基本不等式证明题型归纳

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基本不等式几大题型

基本不等式几大题型剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。

例1：已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥1/3.证明：由均值不等式，有a2＋b2＋c2≥1/3(a＋b＋c)2=1/3.因为a＋b＋c＝1，所以a2＋b2＋c2≥1/3成立，证毕.例2：已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：(a ＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2≥2/3.证明：(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)22(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)2×3(abc)1/3×2(abc)1/32/3(a＋b＋c)22/3.因为a＋b＋c＝1，所以(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2≥2/3成立，证毕.例3：已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：a3＋b3＋c3＋6abc≥1/4.证明：由均值不等式，有a3＋b3＋c3≥1/3(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)1/3(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca).又因为a＋b＋c)3＝a3＋b3＋c3＋3(a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2)+6abc1＋3(a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2)+6abc1＋9abc+6abc1/4.所以a3＋b3＋c3＋6abc≥1/4.因为a＋b＋c＝1，所以a3＋b3＋c3＋6abc≥1/4成立，证毕.例4：已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：a/b ＋b/c＋c/a≥3.证明：由均值不等式，有a/b＋b/c＋c/a≥3(abc)1/3/(abc)1/33.因为a＋b＋c＝1，所以a/b＋b/c＋c/a≥3成立，证毕.1.函数f(x)=x(1-x)(0<x<1)的值域为什么？解析：当00，x(1-x)≤1/4.所以f(x)的值域为[0,1/4]。

2.函数f(x)=x(1-2x)的值域为什么？解析：当00，x(1-2x)≤1/8；当1/2<x<1时，1-2x<0，x(1-2x)≥1/8.所以f(x)的值域为[0,1/8]。

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。

若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。

若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。

若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。

6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。

题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。

2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。

3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。

基本不等式题型20种

基本不等式题型20种不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。

在解决实际问题和推导数学推论中，不等式起着非常重要的作用。

本文将介绍20种常见的基本不等式题型。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型。

例如：解不等式3x+4>10。

解：首先将不等式转化为等式：3x+4=10；然后解方程：3x=6；得到解：x=2。

二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次函数的不等式形式。

例如：解不等式x^2-5x+6>0。

解：首先求出一元二次函数的根：(x-2)(x-3)>0；然后画出函数的图像或根据韦达定理判断函数的正负；得到解：x<2或x>3。

三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。

例如：解不等式|2x-3|≥5。

解：将含有绝对值的不等式拆分为两个不等式：2x-3≥5或2x-3≤-5；然后求解这两个不等式得到：x≥4或x≤-1。

四、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。

例如：解不等式(3x-2)/(2x+1)≤1。

解：首先将不等式化简：3x-2≤2x+1；然后解方程：x≤3。

五、根式不等式根式不等式是含有根式的不等式。

例如：解不等式√(x-4)≥2。

解：将不等式平方得：x-4≥4；然后解方程：x≥8。

六、乘法不等式乘法不等式是含有乘法的不等式。

例如：解不等式2x(x-1)≤0。

解：将不等式化简：2x(x-1)≤0；然后求解这个不等式得到：0≤x≤1。

七、除法不等式除法不等式是含有除法的不等式。

例如：解不等式(3x+6)/(x+2)≤4。

解：首先将不等式转化为等式：(3x+6)/(x+2)=4；然后解方程：x=-5；由于分母不能为0，所以解为x<-2或x>-5。

八、加法不等式加法不等式是含有加法的不等式。

例如：解不等式x+2>5。

解：将不等式化简：x>3。

九、减法不等式减法不等式是含有减法的不等式。

例如：解不等式2x-5≥1。

《基本不等式》17种题型高一

基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。

它在高一数学中占据着重要的地位，对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。

在高一数学教学中，基本不等式的学习也是一个重要的环节，不仅需要掌握它的概念和性质，还需要学会运用它解决实际问题。

本文将从基本不等式的概念入手，详细介绍其性质和运用方法，并列举17种题型，帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。

一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间，必有以下基本不等式成立：1）正数的不等式：a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2）负数的不等式：a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础，对于解决实际问题是非常重要的。

二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质，包括：1）传递性：若a > b，b > c，则a > c2）对称性：若a > b，则-b > -a3）倒置性：若a > b，则1/a < 1/b，且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用，可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。

三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用，其运用方法主要包括：1）利用基本不等式的性质化简题目；2）利用基本不等式构造等式或方程组，进而求解问题；3）利用基本不等式证明不等式关系，讨论最值等问题。

