五年级奥数计算综合分数裂差A级学生版
小学奥数 分数裂项综合题型训练,非常完整版带答案
分数裂项巧算综合题型训练建立抵消的思想，灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．板块一：基础题型1、计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10919818717616515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯1009818616414214．计算：.90172156142130120112161+++++++5．计算：⋅+++++970011301701281416．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+109109989887877676656590725642302012628．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯100999825432432232129．计算：⋅++++++24023921020920191211652110．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(板块二：中档题1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2008200716515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523⨯⨯⨯⨯⨯⨯1311119977553314．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2(5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+6．计算：⋅++++++42083938075920391223611237.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10981154364325321411.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(22212.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(板块三：拔高题型1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。
小学五年级奥数 分数裂项初步(寒假课程)
分数计算技巧(裂项)(寒假课程)2、分数裂和:⑴目的：抵消.本讲主线⑵特点：分子为分母之和.1.分数计算裂差.2.分数计算裂和.⑶公式：ab11⑷口诀：分数裂项两肩挑.【课前小练习】(★)计算：1、分数裂差:⑴目的：抵消.⑵特点：分子相同、分母为连续的等差数列.⑶公式：111 1()a b a b差值⑷口诀：分数裂项两肩挑.，之后乘以差值分之一111 111⑴⑵⑶233457版块一∶分数计算-裂差【例1】(★★)计算:111 1122334910 【例2】(★★★)1111 1133********【巩固】(★★)计算:11 1......101111125960 【拓展】(★★★☆)444 414477104952_____1【拓展】(★★★)⑵计算:1111 124466881098100444 4......1559939797101版块二∶分数计算-裂和【例3】(★★★)4812162024计算:133557799111113【例4】(★★★★)【例5】(★★★)计算:11111111 1 2612203042567290 3112339759839 26122038042015791113151719 ⑵126122030425672902【例6】(★★★★)2 3 5 6 8 9 11 12 98 991 4 47 710 1013 97100 【超常大挑战】(★★★★)1 1 1 11 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100知识大总结【今日讲题】例2, 例3, 例5, 超常大挑战1、分数裂差:⑴特点：分子相同、分母为连续的等差数列.⑵公式： 1 1 1 1( )a b a b差值2、分数裂和:⑴特点：分母为连续等差数列，分子为分母之和.⑵公式：a b 1 1a b a b 【讲题心得】_______________________________________________ ______________________________________.【家长评价】_______________________________________________ __________________________________.抵消3。
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学五年级逻辑思维学习—裂项综合
小学五年级逻辑思维学习—裂项综合知识定位本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
知识梳理一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） 11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
五年级奥数.计算综合.分数裂差(A级).学生版
1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭考试要求知识结构分数裂差()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222hhn n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
小学奥数 分数裂项综合题型训练,非常完整版带答案
分数裂项巧算综合题型训练建立抵消的思想，灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．板块一：基础题型1、计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10919818717616515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯1009818616414214．计算：.90172156142130120112161+++++++5．计算：⋅+++++970011301701281416．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+109109989887877676656590725642302012628．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯100999825432432232129．计算：⋅++++++24023921020920191211652110．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(板块二：中档题1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2008200716515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523⨯⨯⨯⨯⨯⨯1311119977553314．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2(5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+6．计算：⋅++++++42083938075920391223611237.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10981154364325321411.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(22212.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(板块三：拔高题型1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。
