复数的三角形式--教案教学文案
《复数的三角形式》第1课时示范课教学设计【高中数学教案】
《复数的三角形式》教学设计第1课时1．掌握复数的三角表示、复数的代数表示与三角表示之间的关系，辐角、辐角主值等概念；2．掌握复数乘法，乘方的三角表示及几何意义．教学重点：复数的三角表示、复数乘法运算的三角表示及其几何意义． 教学难点：复数乘法运算的三角表示及其几何意义．PPT 课件．一、问题导入问题1：复习回顾复数的几何意义及复数的模师生活动：复数z =a +b i 有序实数对（a ，b ）向量OZ 点Z （a ，b ）设复数z =a +b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ ，则向量OZ 的长度叫做复数a +b i 的模（或绝对值），记作◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆ 教学过程一一对应一一对应一一对应|a +b.设计意图：承上启下，引入新课引语：本节课将要学习复数的三角形式及其运算.（板书：复数的三角形式及其运算） 【新知探究】1．阅读教材，感知复数的三角形式定义及相关概念 问题2：复数的三角形式定义师生活动：设复数=z 在复平面内对应的点为Z ．（1）写出Z 的坐标，并在图中描出点Z 的位置，作出向量OZ ；（2）记r 为向量OZ 的模，θ是以x 轴正半轴为始边，射线OZ 为终边的一个角，求r 的值，并写出θ的任意一个值，探讨,θr 与=z 的实部、虚部之间的关系.追问：复数的三角形式定义是什么？预设的答案：（1）(1,3)Z （2）2,,1cos sin 3θθθπ====r r r一般地，如果非零复数(,)=+∈z a bi a b R 在复平面内对应点(,)Z a b ，且r 为向量OZ 的模，θ是以x 轴正半轴为始边，射线OZ 为终边的一个角，则||=r z 根据任意角余弦、正弦的定义可知：cos ,sin θθ==a br r因此：cos ,sin θθ==a r b r从而cos sin (cos sin )θθθθ=+=+=+z a bi r r i r i 称为非零实数=+z a bi 的三角形式（对应的=+z a bi 称为复数的代数形式），其中θ称为z 的辐角.显然，任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z. 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题3：如何求非零复数的三角形式？复数的两种形式如何互化． 师生活动：实例讲解，学生总结预设的答案：为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 问题3：复数的乘法的三角表示及几何意义师生活动：自主阅读教材，回答：复数的乘法的三角表示及几何意义 预设的答案：设z 1＝r 1（cos θ1+isin θ1），z 2＝r 2（cos θ2+isin θ2），试求出z 1z 2. z 1z 2＝r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）+i （sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］ ＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 注：z 1的模乘以z 2的模等于z 1z 2的模（简记：模相乘），z 1的辐角与z 2的辐角之和是z 1z 2的辐角（简记：辐角相加）追问：复数的乘法的几何意义是什么？预设的答案：设12,z z 对应的向量分别为12,OZ OZ ，将1OZ 绕原点旋转2θ，再将1OZ 的模变为原来的2r 倍，如果所得向量为,OZ 则OZ 对应的复数为12z z ，如图所示.当20θ>时，按逆时针方向旋转角2θ，当20θ<时，按顺时针方向旋转角2||θ 两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘. 特别地，如果∈n N ，则：[(cos sin )][cos()sin()]θθθθ+=+n n r i r n n i设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 写出下列复数的辐角主值： （1）3--i （2）-ai师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：（1）因为r ＝22(3)(1)-+-＝2，所以cos θ＝32 sin θ＝12又因为θ∈［0，2π），所以其辐角主值θ＝76π. （2）当a >0时，r ＝a ，cos θ＝0，sin θ＝－1，其辐角主值θ＝32π； 当a ＝0时，其辐角主值θ＝0；当a <0时，r ＝－a ，cos θ＝0，sin θ＝1，其辐角主值θ＝2π. 设计意图：进一步深化复数的三角形式和理解辐角主值的含义． 例2. 把下列复数的代数形式改写成三角形式 （1）1-i （2）2i （3）1- 师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：（1）由题意可知：2222211(1)[]1(1)1(1)-=+-+-+-i22772()2(cos sin )2244ππ=-=+i （2）因为2i 在复平面内所对应的点在y 轴的正半轴上，所以可知：|2|2,arg(2)2π==i i从而可知：22(cossin)22ππ=+i i（3）因为－1在复平面内所对应的点在y 轴的正半轴上，所以可知：|1|1,arg(1)π-=-=从而可知：1cos sin ππ-=+i设计意图：进一步深化复数的三角形式例3. 计算×师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 预设的答案：×＝＝626210⎫-++⎪⎪⎝⎭＝5652256522i . 设计意图：进一步深化复数的三角形式 【课堂小结】问题：（1）复数的三角形式是什么？ （2）复数三角形式的乘法法则是什么？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充. 预设的答案： 1.复数的三角形式z ＝a +b i ＝r （cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z ＝a +b i 的三角形式，其中的θ称为z 的辐角.在［0，2π）内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z.为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.2.复数三角形式的乘法法则r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 模相乘，辐角相加.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确复数的三角形式等有关知识． 布置作业： 【目标检测】1. 复数2(sincos )33ππ+i 的一个辐角是 ( )A.0B. 6πC. 3πD. 65π设计意图：理解复数的辐角的含义2. 已知复数33=--z i ，则（ ）A.复数的模是||23=zB. 3π是复数的一个辐角 C.复数的三角形式为4423(cos sin )33ππ+i D. 复数z 对应的点在第三象限设计意图：理解复数的几何意义 3.将复数2232(cossin )33ππ+i 化为代数形式为 设计意图：理解复数的三角形式与代数形式的转化 4. 复数4(cossin)33ππ=+z i 对应的点在第 象限设计意图：理解复数的几何意义5. 把下列复数表示成三角形式，并求它们的模与辐角主值：（1）2(cossin )33i ππ-+ ；（2）33sin cos 44i ππ-+． 设计意图：理解复数的几何意义 参考答案：1.因为2(sincos )33ππ+i =2(cos sin )66ππ+i ，所以它的一个辐角为6π，故选B. 2.由题意，1343923,cos ,sin ,2()223θθθππ=+==-=-=+∈r k k Z ．所以复数的三角形式为4423(cos sin )33ππ=+z i ，故A ，C 正确；又复数33=--z i 对应点的坐标是.(3,3)--.，在第三象限，即D 正确． 故选A ，C ，D.3. 223233ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos isin ＝133222⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭i ＝322+362i. 4.由题意，223=+z i 对于点的坐标为(2,23)在第一象限． 5. （1）由题意，r =2．132(cossin )13,cos ,sin 332ππθθ-+=-=-=i i ． 所以辐角主值为43π，复数的三角形式为442cos sin )33ππ+（i ；（2）由题意，r =1．33sincos ,cos 442222ππθθ-+=--=-=i ． 所以辐角主值为54π，复数的三角形式为55cos sin44ππ+i ．。
复数的三角表示教学设计
环节一 复数的三角表示【教学重点】 复数的三角表示式． 【教学难点】探究、理解复数的三角表示式． 【教学目标】1.了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式．2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件．一．情境引入前面我们已经学习了复数及其四则运算，本节我们来研究复数的另一种重要表示—复数的三角表示．复数的三角表示的形式是什么?它又有哪些作用?让我们一起来探究吧．问题1：前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下它们分别是什么．答案：我们把形如a +b i (a ，b ∈R )的数叫做复数(complexnumber ) ．复数z =a +b i 与复平面内的点Z (a ，b )一一对应；复数z =a +b i与平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )一一对应． 追问1：你能在复平面内用平面向量表示z =a +b i 吗？ 答案：设复平面内的点Z 表示复数z =a +b i ，连接OZ ，向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 由点Z 唯一确定．追问2：已知平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )，能唯一确定与之对应的复数z 吗？复数z 的表达式是什么？为什么？答案：由于复数z =a +b i 与平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )一一对应，所以已知平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，b )能唯一确定与之对应的复数z ，其表达式为z =a +b i ．复数z 可以由向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标(a ，b )唯一确定．设计意图：复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础，温故知新，激活学生已有的知识储备，为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础．二．探究新知：问题2：我们知道复数z =a +b i 可以由向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标(a ，b )唯一确定，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 既可以由它的坐标(a ，b )唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析右图，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？追问1：为了解决问题2，首先应研究什么？答案：应该定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小可以用复数的模r 来表示，向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向可以借助角θ来表示．追问2：如何用文字语言表述角θ呢？答案：角θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线(射线OZ )为终边的角． 设计意图：利用教科书上的探究问题，借助复数的几何意义，引导学生尝试定量刻高向量的大小和方向，为得出复数的三角表示式莫基，这也是得出复数三角表示式的第一个关键环节．追问3：你能用向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，以及以x 轴的非负半轴为始边，以向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ ）为终边的角θ来表示复数z 吗？答案：由{a =rcosθb =rsinθ可以得到复数a +b i= rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)，其中r =√a 2+b 2，cosθ=a r，sinθ=br．设计意图：要求学生进一步借助图形，得出模r 和角θ与平面向量的坐标（a ，b ）的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想，这是得出复数三角表示式的另一个关键环节．追问4：刚才我们画的图形中，角θ的终边落在第一象限，得到a +b i= r(cosθ+isinθ)，这个式子是否具有一般性呢？即若角θ的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z 在实轴或虚轴上，即角θ的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？答案：改变平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的位置后，通过观察分析，可以得出结论：不管角θ的终边落在什么位置，都有a +b i= r(cosθ+isinθ)．