中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合含答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

2

x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣1

2

t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由

S△PAB=S△PAN+S△PBN=1

2

PN•AG+

1

2

PN•BM=

1

2

PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣1

2

，

所以抛物线解析式为y=﹣1

2

（x﹣6）（x+2）=﹣

1

2

x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB 解析式为y=kx+b ，

将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：

660b k b =⎧⎨+=⎩

， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩

， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，

设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣

12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12

t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN

=12PN•AG+12

PN•BM =12PN•（AG+BM ） =

12

PN•OB =12×（﹣12

t 2+3t ）×6 =﹣32

t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；

（3）如图2，

∵PH ⊥OB 于H ，

∴∠DHB=∠AOB=90°，

∴DH ∥AO ，

∵OA=OB=6，

∴∠BDH=∠BAO=45°，

∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴，

∴∠DPE=90°，

若△PDE 为等腰直角三角形，

则∠EDP=45°，

∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，

则当y=6时，﹣12x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4，

即点P （4，6）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．

（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN

+均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】

试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；

（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的坐标为（3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可； （3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．

试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．

令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =﹣3或x =33，∴点A 的坐标为（﹣3，0），B （33，0），∴抛物线的对称轴为x =3．

（2）∵OA =3，OC =3，∴tan ∠CAO =3，∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =

3AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 的坐标为（3，a ）．

依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．

当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．

当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 的坐标为（3，0）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 的坐标为（3，﹣4）． 综上所述，点P 的坐标为（3，0）或（3，﹣4）．

（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+．

设直线MN 的解析式为y =kx +1．

把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -

，∴点N 的坐标为（1k -，0），∴AN =13k

-+=31k -． 将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．

过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33

k +-．