五年级奥数.计算综合.公式应用(A级).学生版
（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算；（2） 了解等比数列；（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。
【基本概念】等比数列——如果一个从第2项起，每一项与它的前一项的等于同一个非零，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
这个常数叫做等比数列的 (mon ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。
注：q =1时，an 为常数列。
【常用公式】（1）2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=； （2）()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； （3） ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=； （4） 等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a qq --=++⋅⋅⋅+=-()1〉q ； （2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1〈q 。
（5） 平方差公式：()()22ab a b a b -=+-； （6） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．知识结构考试要求公式应用（1） 平方和、立方和公式的灵活运用；（2） 等比数列公式的灵活运用。
【例 1】 计算：2222100321++++【巩固】计算：222250321++++【例 2】 计算：333350321++++【巩固】计算：3333100321++++【例 3】 计算：222220642++++重难点例题精讲【巩固】计算：222281963++++【例 4】 计算：33333208642+++++【巩固】计算：333381963++++【例 5】 计算：222229531++++【巩固】计算：33333497531+++++【例 6】 计算：10246432168421++++++++【巩固】计算：15367683841929648241263+++++++++【例 7】 计算：10241641321161814121+++++++【巩固】计算：21871729124318112719131++++++【例 8】 计算：33312320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+【巩固】计算：200132120013213333++++++++【例 9】 对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如2323312∇=+=，那么：⑴ 122232992∇+∇+∇++∇=______________； ⑵ 212223299∇+∇+∇++∇=______________．【巩固】看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.36714+++【例 10】 11111111111357911131517192481632641282565121024+++++++++= ．【巩固】计算：333333 4166425610244096+++++=．【例11】计算：112912281921⨯+⨯++⨯=．【巩固】计算：1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯=．【例12】计算：199297395501⨯+⨯+⨯++⨯【巩固】计算：149247345251⨯+⨯+⨯++⨯= ．1、 计算：757531 ++++2、 计算：2222236161284+++++3、 计算：222213519++++4、 计算：333313599++++=___________．课堂检测5、 计算：234561111111333333++++++6、 50504951485247534654_________⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1、 计算：9997531++++++2、 计算：222222222221245781011131416++++++++++3、 计算：36496481400+++++家庭作业4、 计算：3333333313579111315+++++++5、33332416_______248512++++=6、 计算：50321508763333++++++++教学反馈。
小学奥数专题-分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程.很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了.本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高.分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差.遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的.(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算.（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值.二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的.【例 1】 111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ . 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯，计算过程就要变为： 111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 【答案】56【巩固】 111 (101111125960)+++⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-= 【答案】112【巩固】 2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【例 2】 111111212312100++++++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题.此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律.从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……， 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯ 例题精讲【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】111111111150(1 13355799101233599101101 ++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯…）【答案】50 101【巩固】计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++=⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++-⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯-⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12【巩固】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++-⎪⎝⎭2515015012115165023232=⨯==【答案】21 1532【巩固】计算：3245671 255771111161622222929 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111111111 