第四章 系统传递函数模型
传递函数模型和传递函数
传递函数模型和传递函数传递函数是控制系统中一个重要的概念，它描述了输入信号经过系统后的输出信号与输入信号之间的关系。
传递函数模型是用来描述连续时间系统的，而传递函数是传递函数模型的具体表达式。
传递函数模型可以简化对系统行为的分析和设计。
通过将系统抽象为一个传递函数，可以忽略系统的具体细节，只关注输入输出之间的关系。
这样一来，我们可以用数学方法来分析系统的稳定性、性能等特性。
传递函数模型通常用拉普拉斯变换来表示。
拉普拉斯变换是一种数学变换，用于将连续时间域中的函数转换为复频域中的函数。
通过拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化对系统的分析。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量，表示频域中的频率。
传递函数的形式可以是分数形式，如H(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是多项式。
传递函数的分子多项式N(s)描述了输入信号对系统的影响，而分母多项式D(s)描述了系统的特性。
传递函数的分母多项式D(s)的根决定了系统的稳定性。
如果分母多项式的根都是负实数或者有负实部的复数，那么系统是稳定的。
反之，如果分母多项式的根有正实数或者纯虚数，那么系统是不稳定的。
传递函数还可以用来描述系统的频率响应。
频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应程度。
通过传递函数，可以计算出系统在不同频率下的增益和相位差。
传递函数模型和传递函数在控制系统的分析和设计中起着重要的作用。
通过传递函数模型，可以对系统进行数学建模和分析。
而通过传递函数，可以计算系统的稳定性、频率响应等特性。
掌握传递函数模型和传递函数的使用方法，对于控制系统的工程师来说是非常重要的。
总之，传递函数模型和传递函数是控制系统分析和设计中常用的工具。
通过传递函数模型，可以对系统进行简化和抽象，忽略系统的具体细节。
而通过传递函数，可以计算系统的稳定性、频率响应等特性。
掌握传递函数模型和传递函数的使用方法，可以帮助我们更好地了解和设计控制系统。
传递函数建模
传递函数建模
传递函数建模是一种将系统的输入与输出之间的关系表示为传递函数的方法。
传递函数（Transfer Function）描述了输入信号与输出信号之间的数学关系，在控制系统中常用于分析系统的动态行为和进行系统设计。
传递函数建模的步骤如下：
1. 系统分析：首先对待建模的系统进行分析，了解系统的输入输出关系。
可以通过实验、观察或数学建模等方法来获取系统的输入输出数据。
2. 建立数学模型：根据系统的输入输出关系，建立系统的数学模型。
传递函数通常是用拉普拉斯变换表示的，可以将系统的输入输出关系表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的形式。
3. 参数估计：确定传递函数的参数。
有时候，系统的参数可以通过实验测量得到，或者通过理论分析进行估计。
4. 评估模型：对建立的传递函数模型进行评估，比较模型的输出与实际系统的输出之间的差异，调整模型的参数以提高模型的拟合度。
5. 使用模型：使用建立的传递函数模型进行系统分析和设计。
传递函数可以用于分析系统的稳定性、频率响应、阶跃响应等性能指标，同时也可以用于设计控制器或者滤波器。
总之，传递函数建模是一种对系统进行数学建模的方法，通过建立数学模型来描述输入输出关系，从而分析系统的动态行为和进行系统设计。
控制系统传递函数建模
控制系统传递函数建模在控制系统的设计中，传递函数是一种非常重要的数学模型。
通过对系统的传递函数进行建模，我们可以更好地理解和分析系统的动态特性，从而实现对系统的控制和优化。
一、什么是传递函数传递函数是用来描述线性时间不变系统动态特性的数学模型。
对于连续时间系统，传递函数一般表示为G(s)，其中s是Laplace变量。
而对于离散时间系统，传递函数表示为G(z)，其中z是Z变量。
传递函数是系统输入和输出之间的关系，它可以表示为：G(s) = Y(s) / U(s)其中，Y(s)是系统的输出信号，U(s)是系统的输入信号。
传递函数可以将输入信号的频率特性转化为输出信号的频率特性，从而实现对系统的分析和控制。
二、传递函数的建模方法1. 确定系统的结构在建模之前，首先要确定系统的结构。
系统的结构可以通过对实际系统进行观测和测量得到，也可以通过对系统的物理原理进行分析和推导得出。
2. 建立系统的数学模型在确定系统结构之后，可以开始建立系统的数学模型。
对于线性时间不变系统，可以通过对系统的微分方程进行变换来得到传递函数。
