第3课时 利用二次函数解决利润问题.ppt
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
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详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数与商品最大利润问题
y 20 x 2 100 x 6000 （其中， 0 x 20 ）
抛物线的顶点坐标是： （ 2.5，6125 ） ，对称轴是： 直线 x＝2.5
降价 2.5元，即定价 57.5 元 所以，当x= 2.5 时，y最大，也就是说，在降价的情况下， 时，利润最大，最大利润是 6125 元。
2 化成一般形式为： y 20 x 100 x 6000 （其中， 0
x 20
）
抛物线的顶点坐标是：（ 2.5，6125 ），对称轴是： 直线 x＝5 所以，当x=2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价 57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。
综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双57.5元。
4
情境问题： 读九年级的李聪的爸爸是开鞋店的，现在店中有一种进价为每双40元 的球鞋，售价为每双60元，每星期可卖出300双。为了获取更大的利润， 李聪的爸爸让李聪去做个市场调查。李聪做了市场调查反映：如果这 种鞋子每涨价1元，每星期要少卖出10双；每降价1元，每星期可多卖 出20双。李聪的爸爸说：”你初中都快毕业了，能根据市场反映的信 息用你所学的知识帮忙算算这种鞋子定什么样的售价才能使我获得利 润最大？ 先思考下面问题，再与你的小组 同学交换一下你的想法。 1、调价前这种鞋子每星期的利润是
6000 好好思考， 相信你一 定行！
元。
2、这种鞋子的进价已成定局，要想提高利润可以改变什么？
3、是否售价提高了，总利润就提高？ P=300－10x 4、若设每双涨价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。 P=300＋20x 5、若设每双降价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。
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综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双65元。
北师大版数学九年级下册《利用二次函数解决最大利润问题》课件
解:(1)设 y=kx+b(k≠0),把 x=20,y=360 和 x=30,y=60 代入,得
+ = ,
解得 = -,
+ = ,
= .
则 y 关于 x 的一次函数表达式为 y=-30x+960(10≤x≤32).
(2)当销售价格定为多少元时,每月获得的利润最大?并求此最大利润.
x(元)之间满足函数关系式y=-2x2+60x+800,则获利最多为( D )
A.15元
B.400元
C.800元
D.1 250元
2.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.经调查
发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则
该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的销售单价为(
(2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大?求出最大
利润.
解:(2)设销售利润为w元.
由题意,得w=(x-50)(-5x+500)=-5x2+750x-25 000=-5(x-75)2+3
125(50<x<100),
∵-5<0,50<x<100,
∴当x=75时,w取得最大值,最大值是3 125.
第3课时
利用二次函数解决最大利润问题
根据二次函数图象的顶点坐标确定最大利润
[例1] (2022滨州)某种商品每件的进价为10元,若每件按20元的价格
销售,则每月能卖出360件;若每件按30元的价格销售,则每月能卖出
60件.假定每月的销售件数y(件)是销售价格x(元)的一次函数.
(1)求y关于x的一次函数表达式.
.
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.4《二次函数的应用(第三课时)》课件
知2－讲
导引： 由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍．
解：(1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x， 即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元．
知1－练
3 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念 的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提 出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31， 则y与x满足的二次函数表达式为( D ) A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31 C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
（来自《教材》）
知2－练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( C )
A．30人
B．40人
C．50人
D．55人
知2－练
3 (2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星 期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场 调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款 童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星 期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大， 最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每 星期至少要销售该款童装多少件？
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值． 解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（20XX 年青岛市）在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x 160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。
沪科版数学九年级上册21.6综合与实践-获取最大利润 课件(共23张PPT)
w＝[2000－5(x－100)](x－80)
2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
由公式可得：当 x=- 时，即x=175，P最大= .∴t=-20x+6000=2500,∴ P=311500 元.
随堂练习
1．进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系为________________.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 . (以上关系式只列式不化简).
解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元，商品每天的利润y与x的函数关系式是y＝(10－x－8)(100＋100x)，即 y＝－100x2＋100x＋200，配方得 y＝－100(x－0.5)2＋225，∵x＝0.5时，满足0≤x≤2，∴当x＝0.5时，函数取得最大值，最大值y＝225.∴将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大．
归纳小结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第21章 二次函数与反比例函数
21.6 综合与实践 获取最大利润
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.根据已知数据求出二次函数的具体表达式.2.依据二次函数模型解决最大利润问题.
二次函数在最优化问题中的应用.
从现实问题中建立二次函数模型.
