列，若10a <为增数列；当1q >时，若10a >为增数列，若10a <为减数列；等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G = 前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意公比是否为1！） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··；若2m n p +=，则2pm n a a a = （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列（1q ≠-）(3) 123234345,,,a a a a a a a a a ⋅⋅⋅也为等比数列（4）若三个数成等比数列，可设为,,a a aq q(5)若{}n a {}n b 是等比数列,则1{}na ,2{}n a ,{}n n ab 也是等比数列 （6）等比数列（ q ¹1时）前n 项和的特点： S n =A -Aq n .（7）项数为偶数n 2的等比数列{}n a ，有S ou S ji =q . 四、数列求和的方法（选择什么方法求和要看数列的通项的特点）1.※ 公式法（等差、等比数列）2.※ 分组求和（通项可以表示成几种数列的和）3.※ 倒序相加（首末两项和是定值）4. 倒序相乘（首末两项积是定值）5.※ 裂项相消（通项可以裂项）6.※ 错位相减（通项为等差×等比的形式）7. 含参数求和（数列中含有不确定的参数）8. 绝对值求和（通项中含有绝对值）9. 并项求和（摆动数列）。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_52
教 案教学目标：1、知识目标：掌握特殊数列求和的常见方法，并能运用这些方法解决一些简单的数列求和问题；2、能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力和学习数学的兴趣。
教学重点：一些特殊数列的求和。
教学难点：准确分析数列特征，选择合适的数列求和方法。
教学方法：启发、讨论、归纳和练习相结合。
教学过程：一、复习知识点：1、常见数列的求和公式：（1）1＋2＋3＋…＋n ＝;2)1(+n n （2）1＋3＋5＋…＋)12(-n ＝2n ；（3）2222321n ++++ ＝)12)(1(61++n n n ；（4）3333321n ++++ ＝22)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n ；（5）)1(433221+++⨯+⨯+⨯n n ＝)2)(1(31++n n n 。
2、常用数列的求和方法： （1）倒序相加法：常用于倒序相加后能转化为可求和数列的数列求和问题； 如求nnn n n n C n C C C S )1(32210+++++= （2）错位相减法：常用于“等比差”数列；如求n nnx x x x S ++++= 3232（3）裂项相消法： 例如求)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯=n n S n),(111)(1*∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+N k n k n n k k n n 裂项公式：（4）拆项重组法：常用于通项可化为有限项的代数和，重组后每个数列可求和的数列。
如①求 1＋1，a 1＋4，21a ＋7，31a ＋10，…，11-n a ＋)23(-n 的前n 项和；②求2＋22＋222＋…＋个n 222 二、例题析解：例1、求下列数列的前n 项和： （1）1)2(1141121222-++-+-=n S n ； （2）152312510257541--+++++=n nn S ； （3）1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋12-n .要求学生通过分析通项公式寻找解题方法。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_15
教学设计《数列求和》----高三复习课一、高考考情分析：数列是高考的必考内容：一般有以下两种形式：(1) 以选择、填空题的形式考查等差、等比数列基本量的计算。
(2) 以解答题的形式考查数列与函数，向量，不等式的综合题同时考查数列求通项和求和的方法。
二、学生学习情况分析：数列求和这节复习课，我们已经是进行第二轮复习了，回头清理一下，感觉大部分同学对公式和解题方法已经牢记了。
但是在做题时总时拿不到分，主要时因为学生基础差，做题少而导致的。
很多同学对题目中的条件不能用在恰当的位置，计算能力也有待进一步加强。
针对以上问题，我将有意识地进行针对性的训练，使学生对重点内容和重要方法熟练。
三、设计理念：本节课以构建主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据设计的，并且针对学生的实际情况，引导学生掌握重难点，改变学生学习的方式，激发学生学习的兴趣。
四、教学目标：知识与技能：1.掌握等差数列、等比数列的求和公式，并会灵活运用公式解决有关数列求和的问题。
2.了解数列求和的几种常用方法，如分组求和、裂项求和、错位相减,并项求和等，并能根据题目的特点选用适当的方法求数列的和。
过程与方法：通过本节课学习，培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过把一般数列求和转化为等差、等比数列求和，体会统一转化的数学思想。
情感态度与价值观：倡导学生自主学习、自主探索的学习方式，培养学生观察、分析、概括问题的能力及勇于探索，积极进取，刻苦求是的精神。
五、（1）教学重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和。
（2）教学难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的。
六、教学方法及手段：通过设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力，借助幻灯片来辅助教学，达到提高课题效率的目的，营造生动活泼的课题教学氛围。
七、教学过程：（一）复习式引入（提问）：等差数列的前n 项和公式：2)1n n a a n S +=（dn n na S n 2)11-+=（等比数列的前n 项和公式：当时()q q a a q q a S n nn --==1-1-111,1=q 时1na s n =课前热身=+++++=)12(531.1n s n ___________设计意图： 让学生回顾旧知，由此导入新课。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_53