学生在解决实际问题时，可以根据具体情况选择不同的运用方法，灵活运用基本不等式，解决各种复杂的问题。

基本不等式题型及常用方法总结

基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。

1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。

- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。

2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。

- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。

3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。

- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。

4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。

- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。

常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。

2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。

3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。

4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。

5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。

同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。

基本不等式题型大全

基本不等式题型大全知识点：1.几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤ ②（基本不等式）2a b+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+2.几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.板块一基本不等式及其变换一、“配、凑、拆”的技巧 ①基本不等式及变形1.函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________；2.函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________．2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53.已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________．解：∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2..54124,45.1的最大值求函数已知-+-=<x x y x 答案：1.,)0(312)(.2的值并求取最值时的最值求x x x xx f ≠+=答案：略223.,,()().a b y x a x b =-+-（三星）为实常数求的最小值解：（1）方法一：方法二：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为____________； (2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为____________．解：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0.x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.8.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．9.函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12..)2)(12(,523.42222的最大值求已知++==+b a y b a答案：147162223.,1,1.2y x y R x x y +∈+=+（三星）设且求的最大值221y+≤2210.1,.x yx y xyx y+>=-（二星）若且求的最小值答案：23.设x，y∈R，且xy≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1y2·⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2的最小值为________．解：⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1y2⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．14．在各项都为正数的等比数列{}n a中，若2018a=，则2017201912a a+的最小值为________．4 14．已知正数x y，满足2230x xy＋－＝，则2x y＋的最小值是___________．3②二次分式有关12.已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解：∵t>0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．13.当x>0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：∵x>0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．14.(1)求函数f(x)＝1x－3＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝x2－3x＋1x－3(x＞3)的最小值；解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝1x－3＋(x－3)＋3≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时取等号，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1t＝t＋1t＋3≥2t·1t＋3＝5.当且仅当t＝1t，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.15.设x>－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；解：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9.4.当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：(1)∵x ＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．5.函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是________．解：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2 x－13x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2③平方平均数的应用228.,1,.x y R x y x y +∈+=+（一星）已知且求的最大值解：使用不等式变形2a b +≤.11.()0,0,1,.a b a b >>+=二星设答案：7．（三星）设,0,5,a b a b >+= _________. 解：因为,0,5,a b a b >+=所以()()139a b +++=由不等式2x y+≤2≤=，13.（四星）已知实数a b c ，，满足22201a b c a b c ++=++=，，则a 的最大值是 ____________．解：∵222b c bc +≥，即()()2222222b c b c bc b c +++=+≥，∴()2222b c b c++≥，由0a b c ++=，得b c a +=-，由2221a b c ++=，得()22222122b c a a b c +-=+=≥，∴223a ≤，∴a ，故a ．9.（三星）已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（）BA ．15B ．9C ．1D ．53-1.（二星）若0,0x y >>的最小值为_________.2.)510)(51(.52的最值求函数≤≤-=x x x y答案：4675.cos sin ,.62的最大值求为锐角设θθθ=y答案：9二、附条件求最值：“1”的代换5：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是____．解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab ＝3＋2 2.36.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_________．解因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．37.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；解 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．38.已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：∵9x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋29y x ·xy ＝16.当且仅当9y x ＝x y 且9x ＋1y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16.39.已知x ，y 为正实数，且1x ＋16y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：∵1x ＋16y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋216x y ·yx ＝25.当且仅当16x y ＝y x 且1x ＋16y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25.1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．解： ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a≥52＋22a b ·b 2a＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.40.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6解 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.41.正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y ，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9xy ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.9.,,280,.x y R x y xy x y +∈+-=+（二星）已知且求的最小值答案：18227.()01,,,().1a b x a b f x x x<<=+-三星设为常数求的最小值答案：2()a b +2.（二星）若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解：因为直线过点(1,1),所以111=+b a ，所以ba ab b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以4222=⨯+≥++baa b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立.14.（二星）若()42log 34log a b +=则a b +的最小值是（）DA ．6+B ．7+C ．6+D ．7+112511.0,0,1,:.4a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫>>+=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（三星）设求证1.（四星）已知20x y >>，且满足181022x y x y++=-，求实数x 的最大值. 答案：[]2,181.已知,x y 都是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为__________.941.（三星）设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___________.141.（三星）已知1,,(0,1)4ab a b =∈，则1211a b+--的最小值是__________.20．（四星）函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于2），则()12f x x 的最小值为_______。

基本不等式12种题型

基本不等式12种题型在数学中，基本不等式是重要的一种运算表示方法，它涉及不同类型的数据，可以构成一系列不等式和等式，有助于理解形状、性质和变化规律的数学问题。

许多数学题的解决都离不开不等式的运用，不等式的题型也是考试题型中的重要类型，本文将简要介绍基本不等式12种常见题型。

1、比较不等式比较不等式是一种两个不同数之间的大小比较，表示结果不等式，即大于、小于、大于等于或小于等于等。

例如：2a + b > 3，表示2a + b大于3。

2、区间不等式区间不等式是一种不等式，用于表示一个数字处于两个不同数字之间，即大于等于或小于等于的情况，例如：1 < x < 2。

即表示x介于1和2之间，大于1小于2。

3、极值不等式极值不等式用于表达某一数值在一系列数值中的位置，比如最大值、最小值和极值点，例如：f(x)<f(2)，表示在函数f(x)中x=2处的值小于其他全部x处的值。

4、组合不等式组合不等式是所有不等式的一个组合，即将几个不同的不等式进行合并，使得总的结果能够得到满足，例如2a + b > 2且b < 4，表示2a + b大于2，并且b小于4。

