第四章 系统传递函数模型

为系f (t统) 的输入力， 为x系(t)统的输出位移。对应的机械
系统的微分方程为：
[c dx(t) kx(t)]3a f (t)a dt
f (t)
o
a
3a
x k
c
上述系统我们称为一阶系统，一阶系统最一般的形 式可以表示为:
a1
dy(t) d (t)
a0
y(t)
b0
x(t)
dy(t) y(t) x(t)
（2）传递函数只能适用于线性定常系统（由拉斯变换的性质可 以得到，因为拉斯变换是一种线性变换）。
（3）传递函数一般为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的
最高次数n高于分子多项式S的最高次数m，即
。
（4）由于传递函数是在零初始条件下定义的，因此它不能反映 非零初始条件下的运动情况（即瞬态响应）。 n m
U (s) an s n an1s n1 a1s a0
写成：
H(s)
k1
s 1
k2
s 2
kn
s n
1 2 . n
无k重1 根k2 情.况k；n
为系统的极点并假定
为系统的留数。
可以证ki 明 slim：i H各(s)个 (留s 数i )可以通i 过1,2下, 式n 求出：
例4-3 某系统的传递函数为： H(s) 5s 3 s3 6s 2 11s 6
4．1 传递函数定义及
其特性 1 传递函数的作用：
传递函数是对线性系统分析和研究的基本数学 工具，对标准形式的微分方程进行拉普拉斯变换， 可以将其转化为代数方程，这样不仅将实数域中的 微分、积分运算简化为复数域中的代数运算，大大 简化了运算，而且根据传递函数还可以导出系统的 频率特性。利用传递函数可以得到系统的频率特性， 利用这些频率特性与系统的参数关系，还可以对系 统进行参数识别。
2 传递函数的定义
设有线性系统的输入为u(t) ,输出y(t)为
,对
应的微分方程如下：
(an pn an1 pn1 a1 p a0 ) y(t) (cm pm cm1 pm1 c1 p c0 )u(t)
其中p 假设
m各 阶ddtmm导数的初称值为均微为分零算，子对，该n且微m有分方y(t)程两端取
成余项研究）
例4-1 设系统的动力学方程 m&y& cy& ky u(t)
为：
，计算单自
由度弹H簧(s)质 y量(s) 的传1递函数的1/零m 极点 模型1/ m。
解：
u(s) ms2 cs k s2 2 ps p2 (s p1)(s p2 )
p k
c
其中 m
为固有频率2 m，k
为
uc
R iR
q c
ic dt c
L
i
u
R
C
uc
将后两式代入电压方程中，则有：
u
L uc R
L dic dt
uc
L R
uc
LCuc
uc
n
1 LC
LCuc
L R
uc
u
c
u
令：21 n
L R
1 2R
L
，C
uc 2 nuC
2 n
uc
n2u
H(s) uc (s)
n2
u(s) s2 2 n s n2
（5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系， 对于多输入多输出系统，要用传递函数矩阵才能表达系统的 输入与输出关系。
4 传递函数的图示方法
将系统分为输入、系统和输出，则可以将整个系统
用下图来表示，在动态分析中，如果已知其中的两
个部分，分析另一个部分，则形成了正问题和反问
题。
X (s)
Y (s)
第四章 系统传递函数模型
黎明安
概述
传递函数分析法是研究系统动态特性的 重要方法之一。线性系统的传递函数定义为在全 部初始条件为零的假设下系统的输出量（响应函 数）的拉普拉斯变换与输入量（驱动函数）的拉 普拉斯变换之比。
本章摘要
传递函数定义及其特性 典型环节的传递函数 传递函数的其他形式 多自由度系统传递函数仿真模型 传递函数模型的SIMULINK仿真模型建立 弹性梁的传递函数模型
pp1时，
沿单位A1圆上的 点向
B
点移动，同时p2
p
沿单位圆A上2 的
点向 B 点移动，由此可见：在小阻尼
情况下，传递函数的极点就是系统的
复频率函数。
当 1
时， p1
p2
p
p
、
在同一B点处，说明此时
两极点为相同的负实数。
当 1
时，两个极点在实数轴上沿反方向运动。
例4-2 如图所示系统，已知m k1 ,k2 c , ,