概念：一般地，任何一个复数z =a +b i 都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数z =a +b i 的辐角（argument of a complex number ）．r(cosθ+isinθ)叫做复数z =a +b i 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a +b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．设计意图：让学生分析角θ的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角表示式，感受数学的严谨性，培养抽象概括能力．问题3：一个复数的辐角的值有多少个？答案：利用终边相同的角的特点，容易得出：任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个．追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？答案：因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍．追问2：若复数为0，它的辐角是哪个角？答案：对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0．设计意图：让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之问相差2π的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性．问题4：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？答案：我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principal value of an argument ），通常记作arg z ，即0≤arg z <2π．追问1：一个非零复数辐角的主值有多少个？ 答案：每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．设计意图：给出辐角的主值的概念和取值范围，让学生了解规定辐角的主值，保证了其唯一性，从而为一些表述和研究带来便利．三．概念辨析问题５：１２(sin 5π12+i cos 5π12)是三角表示式吗？说出你的理由．追问１：观察复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)，你能总结出它的结构特点吗？ 答案：复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)的结构特点：① r 是复数的模，r =√a 2+b 2≥0； ② 是同一个辐角值θ的余弦和正弦； ③ cos θ在前，sin θ在后； ④ cos θ和isin θ之间用“+”连接．设计意图：由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特点对复数的三角表示式作出判断．四、典例解析例1：判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)１２(sin5π12+i cos 5π12)；(2)−１２(sin π3+i cos π3) ．答案：(1)不是三角形式，三角形式应满足cos θ在前，sin θ在后，表示为三角形式为：１２(cos π12+i sin π12) ．(2) 不是三角形式，三角形式应满足r =√a 2+b 2≥0且cos θ在前，sin θ在后，表示为三角形式为：−１２(sin π3+i cos π3)=12(−12−√32i)=12(cos4π3+isin4π3) ．设计意图：辨析复数的三角表示式，帮助学生进一步理解三角表示式的概念，学会将复数的非三角表示式化为三角表示式的方法．例2. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： (1)12+√32i ；(2)1−i ．分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式． 解：(1)复数12+√32i 对应的向量如图所示，则 r =√(12)2+(√32)2=1，cos θ=12． 因为与12+√32i 对应的点在第一象限，所以arg (12+√32i)=π3． 于是12+√32i =cos π3+isin π3．(2) 复数1−i 对应的向量如图所示，则 r =√12+(−1)2=√2，cos θ=1√2=√22． 因为与1−i 对应的点在第四象限，所以arg (1−i)=7π4．于是1−i =√2(cos7π4+isin7π4)．解题思路：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要通过数形结合解决问题，只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式，而利用r=√a2+b2即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用cosθ或sinθ的值求辐角．设计意图：一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；另一方面是借助与复数对应的点的坐标，判断角θ的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法．例3：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：(1) cosπ+isinπ；(2) 6(cos11π6+isin11π6)．解：复数cosπ+isinπ的模r=1，一个辐角θ=π，对应的向量如图所示．所以cosπ+isinπ=−1+0i=−1．(2)复数6(cos11π6+isin11π6)的模r=6，一个辐角θ=11π6，对应的向量如图所示．所以6(cos 11π6+isin11π6)=6cos11π6+(6sin11π6)i=6×√32+6×(−12)=3√3−3i．设计意图；本例有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中r，θ的含义，进而认识到复数实质上可以由有序实数对（r，θ）来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系；二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法．问题6：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？答案：两个复数相等⟺两个复数对应的向量相同⟺两个向量的长度相等且方向相同⟺两个复数的模相等且辐角主值相等．设计意图：让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性．四．归纳总结回顾本节课内容，回答下列问题：（1）回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程．（2）复数三角表示式的基本结构特点是什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？（3）三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？答案：（1）复数三角形式得出的研究思路和基本过程为：复数z=a+b i与平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ =(a，b)一一对应，平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ =(a，b)可以由其大小和方向唯一确定，所以复数可以由平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ 的大小和方向唯一确定，平面向量0Z⃗⃗⃗⃗ 的大小为平面向量的模r=√a2+b2，其方向可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量0Z⃗⃗⃗⃗ 所在的射线（射线OZ）为终边的角θ来刻画，由三角函数的定义得：a=r cosθ，b=r sinθ，所以z=r（cosθ+isinθ）．（2）复数的三角表示式r(cosθ+isinθ)的结构特点：①r是复数的模，r=√a2+b2≥0；②是同一个辐角值θ的余弦和正弦；③cosθ在前，sinθ在后；④cosθ和isinθ之间用“+”连接．⃗⃗⃗⃗⃗ 所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数其中θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZz=a+b i的辐角（argument of a complex number）．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principal value of an argument），通常记作arg z，即0≤arg z<2π．（3）两个复数相等⟺两个复数对应的向量相同⟺两个向量的长度相等且方向相同⟺两个复数的模相等且辐角主值相等．。
复数的三角形式（一）
复数的三角形式（一）目的：熟练掌握复数的三角形式 重点：化复数为三角形式 难点：复数辐角主值的探求 教学内容： 一、知识回顾：1、复数的三种形式：代数形式z=a+bi ⇔点的形式Z(a,b) ⇔2、复数的模：|z|=|a+bi|=22b a +=|OZ |二、复数的三角形式：1、复数的辐角： *复数的辐角有无穷多，其一般形式是： *特别规定：复数0的辐角是任意的.2、复数的辐角主值： ，记为argz *注意与反三角符号的区别3、几个特殊结论：如果a ∈R +，那么arga= ,arg(-a)= ,arg(ai)= ,arg(-ai)= 4、两个复数相等⇔r 1=r 2且argz 1=argz 2.5、复数的三角形式：设θ是复数的辐角，其模为r ，则： a= ,b=)s i n (c o s θ+θ=i r z 叫复数的三角形式*三角形式的具体要求：①r ≥0 ②前余后正 ③“+”号连接 ④θ不一定是主值三、典型例题分析：1、化下列复数为三角形式：①z=3+i②z=1-i③z=-1④z=3-4i2、（91全国）复数z=1+i，求复数163 2++-z zz的模和辐角主值3、求复数z1=1+cosθ+isinθ(0≤θ<2π)的模和辐角主值。
四、课堂练习：1、下列那一个是复数的三角形式(A)21[cos4π-isin4π] (B) -21(cos3π+isin3π) (C)21(sin54π+icos 54π) (D)cos56π+isin 56π2、把下列复数化为三角形式：4= ；-3= ；-i= ;-2+2i=-1-i 3= ;=-i 2123 ;-4+3i= 五、能力测试：1、（90广东）复数)2(1π<θ<πθ+ictg 的三角形式是…………………（ ）(A))]2sin()2[cos(sin 1θ-π+θ-πθi (B))cos (sin sin 1θ+θθ(C) )]2sin()2[cos(sin 1θ+π+θ+πθ-i (D) )]23sin()23[cos(sin 1θ-π+θ-πθ-i 2、（91三南）复数Z=-3(cos34π-isin 34π)的幅角主值为…………………（ ） (A)34π (B) 35π (C) 611π(D)6π3、（92三南）设复数Z=i i 32+，那么复数Z 的幅角主值为…………（ ）(A)65π (B) 3π(C)32π (D) -34π4、（2000上海）复数z=-3(cos 5π-isin 5π)的三角形式是……………………（ ）(A) 3[cos(-5π)-isin(-5π)] (B) 3(cos5π+isin5π)(C) 3(cos54π+isin 54π) (D) 3(cos 56π+isin 56π) 5、（93上海）设Z= cos57π+isin 57π，则z 的幅角主值为 6、把下列复数化为三角形式：3-= ；-3= ；5i= ; 2+2i=1-i 3= ;=--2123i ;5+12i= 7、先把下列复数化为代数形式然后在化为三角形式：-3(cos23π+isin 2π)= = ；2[cos(-4π)-isin(-4π)]= =8、化复数z 1=1+cos θ+isin θ,z 2=1-cos θ+isin θ(π＜θ<2π＝为三角形式，并且求argz 1+argz 2.复数的三角形式（二）目的：熟练掌握复数的三角形式 重点：复数的三角形的应用 难点：复数辐角的研究 教学内容： 一、知识回顾： 1、复数的模及幅角： 2、复数的三角形式：3、小练习：①arg(3-i)= ;②arg(m+i)2=π23,则m= ;③-5(cos45º-isin45º)化为三角形式是④argz=π65,复数z 的实部为-23，那么z= 二、典型例题：1、化下列复数为三角形式：①z=ii3251+-②z=1+itg )23(π<α≤πα③z=3sin α+cosα-2icos(α+6π)2、|z z 1-|=21，argz z 1-=3π,求复数z3、arg(z+1)=6π,arg(z-1)=3π,求复数z.4、|z|≤21，求复数w=z-1的辐角主值及模的取值范围5、如果z=21+i sin θ并且|z|≤1，求α=argz 的取值范围三、课堂练习：1、复数z=2-a+(2a-1)i ，如果0＜argz ≤4π，求a 的取值范围2、复数z 满足：|z-2i|≤1，那么|z|max = ,|z|min = ,如果复数z 的辐角主值为α，那么αmax =,αmin =三、能力测试：1、集合M={z|1≤|z|≤2,z ∈C},N={z|4π<argz<43π, z ∈C }，则M ∩N 所围成的复平面是上的区域的面积是………………………………………………………………（ ）(A)4π (B)2π (C)43π(D) π 2、设a ∈(-1,0),复数cos(arcsina)+isin(arcsina)的辐角主值为…………………（ ） (A) arcsina (B)2π+ arcsina (C)π-arcsina (D) π+ arcsina3、复数1+cos200º+isin200º的辐角主值为…………………………（ ） (A) 200º (B) -100º (C) 100º (D) 280º4、复数-1-2i 的辐角主值为5、如果z 1、z 2∈C ，|z 1|≤21，并且z 2=i+z 1，那么argz 2∈6、arg(z+2)=3π,arg(z-2)=65π,求复数z.7、|z|=1且argz=θ,求w=z 2+z 的模及幅角主值8、复数z=a(1+2i)+(1-i),如果|z|>2并且π<<π2arg 23z ,求实数a 的取值范围复数的三角形式（三）知识目标：掌握复数的三角形式的乘法运算.