以连续时间系统为例，假设系统的微分方程为：a0*d^n y(t) / dt^n + a1*d^(n-1) y(t) / dt^(n-1) + ... + an*y(t) = b0*d^mu(t) / dt^m + b1*d^(m-1) u(t) / dt^(m-1) + ... + bm*u(t)其中，y(t)是系统的输出，u(t)是系统的输入，a0, a1, ..., an和b0,b1, ..., bm是系统的系数。
通过对该微分方程进行拉普拉斯变换，可以得到传递函数的表达式：G(s) = Y(s) / U(s) = (b0*s^m + b1*s^(m-1) + ... + bm) / (a0*s^n +a1*s^(n-1) + ... + an)通过类似的方法，可以得到离散时间系统的传递函数表达式。
4-传递函数
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 模型总论 微分方程的建立 传递函数模型 框图模型 信号流图模型 模型总结
第四讲：系统的数学模型
2-3 传递函数模型 2-4 框图模型
2-3 传递函数模型
一 定义与性质 设一般线性定常系统的微分方程为
dn d n−1 d a0 n y(t) + a1 n−1 y(t) +L+ an−1 y(t) + an y(t) dt dt dt dm d m−1 d = b0 m r(t) + b1 m−1 r(t) +L+ bm−1 r(t) + bmr(t) dt dt dt
环路分辨
G3 H3
G3 H3 H3
总之，框图简化的一般方法是： 移动引出点或比较点； 进行方框运算； 将串联、并联、反馈连接的框图合并；
三 框图三种典型形式
串 联 G1 G2 并 联 G1 G2 反 馈 G H
G1 G2
G1 G2
G 1+ G H
（1）串联
X(s) G (s) 1 X1(s) Y(s) G2(s)
＝
X(s)
G(s)
Y(s)
Y(s) G(s) = = G (s) ⋅ G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) Q = G (s), = G2 (s) 1 X (s) X1(s) Y(s) ∴ = G (s)G2 (s) 1 X (s)
（2）并联
X(s) G1(s) G2(s) Y1(s)
Y(S)
±
Y2(s)
＝
X(s)
Y(s) G(s)
G(s) = G1(s) ± G2 (s) Y(s) = Y1(s) ±Y2 (s) = X (s)G1(s) ± X (s)G2 (s) = X (s)[G1(s) ± G2 (s)] = X (s)G(s) ∴G(s) = G1(s) ± G2 (s)
第四章系统传递函数模型
H(s) 1
s1
3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即：
y(t)Tdu(t)Tu(t) dt
系统的传递函数为 H(s)Y(s) Ts
U(s)
其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环节 在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联合使用。
4 积分环节
该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正比
方次大于等于分母方次的时候，通常要转换成余项研 究）
例4-1 设系统的动力学方程为： m y c y k y u (t) ， 计算单自由度弹簧质量的传递函数的零极点模型。
解：
H ( s ) u y ( ( s s ) ) m s 2 1 c s k s 2 2 1 /p m s p 2 ( s p 1 1 ) /( m s p 2 )
可以证明：各个留数可以通过下式求出：
ki sl iim H(s)(si)
i1,2, n
例4-3 某系统的传递函数为： H(s) 5s3
s36s21s16
将系统模型写成零极点增益模型。 解： H(s)5 s0.6
(s3)s(2)s(1)
系统的零点：z0.6 极点： (3,2,1) 增益： k 5 写成留数形式，则有：
k3sl im 2H(s)(s3)
5(ss3 )(0s.6 2)5(ss3)(0s.6 2)|s151 20.61
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H(s)6 7 1
s3 s2 s1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H(s)s3s22s23s5s110
将系统模型写成零极点增益模型：
dt
在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，