255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12=【答案】1 2【例 4】计算：11111111()128 8244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】101中学【解析】原式1111128 2446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）1111111128 224461618=⨯-+-++-⨯（）1164218=-⨯（）4289=【答案】4 289【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 根据裂项性质进行拆分为：11111111612203042567290+++++++ 1111111123344556677889910112==2105=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 【答案】25 【巩固】 11111113610152128++++++= 【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111212312341234567=+++++++++++++++++ 2221233478=++++⨯⨯⨯ 111111122233478⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1218⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭74= 【答案】74【巩固】 计算：1111111112612203042567290--------＝ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111()22334910=--+-++- 111()2210=-- 110=【答案】110【巩固】 11111104088154238++++= . 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111113255881111141417⎛⎫=⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭1115321734⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭【答案】534【例 5】 计算：1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试 【解析】 原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11110040034132003200512048045⎛⎫=⨯-= ⎪⨯⨯⎝⎭ 【答案】100400312048045【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭-⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】 原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯ 71111111461123357913123+⎛⎫=⨯⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭- 4631824429=⨯⨯⨯23=36【答案】2336【例 7】 计算：11111123420261220420+++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】小数报，初赛【解析】 原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021=+-+-+-++- 12021012102121=+-= 【答案】2021021【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270++++= . 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级，1试 【解析】 原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 51005054= 【答案】51005054【巩固】 计算：1122426153577++++= ____. 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级【答案】11【巩固】 计算：1111111315356399143195++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113=-=⨯，2154135=-=⨯，……，21951411315=-=⨯， 所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112115⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900+++++++= ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】四中 【解析】 原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199122399100⎛⎫=-+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 1111199122399100⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭1991100⎛⎫=-- ⎪⎝⎭198100= 【答案】198100【例 8】 111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112128935144⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭= 【答案】35144【巩固】 计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111149494949()212991002990019800=⨯-=⨯=⨯⨯ 【答案】494919800【巩固】 计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯ ＝14(113⨯－12123⨯)＋14(124⨯－12224⨯) ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032【答案】38625340032【巩固】 4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 11111111()()......()()133535579395959795979799=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11139799=-⨯⨯32009603=【答案】3200 9603【巩固】9998971 12323434599100101 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...(...) 123234345991001012334100101 =++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111151100()()2422101002101101=⨯⨯---=【答案】51 24 101【例 9】11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111 31232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11131238910⎛⎫=⨯-⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】119 2160【巩固】333...... 1234234517181920 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111113[(...)] 