能力目标：培养学生能从知识的演变过程中发现新的问题、勇于提出问题、积极探讨解决问题方法的能力，掌握化归思想的具体应用思想目标：培养学生积极思考、勇于创新、求真务实的科学态度 教学重点：复数乘法运算教学难点：复数乘法运算的几何意义的理解 教学方法：发现式教学法 辅助手段：多媒体电脑 活动过程： 一、知识回顾：1、复数的三角形式：设|z|=r （r ≥0），argz=α，那么复数z=2、复数三角形式的几点要求：⑴ ⑵ ⑶3、回顾练习：⑴下列那一个是复数的三角形式：(A)21(cos3π-isin3π) (B) -21(cos4π+isin4π) (C)21(sin54π+icos 54π) (D)cos56π+isin 56π⑵把下列复数化为三角形式：-3= ；=-i 2123 ;4、预备工具： cosαcos β-sin αsin β=cos(α+β); sinαcos β+cos αsin β=sin(α+β)二、复数的三角形式的乘法运算：1、定理：设z 1=r 1(cos α+isinα)，z 2=r 2(cos β+isin β)，r 1≥0,r 2≥0那么：z 1〃z 2=此定理用语言叙述为： 〘例题1〙1、求下列复数的积：①2(cos12π+isin12π)∙3(cos 6π+isin6π)②3(cos75°+isin75°) ∙3(cos15°+isin15°)③(cos3A+isin3A) ∙ (cos2A-isin2A)定理的推广：设z n =r n (cos αn +isinαn ),其中r n ≥于是：z 1z 2z 3…z n =r 1r 2r 3…r n [cos(α1+α2+α3+…+αn ) +isin(α1+α2+α3+…+αn )]〘反馈练习1〙1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式)⑴8(cos6π+isin6π)∙2 (cos12π+isin12π)= ⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos150º-isin150º)=⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙5 (cos108º+isin108º)=⑷|3(cos12π-isin 12π)∙ (1+i) ∙2(sin22º+icos22º)|=2、复数乘法的几何意义：⑴两个复数z 1、z 2相乘时，可以先画出分别与z 1、z 2对应的向量1OZ 、2OZ ，然后把向量2OZ 按逆时针方向旋转1θ（1θ再把模变为原来的r 1倍，所得的向量OZ 就表示积z 1z 2. *特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.〘例题2〙试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化：⑴8(cos6π+isin6π)∙2 (cos12π+isin12π)：⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos210º-isin210º)：⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙ (cos108º+isin108º)：〘例题3〙1、OZ 对应复数-1+i,将OZ 按逆时针方向旋转120º后得到Z O '， 求Z O '对应复数z2、（2000全国）把复数3-3i 对应向量按顺时针方向旋转π31，所得向量对应复数为(A)23 (B) -23i (C) 3-3i (D) 3+3i3、Z A =1,Z B =3+2i,并且ABCD 是按逆时针方向排列的正方形的四 个顶点，求Z C 与Z D .O xyZZ '120〘反馈练习2〙如果向量OZ 对应复数4i ，OZ 逆时针旋转45º后再把模变为原来的2倍得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是3、知识小结：⑴积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和⑵复数的乘法⇔向量的旋转与伸缩⑶做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式.三、能力测试：1、如果向量OZ 对应复数-23+4i ，OZ 顺时针旋转60º得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是………………………………………………………………………………（ ） (A) -33-i (B) 3+5i (C) -23-4i (D) 23+4i2、正⊿ABC 的顶点A 、B 、C 对应复数Z A 、Z B 、Z C ，点A 、B 、C 按逆时针顺序排列，那么…………………………………………………………（ ）(A) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º) (B) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º-isin60º) (C) Z C =Z B ∙ (cos60º+isin60º) (D) Z C =Z A +(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º)3、如果α∈(2π,π),z=(1+i) ∙ (cos α+sinα)的辐角主值为…………（ ）(A)49π- α (B)4π+α(C)43π+α (D) 2π-α4、如果A 、B 对应复数3-2i ，-1+4i ，把AB 按顺时针方向旋转90º后再把模变为原来的2倍得到向量AC ，那么向量．．AC 的复数是 ，C 点的坐标为5、2(cos176º+isin176º) ∙3 (cos26º-isin26º) =6、3(cos3π+isin3π)∙2 (cos6π+isin6π)=7、10(cos2π+isin2π)∙2 (cos4π+isin4π)=8、如果正⊿ABC 的两个顶点A 、B 对应复数z 1=i,z 2=-3四、板书计划：1、乘法公式2、几何意义3、知识小结五、信息反馈：Cx复数的三角形式（四）目的：掌握复数的三角形式的乘法运算重点：De moiver theorem (棣美弗定理)难点：复数辐角的研究教学内容：四、知识回顾：1、复数的乘法运算：z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ那么：z1z2 =2、复数乘法的几何意义：3、乘法运算定理的推广：二、De moiver theorem (棣美弗定理)：[r(cosθ+isinθ)]n=r n[cosnθ+isinnθ]证明：（用数学归纳法证明）三、典型例题分析：1、如果z=cos52π+isin 52π,求： 1+z 4+z 8+z 12+z 16之值2、如果z=cos3π+isin3π，求|z+2z 2+3z 3+…+12z 12|之值3、求(3-i)6的值.4、如果(3+i)m =(1+i)n ,m 、n ∈N ，求自然数m 、n 的最小值5、化复数z=1+(23i +)7为三角式6、设复数z 满足：|z|=1且z 5+z=1,求复数z 的值.四、课堂练习：1、化间：[3(cos18º+isin18º)]5= ,(-1-i)6= ,(1-i)(21--23)7=2、（90上海）复数W= cos52π+isin 52π，则W+W 2+W 3+W 4+W 5=五、能力测试：1、（93全国）当21i z --=时，z 100+z 50+1的值为(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i2、（94上海）设复数Z=-21+23i ，则满足z n =z 并且大于1的自然数n 中最小的是 (A)3 (B)4 (C)6 (D)73、[-3(cos10º-isin10º)]6=4、如果z=cos52π+isin 52π,求：(1+z)(1+z 2)(1+z 4)(1+z 8) 的值5、n （n ∈N ）是什么值时，(1+i 3)n ∈R6、（97全国）已知复数z=i 2321+,w=i 2222+，求复数zw+zw 3的模及幅角主值7、（97全国）已知复数z=i 2123-，w=i 2222+,复数zw,z 2w 3在复平面上对应点分别为P 、Q ，证明⊿OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）复数的三角形式（五）目的：熟练掌握复数三角形式的运算重点：乘法定理和De moiver theorem (棣美弗定理)的使用难点：积的辐角与辐角之和的关系教学内容：五、知识回顾：1、复数的乘法运算：z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ+isinβ)那么：z1z2 =2、De moiver theorem (棣美弗定理)：[r(cosθ+isinθ)]n=r n[cosnθ+isinnθ]六、典型例题分析：1、De moiver theorem (棣美弗定理)的推论：[r(cosθ-isinθ)]n=r n[cosnθ-isinnθ]试证明之。
复数的三角形式的运算(四) 教案示例
复数的三角形式的运算(四)·教案示例目的要求1．掌握复数三角形式的开方(n 次)运算公式及法则．2．会求任意非零复数的n 次方根．内容分析1．数的发展过程中，当某种运算在当前数的范围内不能实现时，其范围也就随着引入新的数而扩大．复数是在负数不能开平方的情况下，引入虚数，将实数范围扩大为复数范围，此时开平方也就能进行了．本课时即是在此基础上研究复数的开方运算．2．复数的乘法与除法互为逆运算，乘方与开方也互为逆运算．在上一节学了乘方运算的基础上，寻求复数开方运算的法则也就显得自然而且简单易行了．设ρ＋是复数＝θ＋θ的次方根，则由次方(cos i sin )z r(cos i sin )n n ϕϕ根的定义和棣莫佛公式可得r(cos i sin )[(cos i sin )]n(cosn i sinn )n θ＋θ＝ρ＋＝ρ＋ϕϕϕϕ由复数相等的条件，进一步得到ρ＝＝θ＋π，∈．n r n 2k k Z ϕ⎧⎨⎩ ∴ρ＝＝θ＋π，∈．r k n n ϕ2k Z ⎧⎨⎪⎩⎪ 从而r(cos θ＋i sin θ)的n 次方根是r (cos 2k i sin 2k n)k Z n n θ＋π＋θ＋π，∈． 由正弦函数、余弦函数的周期性可知，k 只须取0，1，2，…，n －1．所以任意复数的n 次方根有且只有n 个．这个结论不必向学生作严格的数学证明，可以通过例题，让学生多取几个k 值检验一下，然后指出：由于正弦、余弦函数都是以2π为周期的，所以k 可以取0，1，…，n －1；而当k 取n ，n ＋1，n ＋2以及其他各个整数值时，又周期性地重复出现k 取0，1，…，n －1的结果．注意式中是指正数的次算术根，复数的次方根一般不用表r z n n r n z n示，以避免与实数中算术根的符号混淆．3．要求学生记忆几个特殊的方根：正数的平方根：±．负数的平方根：±－．的立方根：，－＋，－－．a b 11i i a bi 123212324．复数n 次方根是本课时的重点内容．教学过程1．复习引入(1)复数三角形式的乘方运算．(2)复数引入的原因(负数的平方根在实数范围内不存在)．2．提出问题(1)对于虚数单位i ，有(±i)2＝－1，所以±i 都是－1的平方根．－1还有没有其他的平方根？(2)如果再把±i 或其他复数开平方，复数集是否必须再扩充？(3)任意一个复数z 的n 次方根有哪些？共有多少个？3．讲解新课要求学生讨论，寻找复数r(cos θ＋i sin θ)的n 次方根．可以加以提示和参与学生的讨论．得出结论：复数θ＋θ的次方根是θ＋π＋θ＋π，r(cos i sin )n r (cos 2k i sin 2k )n n n其中k ＝0，1，…，n －1，共有n 个．解决前面提出的问题：(1)－1除±i 外没有其他平方根；(2)复数开平方结果还是复数，无须扩充复数集，也无须扩充到空间；(3)任意复数z 的n 次方根有前述n 个值．4．注意复数0有n 个相同的n 次方根，它们都是0；而任一非零复数的n 次方根都不会是0，且彼此不相等5．应用举例(1)例4 求1－i 的立方根．讲评，指出代数形式的复数开方，应先化为三角形式．(2)例5 已知a 是正实数，求－a 的平方根．讲评，指出当辐角为特殊角时，结果应写成代数形式，以使复数更简洁直观． 变式：已知a 是负实数，求a 的平方根．(3)补充例题已知复数的一个四次方根是－，求它的另外三个四次方根．z 1i 3解法一：＝－＝π＋π＝π＋π＝π＋πz (1i)[2(cos i sin )]2(cos i sin )2(cos i sin )4444353532032032323∴z 的四次方根是2[cos 23i sin ]k 0123π＋π＋π＋π，＝，，，．242324k k 可得所求的另外三个四次方根是333＋，－＋，－－．i 1i i解法二：∵－＝π＋π1i 2(cos 106i sin 106)3 又取，，，时，方根的辐角相差π＝π．故其他三个四次k 01232436方根是2(cos76i sin 76)i 2(cos 46i sin 46)1i 2(cos 6i sin 6)i π＋π＝－－，π＋π＝－＋，π＋π＝＋．333 点评：解法一可说是以退为进，只要有了z 的值，它的任意n 次方根都可求．解法二则充分注意到n 次方根中，k 取0，1，2，…，n－时，辐角依次成等差数列，公差为π，由一个根－＋的辐角得11i 23n出其他几个根的辐角．6．课堂练习教科书第222页练习第1、3、5题．7．课堂小结(学生小结)任意复数r(cos θ＋i sin θ)的n 次方根求法．布置作业教科书习题5．6第15、16题．。
复数的三角形式。教案
复数的三角形式。
教案删除明显有问题的段落小幅度改写：课题：复数的三角形式课型：新授第1课时教学目标：1.知识目标：掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化。