系统方框图及系统传递函数分解课件
系统传递函数对方框图的影响
系统传递函数决定了系统的动态特性，通过调整传递 函数可以改变系统的性能。
传递函数的数学表达式可以转化为方框图，通过对方 框图的调整可以实现传递函数的优化，进而改善系统 性能。
04
系统方框图的分解
方框图分解的方法与步骤
简化系统分析
对于复杂系统，方框图能够简化 分析过程，方便进行系统性能分 析和优化。
指导控制器设计
根据系统方框图，可以设计合适 的控制器，实现系统对特定性能 指标的优化。
传递函数在控制系统分析中的应用
数学建模基础
传递函数是控制系统数学建模的基本工具，用于描述系统的动态 行为。
稳定性分析
通过分析传递函数的极点和零点，可以判断系统的稳定性。
03
系统方框图与系统传递 函数的关系
方框图与传递函数的关系
方框图是系统传递函数的图形表示， 通过方框图可以直观地了解系统内部 各环节的信号传递关系。
传递函数是描述系统动态特性的数学 模型，通过传递函数可以计算系统的 频率响应、稳定性等性能指标。
系统方框图对系统性能的影响
系统方框图反映了系统的结构组成和信号传递关系，通过分析方框图可以了解系统性能的优劣。
控制系统分析
通过传递函数分解，分析控制系统的稳定 性、动态性能和稳态性能，为控制系统的
优化提供依据。
控制系统校正
通过传递函数分解，对控制系统的开环传 递函数进行修改，以改善控制系统的性能 指标。
06
系统方框图与系统传递函 数在控制系统中的应用
方框图在控制系统设计中的应用
描述系统动态特性
通过方框图可以直观地表示系统 的动态过程，明确各环节的输入 和输出关系。
系统传递函数方框图及其简化
X1 X2
X1 X 2 X 3
分支点 系统方框图的建立步骤
同一信号向不同方向传递
建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/ 输出）。 对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。 按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框 图连接起来，得到系统的方框图。
2
示例 无源RC网络
4
传递函数的等效 变化
1.串联传递函数等于各相串传函之积。
Xi(s) X(s)
G1(S)
G2(S)
X o(s)
X i(s)
G1(S) G2(S)
n
X o(s)
X ( s ) X o ( s ) X ( s ) G (s)G (s) G (s) o 2 1 X i (s) X (s) X i (s)
X1 +
+ (-)
G ( s)
1 G (s)
X3
X2
前移：从G(s)的输出端移到输入端；
后移：从G(s)的输入端移到输出端。
注意：分支 点和相加点 之间不能相 互移动。
9
例：求下图所示系统的传递函数。
H2(s) Xi(s)
+
B
G1(s)
H1(s)
G2(s)
G3(s)
A Xo(s)
H3(s)
X o (s)[1 G(s)H (s)] H (s) X i (s)
X o ( s) G( s) G( s) GB ( s) X i (s) 1 G ( s ) H ( s ) 1 Gk ( s )
7
讨论： 单位反馈：H(s)=1
Xi(s) + -
控制工程-系统传递函数方块图及其简化
比较点： x 1 方框： x i (s)
x x2 G(s)
信号从某点分开,信号相加减（相减必须标注负号）
x o(s)
表示输入和输出信号的传递关系
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
南华大学
二、环节的串联、并联的等效规则
1．环节的串联
Xi(s)
G1(s) X1(s) G2(s)
X0(s) G(s) = X0 (s) = X0 (s) X1(s)
s 1
) +
G1( s G1(Gs1()
) GG22((ss)) sG)2G( 2s ()Hs )(Hs
()
s
)
且 XG0N1((ss))=HN( s()s )>G> N1( s )
=
N≈
(Ns
() s1)+GG1(
G12( s ) s ) GH2((ss))H(
s
)
δ
N
(
s
)
系统抗干扰性较强
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
Xi (s)
X i (s)
+ X0(s) +
若这里的+改为 -的话？
= G1 (s) + G2 (s)
n
G(s) = Gi (s)
i =1
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
南华大学
三、开环与闭环传递函数
xi(t)
ε(t)
g x0(t)