5、不等关系不等式不等关系不等式是指在有两个变量的不等式中，一个变量的取值存在一定的不等关系，即两个变量均存在大于、小于、大于等于或小于等于等关系，例如：x>2和x+2>y，表示x大于2，且x+2大于y。

6、方程不等式方程不等式也叫不等式方程，是指一个方程中关于未知数的不等式，即未知数的取值存在一定的不等关系，例如：3x-2<7，表示3x-2小于7。

7、多项式不等式多项式不等式是指多项式的不等式，即系数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：3x^2+2x+1>0，表示3x^2+2x+1大于0。

8、指数不等式指数不等式是指指数的不等式，即指数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：2x > 8，表示2x大于8。

基本不等式的常见题型

2a b b 2b a a
12.已知x 0, y 0, x y 1, 则
13.已知2 x y 0,
1
1

的最小值是 _____.
1 x 1 2 y
1
1

1, 则x y的最小值是 _____.
2 x-y x +2 y
1 1
4x
9y
14.已知x 0, y 0, 1, 则
2.基本不等式
一、知识点梳理
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
a＋b
称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数.
2
(3)其中
1 a 2＋b2 2ab, a,b R
(当且仅当 a＝ b时取等号 )
2
a＋b
的最小值为_______.
xy
a2 1
的最小值为_______.
ab
x2 3y
的最小值为_______.
xy
[题组训练]
(�+1)(2�+1)
1. (2019 天津,13,5 分)设 x>0,y>0,x+2y=5,则
��
的最小值为
.
1 a
2.设a 0, b >0, 且a b 1, 则的最小值为_______.
1 1
2.若 2m＋n＝1 上，且 m，n 为正数，则＋的最小值为________.
m n
1
4
3.已知正数 x,y 满足 x+y=1,则�+1+�的最小值为________.

基本不等式难题及解析

基本不等式难题及解析1. 设实数a，b，c满足a>b>c，证明：(a-b)(a-c)>0，并给出解析。

解析：我们可以将不等式(a-b)(a-c)>0进行展开：a^2 - ab - ac + bc >0由于a>b>c，所以a-b>0，a-c>0，bc>0因此，我们可以得到：a^2 - ab - ac + bc >0再进行因式分解可得：a^2 - ab - ac + bc = (a-c)(a-b) > 0由于a-c>0，a-b>0，所以(a-c)(a-b)>0成立。

因此，原不等式：(a-b)(a-c)>0 成立。

2. 当x为实数时，证明：x^4 + 2x - 1 > 0，并给出解析。

解析：我们可以考虑将左边的不等式进行因式分解：x^4 + 2x - 1 = (x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1再进行加减法得：(x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1 = x^2(x^2 + 1) +x(x + 2) - 1可以发现，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 是一个二次函数的形式。

我们考虑二次函数对应的抛物线的开口方向与函数的系数a有关。

其中，a为二次项的系数。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。

在本例中，我们可以将二次函数进行标准化：y=x^2+2x-1可以发现，二次项的系数a=1>0因此，该二次函数对应的抛物线开口向上。

当抛物线开口向上时，抛物线与x轴交点的纵坐标小于0，所以抛物线图像位于x轴下方。

因此，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 > 0 对于所有实数x成立。

即，不等式x^4 + 2x - 1 > 0 对于所有实数x成立。

3. 当x为正数时，证明：2x^3 + 3x^2 + x > 6，并给出解析。

高中数学基本不等式题型总结：

高中数学基本不等式题型总结：
一、一元一次不等式
1. 原理：在一元一次不等式中，如果两个不等式的不等号方向
相同，且两个不等式的等号两边都乘以同一个正数或同一个负数，
那么不等式保持不变。

2. 解法：
a. 将不等式化简为标准形式：ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a
和 b 均为实数，且a ≠ 0。

b. 对不等式进行相同操作后得到的不等式，得到不等式的解集。

二、一元二次不等式
1. 原理：在一元二次不等式中，解不等式的关键是确定二次函
数的凹凸性和零点情况。

2. 解法：
a. 将不等式化简为标准形式：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b 和 c 均为实数，且a ≠ 0。

b. 利用一元二次函数的凹凸性和零点情况进行分析，得到不等
式的解集。

三、绝对值不等式
1. 原理：对于绝对值不等式，根据绝对值的定义可分为绝对值大于等于零和绝对值小于等于零两种情况。

2. 解法：
a. 将不等式化简为标准形式：|ax + b| > c、|ax + b| < c 或 |ax + b| ≥ c、|ax + b| ≤ c，其中 a、b 和 c 均为实数，且a ≠ 0。

b. 根据绝对值的定义和不等式方向进行分析，得到不等式的解集。

四、其他常见不等式
1. 根据题目要求和不等式的特点，灵活运用数学运算符和基本不等式的性质，确定不等式的解集。

以上是高中数学中基本的不等式题型总结，希望能对你的研究有所帮助。

基本不等式的证明

基本不等式的证明1.代数法定理1：如果,a b R ∈,那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。