2.能力目标：培养学生的转化、推理及运算能力。
3.情感目标：通过研究本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美。
教学任务分析及教学策略：通过演绎、推理、计算使学生掌握三角两种形式的互化。
教学用具：多媒体。
本节课在学科知识体系中的地位和作用：复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华。
教材联系了复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。
另外，复数的三角形式是其乘法、除法、乘方、开方运算的基础。
教材从引入到实例的设置由浅入深，层层深入，逐步引导学生去体会、研究。
教学中注意教材的内容设置，把教材、分析教材、灵活处理教材与学生的实际相结合。
可以说，复数的三角形式是承接复数代数形式的同时，也是后面复数三角形式运算打下伏笔和基础，因此，复数的三角形式在复数的教学中显得至关重要。
教学内容与步骤：一、复1.在复平面上表示出复数z=a+bi所对应点和所对应的向量OZ。
2.以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。
适合于≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。
记作：argz。
复题：已知a∈R+，求a，-a，ai，-ai的辐角主值。
二、新课复数的三角形式定义：a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r=√(a²+b²)，cosθ=a/r，sinθ=b/r，tgθ=b/a。
把Z=r(cosθ+isinθ)叫复数的三角形式，Z=a+bi叫复数的代数形式。
复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正。
教学方法：看图回答、发现、根据三角形式的特点。
教学手段：数形结合。
巩固练：（略）例题1、把下列复数化为三角形式：1)√3+1题目：把复数2(cos7π/6+isin7π/6)化成代数形式练：求复数1√3-i的辐角。
高中数学教案复数的三角形式与指数形式
高中数学教案复数的三角形式与指数形式高中数学教案：复数的三角形式与指数形式一、引言数学中的复数是指具有实部和虚部的数，可以用多种形式表示，其中最常见的是三角形式与指数形式。
本教案将重点介绍复数的三角形式与指数形式的概念、转换方法以及在数学问题中的应用。
二、复数的三角形式1. 定义复数的三角形式是指将复数表示为模长和辐角的形式，形如：z =r(cosθ + isinθ)。
其中，r表示复数的模长，θ表示复数的辐角。
2. 模长与辐角的计算模长r的计算公式：r = |z| = √(a^2 + b^2)，其中，a为复数的实部，b为复数的虚部。
辐角θ的计算公式：θ = arg(z) = arctan(b/a)。
3. 复数的三角形式转换为直角坐标形式对于给定的模长和辐角，可以通过如下公式将复数的三角形式转换为直角坐标形式：z = r(cosθ + isinθ) = a + bi。
其中，a = rcosθ，b = rsinθ。
三、复数的指数形式1. 定义复数的指数形式是指将复数表示为指数和虚指数的形式，形如：z = re^(iθ)。
其中，r表示复数的模长，θ表示复数的辐角，e是自然对数的底，i是虚数单位。
2. 模长与辐角的计算同样地，复数的模长和辐角可以通过模长公式和辐角公式来计算。
3. 复数的指数形式转换为直角坐标形式复数的指数形式可以通过欧拉公式转换为直角坐标形式：z = re^(iθ) = r(cosθ + isinθ) = a + bi。
四、三角形式与指数形式之间的转换1. 三角形式转换为指数形式将三角形式的复数z = r(cosθ + isinθ)代入欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，得到指数形式的复数：z = re^(iθ)。
2. 指数形式转换为三角形式已知复数的指数形式z = re^(iθ)，可以通过欧拉公式的逆运算得到三角形式的复数：r = |z|，θ = arg(z)。
五、复数的应用示例1. 解析几何中的应用复数的三角形式和指数形式在解析几何中有广泛应用，例如在平面内旋转、平移等操作中可以用复数来表示，方便运算和表达。
中职数学教案：复数的几何意义及三角形式(全2课时)
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容我们把横轴和纵轴分表叫做实轴和虚轴，这样的平面直角坐标系叫做复平面。
用复平面内的点来表示复数，叫做复数的几何表示法。
三、例题选讲解：这些复数分别用点坐标Z1=(0,4),Z2=(4,0),Z3=(2,1),Z4=(-2,2),Z5=(2,-3),Z6=(-2,-2)来表示。
教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容例 2 指出如图所示复平面内个点所表示的复数。
练习：P70练习2.复数的模与辐角一般的，复平面内表示复数z=a+bi的点Z （a,b）到原点的距离叫做复数的模，记作z，即：22z a b=+，以x轴正半轴为始边，OZ为终边的角α叫做复数z的辐角。
复数的辐角不是唯一的，事实上，若α是复数z的辐角，那么2kπ+α也是辐角，所以，我们把复数z在（-π，π】内的辐角叫做辐角的主值，记作arg z，以后所说的辐角一般指的是他的主值。
规定：复数0的辐角是任意值。
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：17.3.1复数的几何意义及三角形式教学目标1.理解掌握复数的三角形式2.会进行复数代数形式和三角形式间的互化重点理解掌握复数的三角形式难点会进行复数代数形式和三角形式间的互化教法讲练结合数形结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一引入有了复数的模和辐角后，可以用另一种方式来表示复数。
二新授若设复数z=a+bi，其模z,rθ=辐角为，如图所示，试用r，θ表示复数z的实部和虚部。
若复数z的模为r，辐角为θ，则z=r(cosθ+isinθ)一般的，将z=r(cosθ+isinθ)叫做复数的三i+6(cos60sin60)。
《复数的三角形式》 说课稿
《复数的三角形式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《复数的三角形式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《复数的三角形式》是高中数学选修 2-2 中复数这一章节的重要内容。
复数的三角形式是复数的一种重要表示形式，它将复数与三角函数联系起来，为解决复数的运算和几何问题提供了新的途径和方法。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解复数的概念和性质，掌握复数的三角形式的定义和表示方法，体会复数的几何意义，提高数学运算和逻辑推理能力。
二、学情分析学生在之前已经学习了复数的代数形式以及复数的四则运算，对复数有了一定的认识和理解。
但是，对于复数的三角形式，学生可能会感到比较陌生和抽象，需要通过具体的实例和直观的演示来帮助他们理解和掌握。
此外，学生在三角函数的知识方面已经有了一定的基础，但将三角函数与复数相结合，可能会存在一定的思维障碍。
因此，在教学过程中，要注重引导学生进行知识的迁移和类比，逐步突破难点。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解复数的三角形式的定义，掌握复数的三角形式的表示方法。
（2）能够将复数的代数形式转化为三角形式，反之亦然。
（3）掌握复数三角形式的乘法、除法运算。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、猜想、验证等数学活动，培养学生的数学思维能力和创新能力。
（2）通过复数三角形式的推导和运算，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和统一美，激发学生学习数学的兴趣和热情。
（2）通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。
四、教学重难点1、教学重点（1）复数三角形式的定义和表示方法。
（2）复数代数形式与三角形式的相互转化。
（3）复数三角形式的乘法、除法运算。
2、教学难点（1）复数三角形式的推导过程。
（2）理解复数三角形式中辐角的概念和取值范围。
复数的三角形式教案
复数的三角形式教案教学目的：使学生理解复数三角形式的意义，掌握复数三角形式的特点。
以及复数的代数形式与三角形式的互化。
重点：复数的三角表示，复数的三角形式与代数形式的互化。
教学过程： 复习，引入。
师：什么是复数？生：形如：bi a + ),(R b a ∈的数叫做复数。
（板书bi a + ),(R b a ∈）师：对。
那么复数可用什么几何方法来表示呢？生：复平面内的点和向量来表示。
师：对。
由复数的定义知，复数与一对有序实数),(b a 一一对应，故我们借用平面直角坐标系来表示复数，建立了复平面，复数与复平面内点建立了一一对应关系；复数在复平面内用点表示以后，我们又用向量来表示复数，那么，对于复数bi a z +=在复平面内用点Z 来表示以后，它所对应的向量怎样表示？生：用以O 为起点，Z 为终点所成的向量 y OZ 表示。
（板书图1） Z ),(b ao x图1师：对。
这样的话复数bi a z +=与复平面的点Z 及向量OZ 就建立了一个一一对应的关系：板书：复数bi a z +=点Z ),(b a 向量OZ问答1：复数bi a z +=用向量表示以后，向量OZ 的模r 就是 复数的模。
并且 =r 22b a +2：（对照图1），向量OZ 是不是可以看作是一个以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角θ对应的量？生：可以。
二、新课1、给出辐角定义：（板书：辐角的定义）我们把以x 轴的正半轴为始边、向量OZ 所在的射线为终边的角θ，叫做复数bi a z +=的辐角。
图2 师：请大家思考，引入辐角θ以后，复数可由哪些量来确定？生：辐角θ和模r 。
师：辐角θ是唯一的吗？为什么？生：不是。
因为以x 轴为始边OZ 为终边的角有无数个，它们相差π2的整数倍。
师：对，但应该说不为零的复数的辐角；那么对于复数0=z ，我们知道它对应的向量是零向量，零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的。
高中数学 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算(教师用书)教案 新人教B版必修第四册-新人
10.3 复数的三角形式及其运算[课程目标] 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算；2.掌握复数的代数形式与三角形式的转化关系．知识点一 复数的三角形式[填一填]1．如果非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内对应点Z (a ，b )，且r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，那么r ＝|z |＝a 2＋b 2，根据任意角余弦、正弦的定义可知，cos θ＝a r ，sin θ＝b r.因此，a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，如下图，从而z ＝a ＋b i ＝(r cos θ)＋(r sin θ)i ＝r (cos θ＋isin θ)，上式的右边称为非零复数z ＝a ＋b i 的三角形式(对应地，a ＋b i 称为复数的代数形式)，其中的θ称为z 的辐角．2．任何一个非零复数z 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z 的辐角主值，记作arg z .[答一答]1．复数的三角形式条件是什么？ 提示：z ＝r (cos θ＋isin θ)， ①r ≥0. ②加号连接．③余弦在前，正弦在后． ④θ前后一致，可任意值．知识点二复数三角形式的乘法[填一填]1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，那么z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．2．两个复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，将OZ1→绕原点旋转θ2，再将OZ1→的模变为原来的r2倍，如果所得向量为OZ→，那么OZ→对应的复数即为z1z2，如下图．3．如果n∈N，那么[r(cosθ＋isinθ)]n＝r n[cos(nθ)＋isin(nθ)]．[答一答]2．复数三角形式的乘法的运算原那么是什么？提示：两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和．也就是说，两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角．知识点三复数三角形式的除法[填一填]1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(z2≠0)，那么z1z2＝r1cosθ1＋isinθ1r2cosθ2＋isinθ2＝r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．2．两个复数相除的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，将OZ1→绕原点顺时针旋转θ2，再将OZ→的模变为原来的1r2，如果所得向量为OZ→，那么OZ→对应的复数即为z1z2，如下图．[答一答]3．复数三角形式除法的运算法那么是什么？提示：两个复数相除(除数不为0)，其商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．也就是说，两个复数相除(除数不为0)，是把模相除作为商的模，辐角相减作为商的辐角．类型一由复数的代数形式化三角形式[例1] 以下各式是否是三角形式，假设不是，化为三角形式．(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ；(3)z3＝－sinθ＋icosθ；(4)z4＝sinθ－icosθ；(5)z5＝cos60°＋isin30°.