教案1无穷级数概念与性质

高等数学教案1

第十一章 无穷级数

编写人:吴炯圻

I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质

Ⅱ.教学目的与要求

1、了解常数项级数的概念及其产生的背景；

2、掌握收敛级数的基本性质；

3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性；

4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点：

重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。

难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理;

2.熟悉数列的收敛与发散的判别.

Ⅳ.讲授内容：

第一节 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积?

我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积.

在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是

图1-1

A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样

地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积

n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了.

2．常数项级数的概念

古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。

随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则

n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即

)(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞

→∞

→. (1.1)

这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。

一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式

ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2)

叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为

∑∞

=1

n n

u

, 即

∑∞

=1

n n

u

ΛΛ+++++=n u u u u 321,

其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项.

上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？

这个思路是对的。

为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取

1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列.

在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。

但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1

1(1)n n -∞

=-∑.

其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。

总之, 部分和数列}{n s 可能收敛, 也可能发散, 我们可据此定义级数收敛或发散. 定义 如果级数

∑∞

=1

n n

u

的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞

→lim , 则称级数

∑∞

=1

n n

u

收

敛, 这时极限s 叫做这个级数的和, 并写成

s = u 1+u 2 +…+u n +…; 如果}{n s 没有极限, 则称级数

∑∞

=1

n n

u

发散.

对于收敛级数, 其部分和n s 可作为级数的和s 的近似值, 它们之间的差 Λ++=-=++21n n n n u u s s r ∑∞

+==

1

n k k

u

叫做级数的余项. ||n r 表示n s 代替和s 时所产生的误差. 显然, 对于收敛级数有

0lim =∞

→n n r .

从上述定义可知, 级数与数列极限有着密切的联系. 给定级数

∑∞

=1

n n

u

, 就有相应的部分

和数列}{n s ; 反之, 给定数列}{n s , 就有以}{n s 为部分和数列的级数

ΛΛ+-++-+-+-)()()(123121n n s s s s s s s ∑∞

==1

n n u ,

其中 )2(,111≥-==-n s s u s u n n n . 按定义, 级数∑∞

=1

n n

u

与数列}{n s 同时收敛或同时发散,

且在收敛时, 有

∑∞

=1

n n

u

n n s ∞

→=lim , 即

∑∞

=1

n n

u

∞

→=n lim

∑=n

k k

u

1

.

例1 讨论如下公比为q 的等比级数(也称几何级数)的敛散性

∑∞

=0

n n

aq

ΛΛ+++++=n aq aq aq a 2 )0(≠a (1.3)

解 当1||≠q 时, 部分和

n s 1

2

-++++=n aq

aq aq a Λq

q a n --=1)1(,