-
xb(t)
h
Xi(s)
E(s)
G(s)
-
XB(s)
H(s)
1 G1
G1G2·G3 1-G1G2H1
Ｅ
Ｆ Ｘ0
传递函数模型
传递函数模型函数模型建模方法是一种用于解决定量数学优化问题的统一框架，也被称为单层规划或模型结构理论。
函数模型建模方法把优化问题表示成函数模型，然后由优化算法来求解这些模型。
下面是函数模型建模方法的相关内容：一、函数模型的外部表示1、表示目标：函数模型建模方法将优化问题表示成满足一组约束条件下函数最优化的问题，即将求解结果用函数表示。
2、设定变量：函数模型将问题内容用变量表示出来，并将相关变量限制在一定的范围，然后确定最优解所需要的变量范围。
3、设定函数：目标函数需要设计一个具有较强解释性的目标函数，然后根据目标函数构建函数模型。
4、设定约束：确定相关的约束条件，约束条件可以是硬约束也可以是软约束，用来限制求解最优解的自由度。
二、函数模型的内部表示1、逐步回溯：函数模型主要是考虑每一步回溯动作所带来的后果，并以此形成正解或最优解。
2、约束调度：主要考察约束的类型，有硬约束和软约束，根据实际情况，以最优化任务为目标，决定是否采取相应的调度方法。
3、解析算法：这类算法通过解析函数模型实现最优解的求解，所考虑的算法有贪婪算法、非贪婪算法等。
4、搜索算法：该类算法也可以实现最优解的求解，此类算法主要有模拟退火算法、遗传算法、模糊算法、粒子群优化算法等。
三、函数模型建模方法的优势1、计算速度快：函数模型建模方法可以实现快速求解，而传统网络模型建模、代数模型建模需要耗费大量时间。
2、收敛性好：因为函数模型拥有收敛性，所以可以有效降低求解过程中因数值误差而造成的误差。
3、可控性强：函数模型的求解过程可以有效控制，可以根据实际需求调整参数使求解过程更加简单有效。
4、适用范围广：函数模型几乎可以适用于任何领域，即使对求解过程比较复杂，也可以应用函数模型来解决。
第四章控制系统的传递函数
即
， X o (s ) G( s) X i ( s)
特别地，当xi(t)=δ(t)，亦即 Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)
因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应 的拉氏变换。
一般地,传递函数的表达式为
X o ( s) ao s n a1s n1 a2 s n2 an G( s ) X i ( s) bo s m b1s m1 b2 s m2 bm
1. 传递函数框图的概念
系统的动态结构图，即用来表达环节及其传递函数的方块图。下图 表示一个框图单元。目的是为了说明一个环节在系统中的作用。 Xi(s)
1 G (s) K T1s T s 1 2
例4
下图是由放大电路组成的PID调节器，求G(s) R1 C2 C1 R2 i Ui(s) Ri a Zm
ui
Ri
if
Uo (s)
uO
R1 If (s) C1 Ub(s) R2 C2 I(s)
a
Uo(s)
a
R1 If (s)
K
E(s)
UO(s)
K (Ui (s) U f (s))
R
C
1 1 U f ( s) cs U o ( s) Uo ( s) 1 Rcs 1 R cs
K ( Rcs 1) Rcs 1 G( s ) Rcs 1 k Rcs 1 1 K
Rcs 1 Ts 1
ms2 X o (s) csX o ( s) kXo (s) kXi ( s)
k m
2 2
k G( s) 2 ms cs k
k c k s 2 s 2 mk m m
系统传递函数
an s a1s a0
例:
dxo (t ) T xo (t ) kxi (t ) dt
L:
TsX o ( s ) X o ( s ) kX i ( s ) (Ts 1) X o ( s ) kX i ( s )
X o ( s) k G( s) X i ( s) Ts 1
ps
10
(an s n a1s a0 ) X o ( s) (bm s m b1s b0 ) X i ( s) ( n m ) 1.定义： m b s b1s b0 (n m) L[ xo (t )] X o ( s) m G( s) n
xs ( t )
x (t )
稳态响应 1
2 1.5
瞬态响应 5 e -2 t-4 e -3 t 稳态响应+1
瞬态响应 -3 e 2 t + 2 e - 3 t
1 0.5
t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0
1
2
3
4
t
4．总响应[复合运动]
总响应x(t)= 零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应 前例:x(t ) x Z (t ) x S (t )