证明: ()2222a b ab a b +-=- 当a b ≠时()2a b ->0当a b =时()2a b -=0，所以 ()2a b -≥0，即 22a b +≥2ab.定理2：如果,0a b >，那么2a b +≥a b =时，等号成立。

证明： 22+≥∴ a b +≥即2a b +≥显然，当且仅当a b =时，2a b +这里,a b 均为正数，我们就称2a b +为,a b ,a b 的几何平均数，因而，这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。

2.几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。

得到结论：如果，那么（当且仅当a b =时，等号成立）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当a b =时，等号成立）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当a b =时，等号成立）最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时。

其和有最小值。

现给出这一定理的一种几何解释（图1）.以a b +长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a ，CB=b .过点C 作垂直于直径AB 的弦'DD ，连接AD 、DB ，易证,那么即CD =这个圆的半径为2a b +，显然，它大于或等于CD ，即 2a b +≥ 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 如果把2a b +看作是正数,a b,a b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.例1. 如果,a b R +∈，试比较2a b +211a b +的大小解： ,a b R +∈， ∴b a 11+≥ab 12即211a b+≤又22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =4222ab b a ++≤42222b a b a +++=222b a + ∴2a b +≤a b =时，等号成立而由定理2≤2a b +≥2a b +≥≥211a b+（当且仅当a b =时，等号成立）。

基本不等式题型归纳

基本不等式题型归纳乐享集团公司，写于2021年6月16日基本不等式题型归纳重点知识梳理1．基本不等式：2a b ab +≤ 1基本不等式成立的条件：0a >,0b >．2等号成立的条件：当且仅当a b =时,等号成立．2．几个重要的不等式：1222a b ab +≥,a b R ∈； 22b a a b+≥0ab >； 32()2a b ab +≤,a b R ∈； 42222()()a b a b +≥+,a b R ∈． 3．算术平均数与几何平均数设0a >,0b >,则,a b 的算术平均数为2a b +,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知0a >,0b >,则1如果积ab 是定值p ,那么当且仅当a b =时,a b +有最小值是2p ．简记：积定和最小2如果和a b +是定值p ,那么当且仅当a b =时,ab 有最大值是24p ．简记：和定积最大题型一览1、已知0a >,0b >,且41a b +=,则ab 的最大值为_______,则1ab 的最小值为_______； 2、已知21x y +=,则24x y +的最小值为_______3、设03x <<,则函数4(52)y x x =-的最大值为_______4、若0x >,则4x x +的最小值为_______；若0x <,则4x x +的最大值为_______ 5、若2x >,则12x x +-的最小值为_______；若2x <,则12x x +-的最大值为_______ 若函数1()(2)2f x x x x =+>-在 x a =处有最小值,则a =_______ 6、已知,a b R +∈,且22a b +=,则12a b +2a b b a +的最小值为_______,此时,a b 的值分别是_______ 7、已知0x >,0y >,212x y+=22x y xy +=或220x y xy +-=,则2x y +的最小值为_______8、已知0,0a b >>,如果不等式212m a b a b+≥+恒成立,那么m 的最大值等于_______ 9、几个分式的变形：1若0x >,则函数21x y x+=的最小值是_______ 2已知 0t >,则函数241t t y t-+=的最小值为_______ 3函数2+5+15=(0)2x x y x x ≥+的最小值为_______ 分析：变形得22515(2)2922x x x x y x x ++++++==++9(2)1172x x =+++≥=+, 当且仅当9(2)2x x +=+,即1x =时取等号, 故函数2515(0)2x x y x x ++=≥+的最小值为7 4已知0b a >>,2ab =,则22a b a b+-的取值范围是_______ 解：2222()2()444()[()]4a b a b ab a b a b b a a b a b a b a b b a+-+-+===-+=--+≤------ 5设22()4x f x x =+0x >, 则()f x 的最大值为_______； 6已知0,0a b >>,则222232a ab b a ab b ++++的最小值是_______ 7已知,a b 都是负实数,则2a b a b a b+++的最小值是_______10、1已知非负实数,x y 满足1x y +=,则11x y +++的最小值为_______ 分析：因为 1x y +=,所以 113x y +++=,即1[(1)(1)]13x y +++=,因为非负实数,x y ,所以10,10x y +>+>,所以 11111()[(1)(1)]11113x y x y x y +=+⋅+++++++ 114(1)[14]311y x x y ++=+++++119[5(54)3333≥+=+==当且仅当14(1)11y x x y ++=++,即12(1)y x +=+,0,1x y ==时取等号,所以 1411x y +++的最小值为3 2已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且,则213x y x y ++-的最小值为_______1[(3)()]2x y x y x y =+=++-,则(3)()1x y x y ++-= 21212()3()[(3)()]3()3333x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-++=+++-=++≥++-+-+-法二令x y t -=,3x y s +=0,0t s >>121212()()3()3t s s t x y s t s t s t+=+=++=++≥+-11、1已知,x y 均为正实数,且3xy x y =++,则xy 的最小值为_______解：因为,x y 均为正实数,所以x y +≥3xy x y =++可化为3xy ≥,即1)0≥,3,9,xy ≥≥故当且仅当x y =时,xy 取得最小值92已知,x y 均为正实数,39x y xy ++=,则3x y +的最小值为_______解：因为,x y 均为正实数,所以211393333()332x y x y xy x y x y x y +=++=++⋅≤++⋅, 12、1若正实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是_______解：由221x y xy ++=,得21()x y xy =+-, 22()()114x y x y xy ++=+≤+,解得x y ≤+≤,x y ∴+ 2设,x y 为实数,若2241x y xy ++=,则2x y +的最大值是_______ 解：由2241x y xy ++=得2222314(2)3(2)22x y xy x y xy x y x y =++=+-=+-⋅⋅ 2223251(2)()(2)228x y x y x y +≥+-⋅=+则2x y ≤+≤13、若,(0,2]x y ∈且2xy =,使不等式(2)(2)(4)a x y x y +≥--恒成立,则实数a 的取值范围为A ．12a ≤B ．2a ≤C ．2a ≥D ．12a ≥ 分析：由,(0,2]x y ∈,2xy =, 得()1022(2)(4)102222x y x y a x y x y x y -+--≥==-+++．又24x y +≥=由,∴12a ≥,选D ． 14、若0,0ab >>,且4a b +=,则下列不等式恒成立的是A ．112ab >B ．111a b+≤ C2≥ D ．228a b +≥ 分析：因为0a >,0b >利用基本不等式有2a b ≤+=≤,当且仅当a b =时等号成立,C 错；2≤得,114ab ≥,A 错；222()21688a b a b ab +=+-≥-=,当且仅当a b =时,等号成立,D 正确；11414a b a b ab ++=≥=,当且仅当a b =时等号成立,B 错；综上可知,选D ． 15、设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z取得最大值时,212x y z +-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94D ．3 答案：由22340x xy y z -+-=得2234z x xy y =-+,则22114343xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-,当且仅当2x y =时等号成立,此时22z y = 222122122111(2)122x y z y y y y y y y+-=+-=-=-≤． 16、2013天津理14设2a b +=,0b >,则当a =_____时,1||2||a a b+取得最小值．解：因为2a b +=,所以1=2a b + 1||||||22||2||4||4||a ba a ab a a b a b a a b ++=+=+++14||4||a a a a ≥+=, 当0a >时,5+1=4||4a a ,1||52||4a a b +≥；当0a <时,3+1=4||4a a ,1||32||4a ab +≥,当且仅当2b a =时等号成立．因为0b a=-.b>,所以原式取最小值时2又2a=-时,原式取得最小值．a b+=,所以2。