[分析] 由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数z在复平面内对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角，此步骤可简称为“定点→定名→定角〞这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．[解](1)由“模非负〞知，不是三角形式，需做变换z1＝2(－cosθ－isinθ)，z1在复平面上对应的点(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ〞已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ〞将θ变换到第三象限，∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[co s(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加号连〞知，不是三角形式．z2在复平面内对应的点(cosθ2，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ〞或“－θ〞将θ变换到第四象限．∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)．(3)由“余弦前〞知，不是三角形式．z 3在复平面内对应的点(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ〞将θ变换到第二象限．∴z 3＝－sin θ＋icos θ＝cos(π2＋θ)＋isin(π2＋θ)．(4)同理(3)z 4＝sin θ－icos θ＝cos(32π＋θ)＋isin(32π＋θ)．(5)z 5＝cos60°＋isin30°＝12＋12i ＝12(1＋i)＝12×2(cos π4＋isin π4)＝22(cos π4＋isin π4)．考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点，有了“定点→定名→定角〞这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.[变式训练1] 把以下复数代数式化成三角式： (1)3＋i ；(2)1＋i ；(3)－4＋3i. 解：(1)r ＝3＋1＝2，∵3＋i 对应的点在第一象限，∴tan θ＝13，即θ＝π6，∴3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)∵r ＝1＋1＝2，而1＋i 对应的点在第一象限， ∴tan θ＝11＝1，∴θ＝π4，∴1＋i ＝2(cos π4＋isin π4)．(3)∵r ＝9＋16＝5.－4＋3i 对应点在第二象限，tan θ＝－34，∴θ＝π－arctan 34，∴－4＋3i ＝5[cos(π－arctan 34)＋isin(π－arctan 34)]．类型二 复数的模及辐角主值[例2] 求复数z ＝1＋cos θ＋isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值．[分析] 式子中多了个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”．[解]z ＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋(2cos2θ2－1)＋2isinθ2cosθ2＝2cosθ2(cosθ2＋isin θ2)．(1)∵π<θ<2π，∴π2<θ2<π，∴cos θ2<0，∴(1)式右端＝－2cos θ2(－cos θ2－isin θ2)＝－2cos θ2[cos(π＋θ2)＋isin(π＋θ2)]∴r ＝－2cos θ2. ∵π2<θ2<π，∴32π<π＋θ2<2π，∴arg z ＝π＋θ2.复数2cos θ2(cos θ2＋isin θ2)从形式上看似乎就是三角形式，不少同学认为r ＝2cos θ2，arg z ＝θ2.错误之处在于他们没有去考虑θ角的X 围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连〞来判断是否为三角形式．看了这道例题，你一定能解决如z 1＝1－cos θ－isin θ(π<θ<2π)，z 2＝1＋cos θ－isin θ(π<θ<2π)等类似问题．[变式训练2] (1)复数sin50°－isin140°的辐角主值是( D )A ．150° B．40° C ．－40° D．320°解析：sin50°>0，－sin140°<0，复数sin50°－isin140°在复平面内的对应点在第四象限，因为sin50°－isin140°＝cos40°－isin40°＝cos(360°－40°)＋isin(360°－40°)＝cos320°＋isin320°，所以辐角主值为320°.(2)当实数m ＝0时，复数(m 2－m －2)＋(2m 2－3m －2)i 的辐角主值是54π.解析：因为辐角主值为54π，那么⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2≤0，2m 2－3m －2≤0，2m 2－3m －2m 2－m －2＝1，解得m ＝0.类型三 复数三角形式的乘法运算[例3] 计算：3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)]· [10(cos80°＋isin80°)]．[解] 3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)][10(cos80°＋isin80°)] ＝3×2×10[cos(20°＋50°＋80°)＋isin(20°＋50°＋80°)] ＝60(cos150°＋isin150°) ＝60(－32＋12i) ＝－303＋30i.假设遇到复数的代数式与三角式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数式或三角式，然后进行复数的代数式相乘或三角式相乘.[变式训练3] 计算：(－1＋i)[3(cos 74π＋isin 74π)]．解：|－1＋i|＝－12＋12＝2，cos θ＝－12＝－22，sin θ＝12＝22，∴可取θ＝34π. 故－1＋i 的三角形式为2(cos 34π＋isin 34π)．原式＝2(cos 34π＋isin 34π)[3(cos 74π＋isin 74π)]＝2·3[cos(34π＋74π)＋isin(34π＋74π)]＝6(cos 52π＋isin 52π)＝6(cos π2＋isin π2)＝6i.[例4] n ∈N *，求证：(cos θ－isin θ)n＝cos nθ－isin nθ. [证明] 左边＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]n＝[cos(－nθ)＋isin(－nθ)]＝cos nθ－isin nθ＝右边．复数n 次幂的模等于这个复数的模的nn 倍.也就是说，复数的n 次幂n ∈N ，是把模的n 次幂作为幂的模，把辐角的n 倍作为幂的辐角.[变式训练4] 计算： (1)[2(cos π4＋isin π4)]10；(2)[2(cos 2π15＋isin 2π15)]5.解：(1)[2(cos π4＋isin π4)]10＝(2)10(cos 52π＋isin 52π)＝32(cos π2＋isin π2)＝32i.(2)[2(cos 2π15＋isin 2π15)]5＝25(cos 2π3＋isin 2π3)＝32(－12＋32i)＝－16＋16 3 i.类型四 复数三角形式的除法运算[例5] 复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，r ≠0，求1z的三角形式．[解]1z＝cos0°＋isin0°r cos θ＋isin θ＝1r [cos(0°－θ)＋isin(0°－θ)]＝1r[cos(－θ)＋isin(－θ)]．由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数.[变式训练5] 计算：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]． 解：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)] ＝42[cos(80°－320°)＋isin(80°－320°)] ＝2[cos(－240°)＋isin(－240°)] ＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.1．复数12－32i 的三角形式是( D )A ．cos(－π3)－isin(－π3)B ．cos π3＋isin π3C ．cos π3－isin π3D ．cos 5π3＋isin 5π32．设z 1＝－1＋3i ，z 2＝(12z 1)2，那么z 2的辐角主值是( B )A.5π6 B.4π3 C.11π6 D.5π33．如果θ∈(π2，π)，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( A )A.2[cos(9π4－θ)＋isin(9π4－θ)]B.2[cos(2π－θ)＋i sin(2π－θ)]C.2[cos(π4＋θ)＋isin(π4＋θ)]D.2[cos(3π4＋θ)＋isin(3π4＋θ)]4．复数3＋i －1－3i的三角形式是cos 56π＋isin 56π.解析：3＋i－1－3i＝2cos π6＋isinπ62cos 4π3＋isin 43π＝cos(π6－43π)＋isin(π6－43π)＝cos(－76π)＋isin(－76π)＝cos 56π＋isin 56π.。
高中数学必修课教案复数的三角形式与向量应用的复杂问题解决方法
高中数学必修课教案复数的三角形式与向量应用的复杂问题解决方法高中数学必修课教案：复数的三角形式与向量应用的复杂问题解决方法引言：高中数学中，复数的三角形式和向量的应用是解决复杂问题的关键概念。
本教案将从理论和实践两个方面，全面介绍复数的三角形式和向量应用的相关内容，并提供解决复杂问题的方法和技巧。
第一部分：复数的三角形式1.1 复数的表示和性质复数是实数和虚数的结合，在复平面上可以表示为坐标点。
复数的表示形式有代数形式和三角形式两种，而其中的三角形式更适用于解决复杂问题。
1.2 复数的三角形式推导通过欧拉公式，我们可以将复数表示为指数形式，再通过指数函数的公式化简，得到复数的三角形式：z = r(cosθ + isinθ)。
1.3 复数的三角形式的应用以求解复数幂为例，利用复数的三角形式可以简化计算过程。
例如，求解复数z的n次幂，只需将其转化为极坐标形式，然后利用欧拉公式求解。
这在高等数学中的微积分和线性代数等领域有重要应用。
第二部分：向量应用的复杂问题解决方法2.1 向量的基本概念与性质回顾向量由大小和方向组成，具有平移性和共线性等特点。
此部分回顾了向量的定义、加法、数量积、向量积等基本概念和性质。
2.2 利用向量解决几何问题2.2.1 三角形的面积计算通过向量的叉乘运算，我们可以得到三角形的面积。
根据向量的性质，可以利用三角形两个边的向量表示来计算三角形的面积。
2.2.2 直线和平面的方程求解利用向量的点乘和叉乘，我们可以确定直线和平面的方程，从而解决关于直线和平面的各类问题。
2.3 向量的应用于力的分解和合成在物理学中，力的分解和合成是非常重要的。
向量的性质使我们能够将力分解为各个方向的分力，从而更好地分析和解决力的问题。
2.4 向量的应用于电路分析在电路分析中，向量的思想和方法也起到了关键作用。
例如，利用复数表示电压和电流，结合欧姆定律和基尔霍夫定律，可以简化电路分析的计算过程。
结论：本教案全面介绍了高中数学必修课中复数的三角形式和向量应用的内容，以及解决复杂问题的方法和技巧。
高中数学教案复数的指数形式与三角形式
高中数学教案复数的指数形式与三角形式一、引言复数是数学中的一个重要概念，在高中数学学科中占据了重要的地位。
本教案旨在帮助学生理解复数的指数形式与三角形式，以及它们在实际问题中的应用。
二、复数的指数形式1. 复数的定义复数是由实部与虚部组成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 指数形式的概念指数形式是将复数写成指数的形式，即z=r×e^(θi)，其中r为模长，θ为辐角。
3. 求模长与辐角a) 模长的计算：模长r=√(a^2+b^2)b) 辐角的计算：tanθ=b/a4. 乘法与除法的指数形式表示a) 复数相乘：将模长相乘，辐角相加，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)ib) 复数相除：将模长相除，辐角相减，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的三角形式1. 三角形式的概念三角形式是将复数写成三角函数的形式，即z=r(cosθ+isinθ)。
2. 求模长与辐角a) 模长的计算：与指数形式相同，模长r=√(a^2+b^2)b) 辐角的计算：与指数形式相同，tanθ=b/a3. 乘法与除法的三角形式表示a) 复数相乘：将模长相乘，辐角相加，即r_1(cosθ_1+isinθ_1)×r_2(cosθ_2+isinθ_2)=r_1r_2[cos(θ_1+θ_2)+isin(θ_1+θ_2)]b) 复数相除：将模长相除，辐角相减，即(r_1(cosθ_1+isinθ_1))/(r_2(cosθ_2+isinθ_2))=(r_1/r_2)[cos(θ_1-θ_2)+isin(θ_1-θ_2)]四、复数的应用1. 电路中的应用复数的指数形式与三角形式在电路中有广泛的应用，可以用于描述交流电路中电流与电压之间的关系。
2. 幅角的意义解释复数的辐角可以表示相位差，常用于解释波的相位变化以及信号之间的相对位置关系。
12.6 复数的三角形式
思考：引入பைடு நூலகம்辅角的概念后，一个复数可以由哪些量来确定？（模、辅角）
分析：那么辐角是唯一的吗？
发现：不是，因为以 轴的正半轴为始边， 所在的射线 为终边的角有无限多个，他们相差2 的整数倍．
非零复数 的辐角有无限多个，它们组成的集合是
我们要把复数与它的辐角和模建立一个一一对应的关系的话，应该怎样给出怎样限制条件呢？
解：（1）argz= , .