稳态响应 0 t
初始条件(状态)=0，输入≠0 微分方程的特解，包括瞬态响应和稳态响应
jik03
6
x (t ) 5x (t ) 6x(t ) 6， 例 2.8 求解 (0) 0 初始条件 x(0) 0 ， x t0 1 1 解：单位阶跃函数 u (t ) t0 0 1 0 L[u (t )] s 6 2 s X ( s ) 5sX ( s ) 6 X ( s ) L变换: s
第四章 控制系统的传递函数(3)
G1G2 X (s) 1 + G1G2 H i
G2 Xo2 (s)= 1 + G G H N(s) 1 2
Xo(s)= Xo1 (s)+ Xo2 (s)Fra bibliotek 例3 求G(s)
G6 Xi(s) G1 + G2 G3 + + + G7 G4 H1 H2 G7 G6/G2 Xi(s) G1 + + + + X (s) + + o G5 + Xo(s) +
M
Xo(s) G3 N
XXi(s)+ i(s) +
++
- ++
+
H2 G1 M
H 2 G2
G2
--
G1 + H1
G21 G H1
- M
G33 G
Xo(s) Xo(s) N N
Xi(s) +
+
-
+ +
H2 G1
-
G1 G2 H1
M
Xo(s) G3 N
H2 G1
Xi(s) +
+
-
-
G1G2 1 − G1G2 H1
此传递函数为深入研究切削过程动力学（机床刚度及稳定性） 提供了一个基本的理论依据 用框图表示控制系统的优点是：能以图示的方法揭示系统的 内部结构，看出信号的流向和环节间的联接关系，以及各环 节对系统的影响。
x2(t) K2 m2 C K1
x1(t) m1 f (t)
{mx
2
m1x1"+C(x1'-x2')+ K1 (x1-x2)= f
传递函数模型课件
bm1s bm an1s an
也可根据 H (s) G(s) k (s z1)(s z2 ) (s zm )
F (s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
函数：zplane(z,p)
zplane(num,den)
极点用×表示，零点用。表示
绘制 绘制
习题1：根据传递函数求解零点、极点和增益， 并绘制出幅频曲线和相频曲线，绘制零点极点图。
称为“非最小相位”系统，试从其频域响应加以 解
释。
控制系统建模
—— matlab语言称为第四 代编程语言，程序简洁、可 读性很强而且调试十分容易。 是matlab重要组成部分。
5.1.3 传递函数模型
1. 拉普拉斯变换
s j
可得出复数s平面中的函数
F (s) f (t)estdt 0
F(s)是时域函数f(t)在s域中的映象，
2. 线性电路的s域解法 （1） 电阻方程
s 1 H(s)
3s3 4s2 5s 6
（1）输入传递函数的分子系数 num=[1,1]
（2）输入传递函数的分母系数 den=[3,4,5,6]
（3）求解频率响应 [h,w]=freqs(num,den)
（4）求幅值 amp=abs(h)
（5）绘制第一个子图 subplot(2,1,1)
（6）绘制幅频曲线 semilogx(w,amp)
求零点、极点和增益的函数tf2zp
[z,p,k]=tf2zp(b,a) b为传递函数的分子系数矢量 a为传递函数的分母系数矢量 z为传递函数的零点矢量 p为传递函数的极点矢量 k为传递函数的增益
例：根据传递函数求解零点、极点和增益，并判 断该系统是否稳定。（exno2）
自动控制原理第四次课—传递函数及结构图简化
Js2 m (s)=M mfsm (s)
c (s) = 1i m(s)
r (s)
e (s) Ks Us(s)
K Ua(s) a
1 Las Ra
Ia(s)
Cm Mm(s)
c (s)
Eb(s)
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26
系统各元部件的动态结构图(6)
e(s)=r(s)c(s)
G(s)
= T2s2
1
2Ts1
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。
⑦二阶微分环节，传递函数为
G(s)=2s22s1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数
此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间
为 ，该环节的传递函数为：
G(s) =es
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10
2－4 动态结构图
动态结构图是一种数学模型，采用 它将更便于求传递函数，同时能形 象直观地表明输入信号在系统或元 件中的传递过程。