高中基本不等式的十一类经典题型

高中基本不等式的十一类经典题型类型一：基本不等式的直接运用类型二：分式函数利用基本不等式求最值类型三：分式与整式乘积构造的基本不等式类型四：1的妙用类型五：利用整式中和与积的关系来求最值类型六：两次运用基本不等式的题型类型七：负数的基本不等式类型八：化成单变量形式☆类型九：与函数相结合类型十：判别式法类型十一：构造高考真题10.已知512a -=，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为▲.[解析] 考查指数函数的单调性. 51(0,1)2a -=∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m<n.类型一、基本不等式的直接运用1 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值（改)4(2x x y -=）（2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值（3）求)20(42<<-+=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值2 ,141,0,0=+>>yx y x 则xy 的最小值是 3 ,141,0,0=+>>yx y x 则y x +的最小值是 4已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值 5.如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则mn 的最大值为 18 ．【解答】解：∵函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f ′（x ）≤0，即（m ﹣2）x+n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m ﹣2）x+n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f ′（2）≤0即可．即，由②得m ≤（12﹣n ），∴mn ≤n （12﹣n ）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn 的最大值为18．故答案为：18．类型二、分式函数利用基本不等式求最值1设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最值 2 已知1x >-，求2311x x y x -+=+的最值及相应的x 的值 3 不等式1322<+-x x 的解集为类型三、分式与整式乘积构造的基本不等式1 若c b a >>，求使11k a b b c a c+≥---恒成立的k 的最大值. 2 若0,0>>b a 且11121=+++b b a ，求b a 2+的最小值 3 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．4. 设,1,1,,>>∈b a R y x 若,4,22=+==b a b a x x 则yx 12+的最大值为 5. 求)490(4911<<-+x x x 的最小值 6. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值围。

基本不等式20种题型

基本不等式20种题型一、基本不等式简介基本不等式是高中数学中的一个重要内容，它是指两个正数的平均数不小于它们的几何平均数，两个数的算术平均数不大于它们的几何平均数。