回顾复习
二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0) =当x= 时，y取得最值
实际问题与二次函数(二)-商品利润最大问题(课件)-2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
没调整价格之前的
(60+x)(300-10x)
(300-10x)
件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付
6000
利润是_____元.
40(300-10x)
(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方
式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加
7.5吨.综合考虑各种因素,每出售一吨建筑材料共需支付厂家和其他费用100
元.设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
(4)小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现
在的销售情况Biblioteka 你知道应如何定价能使利润最大了吗？
当定价为65元时，能使利润最大，
最大利润是6250元.
例1.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件
需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
(2,-7)
2
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小
-7
值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
二次函数解决利润问题
二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当abx 2-=，a b ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=2．[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_____时，y 有最____值，这个值是___． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______________)，此类函数都有____值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是__(填“有解”或“无解”)4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 米 ．5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面_____m ．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_____米．。
第二章 二次函数习题PPT：第3课时 利用二次函数解决利润问题
解：（1）根据题意，得y＝－21x＋50. （2）根据题意，得（40＋x）（－12x＋50）＝2 250， 解得x1＝50，x2＝10. ∵每件利润不能超过60元，∴x＝10. 答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元.
（3）根据题意，得w＝（40＋x）（－
1 2
x＋50）＝－
3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元 （20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每 件的售价应为 25 元.
4.（2018·榆林期末）幸福村为了维护村民的利益，限定村内所有商店 的商品的利润率不得超过50%，村内一家商店以每件8元的价格购进一批 商品，该商品每件售价定为x元，每天可卖出（100－4x）件，每天销售该 商品所获得的利润为y元.
②（ⅰ）当0＜x≤30时，令－2（x－25）2＋2 450＝2 400，解得x1＝ 20，x2＝30.
∵抛物线w＝－2（x－25）2＋2 450的开口向下， ∴当20≤x≤30时，w≥2 400. 此时，当天利润不低于2 400元的天数为30－20＋1＝11（天）. （ⅱ）当30＜x≤50时， 由①可知当天利润均低于2 400元. 综上所述，当天利润不低于2 400元的共有11天.
类型2 每……每……问题
6.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件， 每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出 10件.设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润 为y元，则y与x的函数表达式为（A ）
A.y＝－10x2＋100x＋2 000 B.y＝10x2＋100x＋2 000 C.y＝－10x2＋200x D.y＝－10x2－100x＋2 000
二次函数(利润问题)
应用实践
某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定 价为每天 180 元时，房间会全部住满 . 当每个房 间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空 闲 . 如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支 出 20 元的各种费用 . 房价定为多少时，宾馆利润 最大？
归纳总结
通过本节课的学习，我的收获是什么？
二次函数是一类最优化问题的数学模型， 能指导我们解决生活中的实际问题，同学 们，认真学习数学吧，因为数学来源于生 活，更能优化我们的生活。
注意：在应用二次函数模型解决实际问题 时，一定要说明自变量的取值范围。
③在自变量的取值范围内确定最大利润 ；
④可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画 出函数的简图，利用简图和性质求出 .
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以 单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据 销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售 单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多 少元时,才能在半个月内获得最大利润?
22.3 二次函数 ----利润最大
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有 关的实际问题 . 商品买卖过程中，作为商家追 求利润最大化是永恒的追求 .如果你是商场经 理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
我们需要了解关于销售、利润、成本、单价、利润 率之间的关系式． (1) 销售额= 售价×销售量 ； (2) 利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量； (3) 单件利润=售价-进价 ；
如：某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖 出 300 件，已知商品的进价为每件40元，则每星期 销售额是 元，销售利润 元.