式的连接称为并联连接。
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17
3. 反馈连接
R(s)
－
C(s) G(s)
H(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
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三、系统动态结构图的构成
• 构成原则：
按照动态结构图的基本连接形式，构 成系统的各个环节，连接成系统的动 态结构图。
c ( t ) = L 1 C ( s ) = L 1 G ( s ) R ( s ) = L 1 G ( s )
传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是 系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实 意义，而且容易实现。
机械工程控制基础 第四章 传递函数
第四章 传递函数第一节 传递函数的概念与性质一、传递函数的概念对于单输入、单输出的线性定常系统，传递函数定义为“当输入量和输出量的一切初始值均为零时，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比”。
原函数描述的系统：输入x i （t ）⇒ 系统h （t ）⇒ 输出x 0（t ） 以象函数描述的系统：输入X i （s ）⇒ 系统G （s ）⇒ 输出X 0（s ）传递函数为：)()()(0s X S X s G i =传递函数是描述系统动态性能的数学模型的一种形式，是系统的复数域数学模型 二、传递函数的一般形式线性定常系统的运动微分方程式的一般形式为：imim m im inn n n x b x b x b x b x a x a x a x a ++++=++++---- 1)1(1)(01)1(01)(0......其中a 0、a 1。
a n ，b 0、b 1。
b m 均为实常数。
对上式做拉氏变换即可求得该系统的传递函数。
传递函数具有以下三种常用形式： ==)()()(0s X s X s G i nn n nmm m m a s a s a s a b s b sb sb ++++++++----11101110 (Ⅰ)型 ==)()()(0s X s X s G i ))...()(())...()((212100nma a ab b b s s s s s s a s s s s s s b ------ Ⅱ型==)()()(0s X s X s G i )12()1()12()1(2211122111++++++∏∏∏∏∏∏======s T sT s s s T sT s k al alal l all l l bl blbl l bll ll ζττζτνμλσρηⅢ其中，Ⅱ型中，s b1、s b2、s bm 是G （s ）的零根，s a1、s a2、s an 是G （s ）的极点，也是分母多项式的根。
第四章传递函数
第四章传递函数 第一节传递函数一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。
)()()]([)]([)()()()(s R s Y t r L t y L s G s G t y t r ==，则为，系统传递函数、系统输入、输出分别为二、求法：1、由微分方程求取。
若系统的微分方程为)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(t x b t x b t xb t x b t y a t y a t ya t y a m m m m n n n n +'+++=+'+++----对微分方程的两端求拉氏变换11101110111011101110111)()()()()()()()()()()()()()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s G s X b s b s b s b s Y a s a sa s a s Xb s sX b s X s b s X s b s Y a s sY a s Y s a s Y s a n n n n m m mm m m m m n n nn m m mm n n n n +++++++==+++=++++++++=++++------------例1：系统微分方程为)()()()(22t f t kx dt t dx c dt t x d m =++，求系统的传递函数。