基本不等式在解决一些最值问题时非常有用，包括求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。

二、20种题型1. 证明型题型：通过基本不等式证明一些不等式，例如，用基本不等式证明一个数的平方大于另一个数的平方。

2. 求最值题型：用基本不等式求和、积、方差的最值，求三角形的边长问题等。

3. 构造型题型：通过构造一个等式，利用基本不等式构造另一个等式，进而解决问题。

4. 拆分型题型：将一个数拆分成两个数的和或差，利用基本不等式进行求解。

5. 参数型题型：在基本不等式中引入参数，利用基本不等式求解参数的取值范围或最值问题。

6. 反证型题型：通过反证法，利用基本不等式证明一些不等式的正确性。

7. 优化型题型：利用基本不等式优化一些算法或求解过程。

8. 覆盖型题型：用基本不等式覆盖一些其他类型的题目，如解三角形问题等。

9. 扩展型题型：将基本不等式进行扩展，利用扩展后的不等式解决问题。

10. 分段型题型：对于一些分段函数，利用基本不等式分段求解。

三、解题步骤1. 确定使用基本不等式的条件：在应用基本不等式之前，需要保证所使用的不等式是成立的。

如果不能保证，需要先证明不等式的正确性。

2. 确定正数的个数：在应用基本不等式时，需要保证所使用的正数不超过两个。

如果不能保证，需要重新考虑问题的解法。

3. 确定平均数和几何平均数：根据题目中的数据，确定使用哪个平均数和几何平均数。

4. 计算并比较大小：根据题目中的数据，利用基本不等式计算出结果的大小，并与题目中的要求进行比较。

5. 验证结果的正确性：在得到结果后，需要验证结果的正确性，确保结果的合理性。

四、例题解析【例1】求函数f(x) = x(10-x)的最小值。

解：根据题意，可以知道f(x)是一个积的形式，可以使用基本不等式求解最小值。

基本不等式知识点及题型归纳总结

基本不等式知识点及题型归纳总结知识点精讲1. 几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：同号.（3）其他变形：①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2. 均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.题型归纳及思路提示题型1 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.例7.5“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由能推出；但反之不然，因为的条件是，故选A.变式1 已知且，则（）A. B. C. D.变式2下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.例7.6 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（写出所有正确命题的序号）.①；②；③；④；⑤.解析：对于①，由及得，即(当且仅当时取等号)，故①正确；对于②，由及得，即(当且仅当时取等号)，故②正确；对于③，由得，故③正确.对于④，，因此(当且仅当时取等号)，故④不恒成立；对于⑤，，又，则，故⑤正确，故填①③⑤.变式1如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一题型2 利用基本不等式求函数最值思路提示（1）在利用基本不等式求最值时，要把握四个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能否取到（对于不满足‘相等’的函数求最值，可考虑利用函数单调性解题）；四同时多次使用基本不等式时等号要同时取得”，求最值时，这是个方面缺一不可，若忽视了某个条件的验证，可能会出现错误.（2）利用基本不等式求函数最值常用的技巧有：1通过加减项的方法配凑成使用基本不等式的形式；2注意“1”的变换；3灵活选择和应用基本不等式的变形形式；4合理配组，反复使用基本不等式等.一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证例7.7 （1）若，求函数的最小值；（2）若，求函数的值域.分析：（1）因为满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值.（2）因为，故需先转化为，才能利用基本不等式求最值.解析：因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，取最小值.（2）因为，所以，则，且，即. 当且仅当，即时，取最大值.故函数的值域为.评注：解（1）时，应注意积为定值这个前提条件；解（2）时，应注意使用基本不等式求最值时，各项必须为正数.变式1 （1）求函数的值域（2）求函数的最小值；（3）求函数的最小值.二、通过代数变换凑配成使用基本不等式的形式例7.8已知，求函数的最大值.分析：因为，所以首先要调整符号，又不是常数，所以要对进行拆凑项，通过将函数解析式拆凑成可以使用基本不等式的形式，从而求得函数的最值.解析：因为，所以，由（当且仅当时，即时取等号）得. 所以函数的最大值为1.当且仅当时，即时取等号，故当时，.评注：利用基本不等式求最值时要重视各种条件，即“一正二定上相等四同时”必须全部满足，方可利用其求得最值. 如果本题中的条件“”改为“”，则如下求解：因为，所以，为错误求解，错误原因：在于只注重基本不等式的形式构造而未对成立条件“三相等”加以验证，事实上，.一般地，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，若不满足“三相等”的条件可以利用函数的单调性求最值.另外，还要注意与对勾函数同形质异的函数在上和均为单调增函数.如可直接利用单调性求最值.变式1 求函数的最大值.变式2 设正实数满足，则当取得最大值时，最大值为（）A. 0B. 1C.D. 3 三、“1”的变换例7.9 已知，且，求的最小值.分析：利用条件中“1”的变换.解析：解法一：因为，且，所以.当且仅当即，的最小值为16.解法二：由，且，得，所以10.因为0y >，所以90y ->，所以99(9)102(9)101699y y y y -++≥-+=--. 当且仅当999y y -=-，即12y =时取等号，此时4x =，所以当4,12x y ==时，x y +取得最小值16 评注本题的解法一是利用条件中的“1”，代换成“19x y+”，将其所求的形配凑成利用基本不等式的形式，使得题目顺利求解，但下面的解法是错误的：因为1919612x y x y xy+=≥=，即36xy ≥，所以223612x y xy +≥=，错误的原因在于连续使用了两次基本不等式，但未对两个“=”成立的条件是否吻合进行验证，其实，这两次“=”不能同时取得，这就提醒我们，在多次使用基本不等式时，一定要验证多次“=”满足的条件能否同时成立.变式1 已知0a >，0b >，2a b +=，则11y a b=+的最小值是变式2 求函数2214(0)sin cos 2y x x x π=+<<的最小值变式3已知a b c >>，证明：1113a b b c c a a c++≥---- 变式4 设2a b +=，0b >则当a = 时，12a a b+最得最小值. 四、转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例7.10若正数,a b 满足3ab a b =++，则：（1）ab 的取值范围是（2）a b +的取值范围是分析由等量关系的结构特征可知，只需将所求部分之外的部分利用不等式转化为所求的形式，然后解不等式即可.解析（1）解法一：基本不等式.33ab a b =++≥，当且仅当a b =时取等号，所以230≥，3≥1-（舍），3≥，故有9ab ≥.当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的取值范围是[9,)+∞解法二：判别式法.令ab t =（3t >），则t b a =，代入原式得，3t t a a=++，整理得2(3)0a t a t +-+=. 