专题四《等差数列、等比数列》教学设计教学过程设计考情播报高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．备考时应切实掌握等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．重点知识梳理1．等差数列(1)定义式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)； (2)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (3)前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －d2；(4)性质：①a n ＝a m ＋(n －m )d (n 、m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．等比数列 (1)定义式：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)； (2)通项公式：a n ＝a 1q n －1；(3)前n 项和公式：Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q ＝1，a 1－q n1－qq ≠1.(4)性质：①a n ＝a m qn －m(n ，m ∈N *)；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q (p 、q 、m 、n ∈N *)．3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用a n 与S n 的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1．应用a n 与S n 的关系，等比数列前n 项和公式时，注意分类讨论． 2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．3．讨论等差数列前n 项和的最值时，不要忽视n 为整数的条件和a n ＝0的情形． 4．等比数列{a n }中，公比q ≠0，a n ≠0.高考题型突破考点一 等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1. (2)求和公式 等差数列：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d ；等比数列：S n ＝a 1－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1)．(1)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 (2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析： (1)设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4. 故选C.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，∵a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3d ＝8，－1·q 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝－2.∴a 2＝2，b 2＝2.∴a 2b 2＝22＝1. 答案： (1)C (2)1【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97【答案】C【解析】通解：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝27a 10＝a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98，选C.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.【方法规律】1．通解是寻求a 1与d 的关系，然后用公式求和．优解法是利用等差中项性质转化求和公式．2．在等差数列中，当已知a 1和d 时，用S n ＝na 1＋n n －2d 求和．当已知a 1和a n 或者a 1＋a n ＝a 2＋a n －1形式时，常用S n ＝a 1＋a n n2＝a 2＋a n －1n2求解．题型二 等差、等比数列的判定与证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解析： (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q ＝2，a 1＋q ＋q2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1－q n1－q＝－23＋(－1)n·2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n·2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－n·2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．【变式探究】(1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C.12D.18【答案】C【方法规律】1．解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．2．运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．考点三数列递推关系的应用题型三等差、等比数列的性质(1)(2016·全国卷乙)已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )A．100 B．99C．98 D．97(2)(2017·云南省11校跨区调研)已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( )A．40 B．60C ．32D ．50解析： (1)法一：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.法二：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.微专题 数学文化中的数列问题(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏解析： 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2， ∴S 7＝a 1－q 71－q＝a 1－271－2＝381，解得a 1＝3.故选B.答案： B【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法1．定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数．2．中项公式法：(1)若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列； (2)若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列．归纳总结1、 证明数列是等差数列、等比数列常用定义2、 在解决等差数列、等比数列相关问题时，基本量法是常用方法。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_1
求数列通项专题复习教学设计学前分析：数列是高考必考内容，考察难度较以往降低。
以小题形式出现位置不定，难度不定，以大题出现时主要是17题，考察数列的基础知识，难度不大。
通项公式作为解数列题的必备知识，方法较多，学生掌握程度较差，通过专题复习，调动学生的学习积极性，让学生主动学习。
教学目标：一、情感态度与价值观1. 培养化归思想、应用意识.2.通过对数列通项公式的研究，体会从特殊到一般，又到特殊的认识事物规律，培养学生主动探索，勇于发现的求知精神。
1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；2. 在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想 教学重点、难点1.重点：用递推关系法求数列通项公式。