3123234234345171819181920 =⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】1139 6840【例 10】计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7114605=-- 2315= 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同． 【答案】2315【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（） 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，五年级【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445351011911=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155= 所以原式31115565155=⨯=． （法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a nd +，其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a 与nd 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234345891091011+⨯+⨯+⨯+⨯=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234234345345891089109101191011⨯⨯⨯⨯=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111222223434589109101134459101011⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111112223343445910101134451011⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭1111122231011311⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11223413112220311422055=-+-=-=， 所以原式31115565155=⨯=． （法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51171117111911223342344528991029101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5175197119171191223223422452291021011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯++-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 51111191223344591021011=⨯++++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51119311231022055=+--= 所以原式31115565155=⨯=． （法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：21(1)(2)n n a n n n +=++（2n =，3，……，9） 如果将分子21n +分成2n 和1，就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +，就是上面的法一．【答案】651【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【答案】75616【例 11】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800【例 12】 123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111121212312312341234567=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 115040=-50395040=【答案】50395040【巩固】 计算：23993!4!100!+++= .【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯112100!=-【答案】112100!-【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【答案】12741275【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111(12)112=-⨯++，311(12)(123)12123=-+⨯+++++，……，10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++，所以原式1112100=-+++15049150505050=-=【答案】50495050【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（） 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155=【答案】155【例 14】 22222211111131517191111131+++++=------ .【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+，原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯ 1113()214214=-⨯= 【答案】314【巩固】 计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯，2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯，……所以，原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯2222222111111112233478=-+-+-++-2118=-6364=【答案】6364【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996= 【答案】9979971996【巩固】 计算：22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2221310213+=-，2222420318+=-，22235344115+=-，……由于104233=，204288=，34421515=， 可见原式222244442222213141991=++++---- 1111298413243598100⎛⎫=⨯+⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111964123243598100⎛⎫=+⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11119621299100⎛⎫=+⨯+-- ⎪⎝⎭199196329900=+-⨯47511984950=【答案】47511984950【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++⎪----⎝⎭1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101= 【答案】6312101【例 15】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 56677889910111111113()...