(2)argz= ,
(3)argz= ,
教学内容与教学过程
练习2说出下列复数的辐角及其辐角主值．
（1） （2）-5 （3）
（4） （5） （6）0
解：（1）
（2）
（3）
（4）argz= ,
（5）argz= ,
（6）z=0,即 =0，由于零向量的方向不确定，因此复数0的辐角不确定．
适合于 的辐角 的值，叫辐角的主值．记作：argz．
这样以后，每一个复数就有唯一的模与辐角的主值与之对应了．并且可由它的模和辐角主值唯一确定．
（三）跟踪练习：
练习1已知a∈R+,求a,-a,ai,-ai的辐角主值．
解：
练习2：说出下列复数的辅角及辅角主值．
（1）2i,(2)-5, (3)-2i,
(4)3+3i,(5)-4+4i,(6)0
设复数 ，它的模为 ，一个辅角为 ，则复数 对应于复平面上的点 ．由于 ，根据三角函数的定义得：
因此，复数 可以写成
．
我们把 叫做复数 的三角形式．
对比：我们把 叫做复数 的代数形式．
联系：同一个非零复数的三角形式和代数形式之间可以通过下列式子互换．
复数0的模等于0，因此复数0的三角形式就是0．
复数的三角表示教学设计
7.3.1复数的三角表示式教学设计一、教材分析本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第三节第一课时《复数的三角表示式》，主要内容是介绍复数的三角表示式.复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，它沟通了复数与平面向量、三角函数等数学分支之间的联系，可以帮助我们进一步认识复数，也为解决平面向量、三角函数和一些平面几何问题提供一种重要途径;进一步地，还为今后在大学期间进一步学习复数的指数形式、复变函数论、解析数论等高等数学知识奠定基础、可见本节知识起着承前启后的作用.由于复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，因而复数的三角表示是本节的教学难点，通过本节的学习，侧重提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养。
二、学情分析：在前面已经学习了复数的代数形式、平面向量以及三角函数，相信学生在学习复数的三角表示式时还是比较顺利的,也是很感兴趣的. 在具体的学习过程中学生可能会在以下两方面感觉有困惑:一是对复数的辐角与辐角主值的区分与理解;二是由复数的代数形式向三角形式转化时辐角主值的确定.三、教学三维目标和核心素养目标1、知识与技能目标：让学生能够了解复数的三角形式，了解复数代数形式与三角形式的相互转化，进一-步加强学生对复数的理解.2、过程与方法目标：通过对复数三角形式的学习,向学生渗透数形结合、分类讨论、类比与化归等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力.3.情感、态度与价值观目标：情感态度价值观：在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.4.数学学科素养：（1）逻辑推理：能根据复数的几何意义，推出复数的三角表示式中的模和辐角θ;（2）数学运算：复数复数的三角表示式中的模和辐角θ;（3）数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合.四、教学目标和核心素养评价分析1.了解复数的三角形式;能辨认复数的三角形式的结构特征；2.了解复数代数形式与三角形式的相互转化：能根据复数的代数形式得出复数三角表示的模和辐角θ; 能把复数的三角式表示，化为复数的代数式.五、教学重难点重点：（1）推导复数的三角表示式（2）复数的代数形式化为复数的三角表示式；难点：复数代数形式和三角形式的互化.六、教学过程（一）复习回顾，引入新课教师：我们知道复数可以用(,)z a bi a b R =+∈的形式来表示，复数z a bi =+与复平面内的点(,)Z a b 一一对应，与平面向量(,)OZ a b =也是一一对应的，借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？复习：回顾三角函数的定义，如图，角θ的终边上一点(,)P x y ，设P 到原点O 的距离OP r =，那么怎样用角θ和r 表示,x y ？学生：r y =θsin ；rx =θcos 得θsin r y =；θcos r x = （二）预习课本，探究引入新课 教师：复数可以用(,)z a bi a b R =+∈的形式来表示，复数z a bi =+与复平面内的点(,)Z a b 一一对应，与平面向量(,)OZ a b =也是一一对应的，如图，你能用向量OZ 的模r 和以x 轴的非负半轴为始边，以向量OZ 所在射线(射线OZ )为终边的角θ来表示复数z 吗？学生：向量OZ 在平面直角坐标系内对应的点(,)Z a b 的三角表示类比得到复数Z 在复平面内对应的点(,)Z a b 的三角表示cos ,sin .a rb r θθ=⎧⎨=⎩ 教师:任何一个复数i z a b =+都可以表示成(cos isin )r θθ+的形式.其中r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数i z a b =+的辐角.(cos isin )r θθ+叫做复数i z a b =+的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，i a b +叫做复数的代数表示式，简称代数形式.教师:z=(cos isin )r θθ+的结构有哪些特点？学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.提出问题：① 复数的模r 的计算；② 式中的三角函数的角是不是同一个角；③ cos ,sin θθ的顺序；④ cos θ和sin i θ之间的符号.目标：深刻认识复数的三角表示，更容易辨认复数的三角表示的结构.学生明确:①r 是复数的模，即22b a r +=，②式中的三角函数是同一个辐角值θ的余弦和正弦;③cos θ在前，sin θ在后；④cos θ和sin i θ之间用“+”连接.注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”.教师:辐角的理解要注意什么呢？学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.目标：理解复数中的辐角的意义.提出问题：①辐角θ的意义是什么？②辐角θ是唯一的吗？③教科书中对辐角θ的范围有什么规定？学生明确:① θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线(射线OZ )为终边的角;② 任意一个不为零的复数， 其辐角的值有无数多个，且这些辐角的值相差2π的整数倍，例如1cos0sin0cos2sin 2...i i ππ=+=+=③ 教科书中规定的辐角主值区间为[)0,2π，保证复数的代数形式与复数的三角形式一一对应.教师:将复数的代数形式化为三角形式，主要确定哪些元素？学生明确:将复数的代数形式化为三角形式，主要确定两个元素：一是复数的模，二是复数的辐角。
高中数学《复数的三角表示》单元教学设计
复数的三角表示单元教学设计一、内容和内容解析1.内容复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.本单元的知识结构：本单元建议用2课时：第一课时，复数的三角表示式；第二课时，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.2. 内容解析复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，是复数代数形式及其乘除运算等知识的延续和复数的三角表示，实际上是用有序数对（r,）来确定一个复数z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.复数的三角形式与代数形式有着紧密联系，可以借助三角函数的知识，将三角形式和代数形式进行互化；基于复数的三角表示，按照复数的乘法运算法则，并利用三角恒等变换知识，就能推导得出复数乘法运算的三角表示，因此复数的三角表示是本单元的基础.由复数乘法运算的三角表示可以推导出复数除法运算的三角表示.复数乘、除运算的三角表示不仅形式简洁，给复数的乘、除运算带来了便利，而且它们的几何意义明显，实际上，复数乘、除运算三角表示的几何意义就是平面向量的旋转和伸缩.借助复数乘、除运算三角表示的几何意义，可以将一些复数、三角和平面几何问题转化为向量问题去解决. 因此，复数乘、除运算的三角表示式及其几何意义在本单元中具有重要地位.比的研究方法，如三角表示的两个复数相等的充要条件是类比代数形式两个复数相等的充要条件得到的，复数除法三角表示的几何意义是类比复数乘法三角表示的几何意义得到的，等.运用好本单元的相关知识素材，让学生体会这些数学思想和方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.基于以上分析，确定本单元的教学重点：复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，以及这些内容所体现的数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法.二、目标和目标解析1. 目标（1）了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.（2）了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.（3）了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.（4）在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.2. 目标解析达成目标（2）的标志是：学生能根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化；能够类比复数代数形式表示的两个复数相等的充要条件得出三角形式表示的两个复数相等的充要条件，并会判断两个用三角形式表示的复数是否相等.达成目标（3）的标志是：学生能根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式推导出复数乘法运算的三角表示式，并能用文字语言阐述其含义；能根据复数乘法运算的三角表示，得出复数乘法的几何意义；会类比复数乘法运算的三角表示及其几何意义得出复数除法运算的三角表示及其几何意义；会依据复数乘、除运算的三角表示及其几何意义进行相关的计算，能解决简单的复数、三角和平面向量问题.达成目标（4）的标志是：在教师的引导下，学生能够运用数形结合的思想，探究复数三角表示式和复数乘、除运算几何意义；在复数除法运算三角表示的推导过程中，能体会化归与转化的思想；能够运用类比的方法，探究两个三角表示的复数相等的充要条件，探究复数除法运算三角表示的几何意义；在复数三角形式和代数形式的互化过程中，能感受事物之间在一定条件下可以互相转化的辩证唯物主义观点.三、教学问题诊断分析在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点z(a,b)以及向量的一一对应关系；掌握了复数乘、除运算的运算法则，为本单元学习复数的三角表示奠定了基础.但从复数的几何意义出发探究得出复数的三角表示式，从思维角度看学生还缺乏经验；并且复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，而且有些学生会错误地认为，只要复数的表达式中含有正弦和余弦函数就是复数的三角表示式.因此，探究和理解复数的三角表示式有一定难度.在能力基础上，学生通过高一上学期的学习，对高中数学学习中常用的基本数学思想方法已经有所了解，有运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的意识，也知道类比是研究数学问题的一种常用的方法，但在实际应用中，学生运用起来还不够熟练，而且往往很难针对具体问题的特点选择合适的数学思想方法解决问题，所以在运用类比的方法探究三角形式表示的两个复数相等的充要条件，利用数形结合、类比等方法探究复数乘、除运算几何意义的过程中，学生可能会遇到障碍.在学习态度上，由于高考不涉及本单元的内容，所以学生在重视程度上可能不够，需要教师设置比较好的问题情境，并指出学习本节内容的重要意义和价值，从而激发学生的学习兴趣和学习主动性.综上所述，本单元的教学难点为：利用几何画板、GeoGebra等信息技术工具有助于帮助学生探究并理解辐角.例如，可以使用信息技术工具画出平面向量表示的复数z=a+bi，让学生通过观察、比较，初步确定可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角刻画平面向量的方向；然后改变复数对应的平面向量的位置（在不同象限或在实轴、虚轴上），进行动态演示，感受选择来刻画平面向量方向的一般性和合理性. 也可以通过上述图形，让学生直观感受复数a+bi 与平面向量的对应关系，体会辐角的多值性和辐角主值的唯一性.在复数乘、除运算的三角表示几何意义的教学中，也可使用几何画板、GeoGebra等信息技术工具，使学生感受两个复数相乘（或相除）时，模和辐角的变化情况，从而加深学生对几何意义的理解.五、教学过程设计第一课时7.3.1 复数的三角表示式（一）课时教学内容复数的三角表示式（二）课时教学目标1. 了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.2. 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.（三）教学重点与难点教学重点：复数的三角表示式教学难点：复数的三角表示式（四）教学过程设计师生活动：学生思考、回答，指出z=a+bi(a，b∈R)称为复数，以及复数的两种几何意义：复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应；复数z=a+bi与平面向量=(a,b)一一对应.师生活动：学生回答，教师利用几何画板、GeoGebra等信息技术工具或在黑板上画出复数z=a+bi对应的平面向量.追问2：已知平面向量=(a,b)，能唯一确定与之对应的复数z吗？复数z的表达式是什么？为什么？师生活动：学生思考并回答，由于复数z=a+bi与平面向量=(a,b)一一对应，所以已知平面向量=(a,b)能唯一确定与之对应的复数，其表达式为z=a+bi.教师总结，复数z可以由向量的坐标(a,b)唯一确定.问题2 我们知道复数z=a+bi可以由向量的坐标(a,b)唯一确定，向量既可以由它的坐标(a,b)唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析图1，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？师生活动：学生在教师的引导下，观察图形、思考讨论，发现解决问题2的首要环节是，应定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量的大小可以用复数的模来表示，向量的方向可以借助角来表示.追问2：如何用文字语言表述角呢？师生活动：学生思考回答，可能给出的表述不很确切. 教师逐渐引导纠正，逐步得出：角是以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角.追问3：你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？设计意图：要求学生进一步借助图形，得出模r和角与平面向量的坐标(a,b)的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想. 这是得出复数三角表示式的另一个关键环节.追问4：刚才我们画的图形，角的终边落在第一象限，得到a+bi=r(cos +isin)，这个式子是否具有一般性呢？即：若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？师生活动：教师借助几何画板、GeoGebra和PPT等软件，改变平面向量的位置，让学生观察分析，得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有a+bi=r().教师指出r()叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称为三角形式，并板书复数的三角表示式，介绍辐角的概念，说明辐角既设计意图：让学生分析角的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角表示式，感受数学的严谨性，培养抽象概括能力.师生活动：学生思考回答，因为任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差的整数倍.设计意图：让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之间相差的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性.设计意图：由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特征作出判断.例1判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.师生活动：学生在练习本上独立完成，教师巡视并进行个别指导，学生都完成后进行反馈交流，教师帮助更正错误，指导学生依据复数三角表示式的结构特征进行反思，并总结：熟练应用三角函数的诱导公式进行恒等变换，是将复数的非三角表示式转化为三角表示式的一个关键环节.设计意图：辨析复数的三角表示式，帮助学生进一步理解三角表示式的概念，学会将复数的非三角表示式化为三角表示式的方法.4. 概念应用，巩固新知例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：师生活动：先由学生思考发言，师生共同总结解题的基本思路，教师板书第1小题，学生书写第2小题完整的解题步骤.教师总结解题思路：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要借助数形结合解决问题.只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.而利用即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用cos或sin求辐角.设计意图：一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；更为重要的是借助与复数对应的点的坐标，判断角的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法.师生活动：学生在练习本上独立完成，教师巡视并给予个别指导，学生都完成后请学生展示交流. 