2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n 项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足，若不满足必须写成分段函数形式；若满足，则应统一成一个式子 .教学资源 多媒体幻灯 教学过程教学活动1 （复习导入）问题：求数列通项都有哪些方法？（学生思考、回答）得出结论：归纳猜想、公式法、累加法、累乘法、构造法（待定系数法）……教学活动2 （学生独立完成）例题：求满足下列条件的数列{}n a 的通项公式n a .(1)0,3,8,15,24,11(2)1,1n n a a a +==+11(3)2,2n n a a a +== 11(4)1,1nn n a a a a +==+ 11(5)1,2n n n a a a +==+ 11(6)1,2n n n a a a +==11(7)1,21n n a a a +==+ 2(8),n n s n n a =+求解题方法：（1）用归纳猜想；（2）、（3）用等差、等比数列通项公式解决；（4）取倒数转化为1111n na a +=+，是一个新的等差数列；（5）、（6）运用累加、累乘求通项；（7）运用待定系数法构造()1121n n a a ++=+为一个新的等比数列；（8）运用n n s a 和的关系，要注意-112-=1n n n n n a s s n a s ≥==时，时.教学活动3 （师生共同总结求数列通项方法）（1） 数学归纳法：用于给定数列前几项猜测通项； （2） 公式法：用于等差、等比数列；（3） 累加法：用于递推关系形如()()1(n n a a f n f n +=+可求和）； （4） 累乘法：用于递推关系形如()()1(n n a a f n f n +=可求积）； （5） 构造法：用于递推关系形如1n n a pa m +=+；（6） 已知=1n ns a n 求（注意时）. 教学活动4 （学生讨论完成）变式1 求满足下列条件的数列{}n a 的通项公式n a .2(1)1,n n s n n a =++求 11(2)1,221n n a a a n +==++ 11(3)2,262n n n a a a +==+⋅ 511(4)2,n n a a a +==解题方法：（1）1-13(=1)=13,2=-=2=2(2)n n n n n n n a s n a s s n a n n ⎧⎪==≥⎨≥⎪⎩注意时时从而；（2）用待定系数法构造为()()11213223,236n n a n a n a ++++=++++=为新的等比数列；（3）递推式两边同时除以1112322n n n n na a +++=+变形为，从而2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为一个等差数列； （4）两边同时取2为底的对数变形为51222log log 5log n n n aaa+==，从而{}2log na 为一个等比数列。
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必修5 第二章：数列
1、等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，这样的数列为等差数列。
通项公式：()()11n m a a n d a n m d =+-=+-
求和公式：()()11122n n a a n n n S a n d +-==+=中间项⨯项数，是一个没有常数项的二次函数形式。
2、等比数列：从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，这样的数列为等比数列。
通项公式：11n n m n m a a q a q --==
求和公式：()()()111
11111n n n a q a a q q S q q na q ⎧--⎪=≠=--⎨⎪=⎩，1q ≠时，1111n n a a S q q q =---，即常数项与n q 项系数互为相反数。
3、常见的求通项与求和方法：
（1）()1n n a a f n -=+形式，()f n 便于求和，方法：迭加；
例如：11n n a a n -=++
有：11n n a a n -=++
()()
21321113
4
1
413412
n n n a a a a a a n n n a a n a -=+=+=+++-=+++++=+
各式相加得 （2）11n n n n a a a a ---=形式，同除以1n n a a -，构造倒数为等差数列；
例如：112n n n n a a a a ---=，则
111112n n n n n n a a a a a a ----==-，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为以-2为公差的等差数列。
（3）1n n a qa m -=+形式，1q ≠，方法：构造：()1n n a x q a x -+=+为等比数列； 例如：122n n a a -=+，通过待定系数法求得：()1222n n a a -+=+，即{}2n a +等比，公比为2。
（4）1n n a qa pn r -=++形式：构造：()()11n n a xn y q a x n y -++=+-+为等比数列；
（5）1n n n a qa p -=+形式，同除n p ，转化为上面的几种情况进行构造；
因为1n n n a qa p -=+，则111n n n n a a q p p p --=+，若1q p
=转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法
（6）求和：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；
（7）求和：错位相减，适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：()213n n a n =-⨯；
（8）求和：裂项相消，适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。
如：()11111n a n n n n ==-++，()()1111212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
等； （9）求和：分组求和，适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：21n n a n =+-等。
（10）另外，可以使用求前多少项找规律的方法，但这种方式不适用于解答题。
4、n a 与n S 的关系：()()1121n n n S S n a S n --≥⎧⎪=⎨
=⎪⎩ 5、等差数列常用性质：
（1） 若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A=2
a b + （2） 在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+(m, n, p, q ∈N ) ；
（3） 下角标成等差数列的项仍是等差数列；
（4） 连续m 项和构成的数列成等差数列。
6、等比数列常见性质：
（1）若a ，G ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项，且G= ±
ab （2）在等比数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a =(m, n, p, q ∈N )
（3）下角标成等差数列的项仍是等比数列；
（4）连续m 项和构成的数列成等比数列。