()56677889910566791051010+++++-+-+=+-++++=+=⨯⨯⨯⨯⨯【答案】310【巩固】 36579111357612203042++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】 原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算：1325791011193457820212435++++++++=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【巩固】 123791117253571220283042+++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式12311111121133573445475667=++++++++++++11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭334=【答案】334【巩固】 1111120102638272330314151119120123124+++++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111112337434=++++++127= 【答案】127【巩固】 35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11111111782334788⎡⎤⎛⎫=+--+--⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1111788288⎛⎫=-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭211110=-=【答案】10【巩固】 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111111111()()()()()()()()23344556677889910=-+++-+++-+++-+++11312105=-+=【答案】35【巩固】 11798175451220153012++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式111111112111453445355646=+++++++++++111124523456=⨯+⨯+⨯+⨯3=【答案】3【例 16】 22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式1232341918192021919 (21736)2123431819201912020 =++++++++++=+⨯+=【答案】19 3620【巩固】11112007111 (......)(......) 120072200620062200712008120062200520061 ++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式=2008111200711 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=2008111200711 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=1200820082008120072007 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111 [(...)(...)] 20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=11111111111 [(...)(...)] 20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=1111() 2008200720072015028⨯+=【答案】1 2015028【例 17】计算：111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11491502550=+-=【答案】49 50【例 18】计算：24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111 133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯135134135135=【答案】135134 135135【例 19】计算：283411 1222222 1335571719135357171921⎛⎫++++-+++=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】341199 222224422 1353571719211335355717191921 +++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯所以原式889 122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379 399。
小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案2分数裂项、整数裂项(二)
年 级 五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题分数裂项、整数裂项（二）分数裂项比整数裂项稍复杂，能裂项的分数，分母一般是某两数的乘积，分子与这两数的和或差有关。
当算式具有这样的特征时，可能需要裂成差相抵消，或裂成和再凑对。
分数裂项的常见情况：11a b a b ab ab ab b a ±=±=± 1111()ab b a a b =--2222a b a b a b ab ab ab b a ±=±=±例1. 计算：651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 【分析与解】1111112233445561111111111()()()()()122334455615166++++⨯⨯⨯⨯⨯=-+-+-+-+-=-=例2.【分析与解】本题需要看出所给分母的规律，它们都是两个差为2的数的乘积。
例3. 计算：1111...1353575799799101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析与解】1110197111()9799101497991014979999101-=⨯=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 原式1111111833()4133535579799991019999=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯-⨯例4. 计算3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析与解】2222(2)(1)(1)(2)(2)(2)111()222111[]2(1)2(1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n =--++--+-=⨯---+-=⨯---+- 原式61675)2131212321(21=-⨯--⨯⨯=例5. 计算234599...3!4!5!6!100!+++++ 【分析与解】99100111100!100!99!100!-==-原式＝112100!- （答题时间：30分钟） 1. 计算：5049...87654321⨯++⨯+⨯+⨯+⨯2. 计算：101100991543974329832199⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 3. 计算：910109344323321221++++++++ 4. 如果337´a 2=12+22+32++3372，则a ＝________。
小学奥数教程：分数裂项计算 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
高斯小学奥数五年级上册含答案_分数裂项