2(3)40t t ∆=--≥，得9t ≥或1t ≤（舍），ab 的取值范围是[9,)+∞（2）解法一：23()2a b ab a b +=++≤，当且仅当a b =时取等号，令0S a b =+>，则234S S +≤，整理得即24120S S --≥得6S ≥或2S ≤-（舍），即a b +的取值范围是[6,)+∞解法二：判别式法，令a b t +=（0t >），则b t a =-，代入原式得，()3a t a t -=+，整理得230a at t -++=24(3)0t t ∆=-+≥，得6t ≥或2t ≤-（舍）.即a b +的取值范围是[6,)+∞评注：注意体会使用方程消元法求范围与利用基本不等式求范围的优劣，试用方程消元法求解本题的第（2）问.变式1 若,0x y >满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是变式2 若,0x y >满足2x y xy ++=，则x y +的最小值是变式3 若,0x y >满足228x y xy ++=，则2x y +的最小值是（）.A 3 .B 4 .C 92 .D 112五、灵活选择和运用基本不等式的变形形式例7.11 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为分析观察所求式子与题中所给条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的关系是解题的核心.解析 0x ≥，0y ≥，2212y x +=所以== 221222y x ++≤2212222y x ++==（当且仅当2212y x +=时取“=”，即x =，2y =时取“=”）. 评注本题除了利用基本不等式求解外，还可以利用已知条件中的2212y x +=，采用三角换元来求解，望同学们自己尝试．变式１已知0a >，0b >，4a b +=，求2211()()a b a b+++的最小值．六、合理配组，反复应用基本不等式例7.12 设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是（） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4解析解法一：因为2112a b a b +≤+，所以411a b a b+≥+.故2114()ab a a b a ab ab +≥-+- 则211()a ab a a b ++-224a a ab ab≥++-2222444a a a =+≥=（当且仅当2ab a ab =-与44a =，0a b >>同时成立时，取得“=”），即当a =2b =211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D解法二：22111111()()a a ab a a b ab b a b a++=++---，因为0b >，0a b ->，所以22()()24a a b a b -≤=（当且仅当2a b =时取“=”），则222221444()a a b a b a a+≥+≥=-（当且仅当a ==”），所以当a =2b =时，211()a ab a a b ++-的最小值为4，故选D变式1 若0a >，0b >，满足11a b++ ）.A 2 .B .C 4 .D 5变式2 若,x y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（） .A 3 .B 72 .C 4 .D 92题型3 利用基本不等式证明不等式思路提示类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 例7.13 （1）,,a b c R +∈，求证：11()()4a b c a b c+++≥+ （2）,,a b c R +∈，求证：222a b c a b c b c a++≥++（3）,,x y z R +∈，且1x y z ++=解析（1）因为,,0a b c >，所以1111()()[()]()a b c a b c a b c a b c+++=+++++ 11a b c b c a +=++++2a b cb c a+=+++224≥+=当且仅当a b c =+时等号成立. （2）因为,,0a b c >，所以22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥三式相加得：222()()()a b c b c a b c a +++++222a b c ≥++，即222a b c a b c b c a++≥++（3）分析法.要证明≤，只需证3x y z +++≤，只需证：1≤因为,,x y z R +∈，x y +≥，x z +≥，y z +≥，所以2()x y z ++≥1≤成立.评注本题（2）的证明是综合法，（3）的证明是分析法.综合是从已知出发推导结果，分析法是从结果出发，去分析命题成立的条件，一般情况下两种方法是可以通用的，对于比较复习的问题，也可以结合这两种方法使用变式1若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c---≥变式2 证明：若,,,,,x y z a b c R +∈，则222()b c c a a b y z xy yz xz a b c+++++≥++最有效训练题1．函数1()2f x x x =+-（2x >）在x a =处取得最小值，则a =（）.A 1 .B 1 .C 3 .D 42．已知0a >，0b >，2a b +=，则19y a b=+的最小值是（）.A 72 .B 8 .C 92.D 5 3．若0x >，0y >，2282y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） .A (,2][4,)-∞-⋃+∞ .B (,4][2,)-∞-⋃+∞ .C (2,4)- .D (4,2)-4．已知,a b R +∈，且21a b +=，则224S a b =-的最大值为（）.A .B 1 .C 1 .D 5．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=则（）.A 2x y +≤ .B 2x y +≥ .C 21)x y +≤ .D 21)x y +≥6．若224mn+<，则点(,)m n 必在（）.A 直线20x y +-=的左下方 .B 直线20x y +-=的右上方 .C 直线220x y +-=的右上方 .D 直线220x y +-=的左下方7．在“4+91=”中的“ ”处分别填上一个自然数，使他们的和最小，其和的最小值为8．已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数，且0p >），若()f x 在(1,)+∞上的最小值是4，则实数p 的值为9．已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为10．（1）设02x <<，求函数(42)y x x =-最大值. （2）设(0,)x π∈，求函数4()sin sin f x x x=+的最小值. （3）已知0x >，0y >，且1x y +=，求34x y+的最小值（4）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是11．已知,a b≥12．提高过江大桥车辆的通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车辆速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0，当车流速度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明，当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x x v x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.。