解：由给定的微分方程，kcs m s s F s X s G s F s X k cs m s s F s kX s csX s X m s t f t kx dtt dx c dt t x d m ++===++=++=++222221)()()()()()()()()()()()()()(例2：求R-C 电路的传递函数。
解：11)()()()1()()()(00000+==+=+=+Rcs s G s U s U Rcs s U s U s RcsU u u dtdu Rc i i i三、性质 1、系统的传递函数取决于系统的本身，与系统的输入、输出及其它外界因素无关。
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4．1 传递函数定义及
其特性 1 传递函数的作用：
传递函数是对线性系统分析和研究的基本数学 工具，对标准形式的微分方程进行拉普拉斯变换， 可以将其转化为代数方程，这样不仅将实数域中的 微分、积分运算简化为复数域中的代数运算，大大 简化了运算，而且根据传递函数还可以导出系统的 频率特性。利用传递函数可以得到系统的频率特性， 利用这些频率特性与系统的参数关系，还可以对系 统进行参数识别。
2)
|s1
5
1 0.6 2
1
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H (s) 6 7 1
s 3 s 2 s 1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H (s)
s3
s2 2s2
3s 1 5s 10
将系统模型写成零极点增益模型：
解：零极点模型
H (s) (s 2.618 )(s 0.328 ) (s 2.618)(s 0.328 )
H1 (s)
H和2 (s)
个系统串联
，将两个系统串联，分析两
后u 的总系uc 统的传y 递函数。
H1
H2
u
y
H
uc u H1(s)
因为y u H1(s) H 2 (s) u H (s) 即
y uc H 2 (s) H (s) H1(s) H2 (s)
结论：当两个线性系统模型串联时，其等效系统的 传递函数等于串联系统中两传递函数的乘积，
x1 (s)
csx(s) (k1 cs)
(ms 2
cs k2 )x(s)
f (s) cs csx(s) (k1 cs)
H (s) x(s)
cs k1
f (s) mcs 3 mk1s 2 c(k1 k2 )s k1k2
。试
k2 x
2 传递函数的留数形式
我们还可以将传递函数：H (s) Y (s) cmsm cm1sm1 c1s c0
uc
R iR
q c
ic dt c
L
i
u
R
C
uc
将后两式代入电压方程中，则有：
u
L uc R
L dic dt
uc
L R
uc
LCuc
uc
n
1 LC
LCuc
L R
uc
u
c
u
令：21 n
L R
1 2R
L
，C
uc 2 nuC
2 n
uc
n2u
H(s) uc (s)
n2
u(s) s2 2 n s n2
d (t)
对上图所示的机械系统，其标准式为：c dx(t) x(t) 1 f (t)
k dt
3k
时间常数为 c
，灵敏度 为f0
k
3k
义是系统在静止状态下的静变形。
，其物理含
为分析方便，令 1 ，以这种归一化系统为研究模
型，即： dy(t) y(t) x(t)
d (t)
H (s) 1
s 1
2 传递函数的定义
设有线性系统的输入为u(t) ,输出y(t)为
,对
应的微分方程如下：
(an pn an1 pn1 a1 p a0 ) y(t) (cm pm cm1 pm1 c1 p c0 )u(t)
其中p 假设
m各 阶ddtmm导数的初称值为均微为分零算，子对，该n且微m有分方y(t)程两端取
求系统的传递函数。
解：系统的动力学方程为：
k1
mx k2 x c(x x1) f (t) c(x x1 ) k1x1
对上两式取拉斯变换
(ms 2 cs k2 )x(s) f (s) csx1 (s)
以上两式消去变量x1 (s)
x1 f (t) c
m
csx(s) (k1 cs)x1(s)
拉斯变换，则得：
(an s n an1s n1 a1s a0 )Y (s) (cn s m cn1s m1 c1s c0 )U (s)
其中Y (s) 是输出量y(t)
的拉斯变U (s换) ， 是u输(t)入量
的
H (s)
拉斯变换。则定义传递函数为
,如下：
H (s) Y (s) cm s m cm1s m1 c1s c0 U (s) an s n an1s n1 a1s a0
（2）传递函数只能适用于线性定常系统（由拉斯变换的性质可 以得到，因为拉斯变换是一种线性变换）。
（3）传递函数一般为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的