第十九讲分数裂项-------------------------------------------------------------------------------------------= + ， = + ， = + + ． 个是单位分数分母的乘积．那反过来，如果一个分数可以写成 a + b 或者的形式，我们裂和： a + b = + ；裂差： = - ．+ + + + + L + ； + + + + L + + + + + + L + ； + + + + L +1 1 1漫画中的分数有 、 和 ，它们的分子都是 1．这样分数我们称之为单位分数．每个2 3 6分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，比如：1 1 1 1 1 1 7 1 1 123 6 5 6 30 8 24 8我们来研究一下两个单位分数的和与差有什么性质．看下面的例子．1 1 5 + 7 1 1 7 - 5 + =- =5 7 5 ⨯ 75 7 5 ⨯ 7我们发现，结果的分母都是单位分数分母的乘积，分子一个是单位分数分母的和，另一a -b a ⨯ b a ⨯ b就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或者差．这个拆分的过程叫做“裂和”和“裂差”．1 1 b - a 1 1 a ⨯ b a b a ⨯ b a b在以前的学习中，我们接触了很多分数运算的技巧．这些技巧虽然强大，但能够用来处理分数数列的并不太多．这一讲，我们将要接触一类分数数列的问题，利用裂项的技巧，可以将这类看似很复杂的题目轻松的解决．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1．（1）计算：1 1 1 1 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 2012⨯ 20133 3 3 3 3（2）计算：． 2 ⨯ 5 5 ⨯ 8 8 ⨯11 11⨯14 98⨯101「分析」观察题中的式子，如果按常规的方法把它们通分，会相当繁琐．观察各项分母，每 一项都是两个自然数的乘积，而分子都是分母两个乘数的差，那么我们能不能利用分数拆分 的方式将算式做一个变形，使运算变的简单呢？练习 1．（1）计算：1 1 1 1 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 100⨯1012 2 2 2 2（2）计算：． 1⨯ 3 3⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 99⨯101- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -利用裂项，将算式中的分数做适当的拆分，使其中一部分可以相互抵消，可以达到简化 计算的效果．但裂项并非万能，只有具备一定特点的算式才能裂项．因此，大家在学习裂项时，必须注意以下几点：+++++L+；++++L+++++L+；++++L+练习3．计算：3（1）要弄清具有何种特征的算式可以裂项；（2）要根据题目的具体情况，灵活选用合适的裂项方法，切忌生搬硬套；（3）裂项相消之后究竟哪些项消去了，哪些项留下来了，必须一清二楚．只有把握住这三点，才能准确的把握这一技巧．希望大家在下面的学习中细心体会．-------------------------------------------------------------------------------------------例题2．（1）计算：222222 1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯619⨯20 11111（2）计算：．1⨯44⨯77⨯1010⨯1328⨯31「分析」我们发现，每个分数的分母还是两个自然数的乘积，但是分子却不是这两个自然数的差．这样的情况我们应该怎么去拆分分数呢？练习2．（1）计算：（2）计算：111111⨯33⨯55⨯77⨯997⨯99 888881⨯55⨯99⨯1313⨯1745⨯49．例题3．计算：4812162024 -+-+-．1⨯33⨯55⨯77⨯99⨯1111⨯13「分析」观察各项分母，是连续奇数顺次首尾相连的形式．但与前面两题不同的是，本题各项分子并不相同，仔细观察会发现，4=1+3，8=3+5，…，24=11+13，现在分子等于分母中两个乘数的和，那我们能不能像例题1一样，对算式进行拆分呢？579111315-+-+-+．1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯66⨯77⨯8-------------------------------------------------------------------------------------------通过前面的例题，同学们知道对于很有特点的分数算式，是可以采用裂项的方式来简化计算的．请同学们观察下面的算式，能从中发现哪些规律呢？-------------------------------------------------------------------------------------------．（1）1⨯4+++L++++L+例题4．111111111（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17；261220304256729015791113151719（2）1-+-+-+-+．2612203042567290「分析」第（1）小题都是一些带分数，可以将整数部分和小数部分分开来计算．其中整数部分就是一个等差数列，那分数部分呢？虽然第（2）小题每个分数的分母与第（1）小题相同，但分子却有着不一样的规律，而且运算符也是加减交错的．在这种情况下，裂项又该如何进行呢？练习4．11111（1）1+2+3+4+5；3153563994812162024（2）8-7+6-5+4-3．315356399143-------------------------------------------------------------------------------------------例4和练4的两道题，第1题是裂差形式的裂项，第2题是裂和形式的裂项．它们有着共同之处：首先，分母能写成两数相乘的形式，其次，这些乘数“首尾顺次相连”如果算式中分数之间符号相同，都是加号或者都是减号，那就用裂差；如果算式中分数之间有加号也有减号，那就用裂和．-------------------------------------------------------------------------------------------例题5．2⨯53⨯68⨯112⨯33⨯44⨯59⨯10；（2）12+2222+3232+42192+2021⨯22⨯33⨯419⨯20．「分析」虽然本题的各项分母都具备了裂项的特征，但分子也是算式，很难直接用分母中各乘数相加减的形式表示出来．这种情况下，我们不妨将前几个分数算出来，找一下规律．---------------------------------------------------------------------分数裂项的题型非常多，前面我们学到的只是一些比较基本的类型．下面来看一些较复杂的题型．---------------------------------------------------------------------例题6．计算：1+++L+．----------------------1111⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯548⨯49⨯50「分析」每个分数的分母不再是两个自然数的乘积了，而是三个，这样的情况应该怎么处理呢？不妨联想一下整数裂项的处理方法．． ）南极为什么会有恐龙在这一章里，我们经常对分数进行裂项和重组．其实在自然界里，分裂和重组的现象也 无处不在．下面就是一个例子．南极洲位于地球的最南端．那里气温寒冷，冰雪常年覆盖，除了企鹅外，我们很难看到 其它生物的踪影．然而你能想象吗？在如此寒冷的地方，科学家们居然发现了恐龙的化石！ 实际上，恐龙只适宜生活在温带和热带，它们是怎么越过大洋，到南极大陆去了呢？要回答这一问题，我们必须先了解一些关于地球的知识．几十年前，人们发现地壳是由 一些紧密拼合在一起但又在缓慢运动的大板块构成的．可以这样比喻，板块背上驮着许多大 陆，当板块向一个或另一个方向运动时，大陆也随之一起运动．每隔一段时期，板块会将所 有的大陆汇合在一起，地球此时仅由一个主要陆地构成，称为“泛大陆” 当板块继续运动 时，大陆又重新分裂．在四十多亿年的地球发展史中，泛大陆分裂和重组过多次，最后一次完整的泛大陆是在 约 2.25 亿年前形成的．早期恐龙在那时已经开始出现，并且有机会分散到泛大陆的各个地 方．大约在两亿年前，泛大陆分裂成四部分．北部就是现在的北美、欧洲和亚洲，南部是由 现在的南美和非洲构成，最南部是现在的南极洲和澳大利亚，印度是剩余的一小部分．随着 时间的流逝，北美又与亚洲和欧洲分裂开，南美也与非洲相离．