2019-2020学年高中数学 映射函数教案 新人教版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 映射函数教案 新人教版必修1

一、教学目标

1．映射，一一映射 2．函数

二、考点、热点回顾 1．映射、一一映射

（1）集合A 到集合B 的映射有三个要素，即集合A 、集合B 和对应法则f .其中集合A 和集合是有先后顺序的，因为一般情况下A 到B 的映射和B 到A 的映射是不同的映射.而对于集合A 和集合B 的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象.

（2）一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A 到集合B 的映射：①集合A 中的每一个．．．元素（一个不漏地）在集合B 中都有象（但集合B 中的每一个元素不一定都有原象）；②集合A 中的每一个元素在集合B 中的象只有唯一．．的一个（集合B 中的元素在集合A 中的原象可能不止一个）.也就是说，图1和图2所示的两种对应不能称为映射.

（3）对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，则这样的映射称为“集合A 到集合B 上．的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合B 中的每一个元素在集合A 中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合A 到集合B 上的一一．．映射”.

例1 如图3，集合A={1、2、3、4、5}，B={a 、b 、c 、d 、e }.判断下列对应中，（1）哪些是集合A 到集合B 的映射；(2)哪些是集合A 到集合B 上的映射；（3）哪些是集合A 到集合B 上的一一映射.

图3

①

B A ②

③

B A ④

图1 图2

例2 已知集合A={30≤≤x x }，

B={10≤≤y y }.判断下列各对应f 是否是集合A 到集合B 的映射？

一一映射？并说明理由. (1)

f :x y x 3

1

=→； (2) f :x y x 41=→；

(3) f :2

)2(-=→x y x ； (4) f :2

9

1x y x =→；

(5)

f :2)1(4

1

-=→x y x

2.函数

（1）函数的定义.

在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的. 集合A 到集合B 的映射

f :B A →要成为函数，还必须满足两个条件：①集合A 、B 都是非空集合；

②集合A 、B 都是数的集合.其中集合A 就是函数的定义域，而集合B 不一定是值域.一般地说，值域C 是集合B 的子集，即B C ⊆.（若集合B C =，则这个映射就成为集合A 到集合B 上的映射）.

（2）函数的三要素.

定义域A ，值域C 和定义域A 到值域C 的对应法则

f

，构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素

完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同. （3）区间

设a 、R b ∈，且b a <.用闭区间[b a ,]表示集合{b x a x ≤≤}，用开区间),(b a 表示集合

{

b x a x <<}，用半开半闭区间],(b a 表示集合{b x a x ≤<}，用半开半闭区间),[b a 表示集合

{b x a x <≤

}.

（4）函数的表示法.

函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处. 要搞清符号)(x f 和)(a f （a 为常数）的区别.一般情况下，)(x f 是一个随自变量x 的变化而变

化的变量，而

)(a f 是当自变量a x =时函数的值，是一个确定的量.

与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中（或不同条件下）表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，一些线段，或一些曲线. 例3 判断下列各对函数是否是同一个函数，并说明理由. (1) 2)(x x f = ， 2)()(x x g = ；

(2)

.)(33x x f = ， x x g =)( ；

(3)

1

1

)(2+-=

x x x f ， 1)(-=x x g ； (4)

1)(-=x x f ， ⎩⎨

⎧<->-=);1(,1),1(,1)(x x x x x g (5)

2

)(x x f = ， x x g =

)( ；

(6) 21)(x x f -= ， 21)(t t g -= .

例4 已知

32)(-=x x f ， 12)(2+=x x g ，求 )]([x g f 和 )]([x f g .

例5 （1）已知

=)(x f ⎪⎩

⎪⎨⎧-,

12,2,

02x

，)1(-f ，)]0([f f ，)]22

([-f f ； （2）已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<--≤+=),

2(,23),21(,),

1(,32)(2

x x x x x x x g 且3)(=t g ， 求t .

例6 （1）画出函数342+-=x x y 的图像；

（2）画出函数342

+-=x x y

的图像；

（3）已知函数)(x f y =的图像如图4，

写出)(x f 的解析式.