称为系统的i (i 零1.2点L n，)
称为系统的极点。极点就K是分母多项式等于零的根，
不难看出传递函数的极点就是对应的微分方程的特
征根。传递函数的零点和极点对系统的动态性能有
影响，极点的数目必须要大于或等于零点的数目，
或者说，分母的方次要大于等于分子的方次。 （对
于分子方次大于等于分母方次的时候，通常要转换
这个系统的特点是给定系统一个阶跃输入时，在小
阻尼情况下，系统的输出呈现出振荡形式，它的标
准形式动态方程T为2 dd：t22y
2T
dy dt
y
Kf
(t)
例如：单自由度弹簧质量模型是我们经常见到的典
型模型，其动力学方程为：my cy ky f (t)
标准形式：
y
2
n
y
2 n
y
1 m
f
(t)
2 n
k
f (t)
H1 (s)
H和2 (s)
个系统串联
，将两个系统串联，分析两
后u 的总系uc 统的传y 递函数。
H1
H2
u
y
H
uc u H1(s)
因为y u H1(s) H 2 (s) u H (s) 即
y uc H 2 (s) H (s) H1(s) H2 (s)
结论：当两个线性系统模型串联时，其等效系统的 传递函数等于串联系统中两传递函数的乘积，
将系统模型写成零极点增益模型。
解： H (s) 5
s 0.6
(s 3)(s 2)(s 1)
系统的零点：z 0.6
极(点3, ：2, 1)
k 5
增益：
写成留数形式，则有：
k1
lim
s1
H (s) (s
1 )
5
(s
s 0.6 3)(s 2)(s
1)
(s
3)
5
(s
s 0.6 2)(s 1)
这里 k a
b
是力的放大系数。
因为这里不考虑质量，所以系统不会因为有惯性而产 生延迟现象。
2 惯性环节（一阶惯性环节）
分析RC串联电路系统的传递函数，以q(t) 作为电路 中电容器上的电荷u(，t) 为电压，则关于电荷的变化 满足的动态方程为R：C dq(t) q(t) cu(t)
dt
在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，设
若给定系统的输入，则系统的输出完全取决于传递 函数，其关系如下：Y (s) H (s)U (s)
再通过拉普拉斯反变换，可以得到时间域内的输出 （响应）： y(t) L1[Y (s)] L1[H (s)U (s)]
L 表示拉斯变换符号，则“L1
变换符号。
”表示拉斯反
3 传递函数的特性
（1）传递函数只取决于系统结构（或元件）的参数，与外部信 号的大小和形式无关。
H (s)
Y(s) H(s)X (s)
运算关x(s)系：H (s)
y(s)
已知x(s) y(s) , H (s)
求
分析H正(s问) 题；y(s)
x(s)
已知
，
求
பைடு நூலகம்
，称为动态 ，称为系统
4.2 典型环节的传递
1 比例环节
函数
凡输出量 y(t) 正比于输入u(t量)
，其特点是
输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节，称
求系统的传递函数。
解：系统的动力学方程为：
k1
mx k2 x c(x x1) f (t) c(x x1 ) k1x1
对上两式取拉斯变换
(ms 2 cs k2 )x(s) f (s) csx1 (s)
以上两式消去变量x1 (s)
x1 f (t) c
m
csx(s) (k1 cs)x1(s)
拉斯变换，则得：
(an s n an1s n1 a1s a0 )Y (s) (cn s m cn1s m1 c1s c0 )U (s)
其中Y (s) 是输出量y(t)
的拉斯变U (s换) ， 是u输(t)入量
的
H (s)
拉斯变换。则定义传递函数为
,如下：
H (s) Y (s) cm s m cm1s m1 c1s c0 U (s) an s n an1s n1 a1s a0
3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即：
y(t) T du(t) T u(t) dt
系统的传递函数为 H (s) Y (s) Ts
U (s)
其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环 节在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联合使用。