（如果看一张地图，并假定 把非洲和南美洲拼合在一起，你就会看到它们拼合得多么天衣无缝！ 印度向北移动，并且 大约在 5000 万年前与亚洲相碰撞，形成巨大的喜马拉雅山脉，两块大陆在那里聚合并缓慢 地褶皱变形．这时，南极和澳大利亚也已相互分离．当大陆分裂后，每一个大陆都携带着自 己的恐龙而去．到 6500 万年以前，恐龙灭绝了，大陆也完全分裂开．所以，现在的每一个 大陆都有自己的恐龙化石．这也是为什么在南极也能发现恐龙化石的原因．2.25 亿年前2 亿年前 1.35 亿年前6500 万年前 现在作业3.计算：1+1+L+作业1.计算：1+1+L+3⨯44⨯51199⨯200．作业2.计算：1+2+3+L+1⨯22⨯44⨯711⨯55⨯925⨯291046⨯56．．作业4.计算：7-13+19-252⨯55⨯88⨯1111⨯14+31374349-+-14⨯1717⨯2020⨯2323⨯26．作业5.计算：4+16+36+64+100+144+196+256．315356399143195255例题1.答案：（1） 2012 ；（2）；（2）原式 = - 例题2. 答案：（1） 19 ；（2）详解：（1）原式 = 1 - ⎪ ⨯ 2 = ；（2）原式 = 1 - ⎪ ÷ 3 = ．1 ⎫ 19 10 = ．例题4. 答案：（1） 81 ；（2）1 详解：（1）原式 = (1 + 3 + L + 17 ) + ⎪ = 81 + = 81 ．+ + L + （2）原式 = 1 + 2 - + L + = 1 + = 1 ．例题5. 答案：（1） 7；（2） 38 1 - + 1 - + L + 1 - = 8 - + + L + ⎪ = 8 - = 7 ．2 + + 2 + + L + 2 + = 38 + + + L + ⎪ = 38 + 详解：原式 = - + - + L + - ⎪÷ 2⎪ ÷ 2 = =- 练习1. 答案：（1） 100 ；（2）第十九讲 分数裂项992013 202详解：（1）原式 = 1 - 1 2012 1 1 99 = =2013 2013 2 101 202．1010 31⎛ ⎛ 1 ⎫ 10 ⎝ 20 ⎭ ⎝ 31 ⎭31例题3. 答案： 1213详解：原式 = 1 - 1 1213 139 110 10⎛ 1 1 1 ⎫ 9 9 ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 39 ⨯10 ⎭ 10 10 2 + 3 9 + 10 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 9 ⨯10 10 101 195 20详 解 ：（ 1 ） 注 意 到 每 个 分 数 的 分 母 都 比 分 子 大 2 ， 原 式 可 写 成2 2 2 ⎛ 2 2 2 ⎫ 4 1 2 ⨯3 3 ⨯4 9 ⨯10 ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 9 ⨯10 ⎭5 5 （ 2 ）注意到每个分数的分子都比分母的 2 倍多 1 ，原式可写成1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 19 19 1⨯2 2 ⨯3 19 ⨯ 20 ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 3 19 ⨯ 20 ⎭ 2020例题6. 答案： 3061225⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎫ ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 3 ⨯ 448 ⨯ 49 49 ⨯ 50 ⎭= 38 ．⎛ 11 ⎫ 306 ⎝ 1⨯2 49 ⨯ 50 ⎭1225．100101 101；（2）原式 = 1 - ；（2） 简答：（1）原式 = 1 - ⎪÷ 2 = ；（2）原式 = 1 - ⎪⨯ 2 = ．1 ⎫ 49 99 练习4. 答案：（1）155；（2） 3+ + + + = 15 ． = 1 - + - + - = 3 ．简答：原式 = - + - + L + + - + - + L + - = 1 - = 简答：原式 = ⨯ 1 - + - + L + - ⎪= ⨯ =+ - - + L - - = - = ．+ + L + = 8 + ⨯ 1 - ⎪ = 8 ．简答：（1）原式 = 1 - 1 100 1 100 = =101 101 101 101． 练习2. 答案：（1）49 9699 49⎛ ⎛ 1 ⎫ 96 ⎝ 99 ⎭ ⎝ 49 ⎭49练习3. 答案：1 18简答：原式 = 1 + 11．8 8121113简答：（1）原式 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +1 1 1 1 1 51⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 9 ⨯11 11（2）原式 = 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 +作业1. 答案：1976004 8 12 16 20 24 121⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 9 ⨯11 11⨯13 131 1 1 1 1 1 1 1 197 - = - = 3 4 4 5 199 200 3 200 600作业2. 答案：5556．简答：原式 = 1 -作业3. 答案： 7291 1 1 1 1 1 1 1 552 2 4 4 7 46 56 56 56．1 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ 1 28 7 4 ⎝ 5 5 9 25 29 ⎭ 4 29 29．作业4. 答案：6 13简答：原式 = 1 1 1 1 1 1 1 1 62 5 5 8 23 26 2 26 13作业5. 答案： 8 817简答：原式 = 8 +1 1 1 1 ⎛ 1 ⎫ 8 1⨯ 3 3 ⨯ 5 15 ⨯172 ⎝ 17 ⎭ 17。
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(3)分母上几个因数间的差是一个定值。
1、分子不是1的分数的裂差变型；
2、分母为多个自然数相乘的裂差变型。
一、用裂项法求 型分数求和
分析: 型（ 为自然数)
因为 ＝ （n为自然数)，所以有裂项公式:
【例 1】填空:
(1)1- =（2) （3） (4)
家长签字:
五年级奥数.计算综合.分数裂差(A级).学生版
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ﻩ
1、灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和
2、能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程,这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(5） （6） （7) (８）
【巩固】 。
【例 2】计算:
【巩固】计算:
【例 3】计算: __＿＿。
【巩固】 _＿____＿。
【例 4】计算： =。
【巩固】计算:
【例 5】计算: =。
【巩固】计算： .
二、用裂项法求 型分数求和
分析: 型。（n,k均为自然数)
因为 ,所以
【例 6】
【巩固】计算:
【例 7】计算：
【巩固】计算:
三、用裂项法求 型分数求和
分析: 型(n，k均为自然数）
因为 ＝ ＝ ,所以 =
【例 8】求 的和
【巩固】
【例 9】计算:
计算:
2、计算：
3、计算：
4、
5、计算:
1、计算:
2、
3、计算:
4、 。
5、
学生对本次课的评价
○特别满意 ○满意 ○一般
家长意见及建议
1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的,这里我们把较小的数写在前面，即 ,那么有
2、对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数,我们有：
3、对于分子不是1的情况我们有：
二、裂差型裂项的三大关键特征：
(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(ｘ为任意自然数）的,但是只要将ｘ提取出来即可转化为分子都是1的运算。