高一基本不等式题型归纳

高一基本不等式题型归纳一、利用基本不等式求最值1. 积定和最小- 例1：已知x>0，y>0，且xy = 16，求x + y的最小值。

- 解析：根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知xy=16。

- 则x + y≥slant2√(xy)=2√(16)=8。

- 当且仅当x=y时取等号，又因为xy = 16，所以x=y = 4时，x + y取得最小值8。

2. 和定积最大- 例2：已知x>0，y>0，x + y=8，求xy的最大值。

- 解析：由基本不等式xy≤slant((a + b)/(2))^2（当且仅当a = b时取等号），这里a=x，b = y，已知x + y = 8。

- 则xy≤slant((x + y)/(2))^2=((8)/(2))^2 = 16。

- 当且仅当x=y时取等号，又因为x + y = 8，所以x=y = 4时，xy取得最大值16。

二、基本不等式的变形应用1. 配凑法求最值- 例3：已知x> - 1，求y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}的最小值。

- 解析：- 因为x> - 1，则x+1>0。

- 对y=frac{x^2+7x + 10}{x + 1}进行变形，y=frac{(x + 1)^2+5(x + 1)+4}{x + 1}=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5。

- 根据基本不等式a+b≥slant2√(ab)，这里a=x + 1，b=(4)/(x + 1)。

- 则y=(x + 1)+(4)/(x + 1)+5≥slant2√((x + 1)×frac{4){x + 1}}+5=2×2 +5=9。

- 当且仅当x + 1=(4)/(x + 1)，即(x + 1)^2=4，因为x> - 1，所以x + 1 = 2，x=1时取等号，y的最小值为9。

基本不等式总结题型

基本不等式总结题型一、基本不等式的概念基本不等式呢，就是那个超有用的不等式啦，对于正数a、b，有(a + b)/2 ≥ √(ab)。

这就像是数学世界里的一个小宝藏，在好多题型里都会用到哦。

二、基本不等式总结题型1. 求最值题型比如给你一个式子y = x+1/x（x>0），要求这个式子的最小值。

这时候就可以用基本不等式啦。

因为x和1/x都是正数，根据基本不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，这里 a = x，b = 1/x，那么y=x + 1/x≥2√(x×1/x)=2，所以y的最小值就是2啦。

还有像已知2x + 3y = 6，求xy的最大值这种题。

我们可以把2x和3y看作基本不等式里的a和b，由2x+3y = 6可得y=(6 - 2x)/3，那么xy=x×(6 - 2x)/3=-2/3x² + 2x。

再根据基本不等式变形可得2x+3y≥2√(6xy)，6≥2√(6xy)，解这个不等式就可以求出xy的最大值。

2. 证明不等式题型比如说要证明(a² + b²)/2≥ab。

我们可以从基本不等式出发，因为(a - b)²≥0，展开得到a² - 2ab + b²≥0，移项就得到a² + b²≥2ab，两边同时除以2，就得到(a² + b²)/2≥ab啦。

再比如证明1/(a + b)+1/(b + c)+1/(c + a)≥9/(2(a + b + c))（a,b,c都是正数）。

这种题就需要巧妙地构造基本不等式的形式，把式子进行变形然后利用基本不等式来证明。

3. 比较大小题型例如比较(a + b)/2和√((a² + b²)/2)的大小（a,b都是正数）。

我们可以采用作差法，把(a + b)/2 - √((a² + b²)/2)进行化简，然后根据基本不等式的性质来判断这个差是大于0、小于0还是等于0，从而得出两个式子的大小关系。