矩阵与行列式知识梳理

矩阵与行列式知识梳理

一、矩阵的概念

1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)：

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，用______表示.

简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素.

几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组⎩⎨

⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2211

b a

b a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛22

2

111

c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换：

(1) (2) (3)

4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解.

二、二阶行列式 1 定义：我们用记号

2

2

11b a b a 表示算式1221b a b a -，即

12212

2

11b a b a b a b a -=，记号

2

2

11b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式

2

2

11b a b a 的展开式，其计算结果叫做

2

2

11b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式

2

2

11b a b a 的元素.

2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积.

3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222

1

11c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、

1b 、2b 不全为零，行列式2

2

11b a b a D =

叫做方程组①的系数行列式. 设2

2

11b c b c D x =

，

2

2

11c a c a D y =

.

则当0≠D 时，方程组①有唯一解. 当0=D 且0==y x D D 时，方程组①有无穷多解. 当0=D ，x D 、y D 中至少有一个不为零时，方程组①无解. 三、三阶行列式

1 三阶行列式的定义：把九个数排成三行三列的方阵，用记号3

3

3

222

1

11

c b a c b a c b a ①表示算式 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++②.我们把记号①叫做三阶行列式，把

记号②叫做三阶行列式①的展开式，212121,,,,,c c b b a a 都叫做三阶行列式①的元素. 2 三阶行列式的展开方法：按对角线展开、按某一行(或一列)展开.

3行列式3

3

3

222

1

11

c b a c b a c b a 中某元素x 位于第i 行第j 列，其代数余子式等于它的余子式乘上j i +-)1(.

4 【结论】三阶行列式等于它的任意一行(或一列)的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积的和.

如：1111113

3

3

222

1

11

C c B b A a c b a c b a c b a ++=.其中3

3

22

1c b c b

A =，3

3

221c a c a B -

=，

3

3

221b a b a C -

=

【结论】三阶行列式的某一行(或一列)的各元素与另一行(或一列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零.

5关于z y x ,,的三元一次方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++3333

22221

111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 的系数行列式为3

3

3222

111c b a c b a c b a D =，

当0≠D 时，方程组有唯一解. 当0=D 时，方程组无解或无穷多解.

注意：三元一次方程组，当0=D 时，情况复杂，方程组的解不同于二元一次方程组！