问题探究
问题:已知某商品的进价为每件40元。现在的售价 是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映： 如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件； 如何定价才能使每周的利润最大？
1.4(2)用二次函数解决距离、利润问题
2．已知抛物线 y＝x2＋px＋q 与 x 轴交于 A，B 两点，且 过点(－1，－1)，设线段 AB 的长为 d，则当 p＝____ 时，d2 取得最小值．
【解】 ∵抛物线 y＝x2＋px＋q 过点(－1，－1)， ∴－1＝1－p＋q，则 p－2＝q. ∵x1＋x2＝－p，x1·x2＝q＝p－2， ∴d2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝p2－4(p－2)＝(p－ 2)2＋4， ∴当 p＝2 时，d2 有最小值．
例题探究：(二次函数的利润问题)
例3、某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明， 当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每 增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日 均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛 利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润 为多少元？
要点小结
1．求解“距离”问题：需要构造直角三角形，利用勾股 定理建立如 s＝ ax2＋bx＋c型的函数(这不是二次函 数)，本质是求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值．
2．求解“利润”问题：一般先运用“总利润＝总销售额 －总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售 量”来建立二次函数的表达式，再求出顶点坐标，即 可求得最大利润．
则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）
F
6பைடு நூலகம்
=-2x2 + 16x
AE
=-2（x-4）2 + 32
B
（0<x<6）
10 所以当x=4时，花园的最大面积为32
169t2－260t＋676. 因此，只要求出 169t2－260t＋676 的最小值，就可以求出 两船之间的距离的最小值．
九年级 下册 数学 PPT课件 第3课时 利用二次函数解决利润问题
【解析】（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x
当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元
但即售10价0不<x得≤低25于03时5，0购0元买/一个个，需所5以0x0≤500-01001(0x3-510000)1元00，故250
y1= 6当0x0>02x5-100时x，2；购买一个需3 500元，故y1=3 500x;
【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得： (5+x)(200－10x)=1 500， 解得：x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10 所以 x=5. 答：每千克应涨价5元. （2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得 y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000， 当x= b 150时,y有7.5最大值.
2a 2 (10)
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.
1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，
如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐
标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单
位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A.4米
B.3米
y (米)
【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问 题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者 配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据 图象求出最值.
“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路. 1.根据实际问题列出二次函数关系式. 2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.
10
此时的利润为10 880元.
九年级数学二次函数销售最大利润问题课件
【销售最大利润问题】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式，根据函
数图象及性质求最大值。
情景思考（销售最大利润问题）
某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，
每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问：
3）如何定价才能使每周利润最大化
并确定x的取值范围？
情景思考（销售最大利润问题）
某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每
涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进
价为每件40元，请问：
1）题中调整价格的方式有哪些？
涨价和降价
2）如何表示价格与利润之间的关系？
元
情景思考（销售最大利润问题）
某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每
星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问：
3）如何定价才能使每周利润最大化并确定x的取值范围？
300+20x(0 ≤ ≤ 0)
20x
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？
（3）若日销售利润不低于125元，请直接写出售价的取值范围．
情景思考
【分析】
（1） 因为日销售量y是销售价x的一次函数，设y=kx+b，代入对应数值求出函数解析式即可；
（2） 利用销售利润=一件利润×销售件数，一件利润=销售价-成本， 日销售量y是销售价x的
___________________元，此时每周产品的成本______________元，因此周利
人教版九年级上册数学二次函数与商品利润问题课件
解：(1) W＝y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)＝－10x2＋ 1600x－48 000； (2) W＝－10x2＋1600x－48000＝－10(x－80)2＋16000， ∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大 ，最大利润是16000元．
练习
1．教材P51 习题22.3第2题． 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个
售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内
每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润
，则应该降价( A )
A．5元
B．10元
C．15元
D．20元
3．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关
提出问题： (1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获 取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？ (2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多 少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需 付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大 利润，最大利润为多少元？ (3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多 卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品 时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有 最大利润，最大利润为多少元？ (4)由此可知应如何定价才能使利润最大？
解：(1) y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)； y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)； (2) 由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，解得x＝1 200. ∴当印刷1 200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数 量大于1 200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于 500小于1 200份时，乙印刷厂费用少．
二次函数应用利润问题ppt课件
精选ppt课件
8
• 2、某旅行社有100张床位，每床每晚收费 10元时，床位可全部租出，若每床每晚收 费每提高2元，则减少10张床位的租出；按 这种方式，为了获利最大，每床每晚应提 高多少元？
精选A产品，所获利润yA(万元）与投 资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx 且投资5万元时，可获利2万元;如果单独投资B产品 ，则获利yB(万元）与投资金额x（万元）之间存在二 次函数关系yB=ax2+bx且投资2万元，获利2.4万元， 投资4万元，获利3.2万元。
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点
，也就是说当x取顶点
坐标的横坐标时，这个
函数有最大值。由公式
30
可以求出顶点的横坐标.
x \ 元精选ppt课件
6
做一做
在降价的情况下，最大利润是多少？ 请你参考（1）的过程得出答案。
解：设 每件降价x元，利润为y元
由题意得：
y=(60-x-40)(300+18x)
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1
1.什么样的函数叫二次函数？ 形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0
） 的函数叫二次函数
2.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0 ）的最值？有哪几种方法？写出求二
次函数最值的公式
（1）配方法求最值（2）公式法求最值
当 x = -2 b a时 ， y 有 最 大 （ 小 ） 值 4 ac 4 - ab 2
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4
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为每 件40元，如何定价才能使利润最大？