4 积分环节 该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正 比，即：
阻尼s2比 2ps p2
将
因式分解可以得到系统的极
点，p在1 这p里 ， 2系1统p 的极点p2就 是p 动力2 系1p统的特征根：
对于单自由度系统而言，系统的极点是固有频率P和 阻尼比 的函数
当 1 时，极点是一对共轭复数，即：
p1 j 1 2
p
p2 j 1 2
p
当0 1
为比例环节，其广义动力学方程为：
y(t) Ku(t)
K为环节的放大系数或增益，其传递函数为：
H (s) Y (s) K U (s)
考察一个不计质量的杠杆的力学性能（力学杠杆原理 就是一个比例环节，其比例系数是动力臂与阻力臂的 比值）。
p(t) a f (t) b
f (t) a p(t) k p(t) b
即：
H (s) H1(s) H2 (s)
推广到n个系统串联：
H (s) H1(s) H2 (s) Hn (s)
或
H (s) y(s) s z1 s z2 • • • 1
u(s) s 1 s 2
s n
注意这里假定极点比零点数目大1,根据这个表达式我 们可以将一个高次传递函数分成一系列简单一次传 递函式的串联形式。
2)
|s1
5
1 0.6 2
1
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H (s) 6 7 1
s 3 s 2 s 1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H (s)
s3
s2 2s2
3s 1 5s 10
将系统模型写成零极点增益模型：
解：零极点模型
H (s) (s 2.618 )(s 0.328 ) (s 2.618)(s 0.328 )
1
2 n
y 2
1
n
y
y
1 k
f
(t)
可以对比电学方程和力学方程，其数学模型是等价的。
4.3 传递函数的其他形
式 1 传递函数的零极点形式
H (s) K (s z1)(s z2 ) L (s zm )
(s 1)(s 2 ) L (s n )
其中K称为增益，zi (i 1,2,...m)
x1 (s)
csx(s) (k1 cs)
(ms 2
cs k2 )x(s)
f (s) cs csx(s) (k1 cs)
H (s) x(s)
cs k1
f (s) mcs 3 mk1s 2 c(k1 k2 )s k1k2
。试
k2 x
2 传递函数的留数形式
我们还可以将传递函数：H (s) Y (s) cmsm cm1sm1 c1s c0
(s 2)(s 2 5)
(s 2)(s 2.236 j)(s 2.236 j)
系统的留数模型：
H (s) 0.556 0.1739 j 0.5556 0.1739 j 0.1111
s 2.236 j
s 2.2361 j
22
3 传递函数的并联、串联与反馈链接形式
1） 串联形式：设有两个系统的传递函数分别为：
t
y(t) K 0 u(t)dt
这里k为常数，对应的传递函数为：
H (S) Y (s) K U (s) s
5 震荡环节（或称二阶振荡环节）
典型的震荡环节通常使用LRC串联谐振电路来表示，
设u为系统的输入电压，uc为电容两端的电压，则根 据电路方程有：
u
L
di dt
uc
i
iR
ic
uc R
ic
|s3
5
3 0.6 1 (2)
6
同理：
k2
lim
s2
H (s)(s
2 )
s 0.6
s 0.6
2 0.6
5 (s 3)(s 1) 5 (s 3)(s 1) |s2 5 1 (1) 7
k3
lim
s 2
H (s)(s
3 )
5
(s
s 0.6 3)(s
2)
5
(s
s 0.6 3)(s
d (t)
对上图所示的机械系统，其标准式为：c dx(t) x(t) 1 f (t)
k dt
3k
时间常数为 c
，灵敏度 为f0
k
3k
义是系统在静止状态下的静变形。
，其物理含
为分析方便，令 1 ，以这种归一化系统为研究模
型，即： dy(t) y(t) x(t)
d (t)
H (s) 1
s 1