最高次数n高于分子多项式S的最高次数m，即
。
（4）由于传递函数是在零初始条件下定义的，因此它不能反映 非零初始条件下的运动情况（即瞬态响应）。 n m
|s3
5
3 0.6 1 (2)
6
同理：
k2
lim
s2
H (s)(s
2 )
s 0.6
s 0.6
2 0.6
5 (s 3)(s 1) 5 (s 3)(s 1) |s2 5 1 (1) 7
k3
lim
s 2
H (s)(s
3 )
5
(s
s 0.6 3)(s
2)
5
(s
s 0.6 3)(s
称为系统的i (i 零1.2点L n，)
称为系统的极点。极点就K是分母多项式等于零的根，
不难看出传递函数的极点就是对应的微分方程的特
征根。传递函数的零点和极点对系统的动态性能有
影响，极点的数目必须要大于或等于零点的数目，
或者说，分母的方次要大于等于分子的方次。 （对
于分子方次大于等于分母方次的时候，通常要转换
为比例环节，其广义动力学方程为：
y(t) Ku(t)
K为环节的放大系数或增益，其传递函数为：
H (s) Y (s) K U (s)
考察一个不计质量的杠杆的力学性能（力学杠杆原理 就是一个比例环节，其比例系数是动力臂与阻力臂的 比值）。
p(t) a f (t) b
f (t) a p(t) k p(t) b
3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即：
y(t) T du(t) T u(t) dt
系统的传递函数为 H (s) Y (s) Ts
U (s)
其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环 节在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联合使用。
4 积分环节 该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正 比，即：
若给定系统的输入，则系统的输出完全取决于传递 函数，其关系如下：Y (s) H (s)U (s)
再通过拉普拉斯反变换，可以得到时间域内的输出 （响应）： y(t) L1[Y (s)] L1[H (s)U (s)]
L 表示拉斯变换符号，则“L1
变换符号。
”表示拉斯反
3 传递函数的特性
（1）传递函数只取决于系统结构（或元件）的参数，与外部信 号的大小和形式无关。
（5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系， 对于多输入多输出系统，要用传递函数矩阵才能表达系统的 输入与输出关系。
4 传递函数的图示方法
将系统分为输入、系统和输出，则可以将整个系统
用下图来表示，在动态分析中，如果已知其中的两
个部分，分析另一个部分，则形成了正问题和反问
题。
X (s)
Y (s)
将系统模型写成零极点增益模型。
解： H (s) 5
s 0.6
(s 3)(s 2)(s 1)
系统的零点：z 0.6
极(点3, ：2, 1)
k 5
增益：
写成留数形式，则有：
k1
lim
s1
H (s) (s
1 )
5
(s
s 0.6 3)(s 2)(s
1)
(s
3)
5
(s
s 0.6 2)(s 1)
这里 k a
b
是力的放大系数。
因为这里不考虑质量，所以系统不会因为C串联电路系统的传递函数，以q(t) 作为电路 中电容器上的电荷u(，t) 为电压，则关于电荷的变化 满足的动态方程为R：C dq(t) q(t) cu(t)
dt
在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，设
t
y(t) K 0 u(t)dt
这里k为常数，对应的传递函数为：
H (S) Y (s) K U (s) s
5 震荡环节（或称二阶振荡环节）
典型的震荡环节通常使用LRC串联谐振电路来表示，
设u为系统的输入电压，uc为电容两端的电压，则根 据电路方程有：
u
L
di dt
uc
i
iR
ic
uc R
ic
即：
H (s) H1(s) H2 (s)
推广到n个系统串联：
H (s) H1(s) H2 (s) Hn (s)
或
H (s) y(s) s z1 s z2 • • • 1
u(s) s 1 s 2
s n
注意这里假定极点比零点数目大1,根据这个表达式我 们可以将一个高次传递函数分成一系列简单一次传 递函式的串联形式。
成余项研究）
例4-1 设系统的动力学方程 m&y& cy& ky u(t)
为：
，计算单自
由度弹H簧(s)质 y量(s) 的传1递函数的1/零m 极点 模型1/ m。
解：
u(s) ms2 cs k s2 2 ps p2 (s p1)(s p2 )
p k
c
其中 m
为固有频率2 m，k
为
pp1时，
沿单位A1圆上的 点向