教师指导学生反思：应注意辐角的值不只一个，写出的辐设计意图：例3主要有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中r,的含义，进而认识到复数实质上可以由有序实数对(r,)来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系；二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法.师生活动：引导学生利用类比的方法思考、回答.教师可以引导学生按照下面的思路进行探究：两个复数相等两个复数对应的向量相同两个向量的长度相等且方向相同两个复数的模相等且辐角主值相等.通过推理，顺理成章地得出结论.设计意图：让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性.5. 课后作业教科书习题7.3 第1，2题.（五）目标检测设计1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：设计意图：考查学生将复数的代数形式化为三角形式的能力．2. 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.设计意图：考查学生对复数三角形式的掌握程度．3. 将下列复数表示成代数形式：设计意图：考查学生将复数的三角形式化为代数形式的能力.第二课时7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（一）课时教学内容复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.（二）课时教学目标1. 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.2. 在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.（三）教学重点与难点教学重点：复数乘、除运算的三角表示教学难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.（四）教学过程设计引言：在7.2节，我们研究了复数代数形式的四则运算，上节课又学习了复数的另一种重要的表示形式——三角形式，很自然地，我们想知道复数的四则运算是否能用三角形式表示？下面我们就一起来研究这个问题.1.知识回顾问题1我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？师生活动：学生回忆后回答：设a，b,c,d∈R，则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)设计意图：复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫.2.复数乘法运算的三角表示及几何意义的探究及应用问题2 上节课，我们学习了复数一种新的表示方法——三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢？师生活动：教师给学生充分的自主活动的时间，学生经过独立思考和演算后，由学生汇报交流，教师及时补充或纠正错误，师生共同完成复数加法和乘法是否能用三角形式表示的探究过程.发现：一般说来复数的加法不便表示成三角形式；师生活动：学生用纸笔画出草图，分组讨论交流.教师借助几何画板、GeoGebra等软件画出对应的向量，演示乘法运算的过程，学生归纳得出复数乘法运算三角表示的几何意义（图2）.师生活动：学生独立做题，教师巡视答疑，学生完成后利用多媒体进行交流展示.教师指导学生反思：运用复数乘法的三角表示式进行运算的前提是，给出的复数必须都是三角形式，然后才能利用“模数相乘，辐角相加”的算法进行运算. 教学中应提醒学生：当不要求把计算结果化为复数的代数形式时，也可以直接用三角形式表示结果.设计意图：让学生运用复数乘法的三角表示公式进行运算，进一步熟悉算理和复数乘法运算三角表示的几何意义.设计意图：让学生了解利用复数乘法的几何意义可以解决某些与向量旋转、伸缩有关的复数运算问题，体会利用复数乘法的几何意义解决问题的便捷性.3. 复数除法运算的三角表示及几何意义的探究与应用问题6 除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？师生活动：教师引导，学生讨论，得出将复数除法运算转化为乘法运算的方法（配凑法），学生自己推导得出复数除法运算三角表示公式，教师板书公式：用文字语言可表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．追问：你还有其他的推导方法吗？追问：若模伸长或缩短倍呢？4. 课堂练习（1）教科书第89页练习1（1）（3）.（2）教科书第89页练习2（1）（2）.5. 单元小结（1）回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程，并说说研究方法.（2）复数三角表示式的基本结构特点是什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？（3）三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？它是怎么得出的？（4）复数乘法运算和除法运算的三角表示公式及其几何意义分别是什么？它们是如何推导出来的，试简述研究思路和方法.（5）简述复数的代数形式和三角形式的区别与联系，它们在运算上各有什么优势？分别适合哪些运算？师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、回答，互相补充，教师进行点评，帮助完善.是利用复数的几何意义，借助数形结合进行探究.回顾研究过程和研究方法有利于培养学生思维的严谨性，积累基本的数学活动经验.（2）让学生进一步理解复数三角表示式和辐角、辐角的主值等核心概念.使学生对概念形成清晰的认识，有利于复数三角形式的后续应用.（3）让学生进一步明确两个复数相等的充要条件，体会类比的研究方法.（4）让学生进一步明确复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，进一步体会类比、化归与转化、数形结合等数学思想方法.有利于提升学生直观想象、逻辑推理等素养.（5）通过比较，让学生体会复数代数形式和三角形式各自的特点，体会复数的三角形式给复数的乘、除运算带来的便利，以及复数三角形式与平面向量、三角函数之间的紧密联系.6. 课后作业：习题7.3第3，4，6，7，8题（五）目标检测设计1. 计算下列各式，并做出几何解释：2.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）.。
【人教A版】高中数学必修第二册第七章：7.3.1复数的三角表示式 教学设计
【人教A 版】高中数学必修第二册第七章 7．3.1 复数的三角表示式 教学设计(教师独具内容)课程标准：通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．教学重点：复数的三角形式及复数代数形式与三角形式的互化． 教学难点：复数辐角的主值，复数两种形式之间的互化．核心素养：通过复数的三角形式及复数的代数形式与三角形式的互化提升数学抽象素养和数学运算素养.在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是辐角的主值，也可以是辐角的主值加2k π或k ·360°(k ∈Z )．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成辐角的主值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－1＝cosπ＋isinπ.( ) (2)2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2.( )(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．( ) 2．做一做(1)将复数z 1＝－1＋3i 表示成三角形式为____. (2)已知|z |＝23，arg z ＝5π3，求复数z ＝____.(3)若a <0，则a 的三角形式是____.题型一 复数的代数形式化为三角形式 例1 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ；(2)1－i.[跟踪训练1] 把下列复数表示成三角形式． (1)－2＋2i ；(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4. 题型二 判断复数的三角形式例 2 判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．(1)12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4；(2)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3；(3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5＋isin π5；(4)sinπ5＋icos π5. [跟踪训练2] 下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4； (2)cos7π5＋isin 7π5； (3)12⎝⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π6.题型三 复数的三角形式化为代数形式 例3 将下列复数的三角形式表示成代数形式： (1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6.[跟踪训练3] 将下列复数的三角形式化成代数形式： (1)z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；(2)z 2＝6(cos60°＋isin60°)．1．－6的辐角的主值为( ) A ．0 B ．π2 C ．πD ．－π22．(多选)下列说法正确的是( ) A ．已知复数z ＝cos7π5＋isin 7π5，则z 的辐角的主值为7π5B ．复数z ＝2i ＋3的虚部为2iC ．(3＋i)6＝－64D ．复数z ＝2i 的三角形式为z ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2 3．复数12－32i 的三角形式是____.4．设复数z ，z ＋2的辐角的主值为π3，z －2的辐角的主值为5π6，则z ＝____. 5．设复数z 满足z －3z －的辐角的主值为5π4，z ＋1的模为10，求复数z .一、选择题1．如果非零复数有一个辐角为－7π4，那么该复数的( ) A ．辐角唯一B ．辐角的主值唯一C ．辐角的主值为－7π4D ．辐角的主值为7π42．复数z ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π3－icos 4π3的辐角的主值是( ) A ．4π3 B ．5π3 C ．11π6D ．π63．复数z ＝11＋i的辐角的主值是( ) A ．π4 B ．3π4 C ．5π4D ．7π4 4．已知复数z ＝－1＋3i ，则它的共轭复数z －的三角形式为( ) A ．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3－isin 4π3 B ．z ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6C ．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3 D ．z ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 5π3＋isin 5π3 5．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：e i x ＝cos x ＋isin x (其中i 为虚数单位，i 2＝－1)，根据这个公式，e 3i 表示的复数在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题6．复数－2i 的实部是____，虚部是____，三角形式是____. 7．复数1＋i 的模是____，辐角的主值是____，三角形式是____.8．复数2＋i 和－3－i 的辐角的主值分别为α，β，则tan(α＋β)等于____. 三、解答题9．已知复数z ＝12＋32i ，w ＝22＋22i ，求复数zw ＋zw 3的模及辐角的主值．10．已知复数z ＝1－sin θ＋icos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，求z 的共轭复数z －的辐角的主值．7．3.1 复数的三角表示式(教师独具内容)课程标准：通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．教学重点：复数的三角形式及复数代数形式与三角形式的互化． 教学难点：复数辐角的主值，复数两种形式之间的互化．核心素养：通过复数的三角形式及复数的代数形式与三角形式的互化提升数学抽象素养和数学运算素养.在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是辐角的主值，也可以是辐角的主值加2k π或k ·360°(k ∈Z )．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成辐角的主值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－1＝cosπ＋isinπ.( ) (2)2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2.( )(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做(1)将复数z 1＝－1＋3i 表示成三角形式为____.(2)已知|z |＝23，arg z ＝5π3，求复数z ＝____. (3)若a <0，则a 的三角形式是____. 答案 (1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3 (2)3－3i (3)－a (cosπ＋isinπ)题型一 复数的代数形式化为三角形式 例1 把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ；(2)1－i. [解] (1)r ＝3＋1＝2， ∵3＋i 对应的点在第一象限， ∴tan θ＝13＝33，即θ＝π6，∴3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝1＋1＝ 2.∵1－i 对应的点在第四象限， 且tan θ＝－11＝－1，∴θ＝7π4， ∴1－i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.复数的代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角(一般取辐角的主值)． (4)求出复数的三角形式．[跟踪训练1] 把下列复数表示成三角形式．(1)－2＋2i ；(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4. 解 (1)原式＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22i＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4. (2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4. 题型二 判断复数的三角形式例 2 判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．(1)12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4；(2)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3；(3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5＋isin π5；(4)sinπ5＋icos π5. [解] 根据复数的三角形式的结构，z ＝r (cos θ＋isin θ)，可依次作出判断． (1)不是；12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4＝12⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4. (2)不是；－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3. (3)不是；2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π5＋isin π5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π5＋isin 4π5. (4)不是；sinπ5＋icos π5＝cos 3π10＋isin 3π10.判断复数的三角形式的条件(1)r ≥0； (2)加号连接；(3)cos 在前，sin 在后； (4)θ前后一致．即“模非负，角相同，余正弦，加号连”．[跟踪训练2] 下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4；(2)cos 7π5＋isin 7π5； (3)12⎝⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π6.解 (1)不是；12⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4＋icos 3π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4. (2)是．(3)不是；12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π6＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2.题型三 复数的三角形式化为代数形式 例3 将下列复数的三角形式表示成代数形式： (1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6. [解] 根据a ＋b i ＝r (cos θ＋isin θ)，可得a ＝r cos θ，b ＝r sin θ，故可解．(1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝4×12＋4×32i ＝2＋23i.(2)6⎝⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6＝6×32＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12i＝33－3i.将复数的三角形式化为代数形式：由z ＝r (cos θ＋isin θ)＝r cos θ＋i r sin θ， 可得a ＝r cos θ，b ＝r sin θ.[跟踪训练3] 将下列复数的三角形式化成代数形式： (1)z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6；(2)z 2＝6(cos60°＋isin60°)． 解 (1)z 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝3＋i.(2)z 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ＝3＋33i.1．－6的辐角的主值为( ) A ．0 B ．π2 C ．π D ．－π2答案 C解析 －6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角的主值θ＝π.故选C. 2．(多选)下列说法正确的是( ) A ．已知复数z ＝cos7π5＋isin 7π5，则z 的辐角的主值为7π5B ．复数z ＝2i ＋3的虚部为2iC ．(3＋i)6＝－64D ．复数z ＝2i 的三角形式为z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2 答案 AC解析 A 项，z 的辐角的主值为arg z ＝7π5，正确；B 项，虚部为实数2，错误；C 项，(3＋i)6＝[(3＋i)2]3＝(2＋23i)3＝8＋3×2×(23i)2＋3×22×(23i)＋(23i)3＝－64，正确；D 项，z ＝2(0＋i)＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2，错误．故选AC.3．复数12－32i 的三角形式是____.答案 cos 5π3＋isin 5π3解析 12－32i ＝cos 5π3＋isin 5π3，故复数12－32i 的三角形式是cos 5π3＋isin 5π3.4．设复数z ，z ＋2的辐角的主值为π3，z －2的辐角的主值为5π6，则z ＝____. 答案 －1＋3i解析 设z ＋2＝r 1⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝r 12＋3r 12i ，z －2＝r 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6＝－3r 22＋r 22i.∴r 12－2＋3r 12i ＝2－3r 22＋r 22i ， 易得⎩⎪⎨⎪⎧r 12－2＝2－3r 22， ①3r 12＝r 22， ②∴r 2＝3r 1，代入①得r 1＝2，∴z ＝1＋3i －2＝－1＋3i.5．设复数z 满足z －3z －的辐角的主值为5π4，z ＋1的模为10，求复数z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．由|z ＋1|＝10，得|(x ＋1)＋y i|＝10，∴(x ＋1)2＋y 2＝10.①又z －3z －＝(x ＋y i)－3(x －y i)＝－2x ＋4y i ，所以 arg(z －3z －)＝5π4⇔⎩⎨⎧－2x <0，4y <0，－2x ＝4y ，②解①②，可得x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2－i.一、选择题1．如果非零复数有一个辐角为－7π4，那么该复数的( )A ．辐角唯一B ．辐角的主值唯一C ．辐角的主值为－7π4D ．辐角的主值为7π4答案 B解析 ∵辐角的主值范围是[0,2π)，任何一个非零复数都有唯一的辐角的主值，∴有一辐角为－7π4，则该复数有唯一的一个辐角的主值，为π4.故选B. 2．复数z ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π3－icos 4π3的辐角的主值是( ) A ．4π3 B ．5π3 C ．11π6D ．π6答案 C解析 z ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＋icos π3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－icos π3 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π6＋isin 11π6，∴arg z ＝11π6.3．复数z ＝11＋i的辐角的主值是( )A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π4答案 D解析 z ＝11＋i ＝12－12i ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4，所以辐角的主值是7π4，故选D.4．已知复数z ＝－1＋3i ，则它的共轭复数z －的三角形式为( ) A ．z ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3－isin 4π3 B ．z ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 C ．z ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3 D ．z ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π3＋isin 5π3 答案 C解析 ∵z －＝－1－3i ，∴|z －|＝2，z －＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3. 5．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：e i x ＝cos x ＋isin x (其中i 为虚数单位，i 2＝－1)，根据这个公式，e 3i 表示的复数在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵e i x ＝cos x ＋isin x ，e 3i ＝cos3＋isin3,3弧度的角终边在第二象限．选B.二、填空题6．复数－2i 的实部是____，虚部是____，三角形式是____.答案 0 －2 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2 解析 复数－2i ＝0－2i ，所以实部是0，虚部是－2，三角形式为2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π2＋isin 3π2. 7．复数1＋i 的模是____，辐角的主值是____，三角形式是____. 答案2 π42⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4解析 复数1＋i 的模是12＋12＝2，∵1＋i 对应的点在第一象限，且辐角的正切tan θ＝1，∴arg(1＋i)＝π4. ∴三角形式为2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 8．复数2＋i 和－3－i 的辐角的主值分别为α，β，则tan(α＋β)等于____. 答案 1解析 ∵复数2＋i 和－3－i 的辐角的主值分别为α，β.∴tan α＝12，tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1. 三、解答题9．已知复数z ＝12＋32i ，w ＝22＋22i ，求复数zw ＋zw 3的模及辐角的主值．解 ∵zw ＋zw 3＝zw (1＋w 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ⎝⎛⎭⎪⎫22＋22i (1＋i) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6. ∴复数zw ＋zw 3的模为2，辐角的主值为5π6. 10．已知复数z ＝1－sin θ＋icos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，求z 的共轭复数z －的辐角的主值．解 z ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝2cos 2π2＋θ2＋2isin π2＋θ2cos π2＋θ2＝2cos π2＋θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋θ2＋isinπ2＋θ2， 当π2<θ<π时，π4<3π4－θ2<π2，π2<π4＋θ2<3π4， ∴z －＝－2cos π2＋θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋θ2＋isin π2＋θ2 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ2， ∴辐角的主值为3π4－θ2.。
初二教案复数的三角形式与指数形式的教学实践与反思
初二教案复数的三角形式与指数形式的教学实践与反思引言：本篇文章将围绕初二数学教学中的复数的三角形式与指数形式展开讨论，并结合教学实践与反思，旨在探讨如何有效地教授这一概念，提高学生的学习效果。
一、复数的三角形式与指数形式的基本概念复数是由实部和虚部组成的数，可以写成a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
在数学中，复数有三角形式和指数形式两种表示方法。
1. 复数的三角形式复数的三角形式用模和辐角表示复数。
复数的模为复数到原点的距离，辐角表示复数与实轴正方向之间的夹角。
三角形式的表示为z =r(cosθ + isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
2. 复数的指数形式复数的指数形式是指数为θi的形式，即z = r * e^(iθ)，其中r为模，θ为辐角。
指数形式下，复数的运算特别方便，可以通过指数的加法与乘法规则进行简化。
二、教学实践与反思1. 教学实践在初二数学课堂中，教师可以采用以下方式来进行复数的三角形式与指数形式的教学：（1）引入概念：通过引例和实物图形等方式，引导学生认识和理解复数的三角形式与指数形式，并强调其在实际应用中的重要性，激发学生学习的兴趣和动力。
（2）理论讲解：通过简洁清晰的语言，向学生解释复数的三角形式和指数形式的定义和基本性质，引导学生理解其运算规则和几何意义。
（3）实例演示：通过具体的实例，演示如何将复数转换成三角形式和指数形式，并引导学生参与到解题过程中，培养学生解决问题的能力。
（4）讨论与总结：组织学生进行小组讨论，共同总结复数的三角形式和指数形式的应用场景，并归纳出解决问题的方法和注意事项。
2. 教学反思在教学过程中，需要重点关注以下几个方面：（1）例题选择：要选择一些既能够反映复数的三角形式和指数形式基本概念的例题，又能够贴近学生的日常生活，增加学生的学习兴趣。
（2）教学方法：要注意采用多种教学方法，包括讲解、演示和讨论等，通过多种方式培养学生的思维能力和解决问题的能力。
复数的三角形式与指数形式详细教学案省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2! 3!
n!
z2 z3 z4 z5 z6 z7 1 zi i i i
2! 3! 4! 5! 6! 7!
z2 z4 z6
z3 z5 z7
(1 ) (z )i
2! 4! 6!
3! 5! 7!
cos z i sin z
4.2、复数旳指数形式
由复数旳三角形式与指数形式，我们很轻易得到下面旳
这么，我们把 r(cos i sin ) 叫做复数a+bi旳三角形式
a bi r cos ir sin r(cos i sin )
二、复数三角形式旳运算法则 引入复数三角形式旳一种主要原因在于用三角形式进行乘 除法、乘方、开方相对于代数形式较为简朴。
所以这里只简介三角形式旳乘法、除法、乘方与开方旳运 算法则。 1、复数旳乘法
假如写成 ai 旳形式 一方面，因为 ai ai a
与 (ir )a 旳形式差别不是很大，
其次
(ai )n anin
初等数学专题研究
在复数旳乘措施则中，应该仅是幅角旳n倍而没有虚数单 位也要n倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而 应该是相乘关系
z rai
目前来审查乘法、除法和乘措施则是否吻合
n!
x2 x4 x6
x4n4
x4n2
cos x 1
2! 4! 6! (4n 4)! (4n 2)!
初等数学专题研究
x3 x5 x7
x4n3
x 4n1
sin x x
3! 5! 7! (4n 3)! (4n 1)!
将
x
iz代入可得：
e iz
1
iz
(iz)2
(iz)3
(iz)n
即复数应该能够表达成 y a x 旳形式
教案标题初中数学知识点复数的三角形式与复数方程
教案标题初中数学知识点复数的三角形式与复数方程初中数学知识点复数的三角形式与复数方程复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部组成，可以用来表示平面上的点。
在初中数学中，我们学习了复数的三角形式和复数方程，本文将分别对这两个知识点进行详细介绍。
一、复数的三角形式复数的三角形式是指将一个复数表示为模长和辐角的形式，具体可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中z是复数，r是模长，θ是辐角。
1. 模长的计算模长表示了复数的大小，可以通过勾股定理来计算。
对于一个复数z = a + bi，其模长r可以使用以下公式计算：r = √(a^2 + b^2)。
2. 辐角的计算辐角表示了复数在平面上的位置，可以通过反三角函数来计算。
对于一个复数z = a + bi，其辐角θ可以使用以下公式计算：θ = arctan(b/a)。
通过模长和辐角，可以准确地表示出一个复数在平面上的位置。
二、复数方程复数方程是指含有复数解的方程。
初中阶段，我们主要学习了一次复数方程和二次复数方程。
1. 一次复数方程一次复数方程是指形如az + b = 0的方程，其中a、b和z都是复数，且a不等于0。
解一次复数方程的步骤如下：（1）将方程化成标准形式az = -b；（2）将a和-b的三角形式分别表示为r1(cosθ1 + isinθ1)和r2(cosθ2+ isinθ2)；（3）解得复数z = r(cosθ + isinθ)，其中r = √(r1/r2)，θ = θ2 - θ1 +2kπ，k为整数。
2. 二次复数方程二次复数方程是指形如az^2 + bz + c = 0的方程，其中a、b、c和z都是复数，且a不等于0。
解二次复数方程的步骤如下：（1）将方程化成标准形式az^2 = -bz - c；（2）将a和-b-c的三角形式分别表示为r1(cosθ1 + isinθ1)和r2(cosθ2 + isinθ2)；（3）解得复数z = r(cosθ + isinθ)，其中r = √(r1/r2)，θ = θ2 - θ1/2 +2kπ，k为整数。
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arg(ai)=π/2
arg(-ai)=3π/2
二，新课
复数的三角形式
复习
归纳
指导
学生回答
教师补充指导
提问？
个人回答
教学内容与步骤
教学方法
学法指导
教学手段
定义：
Z(a,b)
r b
θ
o a x
a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)
把Z=r(cosθ+isinθ)叫复数的三角形式
教学内容与步骤
教学方法
学法指导
教学手段
一、复习1、在复平面上表示出复数z=a+bi所对应点和所对应的向量OZ.
y
Z(a,b)
b
a
1x
2、以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。
适合于0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,
复习题：已知a∈R+,求a,-a,ai,-ai的辐角主值。
A–a(cosπ+isinπ)
B a(cosπ+isinπ)
C a(cos0+isin0)
D–a(cos0+isin0)
3、把2(cosπ/4-isinπ/4)化成三角形式
思考题：判断下列复数是不是三角形式，若不是把它化为三角形式。
1、5（sin3π/4+icon3π/4）
2、2（cosπ/4-sinπ/4）
数形结合
归纳
练习以巩固新知
看图回答
发现
根据三角形式的特点
预习作业：三角形式的乘法法则
复习作业：
P54习题1
课后反思：（学生学习中的奇思妙想；学生提出的有价值的问题；教师在教学实践中感受的成功与失败等）
教学再设计：
复数的三角形式教案
数学组王文书
复数的三角形式--教案
课题：复数的三角形式课型：新授第1课时
教学目标
1、知识目标：掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化
2、能力目标：培养学生的转化，推理及运算能力
3、情感目标：通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美
教学任务分析及教学策略：通过演绎、推理、计算使学生掌握三角两种形式的互化
教学用具：多媒体
本节课在学科知识体系中的地位和作用
教学方法
学法指导
学生活动
复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华，教材联系了复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。另外，复数的三角形式是其乘法、除法、乘方、开方运算的基础，教材从引入到实例的设置由浅入深，层层深入，逐步引导学生去体会，学习。教学中注意教材的内容设置，把教材，分析教材，灵活处理教材与学生的实际相结合。可以说，复数的三角形式是承接复数代数形式的同时，也是后面复数三角形式运算打下伏笔和基础，因此，复数的三角形式在复数的教学中显得至关重要。
Z=a+bi叫复数的代数形式
复数三角形式的特点
非负、同角、加号、前余后正
巩固练习：（略）
例题1、把下列复数化为三角形式
(1)√3+1
(2)1-I
例题2、把复数2（cos7π/6+isin7π/6）化成代数形式
练习
1√3-I的辐角是（）
Aπ/6 B 5π/6 C 7π/6 D 11π/6
2、a(a<0)三角形式是